Semisimple Lie 대수

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 누점대칭 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

수학에서 리 대수학은 단순한 리 알헤브라스(비-아벨리안 리알헤브라스)의 직접적인 합이라면 반실행된다.

이 글 전체에 걸쳐, 달리 명시되지 않는 한, 리 대수는 특성 0의 한 분야에 걸친 유한 차원 리 대수다. 이러한 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 경우$$0이 아닌 경우 다음 조건이 동일하다.

• ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ ${\$이(가) 구현됨$$.
• 킬링 형태, κ(x,y) = tr(ad(x)ad(y))는 소멸되지 않는다.
• ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ ${\$에는 0이 아닌 아벨리안 이상이 없다.
• ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ ${\$은(는) 0이 아닌 해결 가능한 이상을 가지고$$ 있지 않다.
• $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 급진적(최소 해결 가능한 이상)은 0이다$$.

의의

반편성의 중요성은 첫째, 모든 유한 치수 Lie 대수학은 해결 가능한 이상(그들의 급진적)과 반이행 대수학의 반간접적 산물이라고 기술하는 Levi 분해에서 온다. 특히 논제로 리 대수학은 해결이 가능하고 반실행형도 없다.

Semisimple Lie Algebras는 해결 가능한 Lie Algebras와 극명한 대조를 이루며 매우 우아한 분류를 가지고 있다. 특성 0의 대수학적으로 폐쇄된 영역 위에 Semisimple Lie Algebras는 그들의 루트 시스템에 의해 완전히 분류되고, Dynkin 도표에 의해 차례로 분류된다. 비록 분류가 다소 복잡하지만 비알제리학적으로 폐쇄된 분야보다 세미이 구현된 알제브라는 대수학적으로 폐쇄된 분야로 이해할 수 있다; 실제의 세미이 구현된 리이 알제브라의 경우는 실제 형태를 참조하라.

또한 반실행 리알헤브라의 대표이론은 일반 리알헤브라의 대표이론보다 훨씬 깨끗하다. 예를 들어, 반실행 리 대수학에서의 요르단 분해는 그 표현에서 요르단 분해와 일치한다. 이것은 일반적으로 리 알헤브라의 경우는 아니다.

If ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is semisimple, then ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$. In particular, every linear semisimple Lie algebra is a subalgebra of ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$, the special linear Lie algebra. $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{l}}$ ${\$의 구조에 대한 연구는 반실행 리 알헤브라에 대한 표현 이론의 중요한 부분을 구성한다$$.

역사

복잡한 숫자에 대한 반시 구현된 리 알헤브라는 빌헬름 킬링(1888–90)에 의해 처음 분류되었지만 그의 증거는 엄격하지 않았다. 그의 증거는 그의 박사 논문에서 Elie Cartan (1894)에 의해 엄격하게 만들어졌는데, 그는 또한 실제 리알헤브라를 semisimply realgebras로 분류했다. 이것은 이후 정제되었고, Dynkin 도표에 의한 현재의 분류는 1947년 당시 22세의 유진 Dynkin에 의해 주어졌다. 일부 사소한 수정(잘못된 J. P. Serre에 의해)이 이루어졌지만, 그 증명은 본질적으로 변하지 않으며 (Humphreys 1972년)과 같은 표준 참고 자료에서 찾을 수 있다.

기본 속성

• 리알헤브라의 모든 이상, 지수, 생산물은 다시 반실현이다.^[1]
• 반실행 리 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 중심은 사소한$$ 것이다(중심이 아벨의 이상이기 때문이다). 즉, 부선 표현 ${\displaystyle \mathrm{광고}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} }$이(가) 주입식이다$$. 게다가 이미지 out[2]파생 클래스의 데어 ⁡(g){\displaystyle \operatorname{데어}({\mathfrak{g}})}g{\displaystyle{\mathfrak{g}에}}. 따라서, 광고:g→ ∼ 공작 ⁡(g){\displaystyle \operatorname{광고}:{\mathfrak{g}}{\overset{\sim}{\to}}\operatorname{공작}({\mathfrak{g}})}은 변한다.i기형적 ^[3]기형증 (이것은 화이트헤드의 보조정리 특례)
• 부선표현이 주입형이기 때문에, 반이행 Lie 대수학은 부선표현 아래의 선형 Lie 대수형이다. 이것은 모든 리 대수학이 반드시 부선표현을 통한 것은 아니지만, 일부 다른 벡터 공간(아도의 정리)에 관해서 이미 선형적이기 때문에 어떤 모호성으로 이어질 수 있다. 그러나 실제로 그러한 모호성은 좀처럼 일어나지 않는다.
• If ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is a semisimple Lie algebra, then ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ (because ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ is semisimple and abelian).^[4]
• $특성{\displaystyle \mathfrak{}}$ 0의 필드 k에 대한$$ 유한 차원 Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g$${\$displaystyle${\$mathfak {$g}은$($는) 각 필드 확장자 F ${\displaystyle \supset {}_{}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {$$g$}\$mathfrak$ {$g}\otimes _{k}F}$가 각 필드 확장자 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyledown k}$에 대해 반실행되는 경우에만$$ 반실행된다$.$^[5] 따라서 예를 들어, 유한차원 리얼 리 대수학은 그것의 복잡화가 반실행되는 경우에만 반실행된다.

요르단 분해

특성 0의 영역에 걸친 유한 차원 벡터 공간의 각 내형성 x는 세미 구현(즉, 대수학적 폐쇄에 대해 대각선으로 가능)과 영점 부분으로 고유하게 분해될 수 있다.

${\displaystyle x=s+n\ }$

s와 n이 서로 통근하는 것. 더욱이 s와 n은 각각 x의 다항식이다. 이것은 x의 요르단 분해다.

The above applies to the adjoint representation ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ of a semisimple Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. An element x of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is said to be semisimple (resp. nilpotent) if ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ is a semisimple (resp. nilpotent) 연산자.^[6] $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$인 경우, 추상적인 요르단 분해에서는 x를 다음과 같이 고유하게 쓸 수 있다고 명시한다.

${\displaystyle x=s+n}$

여기서 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$은(는) 반시 구현이고, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$}은$$(는) nilpotent이고 $[{\displaystyle s,}$n]${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$} ${\displaystyle [s,n]=0$^[7] 게다가 ${\displaystyle y\mathfrak{}}$ ${\displaystyle \in }$ g ${\displaystytyclock {g}$이(으)로 통하면 s, ${\${\$displaysty$, {\displaysty)도 $통한다$.

어떤 표현도 주어진 ρ, 어떤 의미에서의 $g$ ${\$의 표현을 통한 추상적인 Jordan 분해 인자.

$\displaystyle \rho(x)=\rho(s)+\rho(n)\,}$

대표 공간의 내형성 대수학에서 ρ(x)의 요르단 분해다.^[8] (이것은 Weyl의 완전한 환원성 정리의 결과로서 증명된다; 완전한 환원성에 대한 Weyl의 정리를 참조하라#Application: Jordan 분해의 보존)

구조

특성 0의 대수적으로 닫힌 장에 $대해{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\${\$mathfrak{g}}$를 (완료 차원) 반 구현 리 대수학으로 하자$$. $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 구조는 카르탄 하위골격인 그 위에 있는 어떤 구별되는 하위골격의 조정된 작용으로 설명할$$ 수 있다. By definition,^[9] a Cartan subalgebra (also called a maximal toral subalgebra) ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is a maximal subalgebra such that, for each ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$, ${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$ is diagonalizable. 밝혀진 바와 같이 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는) 아벨리안이기 때문에 $h${ad$}({\mathfrak$ {$h})$의 모든 연산자는 동시에 대각선이 가능하다$$. $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 각 선형 함수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 대해 다음을 수행하십시오$.$

${\displaystyle {\alpha }_{}}$= ${\displaystyle \text{모든}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle h}$에 ${\displaystyle \text{대해}}${ x$$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$[ $h$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$= $α$( ${\displaystyle h}$) $}$ {\$displaystyle${\$mathfrak{g$}}$_{\n1}=\x\in {\mathfrak$ {g$}[h,x]=\x\,{\text$

($g{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$은(는) h ${\$ {h$}$의 중심제라는 점에 유의하십시오.)$$ 그러면

(표시하기 가장 어려운 항목은 ${\displaystyle 딤{\mathfrak{}}_{}}$ g ${\displaystyle {\alpha }_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \dim {\mathfrak{g}_{\alpha }=1}$입니다$.$ 그 표준은 나는 2{\displaystyle{\mathfrak{sl}s의 표현론에서}}몇가지 사실 _{2}사용합니다. 예, 세르다는 사실을 부정적인 체중이 원시적 요소를 가진 나는 2s{\displaystyle{\mathfrak{sl}}_{2}}-module, 어둑한 ⁡ g<>모순적인;∞{\displayst 5를 사용합니다 proofs.yl$e \\mathfrak{g}<\infully }.)$

Let ${\displaystyle h_{\alpha }\in {\mathfrak {h}},e_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha },f_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$ with the commutation relations ${\displaystyle [e_{\alpha },f_{\alpha }]=h_{\alpha },[h_{\alpha },e_{\alpha }]=2e_{\alpha },[h_{\alpha },f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }}$${\displaystyle [e_{\alpha },f_{\alpha }]=h_{\alpha },[h_{\alpha },e_{\alpha }]=2e_{\alpha },[h_{\alpha },f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }}$; i.e., the ${\displaystyle h_{\alpha },e_{\alpha },f_{\alpha }}$ correspond to the standard basis of ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$.

${\displaystyle \Phi}$의 선형 함수는 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ ${\mathfrak {g}$에 상대적인$$ g ${\$ ${\mathfrak {h}$의 루트라고 불린다$$$.$ The roots span ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ (since if ${\displaystyle \alpha (h)=0,\alpha \in \Phi }$, then ${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$ is the zero operator; i.e., ${\displaystyle h}$ is in the center, which is zero.) $더욱이{\displaystyle }$, $s{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{l}}_{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}${\$displaystyle${\$mathfrak{sl$$}$$_{2}}$의 표현 이론에서$,$${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle \mathrm{\beta }}$ ${\displaystyle \in }$ \ $\$display \$displaystyle$ \$alpha$,\$beta \$in \$Phi$ $\}$에 대해 다음과 $같은{\displaystyle \mathrm{}}$ 대칭성과 적분할 수 있다$.$

Note that ${\displaystyle s_{\alpha }}$ has the properties (1) ${\displaystyle s_{\alpha }(\alpha )=-\alpha }$ and (2) the fixed-point set is ${\displaystyle \{\gamma \in {\mathfrak {h}}^{*} \gamma (h_{\alpha })=0\}}$, which means that ${\displaysty$$le{\displaystyle }$ $s_{\alpha }}}$은(는) α$${\$displaystyle \alpha$}에 해당하는 하이퍼플레인에 대한 반사로$,$ 위에서는 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$이(가) 루트 시스템이라고 되어 있다.

It follows from the general theory of a root system that ${\displaystyle \Phi }$ contains a basis ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$ of ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ such that each root is a linear combination of ${\displaystyle \alpha _{1},\dots$$,\cHB _{l}$ 같은 부호의 정수 계수를 가진$$ 뿌리 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ \i$}$를$단순근$이라고 한다. $Let{\displaystyle {}_{}}$ e ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha {}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ ${\$$i}}$ 등 그런 다음 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle 3l}$ 요소$$ $e{\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{f}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$Chevalley generator라고 함)는 Lie 대수로서$$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$mathfak{$g}를 생성$한다. 더욱이, ${\displaystyle {\mathrm{그들}}_{}}$은 관계를 만족시킨다(Serre relationships): $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle {\alpha j}_{}}$( ${\displaystyle h_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle a_{ij}=\alpha _{j}(h_{i$

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]=0,}$

$jdisplaystyle [e_{i},f_{i}]=0,i_{j},ne\neq,},}$

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j}}}}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (e_{i})^{-a_{ij}+1}(e_{j})=\operatorname {ad} (f_{i})^{-a_{ij}+1}(f_{j})=0,i\neq j}$.

이것의 반대도 역시 사실이다.즉, 발전기에 의해 생성되는 Lie 대수학과 위와 같은 관계는 (완료차원) semisimple Lie 대수로서, 위에서와 같은 루트 공간 분해를 가지고 있다$$$([a$ ${\displaystyle j_{}}$ $≤$ l${displaystyle$ [$a_${ij$}]_${$1\leq i,j\leq l}).$ 이것은 세레의 정리다. 특히 두 개의 반시 구현된 리 알헤브라는 같은 뿌리 체계를 가지고 있다면 이형성이 있다.

뿌리 시스템의 자명성과 세레의 정리가 시사하는 바는 가능한 모든 뿌리 시스템을 열거할 수 있다는 것이다. 따라서 "모든 가능한" 반시 구현 리 알헤브라스(특성 0의 대수적으로 닫힌 장에 대한 최종 차원).

Weyl 그룹은 $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$$displaystyle {\mathfrak {h}^{*}\simeq {\mathfrak {h}$s$\}$에 의해 생성된$$ h${\displaystyle {}^{}}h{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ≃ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle h\mathfrak{}}$ ${\$$displaystyle s_{\alpha$}의 선형 변환 그룹이다. Weyl 그룹은 문제의 중요한 대칭이다. 예를 들어, $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 유한 차원 표현 가중치는$$ Weyl 그룹 하에서는 불변이다.^[11]

sl_n(C)의 루트 공간 분해 예제

For ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$ and the Cartan subalgebra ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ of diagonal matrices, define ${\displaystyle \lambda _{i}\in {\mathfrak {h}}^{*}}$ by

${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}{}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle i_{}}$ ${\$

여기서 $d{\displaystyle }$( ${\displaystyle 1_{}{}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle d(a_{1},\ldots ,a_{n}}}$는 대각선 행렬을 ${\displaystyle {나타내며}_{}}$, 대각선 위에$$ 1 ,${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$, , ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 그러면 분해는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\mathfrak{g}={\mathfrak {h}\oplus \{i\neq j}{\bigoplus _{neq j}{\mathfrak {g}{i}-\j}\오른쪽)}$

어디에

${\displaystyle {\mathfak{g}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}={j}}}{\text{Span}}_{\mathb {C}}{ij}}}}}}$

for the vector ${\displaystyle e_{ij}}$ in ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$ with the standard (matrix) basis, meaning ${\displaystyle e_{ij}}$ represents the basis vector in the ${\displaystyle i}$-th row and ${\displaystyle j}$-th column. $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 이러한 분해에는 다음과$$ 같은 루트 시스템이 있다.

$displaysty \Phi =\\\\lambda _{j:i\neq j\}}}}}}}}}}$

sl₂(C)

예를 들어, $s{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ l ${\displaystyle 2\mathbb{}{}_{}}$( C${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathfrak {sl}_{2}(\mathb {C} )}$에서 분해는$$

${\displaystyle {\mathfrak{sl}_{2}={\mathfrak {h}\oplus {g}{1}-\mathda _{1}{1}-\mathda _{2}}\mathfrak {g}{2}-\mathda _{1}}}}}$

그리고 관련 루트 시스템은

$displaysty \Phi =\\\\lambda _{1}-\lambda _{1}.$

sl₃(C)

$s{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle l\mathbb{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$( C${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathfrak {sl}_{3}(\mathb {C})}$에서 분해는$$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{2}}}$

시스템은 관련에 .

${\displaystyle \Phi =\{\pm(\lambda _{1}-\lambda _{2}),\pm(\lambda _{1}-\lambda _{3}),\pm(\lambda _{2}-\lambda _{3}\}\}}}}})}}}}}}}}).$

예

#구조에서 지적한 바와 같이 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$또는 보다 일반적으로 특성 0의 대수적으로 닫힌 필드)에 대한 반실행 리알헤브라는 그들의 카르탄 하위알제브라와 연관된 루트 시스템에 의해 분류되고, 다시 루트 시스템은 Dynkin 다이어그램에 의해 분류된다. 딘킨 도표에서 유래한 표기법과 함께 고전적인 리알헤브라스인 반실행 리알헤브라의 예는 다음과 같다.

• ${\displaystyle A_{}}$: ${\displaystyle A_{n}:}$ $s$${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ l ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ 특수 선형 Lie 대수$.$
• ${\displaystyle {Bn}_{}}$: ${\displaystyle B_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{o}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$+ 1 ${\$홀수차원 특수직교 Lie 대수.
• ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$: ${\displaystyle C_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak{s<img\; alt="C\_\{n\}:"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/696f5a77bea0701b14f1fe74e01c54d2d71b736b"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:4.172ex;\; height:2.509ex;">}}_{}}$ p ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}${\$displaystyle${\$mathfrak {sp}_{2n$ 동정적 거짓말 대수.
• ${\displaystyle D_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$: ${\displaystyle D_{n}}$s ${\displaystyle {\mathfrak{o<img\; alt="D\_\{n\}:"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/801bff71dbd7e497e321f80c63d24e24846e06f6"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:4.435ex;\; height:2.509ex;">}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$ ${\$ 짝수차원 특수직교 Lie 대수(> 1 ${\displaystyle n>1}).$

$s$ ${\displaystyle {\mathfrak{o}}_{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle$ $D_$${n$$}$ 계열의$$ 제한 > ${\$$displaystyle$ $D_{n$}{$n}$는 1차원적이고 대응적이므로$$ 반실행하지 않기 때문에 필요하다.

이 리알헤브라는 번호가 매겨져 있어서 n이 순위다. 이 반시 구현된 거의 모든 리 알헤브라는 실제로 단순하며 이들 가족의 구성원들은 작은 계급에서의 약간의 충돌을 제외하고는 거의 모두 구별된다. For example ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\oplus {\mathfrak {so}}_{3}}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{5}}$. 이 네 가문은 다섯 가지 예외(E₆, E₇, E, F₈₄, G₂)와 함께, 사실 복잡한 숫자에 대한 유일한 단순한 리알헤브라이다.

분류

단순한 리algebras(정의에 의해)의 모든 semisimple 리 대수 특성 0의 대수적으로 닫혀 밭에 직접적인 합, 그리고 네 가족의 유한 차원의. 단순한 거짓말algebras 가을 –, 5예외 E1, E7, E8, F4, 그리고 G2과 Bn, Cn, 데카넴 –.심플 리 algebras 연결된 Dynkin 도표, 표시에 의해서 분류된다. righbras는 semisimple Lie 알헤브라는 Dynkin 도표와 반드시 연결된 것은 아니며, 여기서 도표의 각 구성요소는 semisimple Lie 대수학을 단순한 Lie 알헤브라스로 분해하는 요약에 해당한다.

분류는 Cartan 하위골격(아래 참조)과 Lie 대수학에 대한 조정 작용을 고려함으로써 진행된다. 그러면 작용의 루트 시스템은 둘 다 원래의 Lie 대수학을 결정하고 매우 제약적인 형태를 가져야 하는데, 이것은 Dynkin 도표로 분류할 수 있다. 자세한 내용은 Cartan subalgebras 및 루트 시스템에 대해 설명하는 아래 절을 참조하십시오.

이 분류는 수학에서 가장 우아한 결과들 중 하나로 널리 여겨지고 있는데, 공리의 간략한 목록은 비교적 짧은 증거를 통해 놀라운 구조를 가진 완전하지만 비독점적인 분류를 산출한다. 이는 상당히 복잡한 유한단순집단의 분류와 비교해야 한다.

4개 계열의 열거는 비중복적이며 A의$$_n ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ n${\displaystyle }$≥ 1 ${\displaystyle$ n$\geq$1}, B의$$_n $경우{\displaystyle }$ n${\displaystyle 2}$ 2$${\$displaystyle$n\$geq$2}, C의$$_n $경우{\displaystyle }$ n${\displaystyle 4}$ 3$${\$displaystyle$n\$geq$$$3}, D의$$_n $경우{\displaystyle }$ n${\displaystyle 4}$ 4$${\$displaystystylease$ n\$daystyleann\$gylease n\$geq$ n\jeq 4$}$으로 구성된다. 만약 한 사람이 숫자를 낮추기 시작하면, 열거는 중복되고, 한 사람은 다이킨 도표의 이형성에 반영되는 단순한 리 알헤브라스 사이에 예외적인 이형성을 가지고 있다; E_n 또한 아래로 확장될 수 있지만, E₆ 아래의 이형성은 다른 비 예외 알헤브라에 이형성을 가진다.

비알제리학적으로 폐쇄된 영역에서는 분류가 더 복잡하다 – 한 영역은 대수학적으로 폐쇄된 영역보다 단순한 리알제브라를 분류하고, 이 영역들 각각에 대해 이러한 형태를 가진 원래 영역(폐쇄 오버)보다 단순한 리알제브라를 분류한다. 예를 들어, 간단한 실제 리알헤브라를 분류하기 위해, 주어진 복잡성을 가진 실제 리알헤브라를 분류하는데, 이것은 복잡한 리 대수학의 실제 형태라고 알려져 있다; 이것은 사타케 도표에서 할 수 있다. 사타케 도표는 추가 데이터가 있는 Dynkin 도표("변색")^[12]이다.

반실현 리알헤브라의 표현 이론

특성 0의 대수적으로 닫힌 장에 $대해{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\${\$mathfrak{g}}$를 (완료 차원) 반 구현 리 대수학으로 하자$$. Then, as in #Structure, ${\textstyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ where ${\displaystyle \Phi }$ is the root system. $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi}$에서 단순 루트를 선택하십시오$.$ $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi}$의 루트 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\alpha$$}$은(는) 양수라고 하며$$, 음수가 아닌 정수 계수를 가진 단순 루트의 선형 결합인 경우 > 0 ${\displaypa$ >로 표시된다$.$ Let ${\textstyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$, which is a maximal solvable subalgebra of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, the Borel subalgebra.

V를 (가능성-무한 차원) 단순 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ -module로$$ 한다. V가 우연히 $b{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ -weight$$ 벡터 ${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\$을$($^[13]를) 승인하면 스케일링에 따라 고유하며 V의 최고 중량 벡터라고 한다. $또한{\displaystyle \mathfrak{}}$ h ${\$ -weight$$ vector이며, ${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ v_${0}$의 $중량$인 h ${\$displaystyle $v_${h}의 선형 함수인$$h ${\$을 V의 최고 중량이라고 한다$.$ 기본적인 아직 적지 않은 facts[14] 다음 각 선형 기능μ∈ h({\displaystyle\mu \in{\mathfrak{h}}^{*}}, 단순한 g{\displaystyle{\mathfrak{g}}존재하}-module Vμ{\displaystyle V^{\mu}}의 그것의 가장 높은 중량μ{\displaystyle \mu} 드시고 havi 2단순한 모듈(2)(1) 있다.쇼핑 동일한 최고 중량은 등가물이다. 요컨대, $∗{\$ 사이에$$ bijection이 존재하며, 보렐-중량 벡터를 허용하는 $단순$한$$g {\$displaystyle${\$mathfrak{g$}-modules의$$ 동등성 등급 집합이 존재한다.

애플리케이션의 경우 흔히 유한차원 단순 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ -module$$(한정차원 불가역 표현)에 관심이 있다. 특히 $G{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) Lie 그룹의 Lie 대수(또는 이와 같은 복합화)인 경우$$, Lie 통신문을 통해 Lie 대수표현을 Lie 그룹 대표성으로 통합할 수 있기 때문이다. 어디 hα 다음 기준:긍정적인 바일실로 C({\displaystyle C\subset{\mathfrak{h}}^{*}}h⊂, 우리는 C){μ ∈ h∗ μ(hα)≥ 0,α∈ Φ>0}{\displaystyle C=\{\mu \in{\mathfrak{h}}^{*}\mu(h_{\alpha})\geq 0,\alpha\in \Phi 을은 볼록 콘은 것이죠.} 이러한 필요 0\}을 다룬다. ∈는 경우${\displaystyle {\alpha }_{}}$, ${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ -$$${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{\alpha }\in[{\mathfrak {g}_{\$$alpha$ $}},{\mathfrak{g}}}}{\$mathfrak {g}}}{-\$alpha$$$$}}}}}}}}}$은$($^[15]α) = ${\displaystyle 2}$ ${\displaystategetergeterget \data$

• ${\displaystyle \dim V^{\mu }<\infty }$ if and only if, for each positive root ${\displaystyle \alpha >0}$, (1) ${\displaystyle \mu (h_{\alpha })}$ is an integer and (2) ${\displaystyle \mu }$ lies in ${\displaystyle C}$.

위의 등가 조건을 만족하는$$ 선형 기능 $[\displaystyle \mu }$을(를) 지배적 적분 중량이라고 한다. 따라서 요약하면, 최고 중량의 정리라고 알려진 결과인 유한차원 단순 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ -modules의$$ 지배적 적분 가중치와 동등성 등급 사이에 편차가 존재한다. 유한차원 단순모듈의 특성을 차례대로 Weyl 문자 공식으로 연산한다.

Weyl로 인한 정리는 특성 0의 영역에 걸쳐 반실행 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 모든 유한차원 모듈은 완전히 축소할 수 있다고$$ 말한다. 즉, $단순$한 g ${\$ -modules의$$ 직접적인 합이다. 따라서 위의 결과는 반실행 Lie 대수학의 유한 차원 표현에 적용된다.

Real semisimple Lie 대수

특성 0을 가지고 있지만 대수적으로 닫히지 않는 분야에 대해 반실행 Lie 대수학의 경우, 특성 0의 대수적으로 닫힌 분야에 대한 이론과 같은 일반적인 구조 이론은 없다. 그러나 실수의 분야를 넘어서는 구조적인 결과가 여전히 존재한다.

Let ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ be a finite-dimensional real semisimple Lie algebra and ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ the complexification of it (which is again semisimple). 리얼 리 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은 g $C{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\$실제 형태는 그 위에 있는 킬링 폼이 음정확하면 콤팩트한 형태의 리 대수(헨스, 이름)라고 한다$$.

콤팩트 케이스

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) 콤팩트한 $형태$이며 h${\displaystyle g\mathfrak{}}$ g$${\$displaystyle {\mathfrak {h}\subset${\$mathfrak$ {g$}}}$이(가) 최대 아벨리안 하위 공간이라고 가정하자. One can show (for example, from the fact ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is the Lie algebra of a compact Lie group) that ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$ consists of skew-Hermitian matrices, diagonalizable over ${\displaystyle \mathbb {C} }$ with imaginary eigenvalues. 따라서 $h{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\displaystyle C^{\mathbb{}}}$ ${\$h}^{\mathb${C}}}}}$은 g ${\displaystyle C^{\mathbb{}}}$ ${\$의 카르탄 하위골이며, 그 결과$$ 루트 공간분해(cf)가 발생한다$$. #구조)

${\displaystyle {\mathfrak{g}^{\mathfrak {h}}={\mathfrak {h}^{\mathb {C}}\\\notus \bigoplus _{\alpha \}{\mathfrak {g}}}}{\alpha}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

여기서 각 ${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$ ${\displaystyle \in }$ $∈{\displaystyle \alpha \$in \$Phi$$}$은(는) ${\displaystyle i\mathfrak{}}$h {\$displaystyle$i{\$mathfrak{h}$에서 실제 값되므로, 실제 벡터 $공간{\displaystyle }$ i ${\displaystyle h\mathfrak{}}$ ${\$에서 실제 선형 함수로 식별할 수 있다$.$

예를 들어 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$= ${\displaystyle s\mathfrak{u}}$ ( $){\displaystyle {\mathfrak{g}={\mathfrak{$$su$$}}}}}을($를) 두고 h ${\displaystyle h}$ g {\displaystyle{$h}\subset{\mathfrak{g}}}}}$을 모든 대각 행렬의 하위$$ 공간으로 한다. Note ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$. Let ${\displaystyle e_{i}}$ be the linear functional on ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$ given by ${\displaystyle e_{i}(H)=h_{i}}$ for ${\displaystyle H}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{diag}}$ ${\displaystyle }$( h ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle H=\operatorname {diag}(h_{1},\dots ,h_{n$ 그런 다음 각 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\displaystyle C^{\mathbb{}}}$ ${\$

${\displaystyle [H,E_{ij}]=(e_{i}(H)-e_{j}(H))E_{ij}}$

여기서 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는${\displaystyle }$(${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$) ${\displaystyle (i,j)}$ -th$$ 번째 지점과 0을 갖는 행렬이다$$. 따라서 각 루트 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$은(는${\displaystyle )}$ $\alpha {\displaystyle }$ = ${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{e}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle ij}$ j ${\displaystyle$\\displaystyle $\alpha =e_-e_{j},i\neq$ j$}$ 형식이며, 루트$$ 공간 분해는 행렬의 분해이다.^[16]

${\displaystyle {\mathfrak{g}^{\mathb {C}={\mathfrak {h}^{\mathb {C}}}\neq j}\mathb {C}{ij}.}$

비컴팩트 케이스

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) 반드시 컴팩트한 형태는 아니라고 가정하십시오(즉, 킬링 폼의 서명이 모두 음성은 아님). Suppose, moreover, it has a Cartan involution ${\displaystyle \theta }$ and let ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ be the eigenspace decomposition of ${\displaystyle \theta }$, where ${\displaystyle {\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}}$ are the eigensp각각 1과 -1에 대한 에이스. 예를 들어 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$= s ${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathbb{}}$ ${\$ {$g}={\mathfrak$ {$sl$$}_{n}\$$mathfrak$${R}}$과(와) $\$ {\$displaystyle$$\theta}$ 음의$$ 전치(transpose)인 $경우{\displaystyle \mathfrak{}}$ k${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{so}}\}\}.$

${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle p\mathfrak{}}$ ${\$을(를) 최대 아벨의 하위 공간이 되도록$$ 한다. 이제 ${\displaystyle \mathrm{ad}}$ ${\displaystyle (p}$) ${\displaystyle \operatorname {ad}({\mathfrak{p})$은 대칭 행렬(적합한 내부 제품에 대한)으로 구성되므로$$ ${\displaystyle ad\mathfrak{}}$ ${\displaystyle (}$) ${\displaysty \operatorname {ad}({\mathfrak {a})}$에 있는 연산자는 실제$$ 고유값이 동시에 대각선이다. 대수적으로 닫힌 베이스 필드에 대한 인수를 반복함으로써 분해(제한된 루트 공간 분해라고 함)를 얻는다.^[17]

${\displaystyle {\mathfrak{g}={\mathfrak {g}_{0}\plus \bigoplus _{\alpha \in \Phi}{\mathfrak {g}{\alpha}}}}}}}$

어디에

• $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$의 원소를 제한된 루트라고 부른다.
• ${\displaystyle }$$\theta {\displaystyle }$${\displaystyle ({\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= g -${\displaystyle {}_{\alpha }}$ ${\$ $\$$theta({\mathfak{g}_$${\$$alpha }}={\$mathfrak${g}}{-\$$alpha }}}}}={\$$mathfak${g$\}\}\}\}\}\}\}=$특히$$ -${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ ${\displaystyle \subset }$\$displayplaystypset$$Sub.$
• ${\displaystyle {\mathfrak{g}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$= ${\displaystyle a\mathfrak{}}$ ${\displaystyle \oplus }$ Z ${\displaystyle k_{}}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathfrak {g}_{0}={\mathfrak {a}\$mathfrak {a}\$oplus Z_{\mathfrak{k}}}{\mathfrak {a$

더욱이 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi}$은(는) 루트 시스템이지만 반드시 줄인 것은 아니다(즉, $\alpha {\displaystyle }$ ,${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha ,2\alpha }$은(는) 양쪽 루트일$$ 수 있다).

sl(n,C)의 경우

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$= ${\displaystyle \mathrm{s}}$ l${\displaystyle }$(${\displaystyle n\mathbb{}}$, C${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathfak {g}=\mathrm {sl}(n,\mathb{$$C$$\})\}\}$인 $경우{\displaystyle \mathfrak{}}$, 대각선 합계가 0인 대각선 행렬로 구성된 h$$${\$을(으)의 대각 하위 행렬로 취할 수 있다$$. $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 ${\displaystyle \mathrm{차원}}$ $n{\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle n-1$이(가) 있으므로 $s{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{l}}$(${\displaystyle n\mathbb{}}$; C${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {sl}(n;\mathb {C})}$에 순위 $n{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaysty n-1}$이(으)인 것을 알 수 있다$.$

The root vectors ${\displaystyle X}$ in this case may be taken to be the matrices ${\displaystyle E_{i,j}}$ with ${\displaystyle i\neq j}$, where ${\displaystyle E_{i,j}}$ is the matrix with a 1 in the ${\displaystyle (i,j)}$ spot and zeros elsewhere.^[18] $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 대각선 행렬이고 대각선 항목 ${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$,${\displaystyle {\lambda }_{}}$ n ${\$ 그러면 다음이 된다$.$

${\$$E_{i,j$

따라서 $s{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{l}}$(${\displaystyle n\mathbb{}}$, C${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {sl}(n,\mathb {C}$)의 루트는 다음과$$ ${\displaystyle {\mathrm{같이}}_{}}$ 주어진$$ 선형 함수 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, j ${\$이다.

${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle j_{}}$( ${\displaystyle H}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ i -${\displaystyle {}_{}{\lambda }_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$

$이중$으로$$h {\$displaystyle${\$mathfak{$h}}을$$(를) 식별한 후,$뿌리는{\displaystyle }$ n {\$displaystyle n}$ -tubles의$$ 공간에서$$ 벡터 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$, j ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ j {\$displaysty \alpha _{i}-e}-e_{j}}}}}}}}}}$가 된다. 이것은 전통적인 라벨링에서$$ ${\displaystyle A_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$로 알려진 루트 시스템이다.

루트 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle j_{}}$ ${\$과(와$)$ 관련된 반사는 $i{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ $i$$}$ j {\$displaystyj$} 대각선$$ 항목을 $전치$하여 h$${\$displaystystyle${\$mathfak$ {$h}$에 작용한다$$. $그러면{\displaystyle }$ Weyl 그룹은 n ${\displaystyle$ n$} 요소$의 순열 그룹일 뿐이며, 행렬의 대각선 항목을 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 허용함으로써 작용한다.

일반화

Semisimple Lie Algebras는 특정한 일반화를 인정한다. 첫째로, 반실행형 리알헤브라에 대한 많은 진술은 환원형 리알헤브라에 대해 더 일반적으로 진실이다. 추상적으로 환원형 Lie 대수학(reducation rel)은 부선표현이 완전히 환원 가능한 대수인 반면, 구체적으로는 환원형 Lie 대수학은 반실행형 Lie 대수학 및 아벨리안 Lie 대수학의 직접적인 합이다. 예를 $들어{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{l}}_{}}$ ${\displaystyle{sl}_{n}}}$은 반실행형이고, ${\displaystyle {gn}_{}}$은 ${\${\$mathfrape{\$mathfrape{\cl}{\mathfractypark${{$$gl}}_{n}}$은(는) 환원성이 있다$$. 반시 구현된 리 알헤브라의 많은 특성들은 환원성에만 의존한다.

복잡한 반실행/감소형 리알헤브라의 많은 특성은 대수적으로 닫힌 분야에 대한 반실행/감소형 리알헤브라의 경우뿐만 아니라, 다른 분야에 대한 분할 반실행/감소형 리알헤브라의 경우 더 일반적으로 적용된다: 대수적으로 닫힌 분야에 대한 반실행/감소형 리알헤브라는 항상 분할되지만, 다른 분야에 대해서는 그렇지 않다.항상 그렇다. 스플릿 리 알헤브라는 대수적으로 닫힌 들판보다 리 알헤브라를 구현하는 것과 본질적으로 동일한 표현 이론을 가지고 있다. 예를 들어, 갈라지는 카르탄 아발헤브라가 대수적으로 닫힌 들판에서 하는 것과 같은 역할을 하는 카탄 아발헤브라를 구현한다. 예를 들어, 분할 반 구현/축소 리 알헤브라의 표현을 분류하는 (Bourbaki 2005)에 따른 접근법이다.

반 구현 및 축소 그룹

연결된 Lie 그룹은 그것의 Lie 대수학이 semisimple Lie 대수, 즉 간단한 Lie 알제브라의 직접적인 합이라면 semisimple이라고 불린다. 자신의 리 대수학이 단순하고 사소한(1차원) 리 알헤브라의 직접적인 합계라면 환원법이라고 한다. 환원군은 대수, 기하, 물리학에서 다수의 수학 물체의 대칭으로 자연적으로 발생한다. 예를 들어, n차원 리얼 벡터 공간 대칭의$$ G ${\displaystyle L_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}R\mathbb{}}$) ${\displaystyle GL_{n}(\mathb {R}$ ) 그룹$($동일하게, 반전 가능한 매트릭스 그룹)은 환원적이다.

참고 항목

• 리 대수
• 루트 시스템
• 리 대수 표현
• 콤팩트 그룹
• 심플리리 그룹
• 보렐 아발지브라
• 제이콥슨-모로조프 정리

참조