이심분할

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기하학에서 이변소분할은 임의의 볼록 다면체를 삼각형으로, 볼록 다면체를 사면체로, 또는 일반적으로 볼록 다면체를 같은 치수의 단순체로 나누는 표준적인 방법으로서 얼굴의 쌍면체를 특정한 방법으로 연결한다.

이 명칭은 세포단지에 대한 유사한 작동을 위해 위상에서도 사용된다. 그 결과는 기하학적 연산의 그것과 위상적으로 동등하지만, 그 부분들은 임의의 모양과 크기를 가지고 있다. 이것은 유한분할규칙의 예다.

두 연산 모두 수학 및 기하학적 모델링에서 특히 일부 함수나 형상이 스플라인에 의해 근사치로 추정되어야 할 때마다 많은 응용 프로그램을 가지고 있다.

심플렉스 이심분할

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -차원$$ 심플렉스 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 편심분할(Henceforth BCS)은 (n + 1)로 구성된다! ${\displaystyle n}$ $[\displaystyle n}$ -차원적$$ 단순화. Each piece, with vertices ${\displaystyle v_{0},v_{1},\dots ,v_{n}}$, can be associated with a permutation ${\displaystyle p_{0},p_{1},\dots ,p_{n}}$ of the vertices of ${\displaystyle S}$, in such a way that each vertex ${\displaystyle v_{i}}$ is thp ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{},}$ …,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 포인트의 bary중심$.$

특히 단일점(0차원 심플렉스)의 BCS는 그 점 자체로 구성된다. 라인 세그먼트(1-simplex) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$의 BCS는 $두{\displaystyle }$ 개의 작은 세그먼트로 구성되며$$, 각 세그먼트는 $S{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle S}$ 자체의 중간 지점(1-densis style $S}$에 S {\$displaysty$ S}의 끝점(0-dension face)을 각각 연결한다.

삼각형 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 BCS는 이를 6개의 삼각형으로 나눈다$$. 각 부분은 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 바리센터에는$$ 정점 ${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $v_{$2}}$개$$,$ 일부 측면의 중간 지점에 다른$$ 정점 v $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$}$를 가지고 있다$$.꼭지점

사면체 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 BCS는 이를 24개의 사면체로 나눈다$$. 각 부분은 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 중심에 정점 하나가 있고$,$ 어떤 면에 정점이 있고, 어떤 면에 정점을 따라 정점이 있으며, $마지막{\displaystyle }$ 정점이 S ${\displaysty S}$의 정점에 있다$.$

BCS의 중요한 특징은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -차원$$ 심플렉스(simplex)의 최대 $직경$이 ${\displaystyle \frac{최소한}{}}$ n ${\displaystyle \frac{+}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\$} 인자에 의해 축소된다는 점이다$.$^[1]

볼록 폴리토프의 편심분할

Another way of defining the BCS of a simplex ${\displaystyle S}$ is to associate each part to a sequence ${\displaystyle F_{0},F_{1},\dots ,F_{n}}$ of faces of ${\displaystyle S}$, with increasing dimensions, such that ${\displaystyle F_{i}}$ is a facet of ${\displ$$aystyle F_{i+1},$i ${\displaystyle i}$의 경우 $0$부터 n${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$까지 ${\displaystyle n-1$ 그러면 해당 조각의$$ 각 꼭지점 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 $면{\displaystyle {}_{}}$ F ${\displaystyle i_{}}${\$displaystystyle F_{i}}}}$의 barycenter가 된다$.$

이 대체 정의는 임의 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -차원$$ 볼록 폴리토프의 BCS까지 확장하여 n ${\displaystyle n}$ -심플리스를$$ 여러 개 $사용$할 수 있다. Thus the BCS of a pentagon ${\displaystyle P}$, for example, has 10 triangles: each triangle is associated to three elements ${\displaystyle F_{0},F_{1},F_{2}}$ of ${\displaystyle P}$ — respectively, a corner of ${\displaystyle P}$, a side of ${\displaystyle P}$ incident to that corner, 그리고 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ 그 자체$$.

마찬가지로 큐브의 BCS는 48개의 테트라헤드로 구성되며, 각각은 중첩 원소의 $F$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{F\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 정점, 가장자리, 면 및 전체 큐브와 연관되어 있다. $F{\displaystyle {}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $F_{0},$$$${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $F_{1$$}:{$1$},$ $$F 2 ${\$ $F_{$$0},$ ${1}$등 $8가지 옵션$이 ${\displaystyle {있다는\mathrm{}}_{}}$ 점에 ${\displaystyle {유의}_{}}$하십시오.$$$$

위상에서의 이심분할

편심분할은 단순한 호몰로지 이론에서 중요한 도구로, 보다 미세한 단순화 콤플렉스를 획득하는 수단(즉, 보다 단순한 것을 포함하는 것)으로 사용된다. 이는 또한 각 단순화 콤플렉스에 대한 충분한 분할을 고려하여 (완료) 단순화 맵에 의해 폴리헤드라 사이의 연속적인 기능을 근사할 수 있다고 대략 기술하는 단순 근사치 정리에 결정적이다. 궁극적으로 이 근사치 기법은 단순 호몰로지 집단이 위상학적 불변성분이라는 방증에서 표준 성분이다.^[1][2]

세포단지에 대해서도 이심분할의 일반화를 정의할 수 있다. 비공식적으로, 그러한 물체는 하나 이상의 고무 덩어리를 조립한 것으로 생각될 수 있는데, 각각은 볼록한 폴리토프처럼 생겼으며, 이것은 아마도 많은 스트레칭과 비틀림과 함께 서로 달라붙어 있다.

위상학 버전의 BCS는 각각의 셀을 고무 단순화 조합으로 대체하는데, 마찬가지로 면으로 접착되어 변형될 수 있다. 이 절차는 (1) 각 셀에 대해 발생률과 위상학적 연결을 보존하는 기하학적 볼록 폴리토프로 변환하는 변형 지도를 선택하고, (2) 이 폴리토프에서 기하학적 BCS를 수행한 다음, (3) 결과 분할을 원래의 셀에 다시 매핑한다.

이심분할의 결과는 추상적인 단순화 콤플렉스로 볼 때 국기 콤플렉스의 한 예다. 원래 세포단지의 모든 세포에 대한 정점 1개와 깃발(차원이 다른 세포의 집합체, 모두 포함에 의해 서로 관련됨)에 대한 최대 차원 세포 1개를 가지고 있다.

적용들

이심분할은 주로 임의로 복잡한 볼록 폴리토프나 위상세포 복합체를 조각들의 집합으로 대체하는데 사용되는데, 그 모든 것이 경계가 되는 복잡성(단순함, 사실)이 있다. 전형적인 애플리케이션은 조각으로 정의된 다항식 기능인 스플라인에 의해 차체의 모양을 모델링하는 것이다. 그러한 기능의 대수학은 각 "피스"가 "토폴로지 삼각형"인 경우, 즉 정확히 다른 세 개의 피스에 부착되는 경우 훨씬 간단해지고 프로그래밍이 쉬워진다. 그러나, 인간 사용자는 보다 자유로운 모양과 위상이 있는 패치를 결합하여 모양을 설계하는 것이 더 자연스럽다고 생각할 수 있다. 이심분할은 "사용자에게 친숙한" 모델을 "컴퓨터 친화적인" 모델로 전환하는 편리한 방법이다.

반복되는 이심분할

스플라인으로 수학적 함수나 표면을 근사할 때, 근사치의 정확도는 보통 조각 크기에 의해 결정된다. 조각이 클수록 오차가 커진다. 따라서 규정된 정확도를 얻기 위해서는 종종 큰 조각들을 작은 조각들로 나누는 것이 필요하다.

이론적으로 BCS는 어떤 조각의 가장 긴 가장자리가 $n{\displaystyle }$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle n/(n+1)}$보다 작은 인자에 의해 원래의 폴리토프의 가장 긴 가장자리보다 작다는 특성을 가지고 있기 때문에 그러한 목적을 위해 사용될 수 있다$.$ 따라서 BCS를 충분히 여러 번 적용함으로써 가장 큰 가장자리를 원하는 만큼 작게 만들 수 있다.

그러나 실제로 BCS는 그러한 목적에 적합하지 않다. For one thing, each application after the first one multiplies the number of simplices by ${\displaystyle (n+1)!}$. BCS also multiplies the degree of each original vertex by ${\displaystyle n!}$, and the degree of each edge by ${\displaystyle (n-1)!}$. Moreover, the BCS will split all simplices, even 이미 충분히 작은 사람들 마지막으로, 각 BCS 단계는 단순화를 더 작을 뿐만 아니라 "피부"로 만들기도 한다. 즉, 가로 세로 비율(가장 긴 에지와 최단 에지 사이의 비율)을 증가시키는 경향이 있다. 이러한 모든 이유로 인해 실무에서 BCS를 한 라운드 이상 적용하는 경우는 거의 없으며, 그 대신 다른 분할 방식을 사용한다.

상대편심분할

For simplicial complexes ${\displaystyle L\subset K}$ one defines the relative barycentric subdivision ${\displaystyle K^{*}}$ of ${\displaystyle K}$ modulo ${\displaystyle L}$ that consists of those simplexes with vertices ${\displaystyle v_{0}\dots$$v_{k}B(S'_{1})\dots B(S'_{l})}$ associated to a sequence ${\displaystyle S_{0}<\cdots <S_{k}}$ of proper faces of ${\displaystyle L}$ and barycenters ${\displaystyle B(S'_{i})}$ of simplexes in ${\displaystyle K\setminus L}$.

분명히 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) $K{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ K$^{*}}$의 하위 콤플렉스로 남아$$ 있다$.$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ 수축에서$$ 떨어진 심플렉스만 남아 있다.

관련 개념

거짓 이심분할

때때로 "편심분할"이라는 용어는 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P$의 중심에 하나의 꼭지점이 있는 단순화 및$$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 경계에 대한 반대 면으로 $폴리토프{\displaystyle }$ P ${\displaystyle$ P$}$의 어떤 하위 구분에 대해 부적절하게 사용된다$.$ 이 속성은 진정한 편심분할을 위한 반면, 이 속성은 다음과 같다.따라서 BCS가 아닌 다른 하위 부문을 보유한다.

예를 들어, 삼각형의 중심에서 세 모서리의 각 모서리로 직선을 긋는 경우, 세 개의 삼각형으로 분할을 얻는다. 이 아이디어를 일반화하면 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -dimension$$ simplex를 $n{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n+1}$단순으로$$ 세분화하는 스키마를 얻는다. 그러나 이 분할은 BCS가 아니다.

단순 세트

또한 이심분할은 위의 단순분할과 양립할 수 있는 방식으로 단순 집합에 대해 정의할 수 있다(위상학적 실현 펑터(topological realization functor)는 위의 단순분할과 양립할 수 있다.^[3]

그래프 이론

편심분할이라는 용어는 그래프 이론(Baryic_Subdivision, Graph 이론)에서도 사용된다.

메모들

참고 항목

• 아폴로니아 네트워크
• 세포복합체
• 유한요소법
• 메쉬 생성
• 폴리토프
• 스플라인