극지 길이

정합성 및 퀘이콘성 매핑의 수학적 이론에서 $curves{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$ 곡선 모음의 극단적 길이는 정합성 매핑에서 불변하는 $that$ ${\displaystyle \Gamma}$의 크기를 측정한 값이다$$.구체적으로는 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 복합 평면에서 열린 집합이고$$ $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$은(는) $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$ 및$$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$→ D ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$D\to$ D$'}$은(는) 일치 매핑이다.그러면 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$의 극단 길이가 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 아래의$$ $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$ 이미지의 극단 길이와 동일하다$.$ 또한 {$${\$displaystyle \Gamma}$의 정합격 계수와도 작용한다$.$극한 길이와 등정 계수가 ${\displaystyle \Gamma}$의 등정불변수라는 사실은 등정합성 및 준정합성 매핑 연구에 유용한 도구가 된다$$.하나는 또한 2개 이상의 치수 및 다른 특정 미터법 공간에서도 극단적 길이로 작동하지만, 다음은 주로 2차원 설정을 다룬다.

극한 길이의 정의

극단적 길이를 정의하기 위해서는 먼저 몇 가지 관련 수량을 도입할 필요가 있다.$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$을(를) 복합 평면에서 열린 집합으로$$ 한다.$\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \Gamma}$이(가) $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 수정 가능한 곡선의 집합이라고 가정해 보십시오.$$${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle D}$→${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaysty$ $\$$rho :D\to [0,\infty ]}$이(가)이면 수정$$ 가능한 모든 곡선 $\gamma {\displaystyle }$ ${\\displaystyprove {\$displaystyputyprougma styputyputyputyprougma $styma$ styp

${\displaystyle L_{\rho }(\gamma }):=\int _{\not }\rho \,dz }$

denote the ${\displaystyle \rho }$–length of ${\displaystyle \gamma }$, where ${\displaystyle dz }$ denotes the Euclidean element of length. (It is possible that ${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty }$.) What does this really mean?$만약{\displaystyle }$ ${\displaystyle :}$ :${\displaystyle I}$ → ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma$:$I\to D}$ is parameterized in some interval ${\displaystyle I}$, then ${\displaystyle \int _{\gamma }\rho \, dz }$ is the integral of the Borel-measurable function ${\displaystyle \rho (\gamma (t))}$ with respect to the Borel measure on ${\displaystyle I}$ for which the measure of every subinterval ${\displaystyle J\subset I}$ is the length of the restriction of ${\displaystyle \gamma }$ to ${\displaystyle J}$. In other words, it is the Lebesgue-Stieltjes integral ${\displaystyle \int _{I}\rho (\gamma (t))\,d{\mathrm {length} }_{\gamma }(t)}$, $여기$서 l ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$ e ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\gamma }_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle {length} }_{\$$displaystyle \gamma \}$${\displaystyle }$~$${${\displaystyle \mathrm{s<img\; alt="\backslash gamma\; "\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:1.262ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="86">}i}$I : ${\displaystyle st}$t :$${\$displaystyle$\{$s\in I:\leq$ t$\}}}}$의 제한 길이 또한$$ 설정$.$

${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma }):=\inf _{\gamma \in \Gamma \in \}L_{\rho }(\gamma).}$

$\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$의 영역은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle A(\rho ):=\int _{D}\rho ^{2}\,dx\,dy,}$

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$의 극한 길이는$$

${\displaystyle EL(\감마 }):=\sup _{\rho }{\frac {L_{\rho }}(\감마 )^{2}}:{A(\rho )}}}}}}$

어디 상한 모든Borel-measureable ρ에:D0를<>와 ∞{0<\displaystyle[0, ∞]{\displaystyle \rho:D\to[0,\infty]}A(ρ)<>→ 있다.A(\rho)<, \infty}. 만약 Γ{\displaystyle \Gamma}과 0{\displaystyle \Gamma_{0}Γ 일부non-rectifiable 곡선이 포함되어 있}개정할 수 있는 곡선의 Γ의 집합을 나타낸다.${\displaystyle \Gamma$ $\},$ 그 다음 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$( ${\displaystyle \mathrm{\gamma })}$ ${\$$displaystyle EL$$(\$$Gamma _{0})$은$($는) $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$($$ 0${\displaystyle {}_{}}$)로 정의된다$.$

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$의 (적합한) 계수 용어는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L}$( ${\displaystyle \mathrm{\gamma })}$ ${\displaystyle 1/EL(\Gamma )}$을 가리킨다$$$.$

$"{\$에서 두 세트 사이의$$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ D$}$의 극한 거리는 한 세트에 한 끝점이 있고 다른 세트에 다른 끝점이 있는$$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 곡선 집합의 극한 길이입니다$$.

예

이 절에서 극단 길이는 몇 가지 예에서 계산된다.이 예들 중 첫 번째 세 가지는 실제로 극단적 길이의 적용에 유용하다.

직사각형의 극한 거리

Fix w, h>0{\displaystyle w,h>0}, R{R\displaystyle}이 사각형 R)(0, w)×(0, h){R=(0,w)\times(0,h)\displaystyle}. 모든 유한 길이 γ 곡선의 Γ{\displaystyle \Gamma}세트도록 합시다:(0,1)→ R{\displaystyle \gamma:(0,1)\to R}그 십자가는 일부 긍정적인 숫자들이다. rectangle left to right, in the sense that ${\displaystyle \lim _{t\to 0}\gamma (t)}$ is on the left edge ${\displaystyle \{0\}\times [0,h]}$ of the rectangle, and ${\displaystyle \lim _{t\to 1}\gamma (t)}$ is on the right edge ${\displaystyle \{w\}\tim$$es [0,h]}$. ($우리$는 necessarily ${\displaystyle \gamma}$의 길이가$$ 유한하다고 가정하고 있기 때문에 한계가 반드시 존재한다.)이 경우 우리는 이제 증명할 수 있다는 것을 증명할 것이다.

${\displaystyle EL(\Gamma )=w/h}$

First, we may take ${\displaystyle \rho =1}$ on ${\displaystyle R}$. This ${\displaystyle \rho }$ gives ${\displaystyle A(\rho )=w\,h}$ and ${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma )=w}$. The definition of ${\displaystyle EL(\Gamma )}$ as a supremum then gives ${\displaystyle EL}$${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle w}$ /${\displaystyle h}$ ${\displaystyle EL(\Gamma )\geq w/h$

반대되는 불평등은 그리 쉽지 않다.. 베∈(0, h){\displaystyle y\in(0,h)} 들어, γ)나는 w({\displaystyle \gamma_{y}(t)=i\,y+w\,t}(우리가ident 있+y 베(t)는 임의의Borel-measurable ρ:R→[0, ∞]{\displaystyle \rho:R\to[0,\infty]}가 ℓ:)Lρ(Γ)>0{\displaystyle \ell:=L_{\rho}(\Gamma)>. 0}일 경우를 생각해 보자.ifyinG $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$복합 평면 포함$$).그 다음 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ \$$\ \$displaystyle \gamma _{y}\in \Gamma$${\displaystyle {}_{}}$$\$${\displaystyle {\gamma }_{}}$ ($$display y ) {\$displaystyle \el \leq L_{\rho }(\gamma _{y$후자의 불평등은 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

$\displaystyle \el \leq \int _{0}^{1}\rho(i\,y+w\,t)\,w\,dt.}$

$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$( ${\displaystyle 0}$, h${\displaystyle }$) ${\displaystyle y\in (0,h)}$에 대한 이 불평등을 통합하는 것은 의미가$$ 있다.

${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$∫ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle (i}$ y${\displaystyle }$+ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle t}$)$$w ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ y ${\displaystyle h\,\ell \leq \int _{0}^{h}\int _${0$}^{1}}\$rho$(i\,y+w\,t\,dy}).$

이제 변수 $x$의 ${\displaystyle 변화}$ =${\displaystyle }$w$$t {\$displaystyle x$=w\,$t}$와 Cauchy-Schwarz 불평등의 적용은$$ 다음과 같다.

${\displaystyle h\,\ell \leq \int _{0}^{h}\int _{0}^{w}\rho (x+i\,y)\,dx\,dy\leq {\Bigl (}\int _{R}\rho ^{2}\,dx\,dy\int _{R}\,dx\,dy{\Bigr )}^{1/2}={\bigl (}w\,h\,A(\rho ){\bigr$$)}}^{1/2}}.$${\displaystyle gives}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle A}$ (${\displaystyle \rho }$ )${\displaystyle }$w${\displaystyle }$/${\displaystyle }$h ${\displaystyle \ell ^{2}/A(\rho )\leq w/h}$ 가 주어진다$.$

따라서 필요에 따라 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ (${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$) ${\displaystyle \le }$ w${\displaystyle }$/ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle EL(\Gamma )\leq w/h$

증거에서 알 수 있듯이, $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Gamma}$의 극단 길이는 훨씬 더 작은 $\{{\displaystyle {\gamma }_{}}$ y${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle y(}$ (${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ,h}$ $)}$ {\$displaystyle$\{\$gamma$ _${y:y\in (0$,h$)\backslash \}\}\}$의 극단 길이와 같다$$.

It should be pointed out that the extremal length of the family of curves ${\displaystyle \Gamma \,'}$ that connect the bottom edge of ${\displaystyle R}$ to the top edge of ${\displaystyle R}$ satisfies ${\displaystyle EL(\Gamma \,')=h/w}$, by the same argument.따라서 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ (${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ) ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L}$( ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle EL(\Gamma )\, EL(\Gamma \,$ )=$1$ 이것을 극단 길이의 이중성 속성으로 언급하는 것은 당연하며, 다음 하위섹션의 맥락에서 유사한 이중성 속성이 발생한다.Observe that obtaining a lower bound on ${\displaystyle EL(\Gamma )}$ is generally easier than obtaining an upper bound, since the lower bound involves choosing a reasonably good ${\displaystyle \rho }$ and estimating ${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma )^{2}/A(\rho )}$, while the upper bound involves proving a statement about all possible ${\displaystyle \rho }$. For this reason, duality is often useful when it can be established: when we know that ${\displaystyle EL(\Gamma )\,EL(\Gamma \,')=1}$, a lower bound on ${\displaystyle EL(\Gamma \,')}$ translates to an upper$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ (${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$) ${\displaystyle EL(\Gamma )}$에 바인딩됨$.$

환형물 내 극한 거리

r1{\displaystyle r_{1}}과 r2{\displaystyle r_{2}}2radii 0<>r1<>r2<∞{0<, r_{1\displaystyle}<, r_{2}&lt을 만족시키기;\infty}. A:){z∈ C:r1<>z<>r2}{\displaystyle A:=\{z\in \mathbb{C}:r_{1}{A\displaystyle}이 되annulus시다.<>z<>r_{2}\}}고.${\displaystyle C_{1}}$ and ${\displaystyle C_{2}}$ be the two boundary components of ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle C_{1}:=\{z: z =r_{1}\}}$ and ${\displaystyle C_{2}:=\{z: z =r_{2}\}}$. Consider the extremal distancein ${\displaystyle A}$ between ${\displaystyle C_{1}}$ and ${\displaystyle C_{2}}$; which is the extremal length of the collection ${\displaystyle \Gamma }$ of curves ${\displaystyle \gamma \subset A}$ connecting ${\displaystyle C_{1}}$ and ${\displaystyle C_{2}}$.

To obtain a lower bound on ${\displaystyle EL(\Gamma )}$, we take ${\displaystyle \rho (z)=1/ z }$. Then for ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ oriented from ${\displaystyle C_{1}}$ to ${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle \int _{\filename \}z ^{-11}\,ds\geq \int _{\not_,d z = ^{1}\d\int _}d\log z =\log(r_{2}/r_{1}).}$

다른 한편으로는

${\displaystyle A(\rho )=\int _{A} z ^{-2}\,dx\,dy=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{-2}\,r\,dr\,d\theta =2\,\pi \,\log(r_{2}/r_{1}).}$

라고 결론짓는다.

${\displaystyle EL(\Gamma )\geq {\frac {\log(r_{2}/r_{1}}}{2\pi }}.}$

이제 우리는 직사각형에 대해 위에서 주어진 것과 유사한 주장을 채택함으로써 이 불평등이 정말로 평등하다는 것을 알게 되었다.. θ ∈[0,2π):}denote은 곡선(r_{1},r_{2})\toγ θ:(r1, r2)→{\displaystyle \gamma_{\theta}자{\displaystyle \theta \in는 경우에는 0,2\,\pi)} 임의의Borel-measurable ρ가 ℓ{\displaystyle \rho}:)Lρ(Γ)>0{\displaystyle \ell:=L_{\rho}(\Gamma)>. 0}일 경우를 생각해 보자. γ${\displaystyle {\theta }_{}}$( ${\displaystyle r}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$\ \ $_{\theta }(r)=e^{i\theta }r$그러면

${\displaystyle \el \leq \int _{\req \int _{\theta }}\,ds=\int _{r_}^{1}{1}}}}{1}^{1}}}\rho(e^{i\ta }r)\,dr.}$

우리는 $\theta {\displaystyle }${\$displaystyle \theta}$을(를) 통합하고$$ Cauchy-Schwarz 불평등을 적용하여 다음을 얻는다.

${\displaystyle 2\,\pi \,\ell \leq \int _{A}\rho \,dr\,d\theta \leq {\Bigl (}\int _{A}\rho ^{2}\,r\,dr\,d\theta {\Bigr )}^{1/2}{\Bigl (}\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {1}{r}}\,dr\,d\theta {\Bigr )}^{1/2}.}$

스쿼링이 준다.

${\displaystyle 4\,\pi ^{2}\,\ell ^{2}\leq A(\rho )\cdot \,2\,\pi \,\log(r_{2}/r_{1}).}$

이는 $상한{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{E}}$L ( ${\displaystyle )}$ )${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) - ${\displaystyle 1{}^{}}$ 로그${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ / ${\displaystyle r{}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ ) ${\displaystyle EL(\Gamma$)\$leq (2\,\pi )^{-1}\,\log(r_{2}/r_{1}})$를 의미한다$.$ 하한과 결합하면, 이는 정확한 길이의 값을 산출한다.

${\displaystyle EL(\Gamma )={\frac {\log(r_{2}/r_{1}}}{2\pi }}.}$

환상 주위의 극한 길이

Let ${\displaystyle r_{1},r_{2},C_{1},C_{2},\Gamma }$ and ${\displaystyle A}$ be as above, but now let ${\displaystyle \Gamma ^{*}}$ be the collection of all curves that wind once around the annulus, separating ${\displaystyle C_{1}}$ from ${\displaysty$$le C_{$2$\}\}.$ 위의 방법으로는 을 나타내는 것이 어렵지 않다.

${\displaystyle EL(\Gamma ^{*}}={\frac {2\pi }{\log(r_{2}/r_{1}})}}}=EL(\Gamma )^{-1}.}$

이것은 극단적 길이의 이중성의 또 다른 예를 보여준다.

투영 평면에서 위상학적으로 필수적인 경로의 극한 길이

위의 예에서 비율 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\rho }_{}}$( ${\displaystyle \mathrm{\gamma }{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ / ${\displaystyle A}$ (${\displaystyle \rho }$ ) ${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma )^{2}/A(\rho )}$을(를) 최대화하고 극단$$ 길이를 평탄한 메트릭에 해당하는 값을 부여한$$ 극단 $\rho {\displaystyle }${\$displaystystylement \rho }.$즉, 해당 평면 영역의 유클리드 리만 메트릭스를 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$에 따라 크기를 조정하면 결과 메트릭은 평탄하다$.$직사각형의 경우, 이것은 원래 미터법일 뿐이지만, 환형의 경우, 식별된 극한 측정법은 실린더의 미터법이다.우리는 이제 극단적 측정이 평평하지 않은 예에 대해 논한다.구면 메트릭을 가진 투영 평면은 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$3}의 단위 구체에서 리만 구면 메트릭으로$$ 대척점을 식별하여 얻는다.In other words, this is the quotient of the sphere by the map ${\displaystyle x\mapsto -x}$. Let ${\displaystyle \Gamma }$ denote the set of closed curves in this projective plane that are not null-homotopic. (Each curve in ${\displaystyle \Gamma }$ is obtained by projecting a curve on the sphere from a point to its antipode)그렇다면 구면 측정법은 이 곡선 계열의 극단이다.(^[1]극단 길이의 정의는 리만 표면까지 쉽게 확장된다.)따라서 극단 길이는 $\pi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi \mathrm{}}$/ 2 ${\displaystyle \pi ^{2}/(2\,\pi )=\pi$/2$}$이다$.$

점을 포함하는 경로의 극한 길이

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$이(가) 양의 직경을 가지며 점 ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$을 포함하는 경로의 집합이라면$$, $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$(${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle \mathrm{}}$∞ ${\displaystyle EL(\Gamma )=\fty$ $\}.$ 예를 들어 다음과 같다.

$displaystyle \rho (z):$$={\begin{cases}(- z-z_{0} \,\log z-z_{0} )^{-1}& z-z_{0} <1/2,\\0& z-z_{0} \geq 1/2,\end{cases}}}$ which satisfies ${\displaystyle A(\rho )<\infty }$ and ${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty }$ for every rectifiable ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$.

극단 길이의 기본 특성

극단의 길이는 몇 가지 간단한 단조로운 성질을 만족시킨다.First, it is clear that if ${\displaystyle \Gamma _{1}\subset \Gamma _{2}}$, then ${\displaystyle EL(\Gamma _{1})\geq EL(\Gamma _{2})}$. Moreover, the same conclusion holds if every curve ${\displaystyle \gamma _{1}\in \Gamma _{1}}$ contains a curve ${\displaystyle {\gamma }_2}$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}:$$$\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는$$$$ 도메인의 하위 절연에 대한$$ 제한이다.때때로 유용한 또 다른 불평등은

${\displaystyle EL(\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2})\geq {\bigl (}EL(\Gamma _{1})^{1}+EL(\Gamma _{2})^{-1}{\bigr )^{-1}.}$

This is clear if ${\displaystyle EL(\Gamma _{1})=0}$ or if ${\displaystyle EL(\Gamma _{2})=0}$, in which case the right hand side is interpreted as ${\displaystyle 0}$. So suppose that this is not the case and with no loss of generality assume that the curves in ${\d$$isplaystyle \Gamma _{1}\cup \Gamma _{2$}}개 모두 수리가 가능하다$$.Let ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}}$ satisfy ${\displaystyle L_{\rho _{j}}(\Gamma _{j})\geq 1}$ for ${\displaystyle j=1,2}$. Set ${\displaystyle \rho =\max\{\rho _{1},\rho _{2}\}}$.Then ${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2})\geq 1}$ and ${\displaystyle A(\rho )=\int \rho ^{2}\,dx\,dy\leq \int (\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2})\,dx\,dy=A(\rho _{1})+A(\rho _{2})}$, which는 불평등을 증명한다.

극한 길이의 등호불변도

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$→ D ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$$D\to D^{*}}$는 평면 도메인 사이의 등정적 동형성(비주사적 홀로모픽 지도)이다$$.Suppose that ${\displaystyle \Gamma }$ is a collection of curves in ${\displaystyle D}$, and let ${\displaystyle \Gamma ^{*}:=\{f\circ \gamma :\gamma \in \Gamma \}}$ denote the image curves under ${\displaystyle f}$. Then ${\displaystyle EL(\Gamma )=EL(\Gam$$ma ^{*}}$.이 순응 불변성 진술은 극단적 길이의 개념이 유용한 주된 이유다.

여기에 순응 불협화음의 증거가 있다.Let ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ denote the set of curves ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ such that ${\displaystyle f\circ \gamma }$ is rectifiable, and let ${\displaystyle \Gamma _{0}^{*}=\{f\circ \gamma :\gamma \in \Gamma _{0}\}}$, which is the set of rectif${\$의 iable 곡선.$$$\rho {\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle \mathrm{},}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \rho ^{*}:$$D^{*}\to [0,\fully ]}$은(는) 보렐 측정가능하다.정의

${\displaystyle \rho (z)=f\,(z) \,\rho ^{*}{\bigl (}f(z){\bigr )}.}$

$변수{\displaystyle }$w = ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle$w=$f(z)}$의 변경으로 인해$$

${\displaystyle A(\rho )=\int _{D}\rho (z)^{2}\,dz\,d{\bar {z}}=\int _{D}\rho ^{*}(f(z))^{2}\, f\,'(z) ^{2}\,dz\,d{\bar {z}}=\int _{D^{*}}\rho ^{*}(w)^{2}\,dw\,d{\bar {w}}=A(\rho ^{*}).}$

이제 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$을(를) 수정할$$ 수 있다고 가정하고 $\gamma {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle :=f}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \gamma ^{*}}=f\circamp \gamma }}}$을(으)로 설정하십시오$.$ 정식으로 다시 변수 변경을 사용할 수 있다.

${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\int _{\gamma }\rho ^{*}{\bigl (}f(z){\bigr )}\, f\,'(z) \, dz =\int _{\gamma ^{*}}\rho (w)\, dw =L_{\rho ^{*}}(\gamma ^{*}).}$

To justify this formal calculation, suppose that ${\displaystyle \gamma }$ is defined in some interval ${\displaystyle I}$, let ${\displaystyle \ell (t)}$ denote the length of the restriction of ${\displaystyle \gamma }$ to ${\displaystyle I\cap (-\infty ,t]}$, and let ${\displaystyle {\ell }^{\ast }(t)}$${\displaystyle \ell ^{*}(t)}$ be similarly defined with ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ in place of ${\displaystyle \gamma }$. Then it is easy to see that ${\displaystyle d\ell ^{*}(t)= f\,'(\gamma (t)) \,d\ell (t)}$, and this implies ${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=L_{{\rho }^{\ast }}}$${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}^{}{\ast }^{}}$ )$${\$displaystyle$L_{\$rho$}(\$gamma$ )=$L_{\rho$^{*}}}(\$gamma$^{*})}, 필요에 따라$.$위의 평등함이 주는 것은,

${\displaystyle EL(\Gamma _{0})\geq EL(\Gamma _{0}^{*}}=EL(\Gamma ^{*})}$

If we knew that each curve in ${\displaystyle \Gamma }$ and ${\displaystyle \Gamma ^{*}}$ was rectifiable, this would prove ${\displaystyle EL(\Gamma )=EL(\Gamma ^{*})}$ since we may also apply the above with ${\displaystyle f}$ replaced by its inverse and ${\displaystyle \Gamma$$}}$과(와$)$ $∗$ {\$displaystyle$ \Gamma$$^{*}}과(와) 상호$$ 교환$.$ 수정 불가능한 곡선을 처리하는 것이 남아 있다.

$이제{\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$ ^ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$은(는) 수정 가능한 곡선 집합 ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ∈ ${\displaystyle \in }$ ∈ { ${\displaystyle \gamma$ \$in \Gamma }$을(는$)$ 나타내도록$$ $하십시오$We claim that ${\displaystyle EL({\hat {\Gamma }})=\infty }$. Indeed, take ${\displaystyle \rho (z)= f\,'(z) \,h( f(z) )}$, where ${\displaystyle h(r)={\bigl (}r\,\log(r+2){\bigr )}^{-1}}$.위와 같은 변수의 변화는

${\displaystyle A(\rho )=\int _{D^{*}}h( w )^{2}\,dw\,d{\bar {w}}\leq \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }(r\,\log(r+2))^{-2}\,r\,dr\,d\theta <\infty .}$

For ${\displaystyle \gamma \in {\hat {\Gamma }}}$ and ${\displaystyle r\in (0,\infty )}$ such that ${\displaystyle f\circ \gamma }$ is contained in ${\displaystyle \{z: z <r\}}$, we have

${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )\geq \inf\{h(s):s\in [0,r]\}\,\mathrm {length} (f\circ \gamma )=\infty }$.^{[dubious – discuss]}

반면 ${\displaystyle \gamma \stackrel{}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle ^}$ ^ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ $f\circle \$$gamma}}}$이(가) f$$is {\$displaystyle$ f\circamp \$gamma}$인 경우, 한도가 없다고 가정한다$$.$H{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle d}$ s ${\displaystyle H(t):$$=\int _{0}^{t}h(s)\,ds}$. Then ${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )}$ is at least the length of the curve ${\displaystyle t\mapsto H( f\circ \gamma (t) )}$ (from an interval in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ to ${\displaystyle \mathbb {R} }$).Since ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }H(t)=\infty }$, it follows that ${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty }$. Thus, indeed, ${\displaystyle EL({\hat {\Gamma }})=\infty }$.

이전 섹션의 결과를 사용하여,

${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L}$ (${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ )${\displaystyle }$= E ${\displaystyle L}$( ${\displaystyle \gamma \stackrel{}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$^ ^${\displaystyle \stackrel{}{}^}$ )$$≥ ${\displaystyle E}$ L${\displaystyle }$( $^$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ) $displaystyle EL(\Gamma )=EL(\Gamma _{0}\campa }}}}\Geq EL(\Gamma _{0}).$

$우리$는 이미 E ${\displaystyle L}$ (${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$( ∗ ${\displaystyle {\ast }^{}}$) ${\displaystyle EL (\Gamma _{0}}\geq EL(\Gamma ^{*})}$을(를) 보았다$.$따라서 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ (${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$( ∗ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ )${\displaystyle EL (\Gamma )\geq EL (\Gamma$ $^\{*\}\}\}\}.$역불평등은 대칭에 의해 유지되며, 따라서 순응 불변성이 확립된다.

극한 길이의 일부 적용

그 극치 거리의 annulus의 계산과 정각의 불변성에 의하면, 그것은 환형{z:r<>z<>R}{\displaystyle\와 같이{z:r<, z<> 따른다.R\}}(어디 0≤ r<>R∞{\displaystyle 0\leq r< ≤을 말한다.R\leq \infty})conformally는 환주{w:r∗<>w<>R∗}{\displaysty에homeomorphic지 않다.$\{w:r^{*}}< w<R^{*}\}}}}$ $만약$ ${\displaystyle \frac{R}{}}$ r ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \frac{{\ast }^{}}{}}$ r ${\displaystyle \frac{{\ast }^{}}{}}$ ${\$

고차원의 극한 길이

극단적 길이의 개념은 특히 Quasiconformal 매핑과 관련하여 치수 3 이상의 다양한 문제에 대한 연구에 적응한다.

이 구간은 확장이 필요하다.추가하면 도움이 된다. (2008년 6월)

이산극단길

$G{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle$ G$=(V,E)}$이(가) 일부 그래프이고 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$이(가) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 경로 모음이라고 가정하자$.$ 이 설정에는 두 가지 변종의 극단 길이가 있다.원래 R. J. Duffin에 의해 도입된 가장자리 길이를 정의하려면 $함수$${\displaystyle :}$ :${\displaystyle E}$→ [ ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle \mathrm{})}$ )$${\$displaystyle \rho :E\to [0,\inful )}$을 고려하십시오.^[2]$경로$의 길이$({\displaystyle \rho })$는 경로의 모든 가장자리에 대한$$ $){\displaystyle \rho(e)}$의 합으로 정의되며 다중성으로 계산된다."면적" $A{\displaystyle }$ (${\displaystyle \rho }$) ${\displaystyle$ A$(\$${\displaystyle \mathrm{rho}}$ $)}$은 $\sum {\displaystyle \underset{}{}}$ e ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{E}}$ ${\displaystyle {\rho \mathrm{}}^{}}$( e${\displaystyle {}^{}}$) 2 ${\$}}로 정의된다$.$그런 다음 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$의 극단 길이를 전과 같이 정의한다$$.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 저항 네트워크로 해석될$$ 경우, 각 에지에 단위 저항이 있는 두 꼭지점 집합 사이의 유효 저항은 정확히 한 세트에 한 끝점이 있고 다른 세트에 다른 끝점이 있는 경로 집합의 가장자리 극단 길이입니다.따라서 이산적 극단 길이는 이산적 전위 이론의 추정치에 유용하다.

Another notion of discrete extremal length that is appropriate in other contexts is vertex extremal length, where ${\displaystyle \rho :V\to [0,\infty )}$, the area is ${\displaystyle A(\rho ):=\sum _{v\in V}\rho (v)^{2}}$, and the length of a path is the sum of ${\disp$경로에 의해 방문한 꼭지점 위에$$ 다중성을 가진 $레이스타일 \rho (v)}$

메모들

참조

• Ahlfors, Lars V. (1973), Conformal invariants: topics in geometric function theory, New York: McGraw-Hill Book Co., MR 0357743
• Duffin, R. J. (1962), "The extremal length of a network", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 5 (2): 200–215, doi:10.1016/S0022-247X(62)80004-3
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