대류-디퓨전 방정식

대류-확산방정식은 확산방정식과 대류(접착)방정식의 조합으로, 확산과 대류라는 두 가지 공정에 의해 입자, 에너지 또는 그 밖의 물리적 양이 물리적 시스템 내부에서 전달되는 물리적 현상을 기술한다. 문맥에 따라 동일한 방정식을 부속-디퓨전 방정식, 드리프트-디퓨전 방정식,^[1] 또는 (일반) 스칼라 전송 방정식이라고 할 수 있다.^[2]

방정식

일반

일반적인^[3]^[4] 방정식은

{\frac {\partial t}=\mathbf {\nabla }\cdot(D\mathbf {\nabla }c)-\cdot(\mathbf {v}c)+R

어디에

$c$ 는 관심 변수(질량 전달에 대한 농도, 열 전달에 대한 온도)
$D$ 는 입자 운동을 위한 질량 분산도 또는 열 수송을 위한 열 확산도 등과 같은 확산도(확산 계수라고도 함)이다.
$v$ 는 수량이 이동하는 속도장이다. 그것은 시간과 공간의 기능이다. 예를 들어, $강$ 에서 c는 소금 농도일 수 있고, 그 다음 $v$ 는 시간과 위치의 함수로서 물의 흐름 속도가 될 수 있다. 또 다른 예로 $c$ 는 잔잔한 호수에서 작은 거품의 농도를 들 수 있으며, $v$ 는 거품의 시간과 위치에 따라 부력에 의해 지표면을 향해 상승하는 거품의 속도를 들 수 있다(아래 참조). 다공성 매체에서의 다중 효소 흐름과 흐름의 경우, $v$ 는 (광학) 표면 속도다.
$R$ 은 수량 $c$ 의 출처 또는 싱크를 설명한다. 예를 들어 화학종에서 $R$ > $0$ 은 화학반응이 더 많은 종을 만들어 내고 있음을 의미하며, $R$ < $0$ 은 화학반응이 종을 파괴하고 있음을 의미한다. 열 수송의 경우 마찰에 의해 열 에너지가 생성되는 경우 R > $0$ 이 발생할 수 있다.
$\nabla$ 은 구배, $\nabla$ 은 분산을 나타낸다. 이 방정식에서 $\nabla c$ 는 농도 구배를 나타낸다.

일반적인 단순화

일반적인 상황에서는 확산 계수가 일정하고, 발생원이나 싱크대가 없으며, 속도장은 압축할 수 없는 흐름(즉, 0의 분산을 가진다)을 기술한다. 그 후 공식은 다음과 같이 단순화된다.^[5]^[6]^[7]

{\frac {\partial c}{\partial t}=D\nabla ^{2}c-\mathbf {v}\cdot \nabla c.

이 형태에서 대류-확산 방정식은 포물선과 쌍곡선 부분 미분식을 모두 결합한다.

비연동 $물질에서$ D= $0$ (예를 들어 온도가 절대 0에 가까울 때 희석 가스는 질량 분산도가 거의 0에 가까울 때), 따라서 수송 방정식은 다음과 같다.

{\frac {\preason c}{\put t}+\mathbf {v} \cdot \cdla c=0.

시간 $e^{j\omega t+j\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }$ 과 공간 영역 모두에서 푸리에 변환(즉, 적분 커널 $e^{j\omega t+j\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }$ $e^{j\omega t+j\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }$ t $e^{j\omega t+j\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }$ + j k $e^{j\omega t+j\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }$ x ${\$ e $^{j\omega t+$ j { $k} \cdot \mathbf {x}}}}})$ 을 사용하여 다음과 같은 특성 방정식을 얻을 수 있다. $e^{j\omega t+j\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }$

j\mathbf {c}+\mathbf {v} \cdot j\mathbf {k} {\tilde{c}} {\tilde}=0\오른쪽 화살표 \omega =-\mathbf {k} \cdot \mathbf {v},},

일반적인 해결책은 다음과 같다.

c=f(\mathbf {x} -\mathbf {v}t),

여기서

f

f

은

f

(는) 다른 모든 스칼라 함수다. 이는 비행시간을 통한 근보스-아인슈타인 응축수의^[8] 온도 측정의 기초가 된다.^[9]

고정 버전

정지 대류-확산 방정식은 대류-확산 시스템의 정상 상태 동작을 설명한다. 안정된 상태에서,.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px sOlid}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}∂c/∂t=0, 그래서 공식 있다.

#\displaystyle 0=\nabla \cdot(D\nabla c)-\nabla \cdot(\mathbf {v}c)+R.}

파생

대류-확산 방정식은 제어 볼륨 내부의 생성 또는 소비와 함께 시스템의 해당 부분으로의 흐름과 확산에 의해 미분 제어 볼륨의 스칼라 수량에 대한 변화율이 주어진다는 연속성 방정식에서 간단한 방법으로^[4] 도출할 수 있다.

{\frac {\partial c}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf {j} =R,

여기서

j

는 총 플럭스,

R

은

c

의 순 부피 측정원이다. 이 상황에는 두 가지 유동원이 있다. 첫째, 확산으로 인해 확산 유속이 발생한다. 이것은 일반적으로 Fick의 첫 번째 법칙에 의해 근사치된다.

\mathbf {j} _{\text{diff}=-D\nabla c

즉, 시스템의 어느 부분에서든 확산 물질의 유동(벌크 운동과 동일)은 국소 농도 구배와 비례한다. 둘째, 전체적인 대류나 흐름이 있을 때, 부가적인 유동이라고 불리는 관련 유속이 있다.

\mathbf {j} _{\text{adv}=\mathbf {v}c

총 플럭스(정지 좌표계)는 다음 두 가지 합계로 주어진다.

\mathbf {j} =\mathbf {j} _{\text{diff}+\mathbf {j} _{\text{adv}=-D\nabla c+\mathbf {v} c.

연속성 방정식에 연결:

{\frac {\partial c}{\partial t}+\nabla \cdot \left(-D\nabla c+\mathbf {v} c\right)=R.

복합혼합현상

일반적으로 $D$ , $v$ , $R$ 은 공간과 시간에 따라 다를 수 있다. 또한 농도에 의존하는 경우 이 방정식은 비선형적이 되어 $R$ 이 질량 전달식의 농도에 의존할 때 R이 열 $전달식$ 의 온도에 의존할 때 Rayleigh-Bénard 대류, 반응-확산 패턴 형성과 같은 많은 독특한 혼합 현상이 발생한다.

힘에 대한 반응 속도

어떤 경우에는 평균 속도장 $v$ 가 힘 때문에 존재한다. 예를 들어, 이 방정식은 액체에서 용해된 이온의 흐름을 설명할 수 있다. 이온의 흐름은 전기장이 이온을 어떤 방향으로 끌어당긴다(겔 전기영양). 이런 상황에서 보통 1915년에^[10] 설명한 마리안 스몰루코프스키 (아인슈타인-스몰루코프스키 관계나 스몰루코프스키 응고 방정식과 혼동하지 않는 것)의 이름을 따서 드리프트-디퓨전 방정식 또는 스몰루코프스키 방정식이라고 한다.^[1]

일반적으로 평균 속도는 적용된 힘에 정비례하며 다음과 같은 방정식을 제공한다.^[11]^[12]

{\frac {\partial t}=\nabla \cdot (D\nabla c)-\nabla \cdot \left(\zeta ^{-1}\mathbf {F} c\right)++R

여기서 $F$ 는 힘이고, $ζ$ 은 마찰력이나 점성질 끌림의 특징을 나타낸다.(역 $ζ$ 을⁻¹ 이동성이라고 한다.)

아인슈타인 관계의 파생

힘이 잠재적 에너지 $F =$ $- -U$ (보수적 힘 참조)와 연관되었을 때, $위$ 의 등식(즉, 0 = R = $\partial c /\partial t$ )에 대한 정상 상태 해결책은 다음과 같다.

\displaystyle c\propto \exp \left(-D^{-1}\zeta ^{-1}U\right)}

( $D$ 와 $ζ$ 은 일정하다고 가정한다.) 즉 에너지가 더 낮은 곳에 입자가 더 많다는 것이다. 이 농도 프로파일은 볼츠만 분포(더 정확히 말하면, Gibbs 측정값)와 일치할 것으로 예상된다. 이러한 가정으로부터 아인슈타인의 관계는 다음과 같이 증명될 수 있다.^[12]

D\zeta =k_{\mathrm {B}}T.

스몰루코프스키 대류-확산식

스몰루코프스키 대류-확산식(Smoluchowski)은 추가적인 대류 흐름장이 있는 확률형(Smoluchowski) 확산식이다.^[13]

{\displaystyle {\frac {\partial t}{\nabla \cdot (D\nabla c)-\mathbf {\nabla }\cdot (\mathbf {v}c)-\nabla \cdot \lef(\zeta ^{-1}\f}\f.

이 경우 $F력$ 은 두 콜로이드 입자 사이의 보수적인 중간자 상호작용력이나 유체 내 두 분자 사이의 분자간 상호작용력을 기술하며, 외부적으로 부과된 유속 $v$ 와 무관하다. 이 방정식의 정상 상태 버전은 전단 흐름 하에서의 콜로이드성 서스펜션의 쌍분포함수( $c$ 로 식별할 수 있음)에 대한 설명을 제공하는 기초가 된다.^[13]

이 방정식의 정상 상태 버전에 대한 대략적인 해법은 일치하는 점증적 팽창 방법을 사용하여 발견되었다.^[14] 이 솔루션은 전단 흐름에서 두 분자의 수송 제어 반응률에 대한 이론을 제공하며, 또한 콜로이드 안정성의 DLVO 이론을 전단 흐름의 대상인 콜로이드 시스템(예: 마이크로 유체학, 화학 원자로, 환경 흐름)으로 확장하는 방법도 제공한다. 그 일정한 상태 방정식 완료한 점근 확대기의 메서드를 사용하여 얻은에 대한 완전한 해결책 알레시오 Zaccone과 L.Banetta에 의해 표면에서의 상호 작용하는 입자들의 전단 flow[15]에 한 짝은 분포 함수를 계산하여 나중에charge-stabilized(의 분포 함수를 계산하기 위해 확장 개발되고 있다.유카와나 데비-헉켈) 전단 흐름의 콜로이드 입자.^[16]

확률적 미분 방정식으로서

대류-확산 방정식( $출처$ 나 배수구가 없는 R = $0$ )은 확률적 미분 방정식으로 볼 수 있으며, 확산도 $D$ 와 치우침 $v$ 를 가진 무작위 운동을 기술한다. 예를 들어, 이 방정식은 단일 입자의 브라운 운동을 기술할 수 있다. 여기서 변수 $c$ 는 기브에 있어야 할 입자의 확률 분포를 기술한다.일정한 시간에 배치하다 방정식을 그런 식으로 사용할 수 있는 이유는 단일 입자의 확률 분포와 무한히 많은 입자의 집합의 농도 프로파일 사이에는 수학적 차이가 없기 때문이다(입자가 서로 상호작용하지 않는 한).

랜지빈 방정식은 명시적으로 확률적인 방식으로 부착, 확산 및 기타 현상을 설명한다. Langevin 방정식의 가장 간단한 형태 중 하나는 "소음 용어"가 가우스일 때인데, 이 경우 Langevin 방정식은 대류-확산 방정식과 정확히 동일하다.^[12] 그러나 랑게빈 방정식은 더 일반적이다.^[12]

수치해결

대류-확산 방정식은 펜과 종이로만 풀 수 있는 경우가 드물다. 더 자주, 컴퓨터는 일반적으로 유한요소법을 사용하여 방정식의 해답에 수치적으로 근사하게 사용된다. 자세한 내용과 알고리즘은 다음을 참조하십시오. 대류-확산 방정식의 수치적 해법.

다른 맥락에서 유사한 방정식

대류-확산 방정식은 흐름을 기술하는 비교적 간단한 방정식이며, 또는 그 대안으로 확률적으로 변화하는 시스템을 기술한다. 따라서 공간을 통한 흐름과 무관한 많은 맥락에서 동일하거나 유사한 방정식이 발생한다.

그것은 입자의 속도에 대한 Fokker-Planck 방정식과 공식적으로 동일하다.
그것은 블랙-숄즈 방정식과 금융 수학의 다른 방정식과 밀접한 관련이 있다.^[17]
나비에르와 밀접한 관련이 있다.–스톡스 방정식, 액체의 운동량 흐름은 수학적으로 질량이나 에너지의 흐름과 유사하기 때문이다. 서신은 압축할 수 없는 뉴턴 유체의 경우 가장 명확하며, 이 경우 Navier.–스토크 방정식은 다음과 같다. ${\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}={\frac {\mu }{\rho }}\nabla ^{2}\mathbf {M} -\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {M} +(\mathbf {f} -\nabla P)$

여기서 $M$ 은 각 지점(단위 부피당)에서 유체의 운동량(속도 $v$ 로 곱한 밀도 $ρ$ 과 같음), $μ$ 는 점도, $P$ 는 유체 압력, f는 중력과 같은 다른 신체 힘이다. 이 방정식에서 왼쪽의 용어는 특정 지점에서의 운동량의 변화를 기술하고 오른쪽의 첫 번째 용어는 실제로 운동량의 확산인 점도를 기술하고 오른쪽의 두 번째 용어는 운동량의 부가적인 흐름을 기술하며 오른쪽의 마지막 두 용어는 운동량의 외부 및 내부 힘을 기술한다.추진력의 원천 또는 침몰원으로서의 행위

반도체물리학에서

내장 반도체의 중심에서 빛이 비쳐 캐리어가 생성(녹색:전자와 보라색:구멍)되면서 두 끝을 향해 확산된다. 전자는 구멍보다 확산 상수가 높아 구멍에 비해 중앙의 초과 전자가 적다.

반도체 물리학에서 이 방정식을 드리프트-디퓨전 방정식이라고 한다. "drift"라는 단어는 유속 전류와 유속과 관련이 있다. 방정식은 일반적으로 다음과 같이 기록된다.^[18]

{\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\mathbf{J}_{n}}{-q}}&=-D_{n}\nabla n-n\mu _{n}\mathbf{E}\\{\frac{\mathbf{J}_{p}}{q}}&=-D_{p}\nabla p+p\mu _{p}\mathbf{E}\\{\frac{\partial n}{\partial지}}&=-\nabla\cdot{\frac{\mathbf{J}_{n}}{-q}}+R\\{\frac{\partial p}{\partial지}}&=-\nabla\cdot{\frac{\mathbf{J}_{p}}{q}}+R\en.d{정렬}}}

어디에

$n$ 과 $p$ 는 각각 전자와 구멍의 농도(도)이다.
$q$ > $0$ 은 기본 전하,
$J$ 와_n $J$ 는_p 각각 전자와 구멍으로 인한 전류다.
$J n /- q$ 와 $J p / q$ 는 각각 전자와 홀의 해당 "입자 전류"이다.
$R$ 은 반송파 생성과 재결합(전자 구멍 쌍 생성의 $경우$ R > $0$ , 재조합의 $경우$ R < $0$ )을 나타낸다.
$E$ 는 전기장 벡터다.
$\mu _{n}$ ${\$ $\mu _{p}$ p ${\$ 는 $\mu _{n}$ $\mu _{p}$ 전자와 홀 이동성이다.

확산 계수와 이동성은 위와 같은 아인슈타인 관계에 의해 관련된다.

{\displaystyle {\reasoned}D_{n}&={\frac {\mu _{n}k_{\mathrm {B}{}}{Q}}},\\D_{p}&={\mu _{p}k_{\mathrm {B}}{Q},\ended}}}}}}}}}}}}}}}}}}?

여기서 $k$ 는_B 볼츠만 상수, $T$ 는 절대 온도다. 표류 전류와 확산 전류는 $J$ 에 대한 식에서 두 가지 용어 즉, 다음과 같은 용어를 별도로 가리킨다.

{\begin{aligned}{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{drift}}}}{-q}}&=-n\mu _{n}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{drift}}}}{q}}&=p\mu _{p}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{diff}}}}{-q}}&=-D_{n}\nabla n,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{diff}}}}{q}}&=-D_{p}\nabla p.\end{정렬}}

이 방정식은 포아송의 방정식과 함께 수치로 풀 수 있다.^[19]

표류 확산방정식을 푼 결과의 예가 오른쪽에 표시된다. 반도체의 중심에 빛이 비추면 중간에 캐리어가 생성돼 양 끝을 향해 확산된다. 드리프트-디퓨전 방정식은 이 구조에서 해결되며 전자 밀도 분포는 그림에 표시된다. 중앙에서 양끝으로 가는 캐리어의 기울기를 볼 수 있다.

참고 항목

참조

^ ^a ^b Chandrasekhar (1943). "Stochastic Problems in Physics and Astronomy". Rev. Mod. Phys. 15 (1): 1. Bibcode:1943RvMP...15....1C. doi:10.1103/RevModPhys.15.1. 등식(312) 참조
^ Baukal과 Gershtein, p67, Google 북 링크에 의한 산업연소에서의 연산유체역학
^ Tomas Stocker, p57, Google 북 링크에 의한 기후 모델링 소개
^ ^a ^b Advective Disposition 방정식, Scott A의 강의 노트. 소콜롭스키와 게르하르트 지르카, 웹 링크
^ Bejan A (2004). Convection Heat Transfer.
^ Bird, Stewart, Lightfoot (1960). Transport Phenomena.{{cite book}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
^ Probstein R (1994). Physicochemical Hydrodynamics.
^ Ketterle, W.; Durfee, D. S.; Stamper-Kurn, D. M. (1999-04-01). "Making, probing and understanding Bose-Einstein condensates". arXiv:cond-mat/9904034.
^ Brzozowski, Tomasz M; Maczynska, Maria; Zawada, Michal; Zachorowski, Jerzy; Gawlik, Wojciech (2002-01-14). "Time-of-flight measurement of the temperature of cold atoms for short trap-probe beam distances". Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. 4 (1): 62–66. Bibcode:2002JOptB...4...62B. doi:10.1088/1464-4266/4/1/310. ISSN 1464-4266. S2CID 67796405.
^ Smoluchowski, M. v. (1915). "Über Brownsche Molekularbewegung unter Einwirkung äußerer Kräfte und den Zusammenhang mit der verallgemeinerten Diffusionsgleichung" (PDF). Ann. Phys. 4. Folge. 353 (48): 1103–1112. Bibcode:1915AnP...353.1103S. doi:10.1002/andp.19163532408.
^ "Smoluchowski Diffusion Equation" (PDF).
^ ^a ^b ^c ^d Doi & Edwards (1988). The Theory of Polymer Dynamics. pp. 46–52. ISBN 978-0-19-852033-7 – via Google Books.
^ ^a ^b J. K. G. Dhont, 페이지 195, 구글 북 링크에 의한 콜로이드의 역학 소개
^ Zaccone, A.; Gentili, D.; Wu, H.; Morbidelli, M. (2009). "Theory of activated-rate processes under shear with application to shear-induced aggregation of colloids". Physical Review E. 80 (5): 051404. arXiv:0906.4879. Bibcode:2009PhRvE..80e1404Z. doi:10.1103/PhysRevE.80.051404. hdl:2434/653702. PMID 20364982. S2CID 22763509.
^ Banetta, L.; Zaccone, A. (2019). "Radial distribution function of Lennard-Jones fluids in shear flows from intermediate asymptotics". Physical Review E. 99 (5): 052606. arXiv:1901.05175. Bibcode:2019PhRvE..99e2606B. doi:10.1103/PhysRevE.99.052606. PMID 31212460. S2CID 119011235.
^ Banetta, L.; Zaccone, A. (2020). "Pair correlation function of charge-stabilized colloidal systems under sheared conditions". Colloid and Polymer Science. 298 (7): 761–771. arXiv:2006.00246. doi:10.1007/s00396-020-04609-4.
^ Arabas, S.; Farhat, A. (2020). "Derivative pricing as a transport problem: MPDATA solutions to Black-Scholes-type equations". J. Comput. Appl. Math. 373: 112275. arXiv:1607.01751. doi:10.1016/j.cam.2019.05.023. S2CID 128273138.
^ Hu, Yue (2015). "Simulation of a partially depleted absorber (PDA) photodetector". Optics Express. 23 (16): 20402–20417. Bibcode:2015OExpr..2320402H. doi:10.1364/OE.23.020402. hdl:11603/11470. PMID 26367895.
^ Hu, Yue (2014). "Modeling sources of nonlinearity in a simple pin photodetector". Journal of Lightwave Technology. 32 (20): 3710–3720. Bibcode:2014JLwT...32.3710H. CiteSeerX 10.1.1.670.2359. doi:10.1109/JLT.2014.2315740. S2CID 9882873.

Granville Sewell, The 수치적 해결책 일반적 및 부분적 미분 방정식, 학술적 보도(1988) ISBN 0-12-637475-9

[Chandrasekhar-1] Chandrasekhar (1943). "Stochastic Problems in Physics and Astronomy". Rev. Mod. Phys. 15 (1): 1. Bibcode:1943RvMP...15....1C. doi:10.1103/RevModPhys.15.1. 등식(312) 참조

[2] Baukal과 Gershtein, p67, Google 북 링크에 의한 산업연소에서의 연산유체역학

[3] Tomas Stocker, p57, Google 북 링크에 의한 기후 모델링 소개

[Socolofsky-4] Advective Disposition 방정식, Scott A의 강의 노트. 소콜롭스키와 게르하르트 지르카, 웹 링크

[Bejan-5] Bejan A (2004). Convection Heat Transfer.

[Bird-6] Bird, Stewart, Lightfoot (1960). Transport Phenomena.{{cite book}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)

[Probstein-7] Probstein R (1994). Physicochemical Hydrodynamics.

[8] Ketterle, W.; Durfee, D. S.; Stamper-Kurn, D. M. (1999-04-01). "Making, probing and understanding Bose-Einstein condensates". arXiv:cond-mat/9904034.

[9] Brzozowski, Tomasz M; Maczynska, Maria; Zawada, Michal; Zachorowski, Jerzy; Gawlik, Wojciech (2002-01-14). "Time-of-flight measurement of the temperature of cold atoms for short trap-probe beam distances". Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. 4 (1): 62–66. Bibcode:2002JOptB...4...62B. doi:10.1088/1464-4266/4/1/310. ISSN 1464-4266. S2CID 67796405.

[10] Smoluchowski, M. v. (1915). "Über Brownsche Molekularbewegung unter Einwirkung äußerer Kräfte und den Zusammenhang mit der verallgemeinerten Diffusionsgleichung" (PDF). Ann. Phys. 4. Folge. 353 (48): 1103–1112. Bibcode:1915AnP...353.1103S. doi:10.1002/andp.19163532408.

[11] "Smoluchowski Diffusion Equation" (PDF).

[Doi-12] Doi & Edwards (1988). The Theory of Polymer Dynamics. pp. 46–52. ISBN 978-0-19-852033-7 – via Google Books.

[Dhont-13] J. K. G. Dhont, 페이지 195, 구글 북 링크에 의한 콜로이드의 역학 소개

[14] Zaccone, A.; Gentili, D.; Wu, H.; Morbidelli, M. (2009). "Theory of activated-rate processes under shear with application to shear-induced aggregation of colloids". Physical Review E. 80 (5): 051404. arXiv:0906.4879. Bibcode:2009PhRvE..80e1404Z. doi:10.1103/PhysRevE.80.051404. hdl:2434/653702. PMID 20364982. S2CID 22763509.

[15] Banetta, L.; Zaccone, A. (2019). "Radial distribution function of Lennard-Jones fluids in shear flows from intermediate asymptotics". Physical Review E. 99 (5): 052606. arXiv:1901.05175. Bibcode:2019PhRvE..99e2606B. doi:10.1103/PhysRevE.99.052606. PMID 31212460. S2CID 119011235.

[16] Banetta, L.; Zaccone, A. (2020). "Pair correlation function of charge-stabilized colloidal systems under sheared conditions". Colloid and Polymer Science. 298 (7): 761–771. arXiv:2006.00246. doi:10.1007/s00396-020-04609-4.

[17] Arabas, S.; Farhat, A. (2020). "Derivative pricing as a transport problem: MPDATA solutions to Black-Scholes-type equations". J. Comput. Appl. Math. 373: 112275. arXiv:1607.01751. doi:10.1016/j.cam.2019.05.023. S2CID 128273138.

[18] Hu, Yue (2015). "Simulation of a partially depleted absorber (PDA) photodetector". Optics Express. 23 (16): 20402–20417. Bibcode:2015OExpr..2320402H. doi:10.1364/OE.23.020402. hdl:11603/11470. PMID 26367895.

[19] Hu, Yue (2014). "Modeling sources of nonlinearity in a simple pin photodetector". Journal of Lightwave Technology. 32 (20): 3710–3720. Bibcode:2014JLwT...32.3710H. CiteSeerX 10.1.1.670.2359. doi:10.1109/JLT.2014.2315740. S2CID 9882873.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[16]

[17]

[18]

[19]

Search