에르고딕 이론

에르고딕 이론(Ergodic 이론, )은 결정론적 동적 시스템의 통계적 특성을 연구하는 수학의 한 분야이다.이 맥락에서 통계적 속성은 동적 시스템의 궤적을 따라 다양한 기능의 시간 평균의 행동을 통해 표현되는 특성을 의미한다.결정론적 동적 시스템의 개념은 역학을 결정하는 방정식이 임의의 섭동, 잡음 등을 포함하지 않는다고 가정한다.따라서, 우리가 우려하는 통계는 역학의 특성이다.

에르고드 이론은 확률 이론과 마찬가지로 측정 이론의 일반적인 개념에 기초한다.그것의 초기 개발은 통계물리학의 문제에 의해 동기부여되었다.

에르고딕 이론의 중심 관심사는 오랜 시간 동안 작동하도록 허락된 동적 시스템의 동작이다.이 방향의 첫 번째 결과는 위상 공간의 하위 집합에서 거의 모든 점이 결국 집합을 다시 방문한다고 주장하는 푸앵카레 반복 정리입니다.푸앵카레 반복정리가 갖는 시스템은 보수적인 시스템이다. 따라서 모든 에르고딕 시스템은 보수적인 시스템이다.

보다 정확한 정보는 다양한 에르고딕 이론에서 제공되며, 특정 조건 하에서 궤적을 따라 함수의 시간 평균은 거의 모든 곳에 존재하며 공간 평균과 관련이 있다고 주장한다.가장 중요한 두 가지 이론은 각 궤적을 따라 시간 평균의 존재를 주장하는 Birkhoff(1931)와 von Neumann이다.특수 등급의 에르고드 시스템의 경우, 이 시간 평균은 거의 모든 초기 지점에서 동일하다. 통계적으로 말하자면, 오랫동안 발전하는 시스템은 초기 상태를 "포기"한다.혼합 및 등분포와 같은 더 강한 특성도 광범위하게 연구되어 왔다.

시스템의 미터법 분류 문제는 추상적 에르고드 이론의 또 다른 중요한 부분이다.에르고딕 이론과 확률적 과정에 대한 그것의 적용에서 뛰어난 역할은 동적 시스템에 대한 엔트로피의 다양한 개념에 의해 수행된다.

에르고디시티와 에르고디 가설의 개념은 에르고디 이론의 응용에 중심적이다.기본 개념은 특정 시스템의 경우 속성의 시간 평균이 전체 공간의 평균과 같다는 것입니다.수학의 다른 부분에 대한 에르고딕 이론의 적용은 보통 특별한 종류의 시스템에 대한 에르고딕성 특성을 확립하는 것을 포함한다.기하학에서, 에르고딕 이론의 방법은 음의 곡률의 리만 표면에 대한 에베르하르트 홉프의 결과를 시작으로 리만 다양체의 측지학 흐름을 연구하기 위해 사용되어 왔다.마르코프 사슬은 확률론에서 응용을 위한 공통 맥락을 형성한다.에르고딕 이론은 조화 해석, 라이 이론, 그리고 수 이론과 결실 있는 연관성을 가지고 있다.

에르고딕 변환

에르고드 이론은 종종 에르고드 변환과 관련이 있다.주어진 세트에 작용하는 그러한 변환의 이면에 있는 직관은 그들이 그 세트의 요소들을 철저히 "뒤틀리게" 한다는 것입니다(예를 들어, 세트가 그릇에 있는 뜨거운 오트밀의 양이고, 만약 한 스푼의 시럽이 그릇에 떨어지면, 오트밀의 에르고딕 변환 역의 반복은 시럽을 허용하지 않습니다).오트밀의 지역 하위 영역에 남지만 시럽을 골고루 분배합니다.동시에 이러한 반복은 오트밀의 어떤 부분도 압축하거나 확장시키지 않습니다. 즉, 밀도의 측정치를 유지합니다.여기 정식 정의가 있습니다.

T : X → X를 μ(X) = 1인 측정 공간(X, δ, μ)에 대한 측정 보존 변환이라고 하자. 그러면 T는 T(E) = E인⁻¹ δ의 모든 E에 대해 μ(E) = 0 또는 μ(E) = 1이면 에르고딕이다.

예

• 원 R/Z, T: x → x + θ의 비합리적인 회전은 에르고딕이다.이 변환은 고유한 에르고딕성, 최소성 및 등분포라는 더욱 강력한 특성을 가지고 있습니다.만약θ)p/q은 합리적인( 낮은 측면에서)이와는 대조적으로, T, 기간 q, 따라서 에르고 드적인 수 없:어떤 간격에 대해 나는 길이가, 0<><>qi.의 노조 1/q, T(I, T(1세의 그, 노조)아래에 그것의 궤도,..., Tq−1(나는), T의 응용 프로그램의 수의 아래)의 모습을 담고 있는T-invariant 모드 0세트 주기율은ntervals길이 a의 경우 0과 1 사이의 QA를 엄격하게 측정합니다.
• G를 콤팩트 아벨기, μ를 정규화된 Haar 측정값, T를 G의 군 자기동형이라고 하자.G*를 폰트랴긴 쌍대 그룹으로 하고, G*의 연속 문자로 이루어진 폰트랴긴 쌍대 그룹으로 하고, T*를 G*의 대응하는 인접 자기동형성이라고 하자.자기동형성 T는 n = 0 또는 θ가 G의 사소한 문자일 때만 등식(T*)(ⁿθ) = θ가 가능한 경우에만 에르고딕이다.특히 G가 n차원 토러스이고, 자기동형성 T가 단모듈러행렬 A로 표현된다면, A의 고유값이 단일성의 근이 아닌 경우에만 T는 에르고틱하다.
• 베르누이의 변화는 에르고딕이다.보다 일반적으로, 일련의 i.i.d. 랜덤 변수 및 보다 일반적인 정지 과정과 관련된 이동 변환의 에르고디시티는 콜모고로프의 0-1 법칙을 따릅니다.
• 연속 동적 시스템의 에르고디시티는 그 궤적이 위상 공간을 "주변으로" 퍼지는 것을 의미합니다.비정수적인 제1적분을 갖는 콤팩트 위상공간을 가진 시스템은 에르고딕할 수 없다.이것은 특히 해밀턴 함수 H와 기능적으로 독립적인 첫 번째 적분 I와 일정한 에너지의 콤팩트 레벨 집합 X = {(p,q): H(p,q) = E}를 가진 해밀턴 시스템에 적용된다.Liouville의 정리는 X에 대한 유한 불변량 측정의 존재를 암시하지만, 시스템의 역학은 X에 대한 I의 수준 집합으로 제한되므로, 시스템은 양의 불변량 집합을 소유하지만 전체 측정 값보다 작습니다.에르고디시티와 반대되는 연속 동적 시스템의 특성은 완전한 통합성입니다.

에르고딕 정리

T: X → X를 측정 공간(X, δ, μ)에 대한 측정 보존 변환이라고 하고, δ를 μ-적분 가능 함수, 즉 δ δ¹ L(μ)이라고 가정한다.다음으로 다음 평균을 정의합니다.

평균 시간:이것은 초기점 x부터 시작하여 T의 반복에 걸친 평균(존재하는 경우)으로 정의됩니다.

${\displaystyle {f}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x).}$

공간 평균:μ(X)가 유한하고 0이 아닌 경우 μ(X)의 공간 또는 위상 평균을 고려할 수 있습니다.

$({displaystyle {f}}=par frac {1}{\mu(X)}}}\int f,d\mu.\text{text}(확률공백의 경우 }}\mu(X)=1)}$

일반적으로 시간 평균과 공간 평균은 다를 수 있습니다.그러나 변환이 에르고딕이고 측정값이 불변이라면 시간 평균은 거의 모든 곳의 공간 평균과 동일합니다.이것은 조지 데이비드 버크호프에 의해 추상적인 형태로 유명한 에르고딕 정리입니다.(사실 버크호프의 논문은 추상적인 일반적인 경우가 아니라 평탄한 다양체상의 미분 방정식에서 발생하는 동적 시스템의 경우만 고려합니다.)등분포정리는 특히 단위구간에서의 확률분포를 다루는 에르고드정리의 특별한 경우이다.

보다 정확하게는 점별 또는 강력한 에르고딕 정리에 따르면 θ의 시간 평균 정의의 한계는 거의 모든 x에 존재하며 (거의 모든 곳에서 정의된) $한계{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 함수${\displaystyle \stackrel{}{}}$f$$^ ${\displaystyle$ {$f}}$은(는) 적분할 수 있다.

$(\displaystyle\hat {f}}\in L^{1}(\mu ),},$

$또한{\displaystyle \stackrel{}{}}$ f$^$은(는) T-불변합니다.

$(\displaystyle\hat {f}}\contract T=hat {f}},$

는 거의 모든 장소에서 유지되며, μ(X)가 유한한 경우 정규화는 동일합니다.

$\displaystyle \int {f},d\mu =\int f,d\mu .}$

특히 T가 에르고딕이라면 $^{$은(거의 모든 곳에서) 상수여야 하며, 따라서 다음과 같은 값을 가질 수 있습니다.

${{displaystyle {f}}=모자 {f}},$

거의 모든 곳에서요첫 번째 클레임과 마지막 클레임을 결합하고 μ(X)가 유한하고 0이 아니라고 가정하면 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=cap {1}{\mu(X)}}}\int f,d\mu }$

거의 모든 x, 즉 측정치 0을 제외한 모든 x에 대해.

에르고딕 변환의 경우 시간 평균은 공간 평균과 거의 동일합니다.

예를 들어 측정공간(X, δ, μ)이 기체의 입자를 위와 같이 모델화하고 δ(x)가 위치 x에서의 입자의 속도를 나타낸다고 가정한다.그리고 점별 에르고드 이론은 주어진 시간에 모든 입자의 평균 속도가 시간에 따른 한 입자의 평균 속도와 동일하다고 말한다.

Birkhoff 정리의 일반화는 Kingman의 준가법적 에르고드 정리이다.

확률론적 공식화:버크호프-킨친 정리

Birkhoff-Kinchin 정리.「 」는 측정 가능, E( 「 )< 」, 및 T는 측정 유지 맵으로 합니다.확률 1의 경우:

$\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f\mid {C})(x})},$

$여기$서 E${\displaystyle (f\mathcal{}}$ C$)$ {$style$ E$(f {mathcal$$${$C}})$는 T의 불변 집합의 $\theta -대칭변수{\displaystyle \mathcal{}}$ C$(\$에 대한 조건부 기대치입니다.

결과(점별 에르고딕 정리):특히 T도 에르고딕일 경우 $(\$는 사소한 θ-대수가 되므로 확률이 1이다.

$\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f)}$

평균 에르고드 정리

폰 노이만의 평균 에르고드 정리는 힐베르트 ^[1]공간에 존재한다.

U를 힐베르트 공간 H 위의 단일 연산자, 보다 일반적으로 등각 선형 연산자(즉, H의 모든 x에 대해 "Ux" = δx"를 만족하거나 동등하게 U*U = I를 만족하지만 반드시 U* = I를 만족하지는 않는다)라고 가정하자.P를 {cisco ∈ H U ∈ = } } = ker(I - U)에 대한 직교 투영이라고 합니다.

다음으로, 임의의 x in H에 대해 다음과 같이 구합니다.

$\displaystyle \lim _{N\to\infty}{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}x=Px,}$

여기서 한계는 H의 노름에 관한 것이다.즉, 평균의 시퀀스는

${\displaystyle {1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}}$

는, 강력한 오퍼레이터 토폴로지에서 P로 컨버전스 됩니다.

실제로 이 경우 어떤 $x{\displaystyle }$H ( \$displaystyle$x \ $in$$$H )도$$ 각각 ker$$$$ (${\displaystyle I}$ -$U )$와 run$$ -$U ）$에서 직교로 분해할 수 있음을 알 수 있습니다.전자는 N$(\displaystyle$ N$)$이 성장함에 $따라{\displaystyle }$ 모든 부분 합계에서 불변하지만, 후자는 텔레스코핑 시리즈로부터 다음과 같은 효과를 얻을 수 있습니다.

$\displaystyle \lim _{N\to\infty}{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}(I-U)=\lim _{N\to\infty }{1 \over N}(I-U^{N}=0}$

이 정리는 힐베르트 공간 H가 측정 공간 상의 L개의² 함수로 구성되고 U가 형식의 연산자인 경우에 특화되어 있다.

${\displaystyle Uf(x)=f(Tx),}$

여기서 T는 X의 측정값 보존 내형사상이며, 애플리케이션에서 이산 ^[2]동적 시스템의 시간 단계를 나타내는 것으로 간주됩니다.그리고 에르고드 정리는 충분히 큰 시간 스케일에 대한 함수 θ의 평균 거동은 시간 불변인 θ의 직교 성분에 의해 근사된다고 주장한다.

평균 에르고드 정리의 다른 형태에서, U를 H에 대한 단일 연산자의 강하게 연속적인 단일 매개 변수 군이라고 하자_t.그리고 연산자

${\displaystyle\frac{1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t},dt}$

강력한 연산자 위상에서 T → ∞로 수렴한다. 실제로, 이 결과는 반사적 공간에서 수축 연산자의 강하게 연속적인 단일 매개 변수 반군의 경우에도 확장된다.

비고: 평균 에르고드 정리에 대한 직관은 단위 길이의 복소수가 복소 평면상의 단일 변환으로 간주되는 경우를 고려함으로써 개발될 수 있다(좌승).단위 길이의 복소수(U라고 생각됨)를 하나 선택하면 그 검정력이 원을 채우는 것은 직관적입니다.원은 0 주위에 대칭이므로 U의 거듭제곱의 평균이 0으로 수렴되는 것이 타당합니다.또한 0은 U의 유일한 고정점이므로 고정점 공간에 투영하는 것은 영 연산자여야 합니다(방금 설명한 한계와 일치함).

L^p 규범에서의 에르고드 평균의 수렴

(X, δ, μ)를 변환 T를 보존하는 척도로 확률 공간보다 높게 하고, 1 µp δ μ로 한다.T-불변 집합의 하위-대수 δ에_T 대한 조건부 기대는 닫힌 부분 공간^p L(X, δ_T, μ) 상의 바나흐 공간^p L(X, μ)의 노름 1의 선형 투영기_T E이다. 후자는 모든 L-불변량의^p 공간으로 특징지을 수도 있다.에르고드 수단은 L(X, δ, μ)의^p 선형^p 연산자로서도 단위 연산자 노름을 가지며, 단순하게 Birkhoff-Kinchin 정리의 결과로, 1 δ p δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ θ 이면 약한 연산자 토폴로지에 프로젝터_T E로 수렴한다.요시다-카쿠타니 에르고드 지배 수렴 정리는 θ θ^p L의 에르고드 평균이 L에서^p 지배한다고 하지만, θ θ¹ L이면 에르고드 평균이 L에서^p 동일하지 않을 수 있다.마지막으로, θ가 Zygmund 클래스, 즉 θ⁺ log( ))가 적분 가능하다고 가정하면, L에서는 에르고드 평균이¹ 지배한다.

체류시간

(X, δ, μ)를 μ(X)가 유한하고 0이 아닌 측정공간으로 한다.측정 가능한 집합 A에서 보내는 시간을 체류 시간이라고 합니다.에르고드 정리의 직접적인 결과는 에르고드 시스템에서 A의 상대 측정치가 평균 체류 시간과 같다는 것이다.

${\displaystyle {\frac (A)}{\mu (X)}=int \chi _{A},d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}\sum {k=0}^{n-1}_chi {A}_chi(A})$

측정값 0을 제외한 모든 x에 대해, 여기서_A θ는 A의 표시기 함수이다.

측정 가능한 집합 A의 발생 시간은 집합 k₁, k₂, k₃, ...의 곱셈 k로 정의되며, 따라서 T(x^k)는 A에 있고, 오름차순으로 정렬됩니다.연속 발생 시간_i R = k_i - k의_i−1 차이를 A의 반복 시간이라고 한다.에르고딕 정리의 또 다른 결과는 초기점 x가 A에 있다고 가정할^{[clarification needed]} 때 A의 평균 반복 시간이 A의 측정값에 반비례하므로 k = 0이다₀.

${\displaystyle {R_{1}+\cdots +R_{n}{n}}\rightarrow {\mu (X)}{\mu (A)}}\quad {text}(거의 확실)}}}$

(거의 확실히 참조).즉, A가 작을수록 A로 돌아가는 데 시간이 걸립니다.

다지관상의 에르고딕 흐름

가변 음의 곡률의 콤팩트 리만 표면과 모든 차원의 일정한 음의 곡률의 콤팩트 매니폴드에서의 지오데식 흐름의 에르고딕성은 1939년에 Eberhard Hopf에 의해 증명되었다. 예를 들어, Hadamard 당구(1898)와 Artin 당구(1924)를 참조하라.리만 표면의 측지선 흐름과 SL(2, R)의 단일 매개 변수 하위 그룹 사이의 관계는 1952년 S. V. 포민과 I. M. 겔판에 의해 설명되었다.아노소프 흐름에 관한 기사는 SL(2, R) 및 음의 곡률의 리만 표면에서의 에르고딕 흐름의 예를 제공한다.반단순 리 군 SO(n,1)의 격자의 작용에 의해 쌍곡 공간의 몫으로 볼 수 있기 때문에 여기서 설명하는 발전의 대부분은 쌍곡 다양체로 일반화된다.리만 대칭 공간에서의 측지선 흐름의 에르고디시티는 F에 의해 입증되었다. 1957년 모트너.1967년 D. V. Anosov와 Ya. G. Sinai는 가변 음의 단면 곡률의 콤팩트 다양체에서 측지선 흐름의 에르고딕성을 증명했다.캘빈 C는 반단순 라이 그룹의 균질 공간에서의 균질 흐름의 에르고디시티에 대한 간단한 기준을 제시하였다. 1966년 무어.이 연구의 많은 이론과 결과들은 강성 이론의 전형이다.

1930년대 G.A. Hedlund는 콤팩트한 쌍곡선 표면에서의 수평순환 흐름이 최소이며 에르고딕이라는 것을 증명했다.흐름의 독특한 에르고디시티는 1972년 힐렐 퍼스텐버그에 의해 확립되었다.래트너의 이론은 δ \ G 형태의 균질 공간에서의 전능하지 않은 흐름에 대한 에르고디시티의 주요 일반화를 제공한다. 여기서 G는 Lie 그룹이고 δ는 G의 격자이다.

지난 20년 동안, 퍼스텐버그와 마굴리스의 추측에 의해 동기부여된 대각선 가능한 작용에 대한 라트너의 이론과 유사한 측도 분류 정리를 찾으려는 많은 연구가 있었다.중요한 부분적 결과(긍정 엔트로피의 추가 가정으로 그러한 추측을 해결함)는 Elon Lindenstrauss에 의해 증명되었고, 그는 이 결과로 2010년에 Fields 상을 받았습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 카오스 이론
• 에르고딕 가설
• 에르고딕 과정
• Lyapunov 시간– 시스템 예측 가능 시간 제한
• 최대 에르고딕 정리
• 오르슈타인 동형 정리
• 통계역학
• 심볼릭
• 린디 효과

레퍼런스

이력 레퍼런스

• 를 클릭합니다Birkhoff, George David (1931), "Proof of the ergodic theorem", Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 17, no. 12, pp. 656–660, Bibcode:1931PNAS...17..656B, doi:10.1073/pnas.17.12.656, PMC 1076138, PMID 16577406.
• 를 클릭합니다Birkhoff, George David (1942), "What is the ergodic theorem?", Amer. Math. Monthly, vol. 49, no. 4, pp. 222–226, doi:10.2307/2303229, JSTOR 2303229.
• 를 클릭합니다von Neumann, John (1932), "Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis", Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 18, no. 1, pp. 70–82, Bibcode:1932PNAS...18...70N, doi:10.1073/pnas.18.1.70, PMC 1076162, PMID 16577432.
• 를 클릭합니다von Neumann, John (1932), "Physical Applications of the Ergodic Hypothesis", Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 18, no. 3, pp. 263–266, Bibcode:1932PNAS...18..263N, doi:10.1073/pnas.18.3.263, JSTOR 86260, PMC 1076204, PMID 16587674.
• 를 클릭합니다Hopf, Eberhard (1939), "Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung", Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Akad. Wiss., vol. 91, pp. 261–304.
• 를 클릭합니다Fomin, Sergei V.; Gelfand, I. M. (1952), "Geodesic flows on manifolds of constant negative curvature", Uspekhi Mat. Nauk, vol. 7, no. 1, pp. 118–137.
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• 를 클릭합니다Moore, C. C. (1966), "Ergodicity of flows on homogeneous spaces", Amer. J. Math., vol. 88, no. 1, pp. 154–178, doi:10.2307/2373052, JSTOR 2373052.

최신 레퍼런스

• D.V. Anosov (2001) [1994], "Ergodic theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• 이 문서는 Creative Commons Attribution/Share-Alike License에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 에르고딕 정리 자료를 통합합니다.
• 블라디미르 이고레비치 아르놀드와 안드레 아베즈, 고전 역학의 에르고딕 문제.뉴욕: W.A. 벤자민1968.
• 레오 브레이만, 확률.1968년 애디슨-웨슬리 원판, 1992년 산업 및 응용 수학 학회에서 전재.ISBN 0-89871-296-3(6장 참조)
• Walters, Peter (1982), An introduction to ergodic theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 79, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95152-0, Zbl 0475.28009
• Bedford, Tim; Keane, Michael; Series, Caroline, eds. (1991), Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces, Oxford University Press, ISBN 0-19-853390-X (에르고딕 이론의 토픽에 대한 조사; 연습과 함께)
• 칼 피터슨입니다에르고딕 이론(고급 수학의 캠브리지 연구).케임브리지:케임브리지 대학 출판부1990.
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• A. N. Shiryev, Probability, 제2판, Springer 1996, 제V.3절. ISBN 0-387-94549-0.
• Zund, Joseph D. (2002), "George David Birkhoff and John von Neumann: A Question of Priority and the Ergodic Theorems, 1931–1932", Historia Mathematica, 29 (2): 138–156, doi:10.1006/hmat.2001.2338 (버크호프와 폰 노이만이 친구 하워드 퍼시 로버트슨에게 보낸 편지를 바탕으로 한 에르고드 이론의 발견과 출판의 우선순위에 대한 자세한 논의).
• 안제이 라소타, 마이클 CMackey, Chaos, 프랙탈 및 노이즈: 역학의 확률적 측면.스프링거 제2판, 1994년
• 맨프레드 아인시들러와 토마스 워드, 에르고딕 이론, 숫자 이론에 대한 견해.Springer, 2011년
• Jane Hawkins, Ergodic Dynamics: 기본이론에서 어플리케이션, Springer, 2021.ISBN 978-3-030-59242-4

외부 링크

• 에르고딕 이론 (2015년 6월 16일) 코스마 로힐라 샬리지의 비고
• 에르고딕 정리가 물리학계의 시험을 통과하다