상태 밀도

고체물리학 및 응축물리학에서 시스템의 상태 밀도(DOS)는 각 에너지에서 시스템이 차지하는 상태의 비율을 나타냅니다.상태 밀도는 D $D(E)=N(E)/V$ $=$ $D(E)=N(E)/V$ / $displaystyle$ D $(E$ )= $N(E)/V)$ 로 $D(E)=N(E)/V$ 됩니다. $N(E)\delta E$ 서 N $N(E)\delta E$ ) $(\displaystyle$ N $(E)\delta$ E $)$ 는 $N(E)\delta E$ 볼륨 $V$ (\ $displaystyle$ V $)$ 의 $V$ $에너지$ 범위에 있는 시스템 상태 수입니다.확률 밀도 함수에 의해 혈액학적으로 분포로 표현되며, 이는 일반적으로 시스템이 점유하는 다양한 상태의 공간과 시간 영역에 걸친 평균이다.상태 밀도는 시스템 속성의 분산 관계와 직접 관련이 있습니다.특정 에너지 수준에서 높은 DOS는 많은 상태를 점유할 수 있음을 의미합니다.

일반적으로 물질 상태의 밀도는 연속적이다.그러나 기체상의 원자 또는 분자와 같은 고립된 시스템에서는 밀도 분포가 스펙트럼 밀도처럼 이산적입니다.대부분의 경우 원래 시스템의 왜곡으로 인한 국지적 변화는 종종 국지적 상태 밀도(LDOS)라고 불립니다.

서론

양자역학 시스템에서 파동 또는 파동 유사 입자는 시스템에 의해 지시된 파장과 전파 방향을 가진 모드 또는 상태를 차지할 수 있습니다.예를 들어, 일부 시스템에서는 물질의 원자간 간격과 원자 전하로 인해 특정 파장의 전자만 존재할 수 있습니다.다른 시스템에서는 재료의 결정 구조가 파동을 한 방향으로 전파하는 동시에 다른 방향으로 전파하는 것을 억제할 수 있습니다.대부분의 경우 특정 상태만 허용됩니다.따라서, 다른 에너지 수준에서는 어떤 상태도 이용할 수 없는 반면, 많은 상태들이 특정 에너지 수준에서 점유할 수 있다는 것이 일어날 수 있습니다.

반도체에서 원자가와 전도대역 사이의 밴드 엣지에서의 전자 상태 밀도를 보면 전도대역의 전자에 대해 전자 에너지의 증가는 점유할 수 있는 더 많은 상태를 만든다.또는 에너지의 간격 동안 상태 밀도가 불연속적이며, 이는 물질의 밴드 갭 내에서 전자가 점유할 수 있는 상태가 없음을 의미합니다.또한 이 조건은 전도 대역 가장자리의 전자가 원자가 대역의 다른 상태로 전환하기 위해 적어도 물질의 밴드 갭 에너지를 손실해야 한다는 것을 의미합니다.

이는 물질이 절연체인지 아니면 전파 치수의 금속인지를 결정합니다.대역의 상태 수 결과는 전도 특성을 예측하는 데도 유용합니다.예를 들어, 1차원 결정 구조에서 원자당 홀수 개수의 전자는 반쯤 채워진 꼭대기 밴드가 되고, 페르미 레벨에는 자유 전자가 존재하여 금속이 된다.반면 짝수의 전자는 정확히 정수의 밴드를 채우고 나머지는 비워둔다.페르미 레벨이 가장 높은 점유 상태와 가장 낮은 빈 상태 사이의 점유 대역 간격에 있을 경우, 물질은 절연체 또는 반도체입니다.

양자역학계에 따라 전자, 광자 또는 포논에 대해 상태 밀도를 계산할 수 있으며 에너지 또는 파동 벡터 k의 함수로 나타낼 수 있습니다.에너지의 함수로서의 DOS와 파동 벡터의 함수로서의 DOS를 변환하려면 E와 k 사이의 시스템 고유의 에너지 분산 관계를 알아야 합니다.

일반적으로 밴드 구조와 같은 시스템의 토폴로지 특성은 상태 밀도의 특성에 큰 영향을 미칩니다.중성자별의 중성자, 금속의 자유 전자 가스(퇴화 물질과 페르미 가스의 예)와 같이 가장 잘 알려진 계는 3차원 유클리드 위상을 가지고 있다.흑연층의 2차원 전자 가스(2DEG)와 MOSFET 타입 디바이스의 양자 홀 효과 시스템과 같이 덜 친숙한 시스템은 2차원 유클리드 토폴로지를 가집니다.카본 나노튜브, 양자선, 1차원 위상을 가진 루팅어 액체는 더욱 덜 친숙하다.나노 기술과 재료 과학의 발전을 가정할 때 1D 및 2D 토폴로지를 가진 시스템이 더 일반화될 가능성이 높습니다.

정의.

볼륨 V 및 N 계산 가능 에너지 수준과 관련된 상태의 밀도는 다음과 같이 정의됩니다.

({displaystyle D(E)=paramfrac {1}{V}},\sum _{i=1}^{N}\delta(E-E({\mathbf {k} }_{i})).}

$치수$ d(\ $displaystyle$ d $)$ 및 $d$ $길이$ L(\ $displaystyle$ L $)$ 의 $L$ 상자 내 입자에 허용되는 $운동량$ k(\ $displaystyle$ k $)$ 의 $k$ 최소 변화는 $(\Delta k)^{d}=({\tfrac {2\pi }{L}})^{d}$ ( $(\Delta k)^{d}=({\tfrac {2\pi }{L}})^{d}$ k $(\Delta k)^{d}=({\tfrac {2\pi }{L}})^{d}$ $(\Delta k)^{d}=({\tfrac {2\pi }{L}})^{d}$ $(\Delta k)^{d}=({\tfrac {2\pi }{L}})^{d}$ ( $(\Delta k)^{d}=({\tfrac {2\pi }{L}})^{d}$ $(\Delta k)^{d}=({\tfrac {2\pi }{L}})^{d}$ L ) $(\Delta k)^{d}=({\tfrac {2\pi }{L}})^{d}$ (\ $display$ style (\ $Delta$ k)^{ $d}$ = display\ $tfrac {2\$ pi } { $L}$ {L} } } } } } } of , of } $(\Delta k)^{d}=({\tfrac {2\pi }{L}})^{d}$ of of of of of of of of of of of of of 벨은 다음과 같이 L $L\to \infty$ \ $displaystyle L$ \ $to$ \ infty $L\to \infty$ $}$ $L\to \infty$ 으로 구한다.

{\displaystyle D(E):=\int _{\mathbb {R}^{d}{\frac {mathrm {d}^{d}k}{(2\pi)}\cdot \cdot (E-E(\mathbf {k})}},

$d$ 서 d $\displaystyle$ d는 $d$ 고려된 시스템의 공간 차원이고 $\$ 는 $\mathbf {k}$ 파동 벡터입니다.

포물선 에너지 분산을 갖는 등방성 1차원 시스템의 경우 상태 밀도는 $D_{1D}(E)={\tfrac {1}{\pi \hbar }}({\tfrac {2m}{E}})^{1/2}$ D ( $D_{1D}(E)={\tfrac {1}{\pi \hbar }}({\tfrac {2m}{E}})^{1/2}$ $D_{1D}(E)={\tfrac {1}{\pi \hbar }}({\tfrac {2m}{E}})^{1/2}$ $D_{1D}(E)={\tfrac {1}{\pi \hbar }}({\tfrac {2m}{E}})^{1/2}$ $D_{1D}(E)={\tfrac {1}{\pi \hbar }}({\tfrac {2m}{E}})^{1/2}$ （ $D_{1D}(E)={\tfrac {1}{\pi \hbar }}({\tfrac {2m}{E}})^{1/2}$ m $D_{1D}(E)={\tfrac {1}{\pi \hbar }}({\tfrac {2m}{E}})^{1/2}$ ） $D_{1D}(E)={\tfrac {1}{\pi \hbar }}({\tfrac {2m}{E}})^{1/2}$ / $D_{1D}(E)={\tfrac {1}{\pi \hbar }}({\tfrac {2m}{E}})^{1/2}$ ({ $displaystyle D_{1D}(E$ ) = $tfrac {1}{\pi$ \hbar $D_{1D}(E)={\tfrac {1}{\pi \hbar }}({\tfrac {2m}{E}})^{1/2}$ （ ${\tfrac {m2$ }{ $E}})$ 이다. $_{2D}=tfrac$ { $m}{\pi$ \ $hbar ^{$ 2 $D_{2D}={\tfrac {m}{\pi \hbar ^{2}}}$ 반면 3차원에서는 $D_{3D}(E)={\tfrac {m}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}(2mE)^{1/2}$ ( $E$ $D_{3D}(E)={\tfrac {m}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}(2mE)^{1/2}$ 2 $D_{3D}(E)={\tfrac {m}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}(2mE)^{1/2}$ 3 $D_{3D}(E)={\tfrac {m}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}(2mE)^{1/2}$ 3 ( 2 m $D_{3D}(E)={\tfrac {m}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}(2mE)^{1/2}$ ) $D_{3D}(E)={\tfrac {m}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}(2mE)^{1/2}$ $D_{3D}(E)={\tfrac {m}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}(2mE)^{1/2}$ 2 ( $D_{3D}(E)={\tfrac {m}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}(2mE)^{1/2}$ ) $D_{3D}(E)={\tfrac {m}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}(2mE)^{1/2}$ {\ $pi ^2}{h$ }}가 $.$

마찬가지로 상태 밀도는 에너지와 관련하여 마이크로캐논컬 파티션 $Z_{m}(E)$ Z $Z_{m}(E)$ ( $Z_{m}(E)$ ) { $displaystyle Z_{m}(E)$ $Z_{m}(E)$ } (즉, 에너지가E { $displaystyle$ E $E$ $E$ 인 상태의 총 수)의 파생물로 이해할 수 있다.

D(E)={\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\mathrm {d} Z_{m}(E)}{\mathrm {d} E}}

(

D(E)={\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\mathrm {d} Z_{m}(E)}{\mathrm {d} E}}

)

D(E)={\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\mathrm {d} Z_{m}(E)}{\mathrm {d} E}}

D(E)={\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\mathrm {d} Z_{m}(E)}{\mathrm {d} E}}

V

D(E)={\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\mathrm {d} Z_{m}(E)}{\mathrm {d} E}}

D(E)={\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\mathrm {d} Z_{m}(E)}{\mathrm {d} E}}

Z

D(E)={\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\mathrm {d} Z_{m}(E)}{\mathrm {d} E}}

(

D(E)={\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\mathrm {d} Z_{m}(E)}{\mathrm {d} E}}

)

D(E)={\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\mathrm {d} Z_{m}(E)}{\mathrm {d} E}}

E

D(E)={\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\mathrm {d} Z_{m}(E)}{\mathrm {d} E}}

{ {

displaystyle

D ( E ) =

scdfrac {

1} {

V

} \

cdot

{ {

mathrm

{ d }

Z

_ {

m

（ E ） } { \

mathrm { d }

$에너지$ Eδ $(\$ E $')($ 축퇴도)를 가진 상태 수는 다음과 같이 구한다.

\displaystyle g\left(E'\right)=\lim _{\Delta E\to 0}\int _{E'}^{E'+\Delta E}D(E)=\lim _{\Delta E\to 0}D\left(E'\right)\Delta E,}

여기서 마지막 등식은 적분에 대한 평균값 정리가 유효할 때만 적용됩니다.

대칭

FCC 격자의 첫 번째 Brilouin 구역, 잘린 8면체. 높은 대칭 선과 점의 대칭 레이블을 보여줍니다.

DOS 계산을 수행할 수 있는 시스템 및 상태 유형은 매우 다양합니다.

일부 응집 물질 시스템은 미시적 규모의 구조적 대칭을 가지고 있으며, 이는 상태 밀도의 계산을 단순화하는 데 이용될 수 있다.구대칭 시스템에서는 계산의 모든 변수가 분산 관계의 반경 파라미터에만 의존하기 때문에 함수의 적분은 1차원입니다.유체, 유리 및 비정질 고체는 분산 관계가 회전 대칭을 갖는 대칭 시스템의 예입니다.

팔면체

분말 또는 다결정 샘플에 대한 측정은 관심 시스템의 분산 관계에 대한 평가 및 계산 함수 및 전체 영역(대부분 Brilouin 구역)의 적분이 필요합니다.때때로 시스템의 대칭성이 높기 때문에 시스템의 분산 관계를 설명하는 함수의 모양이 분산 관계의 전체 영역에 걸쳐 여러 번 나타납니다.이러한 경우, DOS를 계산하기 위한 노력이 감소된 영역 또는 ^[1]기본 영역으로 제한될 경우 큰 폭으로 감소될 수 있다.오른쪽 그림에서 면중심입방격자(FCC)의 브릴루인 구역은 완전한 팔면체 대칭을 가진 점군_h O의 48배 대칭을 가진다.이 설정은 Brilouin 존의 전체 도메인에 대한 통합을 Brilouin 존 전체의 48분의 1로 줄일 수 있음을 의미합니다.결정구조 주기율표에서 알 수 있듯이, 다이아몬드, 실리콘, 플래티넘과 같이 FCC 결정구조를 가진 많은 원소가 있으며, 그 브릴루인 존과 분산관계는 이 48배의 대칭을 가지고 있다.다른 두 가지 친숙한 결정 구조는 각각 입방체 격자와 육방체 격자를 가진 육방체 중심 입방체 격자(BCC)와 육방체 폐쇄형 패킹 구조(HCP)이다.BCC 구조는 점군_h T의 24배 열면체 대칭을 가진다.HCP 구조는 점군_3h D의 12배 프리즘 이면체 대칭을 가진다.점군의 대칭 특성 전체 목록은 점군 문자 테이블에서 찾을 수 있습니다.

일반적으로 시스템의 대칭성이 높고 분산 관계의 위상 차원 수가 적을 때 DOS를 계산하는 것이 더 쉽습니다.회전 대칭을 갖는 분산 관계의 DOS는 종종 분석적으로 계산될 수 있습니다.강철과 실리콘과 같이 실용적으로 관심이 있는 많은 재료들이 높은 대칭성을 가지고 있기 때문에 이 결과는 다행입니다.

화합물의 단결정과 같은 이방성 응축물질 시스템에서 상태 밀도는 결정학적 방향과 다른 방향에서 다를 수 있다.이로 인해 상태의 이방성 밀도는 시각화하기 어려워지고 특정 점이나 방향에 대해서만 DOS를 계산하거나 특정 결정 방향에 대한 PDOS(Projected Density of State)를 계산하는 등의 방법이 필요할 수 있습니다.

k공간 위상

그림 1: 3차원 전자에 대한 k공간 구면

상태의 밀도는 물체 자체의 치수 한계에 따라 달라집니다.3개의 직교 파라미터(3차원)로 기술된 시스템에서는 DOS의 단위는 EnergyVolume⁻¹⁻¹, 2차원 시스템에서는 DOS의 단위는 EnergyArea⁻¹⁻¹, 1차원 시스템에서는 DOS의 단위는⁻¹⁻¹ EnergyLength입니다.참조 부피는 k-공간의 부피이다. 즉, E와 k와 관련된 분산 관계를 통해 도출된 시스템의 일정한 에너지 표면으로 둘러싸인 공간이다.그림 1에 3차원 k공간의 예를 제시하였다.계의 차원성은 계 내부의 입자의 운동량을 제한한다는 것을 알 수 있다.

파동 벡터 상태 밀도(구면)

DOS의 계산은 시스템 볼륨 내의 [k, k + dk] 내에 포함된 특정 k에서 N개의 허용 상태를 카운트하는 것으로 시작합니다.이 절차는 k에 대해 임의의 k차원에서 k공간 볼륨 $\Omega _{n,k}$ n , $\Omega _{n,k}$ \ $displaystyle \Omega$ _ ${n,k}$ 전체를 $\Omega _{n,k}$ n차원으로 미분함으로써 수행됩니다.3, 2 또는 1차원 구형 k-공간에서의 부피, 면적 또는 길이는 다음과 같이 표현된다.

\displaystyle \Omega _{n}(k)=c_{n}k^{n}

위상적으로 결정된 상수가 있는 n차원 k-공간의 경우

c_{1}=2,\c_{2}=\pi,\c_{3}=black{4\pi}{3}

선형, 디스크 및 구형 대칭 형상 함수의 경우 각각 1, 2 및 3차원 유클리드 k-공간에서 수행한다.

이 스킴에 따르면 파동 벡터 상태 N의 밀도는 k에 대한 $\Omega _{n,k}$ n $\Omega _{n,k}$ \ $Omega$ _ ${n,$ k $\Omega _{n,k}$ })를 미분함으로써 다음과 같이 표현된다.

{{displaystyle N_{n}(k)=paramfrac {\rm {d}\Omega _{n}(k)}{\rm {d}}k}=n\;c_{n}\;k^{n-1}}

선, 디스크 또는 구에 대한 파동 벡터 상태의 1, 2 및 3차원 밀도는 다음과 같이 명시됩니다.

디스플레이 스타일N_{1}(k)&=2\N_{2}(k)&=2\pi k\N_{3}(k)&=4\pi k^{2}\end {aligned}}

하나의 상태는 파장 θ의 입자를 포함할 수 있을 정도로 크다.파장은 관계를 통해 k와 관련이 있습니다.

k=syslogfrac {2\pi}{\syslogda }

양자계에서는 θ의 길이는 입자를 가두는 시스템 L의 특성 간격에 따라 달라진다.마지막으로 상태 N의 밀도에 $s/V_{k}$ s $/$ k(\ $displaystyle$ s $/V_{k$ 를 곱한다.여기서 s는 스핀 또는 편광과 같은 물리적 현상에 의한 내부 자유도를 설명하는 일정한 축퇴계수이다.이러한 현상이 존재하지 않는 $s=1$ $s=1$ $=$ 1 {\ $displaystyle s$ 1} . V는_k 시스템의 특성 간격에 의해 결정되는 최소 파형 벡터보다 작은 k 공간 부피입니다.

에너지 상태 밀도

DOS 계산을 완료하려면 [E, $[E,E+dE]$ + $[E,E+dE]$ E $](\$ displaystyle $[E, E+dE$ 내의 $에너지$ E(\ $displaystyle$ E $)$ 에서 $E$ 단위 샘플 볼륨당 상태 수를 찾습니다.시스템의 일반적인 DOS 형식은 다음과 같습니다.

D_{n}\left(E\right)=param frac {\rm {d}\Omega _{n}(E)}{\rm {d}}E}}

지금까지 스케치된 스킴은 단조롭게 상승하는 구형 대칭 분산 관계에만 적용됩니다.일반적으로 $E(k)$ E $E(k)$ )(\ $displaystyle E($ k))는 $E(k)$ 구체대칭이 아니며 많은 경우 지속적으로 상승하지 않습니다.D를 E의 함수로 표현하려면 $E(k)$ E $k)$ 의 역수(\ $displaystyle$ E $(k))$ 를 $E(k)$ k의 함수로서 $k)$ 의 $\Omega _{n}(k)$ 식에 대입하여 $displaystyle \Omega_{n}(k))$ 의 $\Omega _{n}(E)$ 식을 $\Omega _{n}(E)$ 얻어야 합니다.분산 관계가 구대칭이거나 연속적으로 상승하지 않고 쉽게 반전할 수 없는 경우 대부분의 경우 DOS를 수치로 계산해야 합니다.보다 자세한 파생 정보를 이용할 ^[2]^[3]수 있습니다.

분산 관계

고체 내 전자의 분산 관계는 전자 밴드 구조에 의해 주어진다.

입자의 운동 에너지는 파동 벡터 k의 크기와 방향, 입자의 특성과 입자가 움직이는 환경에 따라 달라집니다.예를 들어, 페르미 가스에서 전자의 운동 에너지는 다음과 같이 주어진다.

E=E_{0}+{\frac {\left(\hbar k\right)^{2}}{2m}\,

여기서 m은 전자 질량입니다.분산관계는 구대칭 포물선이며 DOS를 쉽게 계산할 수 있도록 연속적으로 상승하고 있습니다.

그림 2: 단원자 연쇄 포논 분산 관계

원자열의 세로 방향 포논의 경우 그림 2와 같이 1차원 k-공간에서 운동에너지의 분산 관계는 다음과 같다.

({displaystyle E=2\hbar \obe_{0}\left \sin \leftfrac {ka}{2}\right }

$\omega _{0}={\sqrt {k_{\rm {F}}/m}}$ 서 § 0 $=$ $\omega _{0}={\sqrt {k_{\rm {F}}/m}}$ / $\omega _{0}={\sqrt {k_{\rm {F}}/m}}$ {\ $displaystyle$ \ $obega$ _ ${0$ }= $subrt {k_{\rm$ { $F}/m}}$ 은 $\omega _{0}={\sqrt {k_{\rm {F}}/m}}$ 발진기 주파수, $m$ {\ $displaystyle$ m $}$ 은 $m$ 원자의 질량, $k_{\rm {F}}$ $F$ 는 $k_{\rm {F}}$ 원자간 힘 상수 $및$ \ $style\$ rm {F}은 원자간 간격을 $a$ $표시$ 합니다. $k\ll \pi /a$ $k\ll \pi /a$ $k\ll \pi /a$ / $k\ll \pi /a$ \ $displaystyle$ k \ll $\pi$ / $a }$ 값이 $k\ll \pi /a$ 작을 경우 분산 관계는 선형입니다.

E=\hbar \mega_{0}ka

k $k\approx \pi /a$ / $k\approx \pi /a$ \ $style$ k \ $approx$ \ $pi$ / a $k\approx \pi /a$ 。에너지는 다음과 같습니다.

(\displaystyle E=2\hbar \mega _{0}\left \cos \left\frac {pi - ka} {2}}\right }

$q=k-\pi /a$ $q=k-\pi /a$ $q=k-\pi /a$ - $q=k-\pi /a$ / $q=k-\pi /a$ {\ $displaystyle$ q $=k-\pi /a}$ 및 $q=k-\pi /a$ $small$ q {\ $displaystyle$ q}를 $q$ 사용하여 이 관계를 다음과 같이 변환할 수 있습니다.

({displaystyle E=2\hbar \mega _{0}\left[1-\leftfrac {qa}{2}\right])^{2}\right])

등방성 분산 관계

여기에 언급된 두 가지 예는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

E=E_{0}+c_{k}k^{p

이 표현식은 두 파형의 성질을 상호 관련짓기 때문에 일종의 분산 관계이며 파형의 벡터의 방향이 아닌 길이만 표현식에 나타나기 때문에 등방적입니다.파동 벡터의 크기는 에너지와 다음과 같이 관련됩니다.

k=\leftfrac {E-E_{0}}{c_{k}}\right}^{\frac {1}{p}}\,

따라서 k보다 작은 파동 벡터를 포함하는 n차원 k 공간의 부피는 다음과 같다.

\displaystyle \Omega _{n}(k)=c_{n}k^{n}

등방성 에너지 관계의 치환은 점유 상태의 부피를 제공합니다.

\Omega _{n}(E)=snfrac {c_{n}}{\frac {n}}}{\left(E-E_{0}\right)^{\frac {n}{p}\,}}

에너지와 관련하여 이 부피를 미분하면 등방성 분산 관계의 DOS에 대한 식을 얻을 수 있습니다.

D_{n}\left(E\right)=param frac {d}{dE}}\Omega _{n}(E)=subscfrac {nc_{n}}{p{c_{k}}^{\frac {n}{p}}}}\left(E-E_{0}\right)^{\frac {n}{p}-1}}

포물선 분산

그림 3: 3차원 k공간에서의 자유 전자 DOS

페르미 가스의 자유 전자에 적용되는 것과 같은 포물선 분산 관계(p = 2)의 경우, n차원 시스템의 전자에 대한 상태 $D_{n}\left(E\right)$ D $D_{n}\left(E\right)$ ( $D_{n}\left(E\right)$ ) \ $displaystyle D_{n}\left(E\right$ 는 다음과 같습니다.

디스플레이 스타일D_{1}\left(E\right)&=paramfrac {1}{\paramrt {c_{k}\left(E-E_{0}\right)}}\D_{2}\left(E\right)&=frac {c_{k}\D_{3}\left(E\right)&=2\pi {frac {E_{0}{c_{k}}{\endaligned}

$D(E)=0$ $E>E_{0}$ > $E>E_{0}$ 0 $E>E_{0}$ （ \ $display$ $style$ $E$ > $E_{$ 0 $E>E_{0}$ } 、 D $D(E)=0$ ( $D(E)=0$ ) $D(E)=0$ ( \ $displaystyle$ $D(E)=0$ D ( E ) = $0$ ） $、$ $E<E_{0}$ < $_$ { $0$ } 。

1차원 시스템에서는 E $(\displaystyle$ E $)$ 가 $E$ $(\$ 로 떨어짐에 $따라$ DOS가 대역 하단에서 분산됩니다. 2차원 시스템에서는 DOS가 E $(\displaystyle$ E $E$ 와 독립적입니다. 마지막으로 3차원 시스템에서는 ^[4]DOS가 에너지의 제곱근으로 상승합니다.

$s/V_{k}$ s $s/V_{k}$ k(\ $displaystyle s/V_{$ k $s/V_{k}$ 를 포함하면 3D DOS의 표현은 다음과 같습니다.

N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}

(

N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}

)

N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}

N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}

2

N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}

2 (

N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}

m

N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}

2 )

N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}

N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}

E -

N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}

( \

display style

N ( E ) =

pi

frac {

V

} {

2

\

left

\

frac

{ 2

m

} { \

hbar ^

{ 2 } } \

right )^{\ frac

} { 0 . 0 .

E }

$V$ 서 V $(\displaystyle$ V $)$ 는 $V$ 총 볼륨이고 N $N(E-E_{0})$ - $N(E-E_{0})$ $){displaystyle$ N $(E-E_{0})$ 은 $N(E-E_{0})$ 2배 스핀 축퇴를 포함합니다.

선형 분산

광자, 음향 포논 또는 고체의 일부 특수 전자 대역에 적용되는 것과 같은 선형 관계(p = 1)의 경우, 1, 2, 3차원 시스템의 DOS는 다음과 같이 에너지와 관련됩니다.

디스플레이 스타일D_{1}\left(E\right)&=black {1}{c_{k}\D_{2}\left(E\right)&=black {2\pi}{c_{k}{2}\left(E-E_{0}\right)\\D_{3}\left(E\right)&=frac {4\pi}{c_{k}{3}}\left(E-E_{0}\right)^2}\end{aligned}}}

전달 기능

상태의 밀도는 고체의 운동 이론에서 중요한 역할을 한다.상태 밀도와 확률 분포 함수의 곱은 열 평형 상태에 있는 시스템의 주어진 에너지에서 단위 부피당 점유 상태의 수입니다.이 값은 물질의 다양한 물리적 특성을 조사하는 데 널리 사용됩니다.다음은 두 가지 공통 분포 함수를 사용하여 상태 밀도에 분포 함수를 적용하는 것이 어떻게 물리적 특성을 발생시킬 수 있는지에 대한 예입니다.

그림 4: Fermi-Dirac 확률 분포, 상태 밀도 및 반도체용 제품.하부 녹색 로브는 홀 에너지를 나타내므로 f

f(-x)

-

f(-x)

) {

displaystyle

f

(-x)}

를

f(-x)

분배 함수로

f(-x)

합니다.

페르미-디락 통계:페르미-디락 확률 분포 함수 그림 4는 페르미온이 열평형 상태에서 특정 양자 상태를 점유할 확률을 찾는 데 사용된다.페르미온은 파울리 배타 원리를 따르는 입자(예: 전자, 양성자, 중성자)입니다.배포 함수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}

D

f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}

(

f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}

)

f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}

f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}

exp

f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}

(

f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}

E -

f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}

f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}

f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}

) +

f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}

( \

display

f

_

{ \

mathrm

{ FD } } ( E ) =

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E

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} { k _ { \

mathrm

{

B }

} } } }

f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}

} } )

1

。

$\mu$ μ $({displaystyle \mu})$ 는 $\mu$ 화학 퍼텐셜(E라고도 하며_F T=0일 때 페르미 레벨이라고도 함), $k_{\mathrm {B} }$ B $({$ 는 $k_{\mathrm {B} }$ 볼츠만 상수, $({displaystyle$ T})는 $T$ 온도이다.그림 4는 페르미-디락 분포 함수와 반도체 상태의 3차원 밀도의 곱이 반송파 농도 및 에너지 밴드 간격 등의 물리적 특성을 어떻게 파악할 수 있는지를 보여준다.

보스-아인슈타인 통계:보스-아인슈타인 확률 분포 함수는 보손이 열 평형 상태에서 특정 양자 상태를 차지할 확률을 찾는 데 사용된다.보손은 파울리 배타원리에 따르지 않는 입자(예를 들어 포논과 광자)이다.배포 함수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

f_{\mathrm {BE} }(E) = flac {1} {\exp \leftfrac {E-\mu } {k_{\rm {B}}T}}\right)-1}

이 두 분포로부터 내부 $에너지$ U(\ $displaystyle$ U $U$ $입자$ 수N(\ $displaystyle$ N $N$ 특정 $열용량$ C(\ $displaystyle$ C $C$ 및 $열전도율$ k(\ $displaystyle$ k $k$ 등의 특성을 계산할 수 있습니다.상태 밀도를 D $E)$ $D(E)$ g $E)(\$ $displaystyle$ $g(E)$ D $(E$ 로 $g(E)$ 나타내는 이러한 특성과 상태 밀도의 곱 및 확률 분포의 관계는 다음과 같다.

디스플레이 스타일U&=\int E, f(E), g(E), {\rm {d}}E\\N&=\int f(E),g(E),{\rm {d}}E\\\C&=capfrac {\cap T}\int E,f(E),g(E),{\rm {d}E\k&=cap frac {1}{\frac T}\int Ef(E),g(E)\nu(E)

$d$ {\ $displaystyle$ d $}$ 는 $d$ 치수, ${\$ ${\displaystyle$ \nu $}$ 는 $\nu$ 음속, ${\$ {\ $displaystyle \Lambda}$ 는 $\Lambda$ 평균 자유 경로입니다.

적용들

상태의 밀도는 물리학의 많은 영역에서 나타나며, 많은 양자역학 현상을 설명하는데 도움을 준다.

양자화

작은 구조의 상태 밀도를 계산하면 차원성이 감소함에 따라 전자의 분포가 변한다는 것을 알 수 있습니다.양자선의 경우 특정 에너지의 DOS는 실제로 벌크 반도체의 DOS보다 높아지며 양자 점의 경우 전자는 특정 에너지로 양자화됩니다.

광결정

상태의 광자 밀도는 빛의 파장 순서로 길이 척도가 있는 주기적 구조를 사용하여 조작할 수 있다.일부 구조는 특정 색(에너지)의 빛의 전파를 완전히 억제하여 광자 밴드 갭을 만들 수 있습니다. 이러한 광자 에너지에 대해 DOS는 0입니다.다른 구조물은 거울, 도파관 및 공동을 만들기 위해 특정 방향으로만 빛의 전파를 억제할 수 있습니다.그러한 주기적인 구조는 ^[5]^[6]^[7]^[8]광결정이라고 알려져 있다.나노구조 미디어에서는 로컬 밀도 상태(LDOS)의 개념이 DOS보다 더 적절한 경우가 많습니다.이는 DOS가 포인트마다 상당히 다르기 때문입니다.

계산

흥미로운 시스템은 일반적인 복합체, 예를 들어 화합물, 생체분자, 중합체 등에 있다.이러한 시스템의 복잡성 때문에 대부분의 경우 상태 밀도의 분석 계산이 불가능합니다.컴퓨터 시뮬레이션은 상태 밀도를 높은 정확도로 평가하기 위한 일련의 알고리즘을 제공합니다.이러한 알고리즘 중 하나는 Wang과 Landau ^[9]알고리즘이라고 불립니다.

왕(王)과 란다우(Landau) 체계에서는 국가의 밀도에 대한 사전 지식이 필요하다.하나는 다음과 같이 진행됩니다. 시스템의 비용 함수(예를 들어 에너지)가 이산됩니다.bin i에 도달할 때마다 상태 $g(i)$ 에 대한 히스토그램 $g(i)$ g $g(i)$ ( $g(i)$ ) \ $displaystyle$ g( $i)$ $g(i)$ 이 업데이트됩니다.

\displaystyle g(i)\오른쪽 화살표 g(i)+f}

여기서 f를 수정 계수라고 합니다.예를 들어 히스토그램의 각 빈을 특정 횟수(10~15회) 방문하는 즉시 수정 계수는 다음과 같은 몇 가지 기준으로 감소합니다.

f_{n+1}\rightarrow {frac {1}{2}}f_{n

여기서 n은 n번째 업데이트 단계를 나타냅니다.The simulation finishes when the modification factor is less than a certain threshold, for instance $f_{n}<10^{-8}$ .

Wang 알고리즘과 Landau 알고리즘은 멀티 음성 시뮬레이션 및 병렬 감쇠 등 다른 일반적인 알고리즘에 비해 몇 가지 이점이 있습니다.예를 들어 상태의 밀도를 시뮬레이션의 주요 산물로 구한다.또한 Wang과 Landau 시뮬레이션은 온도와 완전히 독립적입니다.이 기능은 ^[10]단백질과 같은 매우 거친 에너지 지형을 가진 시스템의 상태 밀도를 계산할 수 있게 합니다.

수학적으로 상태 밀도는 표지 ^[11]지도의 탑으로 공식화된다.

상태의 국소 밀도

DOS 정의의 중요한 특징은 모든 시스템으로 확장할 수 있다는 것입니다.그 특성 중 하나는 번역 불변성입니다. 즉, 상태의 밀도가 균질하고 시스템의 각 지점에서 동일하다는 것을 의미합니다.그러나 이것은 단지 특수한 경우에 불과하며 LDOS는 시스템을 통해 이질적인 상태의 밀도로 더 넓은 설명을 제공합니다.

개념.

Local Density of State(LDOS; 로컬 상태 밀도)는 공간 분해 상태의 밀도를 나타냅니다.예를 들어 재료과학에서 이 용어는 주사터널링현미경(STM)으로부터의 데이터를 해석할 때 유용하다.이 방법은 원자 분해능으로 상태의 전자밀도를 촬영할 수 있기 때문이다.결정구조에 따르면 이 양은 예를 들어 밀도함수이론과 같이 계산방법에 의해 예측될 수 있다.

일반적인 정의

국소적인 상태의 밀도에서는 각 상태의 기여는 해당 지점의 파동 함수의 밀도에 의해 가중됩니다. $)$ { $displaystyle$ N $(E)}$ 이 $N(E)$ $n(E,x)$ 가) N( $n(E,x)$ $)$ { $displaystyle$ n $(E, x$ )}이(가) 됩니다.

n(E,x)=\sum _{j} \phi _{j}(x)^{2}\display (E-\varepsilon _{j})

§ $|\phi _{j}(x)|^{2}$ ( $|\phi _{j}(x)|^{2}$ ) $|\phi _{j}(x)|^{2}$ (\ $displaystyle \phi$ _ ${j}(x) ^{2$ })의 $|\phi _{j}(x)|^{2}$ 계수는 밀도가 높은 영역에서 각 상태가 더 많이 기여함을 의미합니다.이 식의 평균 x $(\displaystyle$ x $)$ 를 $x$ $x$ 하면 DOS의 일반 공식이 복원됩니다.LDOS는 $n(E,x)$ $n(E)$ ( $n(E)$ $n(E,x)$ , $n(E,x)$ x $n(E,x)$ ) \ $displaystyle$ n ( $E$ , $n(E,x)$ ) \ displaystyle n ( E , $x$ )이 $n(E,x)$ n ( $n(E)$ E $n(E)$ ) \ $displaystyle$ n ( $n(E)$ E ) \ displaystyle n ( E ) n $n(E)$ n n n $n(E)$ n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

벽이 있는 1차원 시스템의 경우 사인파는

n_{1D}(E,x)=pi\hbar}}{\displayrt {2m}{E}}\sin^{2}{kx

$k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ 서 k $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ / $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ （ { $displaystyle$ k = $rt$ {rt { 2 $mE$ } } / \ $hbar$ 。

$x>0$ > $x>0$ < $displaystyle$ x $> 0$ 의 $x>0$ 3차원 시스템에서는, 식은 다음과 같습니다.

n_{3D}(E,x)=\left(1-{\frac {2kx}}{2kx}}\right)n_{3D}(E)

사실, 우리는 상태의 국소 밀도를 더 일반화할 수 있다.

\displaystyle n(E,x,x')=\sum _{j}\phi _{j}(x)\phi _{j}{*}(x')\display (E-\varepsilon _{j})

이것은 스펙트럼 함수라고 불리며 각각의 파동 함수가 각각 다른 변수로 있는 함수입니다.좀 더 진보된 이론에서는 이것이 그린의 함수와 연결되며 광학 흡수 등의 결과를 간략하게 표현합니다.

공간이 상태의 로컬 밀도를 해결했습니다.드레인 바이어스 Vd=0에서 나노와이어 MOSFET에서 게이트 바이어스가 변화하는 일련의 화상.6V. 게이트 바이어스가 증가함에 따라 이동하는 제한 에너지 레벨에 주목하십시오.

솔리드 스테이트 디바이스

LDOS를 사용하면 솔리드 스테이트 디바이스에서 이익을 얻을 수 있습니다.예를 들어 오른쪽 그림은 탄도 시뮬레이션에서 트랜지스터가 켜지거나 꺼지는 LDOS를 보여줍니다.LDOS의 소스 및 드레인에는 밴드 에지 위치에 해당하는 명확한 경계가 있습니다.채널에서 DOS는 게이트 전압이 증가하고 잠재적 장벽이 낮아짐에 따라 증가합니다.

광학 및 광자학

광학 및 광자학에서 상태의 국소 밀도 개념은 광자가 점유할 수 있는 상태를 말한다.빛의 경우 일반적으로 형광 방법, 근거리 주사 방법 또는 음극 발광 기술로 측정됩니다.다른 광자 구조에 대해 LDOS는 다른 행동을 하며 다양한 방식으로 자연 방출을 제어합니다.포토닉 결정에서는, 0에 가까운 LDOS가 예상되어 자연 ^[12]방출의 억제를 일으킨다.LDOS는 여전히 광결정체이지만 지금은 캐비티 안에 있다.이 경우 LDOS는 훨씬 더 강화될 수 있으며 자연 ^[13]^[14]방출의 Purcell 강화에 비례합니다.플라스몬성 ^[15]캐비티에서도 비슷한 LDOS 강화가 예상된다.그러나 무질서한 광나노구조에서는 LDOS는 다르게 동작한다.통계는 구조물의 ^[16]산란 강도에 비례하여 공간적으로 변동합니다.로 LDOS 여전히 강하게 방출의 강한 퍼셀 향상의 형태로 강한 장애의 짧은 세부 사항에 영향을 받을 수 있는 게다가, 산란의 평균 자유 행정과 관계는 미미합니다.로 a로 관찰된다[17]그리고plasmonic 장애를 이 효과는 훨씬 LDOS 변화에 강하다.강력한 근거리 위치 파악.^[18]

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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외부 링크

온라인 강의:ECE 606 강의 8: M에 의한 상태 밀도.알람
과학자들이 빛나는 물질에 빛을 발하는 포토닉 LDOS 측정법

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서론

정의.

대칭

k공간 위상

파동 벡터 상태 밀도(구면)

에너지 상태 밀도

분산 관계

등방성 분산 관계

포물선 분산

선형 분산

전달 기능

적용들

양자화

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