대칭공간

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

수학에서 대칭 공간은 리만 다지관(또는 더 일반적으로는 사이비-리만 다지관)이며, 대칭 집단은 모든 점에 대해 반전 대칭을 포함한다.이것은 리만 기하학의 도구로 연구할 수 있으며, 홀로노미 이론에서 결과를 이끌어 낼 수도 있고, 혹은 카르탄이 완전한 분류를 할 수 있게 해준 리이론을 통해 대수적으로 연구할 수도 있다.대칭 공간은 일반적으로 미분 기하학, 표현 이론 및 고조파 분석에서 발생한다.

기하학적 관점에서, 완전하고 단순하게 연결된 리만 다지관은 그것의 곡률 텐서가 평행 운송 하에서 불변하는 경우에만 대칭적인 공간이다.보다 일반적으로, 리만 다지관(M, g)은 M의 각 p 지점에 대해 M 고정 p의 등각도가 존재하고 접선 $공간{\displaystyle {}_{}}$ T ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle T_{p}M}$에 작용하는 경우에만 대칭이라고 한다(모든 대칭 공간은 대칭을 통해 무한 확장될 수 있기 때문에 모든 대칭 공간이 완성됨).e 끝점).두 가지 설명 모두 자연스럽게 사이비-리만 다양성의 설정으로 확장될 수 있다.

Lie 이론의 관점에서 대칭 공간은 G의 비자발성의 불변성 그룹(연결된 구성 요소)인 Lie 부분군 H에 의해 연결된 Lie 그룹 G의 몫이다.이 정의는 리만 정의보다 더 많이 포함되며, H가 콤팩트할 때 정의로 축소된다.

리만 대칭 공간은 수학과 물리학 모두에서 매우 다양한 상황에서 발생한다.Holonomy 이론에서 그들의 중심적 역할은 Marcel Berger에 의해 발견되었다.그것들은 미분 기하학뿐만 아니라 표현 이론과 조화 분석에서도 중요한 연구 대상이다.

기하학적 정의

Let M be a connected Riemannian manifold and p a point of M. A diffeomorphism f of a neighborhood of p is said to be a geodesic symmetry if it fixes the point p and reverses geodesics through that point, i.e. if γ is a geodesic with ${\displaystyle \gamma (0)=p}$ then ${\displaystyle f(\gamma (t))=$$\gamma(-t).}$ p에서 지도 f의 파생상품은 p의 접선 공간에 있는 ID 지도를 뺀 것으로 이어진다$$.일반적인 리만 다지관에서는 f가 등축일 필요도 없고, 일반적으로 p의 이웃에서 M의 전체로 확장될 수도 없다.

M은 지오데틱 대칭이 사실 등축이라면 국부적으로 리만 대칭이라고 한다.이는 곡률 텐서의 공변량 파생물이 사라지는 것과 같다.국소 대칭 공간은 지오데틱 대칭이 M의 모든 등각도로 확장될 수 있다면 (광택) 대칭 공간이라고 한다.

기본 속성

카르탄-암브로즈-힉스 정리는 M이 곡률 텐셔너가 공변적으로 일정할 경우에만 국소적으로 리만 대칭이며, 나아가 단순히 연결되고 완전한 리만 대칭 공간은 사실상 리만 대칭이라는 것을 암시한다.

모든 리만 대칭 공간 M은 완전하고 리만 공간은 동질적이다(M의 등위계 그룹이 M에 대해 전이적으로 작용한다는 것을 의미한다).사실, 이미 등위계 집단의 정체성 요소는 M에 대해 전이적으로 작용한다(M이 연결되어 있기 때문이다).

리만 대칭이 아닌 로컬 리만 대칭 공간은 고정된 지점이 없는 이산형 이성계의 그룹에 의해 리만 대칭 공간의 인수로 구성될 수 있으며 (로컬적으로) 리만 대칭 공간의 오픈 서브셋으로 구성될 수 있다.

예

리만 대칭 공간의 기본 예로는 각각 표준 리만 지표를 가진 유클리드 공간, 구체, 투영 공간, 쌍곡 공간 등이 있다.더 많은 예들이 바이인바리안트 리만 메트릭스를 갖춘 콤팩트한 반단순 리 그룹에 의해 제공된다.

1보다 큰 속(일반적으로 일정한 곡률 -1)의 모든 콤팩트 리만 표면은 국소 대칭 공간이지만 대칭 공간은 아니다.

모든 렌즈 공간은 대칭이지만 대칭이 아닌 $L{\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$, $){\displaystyle L (2,1$)}을$($를) 제외한 모든 렌즈 공간은 대칭이다.렌즈 공간은 고정점이 없는 이산형 등각계에 의한 3-sphere의 비율이다.

비-리만 대칭적 공간의 한 예가 반-데 시터 공간이다.

대수적 정의

G를 연결된 Lie 그룹이 되게 하라.그 다음 G에 대한 대칭 공간은 균일한 공간 G/H이며, 여기서 일반적인 지점의 스태빌라이저 H는 Auto(G)에서 비자발성 of의 고정 지점 세트의 열린 부분군이다.따라서 σ은² of = id를_G 가진 G의 자동형이며, H는 불변 집합의 열린 부분군이다.

${\displaystyle G^{\sigma }=\{g\in G:\sigma(g)=g\}}$

H는 개방적이기 때문에 G의^σ 구성요소(물론 신분 구성요소를 포함한다)의 조합이다.

G의 자동형성으로서 σ은 정체성 요소를 고정시키고, 따라서 그 정체성을 구분함으로써 σ이 나타내는 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${g$}$의 자동형성을 유도하는데, 그 정사각형은 σ이 나타내는 G의 Lie 대수 g {\displaystystyle {\mathfak${g$}.σ의 고유값은 ±1이다.+1 eigenspace는 H의^σ Lie 대수 h ${\$이며, -1 eigenspace는 $m{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$σ은 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 자동형이기 때문에 분해 합이 된다$.$

${\displaystyle {\mathfrak{g}={\mathfrak {h}\mathfrak {h}\\mathfrak {m}}$

와 함께

${\displaystyle [{\mathfrak{h}},{\mathfrak{h}}\mathfrak{h},\[\mathfrak{m}], {\mathfrak{m}, {\mathfrak}, {h}}, {\mathfrak}, {h}.}$

첫 번째 조건은 모든 균일한 공간에 대해 자동이다. 즉, 극소수의 $스태빌라이저{\displaystyle \mathfrak{}}$ h ${\$이(가) $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 Lie 하위 골격이라고 한다$.$두 번째 조건은 $m{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$displaystyle {\mathfak{m}}$이(가) $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$mathfak$$${$h}$의 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$mathfak$$${$h}$에 대한 내변성$$ 보완제라는$$ 것을 의미한다$.$따라서 모든 대칭 공간은 환원성 균질 공간이지만 대칭 공간이 아닌 환원성 균질 공간이 많다.대칭 공간의 주요 특징은 $m{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$로 대칭되는$$ 세 번째 조건이다$.$

반대로, 이 세 가지 조건을 만족하는 직접적인 합계 분해를 $가진$ Lie 대수 g ${\$을(를) 고려할 때$,$ $선형{\displaystyle \mathfrak{}}$ 지도 σ은 h {\$displaystyle {\$$mathfak {m}$에 있는 아이덴티티티티와 동일하고 m$$ ${\displaystyfrak$ {m}에 대한 아이덴티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티티

리만 대칭 공간은 거짓말-이론적 특성화를 만족시킨다.

M이 리만 대칭 공간이라면, M의 등측도 그룹의 아이덴티티 성분 G는 M(즉, M은 리만 동질이다)에서 전이적으로 작용하는 리 그룹이다.따라서 우리가 M의 어느 점 p를 고정하면 M은 지분의 G/K와 다른 형상으로, 여기서 K는 p에서 M에 대한 G 작용의 동위원소 그룹을 나타낸다.p에서의 동작을 구분함으로써 TM에서_p K의 등축 작용을 얻는다.이 작용은 충실하다(예: Kostant의 정리에 의해 ID 구성요소의 모든 등위계는 어느 지점에서 1제트에 의해 결정된다). 따라서 K는 TM의_p 직교 그룹의 부분군이며, 따라서 소형이다.더욱이 s로_p 표시하면 : M → M p에서 M의 지오데틱 대칭이 된다.

${\displaystyle \chostma :G\to G,h\mapsto s_{p}\circle h\circ s_{p}}}$

동위원소 그룹 K가 고정점 그룹 $G{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ G$^{\sigma }}$과$({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\sigma }^{}{}_{}}$)${\displaystyle {}_{}{o}_{}}$ , ${\displaystyle (G^{\sigma }}_{o}\}}}}}$ 사이에 포함되는$$ 비자발적인 Lie 그룹 자동성이다. 챕터 209, IV.자세한 내용은 헬리콥터손의 차동 지오메트리, 거짓말 그룹 및 대칭 공간의 이온 3을 참조하십시오.

요약하면 M은 소형 동위원소 그룹 K를 가진 대칭 공간 G/K이다.반대로, 콤팩트한 동위원소 그룹이 있는 대칭 공간은 리만 대칭 공간이지만, 반드시 독특한 방식으로만 볼 수는 없다.리만 대칭적 공간 구조를 얻기 위해 우리는 K-invariant 내부 제품을 ID 코제트 eK에서 G/K에 접하는 공간에 고정시킬 필요가 있다: 그러한 내부 제품은 항상 평균화함으로써 존재하며, K가 소형이기 때문에 G/K에서 G-invariant Rian 메트릭 g를 얻는다.

G/K가 리만 대칭임을 나타내려면 p = hK(K의 코셋, 여기서 h ∈ G)를 고려하여 정의하십시오.

${\displaystyle s_{p:M\to M,\quad h'K\mapsto h\sigma (h^{-1}h')K}$

여기서 σ은 G 고정 K의 비자발적인 것이다.그런 다음, s가_p (명확히) s_p(p) = p와 (차별화) ds가_p TM의_p 아이덴티티를 뺀 값과 같은 등위계인지 확인할 수 있다.그러므로 s는_p 지오데틱 대칭이며 p가 임의적이었기 때문에 M은 리만 대칭 공간이다.

한 사람이 리만 대칭 공간 M으로 시작해서 이 두 개의 구성을 순서대로 수행하면 리만 대칭 공간은 원래 공간과 등축이 된다.이는 "알지브라질 데이터"(G,K,196,g)가 M의 구조를 완전히 기술하고 있음을 보여준다.

리만 대칭공간의 분류

리만 대칭공간에 대한 대수적 설명은 1926년에 엘리 카르탄이 완전한 분류법을 얻을 수 있게 했다.

주어진 리만 대칭 공간의 경우 M let (G, K, 165, g)은 그것과 연관된 대수적 데이터가 된다.M의 가능한 등위계 등급을 분류하려면 먼저 리만 대칭 공간의 범용 표지가 다시 리만 대칭이며, 커버 맵은 커버의 연결된 등위계 그룹 G를 중심 부분군으로 나누어 기술한다.따라서 우리는 M이 단순히 연결되어 있다고 일반성의 상실 없이 추측할 수 있다.(G는 가정에 의해 연결되기 때문에 이는 K가 긴 정확한 진동 순서에 의해 연결됨을 의미한다.)

분류 체계

단순히 연결된 리만 대칭 공간은 두 개 이상의 리만 대칭 공간의 산물이 아니라면 되돌릴 수 없다고 한다.그 후 단순히 연결된 리만 대칭적 공간은 모두 리만적 대칭적 공간이라는 것을 알 수정이 불가능한 공간들의 리만적 산물이다.따라서, 우리는 더 이상 리만 대칭적으로 연결된, 되돌릴 수 없는, 간단히 연결된 리만 대칭적인 공간을 분류하는 것에 우리 자신을 제한할 수도 있다.

다음 단계는 모든 되돌릴 수 없고 단순히 연결된 리만 대칭 공간 M이 다음 세 가지 유형 중 하나임을 보여주는 것이다.

1. 유클리드형: M은 소멸 곡률을 가지며, 따라서 유클리드 공간에 대한 등축이다.

2. 콤팩트형: M은 음이 아닌(동일하게 0은 아님) 단면 곡률을 가지고 있다.

3. 비 컴팩트형: M은 (동일하게 0이 아닌) 비양성 단면 곡률을 가지고 있다.

보다 정제된 불변량은 순위로서 곡률성이 동일하게 0인 접선 공간(어느 지점까지)의 하위 공간의 최대 치수다.단면 곡률이 양수 또는 음수일 경우 등급은 항상 하나 이상이다.곡률이 양이면 공간은 콤팩트형이고 음수이면 비콤팩트형이다.유클리드 유형의 공간은 그 차원의 유클리드 공간과 등각도와 같은 순위를 가진다.따라서, 단순히 연결된 리만 대칭 공간인 컴팩트한 공간과 비 컴팩트한 공간을 분류하는 것이 남아 있다.두 경우 모두 두 가지 등급이 있다.

A. G는 (진짜) 단순한 거짓말 그룹이다.

B. G는 그 자체(컴팩트 타입)를 가진 콤팩트한 심플한 리 그룹(컴팩트 타입)의 제품이거나, 그러한 리 그룹(비컴팩트 타입)의 복잡화다.

클래스 B의 예들은 간단한 Lie 그룹의 분류에 의해 완전히 설명된다.콤팩트 타입의 경우, M은 콤팩트하게 연결된 심플한 Lie 그룹, G는 M×M, K는 대각선 서브그룹이다.비 컴팩트 타입의 경우 G는 단순하게 연결된 복합 단순 리 그룹이며 K는 최대 콤팩트 서브그룹이다.두 경우 모두 계급은 G의 계급이다.

The compact simply connected Lie groups are the universal covers of the classical Lie groups ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$, ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$, ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ and the five exceptional Lie groups E₆, E₇, E₈, F₄, G₂.

클래스 A의 예는 단순하게 연결된 실제 간단한 Lie 그룹의 분류에 의해 완전히 설명된다.비 컴팩트 유형의 경우 G는 그러한 그룹이고 K는 최대 컴팩트 서브그룹이다.그러한 각 예에는 K를 포함하는 G의 복잡화에 대한 최대 콤팩트 부분군을 고려함으로써 콤팩트 유형의 해당 예가 있다.보다 직접적으로, 콤팩트 타입의 예들은 콤팩트 타입의 비자발적인 자동화로 분류된다. 단순하게 연결된 단순 리 그룹 G(결합까지).그러한 비자발성은 G의 복잡화에 대한 비자발성으로 확장되며, 이는 다시 비 컴팩트 G의 실제 형태를 분류한다.

따라서 클래스 A와 클래스 B 모두 콤팩트 유형의 대칭 공간과 비컴팩트 유형의 대칭 공간 사이에 일치한다.이것은 리만 대칭 공간의 이중성으로 알려져 있다.

분류결과

클래스 A와 콤팩트 타입의 리만 대칭공간을 전문으로 하는 카탄은 다음과 같은 7개의 무한계열과 12개의 예외적인 리만 대칭공간 G/K가 있다는 것을 발견했다.그들은 쉽게 구할 수 있다면 기하학적 해석과 함께 G와 K의 관점에서 여기에 주어진다.이 공간들의 라벨 표시는 Cartan이 준 것이다.

라벨	G	K	치수	순위	기하학적 해석
AI	${\displaystyle \mathrm {SU}(n)\,}$	${\displaystyle \mathrm {SO}(n)\,}$	${\displaystyle (n-1)(n+2)/2}$	${\displaystyle n-1}$	${\displaystyle {}^{}}$ 결정인자를 불변하게 하는$$ $Cn{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ {$C} ^{n}}$의 실제 구조물 공간
AII	${\displaystyle \mathrm {SU}(2n)\,}$	${\displaystyle \mathrm {Sp}(n)\,}$	${\displaystyle (n-1)(2n+1)}$	${\displaystyle n-1}$	$C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ ${\$ 에르미타니아 메트릭과 호환되는$$ Qaternionic 구조의 공간
AIIII	${\displaystyle \mathrm {SU}(p+q)\,}$	${\displaystyle \mathrm {S}(\mathrm {U})(p)\times \mathrm {U}(q)\,}$	$(\디스플레이 스타일 2pq)$	${\displaystyle \min(p,q)}$	$C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ +${\displaystyle q^{}}$ ${\$의 복잡한 p차원 하위공간 그라스만니아어
BDI	${\displaystyle \mathrm {SO}(p+q)\,}$	${\displaystyle \mathrm {SO}(p)\times \mathrm {SO}(q)\,}$	$(\displaystyle pq}$	${\displaystyle \min(p,q)}$	$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ +${\displaystyle q^{}}$ ${\$의 실제 p차원 부공간을 지향하는 그래스만니아어
DIII	${\displaystyle \mathrm {SO}(2n)\,}$	${\displaystyle \mathrm {U}(n)\,}$	${\displaystyle n(n-1)}$	${\displaystyle [n/2]}$	$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ ${\$의 직교 복합 구조물 공간
CI	${\displaystyle \mathrm {Sp}(n)\,}$	${\displaystyle \mathrm {U}(n)\,}$	${\displaystyle n(n+1)}$	${\displaystyle n}$	내부 제품과 호환되는$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 복잡한 구조 공간
13세	${\displaystyle \mathrm {Sp}(p+q)\,}$	${\displaystyle \mathrm {Sp}(p)\times \mathrm {Sp}(q)\,}$	$(\displaystyle 4pq}$	${\displaystyle \min(p,q)}$	${\displaystyle {}^{}}$ p +${\displaystyle q^{}}${\displaystyle \$mathb{H} ^{p+q}}$의 quaternionic p-차원 부공간 그래스만니아어
EI	${\displaystyle E_{6}\,}$	${\displaystyle \mathrm {Sp}/\{\pm I\}\,}$	42	6
EII	${\displaystyle E_{6}\,}$	${\displaystyle \mathrm {SU}(6)\cdot \mathrm {SU}(2)\,}$	40	4	$({\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ O${\displaystyle }$) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ $({\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ H${\displaystyle }$) ${\displaystyle {P\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$2}}의 대칭 하위공간$$ 공간
EIII	${\displaystyle E_{6}\,}$	${\displaystyle \matrm {SO}(10)\cdot \matrmat {SO}(2)\,}$	32	2	복잡한 Cayley 투영 평면${\displaystyle }$(${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ O${\displaystyle }$) ${\displaystyle {P\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$mathb {O$} \otimes \mathb {O$} )$P^{2$}}
EIV	${\displaystyle E_{6}\,}$	${\displaystyle F_{4}\,}$	26	2	$({\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ O${\displaystyle }$) ${\displaystyle {P\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ O$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{2}}^{}}$ ${\$2}}의 대칭 하위공간 공간
EV	${\displaystyle E_{7}\,}$	${\displaystyle \mathrm {SU}/\{\pm I\}\,}$	70	7
EVI	${\displaystyle E_{7}\,}$	${\displaystyle \mathrm {SO}\cdot \mathrm {SU} (2)\,}$	64	4	Rosenfeld 투영${\displaystyle 평면\mathbb{}}$(${\displaystyle H\mathbb{}}$ ${\displaystyle )}$ O ) P ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle$(\$mathb$ {H$} \otimes$ \$mathb {O} )P^{2$}}$$${\displaystyle over}$ $H{\displaystyle \mathbb{}}$o O ${\$에 대해
EVII	${\displaystyle E_{7}\,}$	${\displaystyle E_{6}\cdot \mathrm {SO}(2)\,}$	54	3	$({\displaystyle H\mathbb{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ O${\displaystyle }$) ${\displaystyle {P\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 이형동체$$ 공간은 $({\displaystyle C\mathbb{}}$o${\displaystyle O\mathbb{}}$ ) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle$(\$mathb {C}\otimes \mathb {O} )P^{2}}:$
에비아이	${\displaystyle E_{8}\,}$	${\displaystyle \mathrm {Spin}/\{\pm \mathrm {vol}\,}$	128	8	로젠펠트 투영기 ${\displaystyle(\mathb {O}\여러 번 \mathb {O} )P^{2}}$
EIX	${\displaystyle E_{8}\,}$	${\displaystyle E_{7}\cdot \mathrm {SU}(2)\,}$	112	4	$({\displaystyle }$ ${\displaystyle O\mathbb{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle O\mathbb{}}$) P ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 이형동체$$ 공간은 $({\displaystyle H\mathbb{}}$o${\displaystyle }$O ) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle$(\$mathb {H}\otimes \mathb {O} )P^{2$}}:
FI	${\displaystyle F_{4}\,}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (3)\cdot \mathrm {SU}(2)\,}$	28	4	$O{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle P{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ P$^{2}}$ 이형동형에서$$ $H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle P{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ P$^{2$}}까지의 대칭 하위공간 공간
FII	${\displaystyle F_{4}\,}$	${\displaystyle \mathrm {Spin}(9)\,}$	16	1	케이리 투영 평면 ${\displaystyle \mathb{O} P^{2}}$
G	${\displaystyle G_{2}\,}$	${\displaystyle \mathrm {SO}(4)\,}$	8	2	쿼터니온 대수 $H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$displaystyle \mathb {O$$}}$의 이형인$$ 옥토니언 대수 $O{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$displaystyle \mathb {H}$의 하위 게브라 공간

아즈 그라스만인

좀 더 현대적인 분류(Huang & Leung 2010)는 프로이트헨탈 마법의 사각형 구조를 통해 콤팩트한 공간과 비 컴팩트한 공간을 모두 균일하게 분류한다.The irreducible compact Riemannian symmetric spaces are, up to finite covers, either a compact simple Lie group, a Grassmannian, a Lagrangian Grassmannian, or a double Lagrangian Grassmannian of subspaces of ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{n},}$ for normed division algebras A and B.비슷한 구조로 인해 돌이킬 수 없는 비 컴팩트 리만 대칭 공간이 생성된다.

일반 대칭 공간

리만 대칭 공간을 일반화하는 대칭 공간의 중요한 종류는 사이비-리만 대칭 공간이며, 이 공간에서는 리만 메트릭스가 사이비-리만 메트릭(각 접선 공간에 양적으로 명확한 것이 아닌 비구체적)으로 대체된다.특히 로렌츠 대칭 공간, 즉 n차원 사이비-리만니안 대칭 공간(n - 1,1)은 일반 상대성에서 중요한데, 민코프스키 공간, 드 시터 공간, 반데 시터 공간(각각 0, 양, 음 곡률)이 가장 눈에 띄는 예다.치수 n의 De Sitter 공간은 치수 n + 1의 Minkowski 공간에 있는 1시트 하이퍼볼로이드로 식별할 수 있다.

일반적으로 대칭 및 국소 대칭 공간은 부착 대칭 공간이라고 볼 수 있다.만약 M = G/H가 대칭 공간이라면, 노미즈는 곡률성이 평행인 M에 G-invariant torsion free appine connection(즉, 비틀림 텐션이 사라지는 어핀 연결)이 있음을 보여주었다.반대로 그러한 연결이 있는 다지관은 국소 대칭이다(즉, 그 범용 커버는 대칭 공간이다).그러한 다지관은 또한 리만과 사이비-리만 사례를 일반화하면서 모두 지구적으로 정의되는 부조 대칭인 부조화 다지관으로 묘사될 수 있다.

분류결과

리만 대칭공간의 분류는 대칭공간의 일반적 분할이 없다는 단순한 이유 때문에 일반사례로 쉽게 확장되지 않는다.여기 대칭 공간 G/H(리 대수 포함)

${\displaystyle {\mathfrak{g}={\mathfrak {h}\mathfrak {h}\\mathfrak {m}}$

$m{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 수정할 수 없는 것으로 알려져 있다$.$ h ${\$은(또는 심지어 축소) 일반적으로$$ 반실행되지 않기 때문에 불필요한 표현을 할 수 있다.

그러나, 되돌릴 수 없는 대칭 공간은 분류될 수 있다.노미즈 가쓰미(Nomizu)가 보여주듯이, 이분법이 있는데, 이분법으로는 되돌릴 수 없는 대칭 공간 G/H가 평평하거나(즉, 아핀 공간) g ${\$가 반실행이다$$.이것은 유클리드 공간과 콤팩트형 또는 비컴팩트형 사이의 리만족의 이분법을 아날로그화한 것으로, M에 동기를 부여했다.버거는 반실행 대칭 공간(즉, g$${\$displaystyle${\$mathfrak {g}$ 반실행$$)을 분류하고 이들 중 어느 것이 수정 불가능한지 결정한다.후자의 질문은 리만니안의 경우보다 더 $교묘$하다: g$${\$displaystyle${\$mathfrak{g}}$가 단순하다고$$ 해도 G/H는 되돌릴 수 없을지도 모른다.

리만니아 사례에서와 같이 G = H × H를 가진 반이 구현된 대칭 공간이 있다. 모든 반이 구현된 대칭 공간은 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle$ {\$mathfak$ {$g}}$이(가) 단순할$$ 정도로 대칭 공간을 가진 이 형태의 대칭 공간의 산물이다.후자의 경우를 설명해야 한다.For this, one needs to classify involutions σ of a (real) simple Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. If ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{c}}$ is not simple, then ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is a complex simple Lie algebra, and the corresponding symmetric spaces have the form G/H, where H is 실제 형태의 G: 이것들은 리만 대칭 공간 G/K와 복잡하고 단순한 Lie 그룹, 그리고 K는 최대 콤팩트 서브그룹의 유사점이다.

따라서 $우리$는 g ${\displaystyle c^{}}$ ${\$가 단순하다고 가정할$$ 수 있다.실제 아발게브라 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은$($는) $g{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\$의 복합 안티릴린 비자발성의 고정점 집합으로 볼 수 있으며$$, σ은 ${\displaystyle g^{}}$ ${\$과(와 함께 통근로를$$ 통해 복합 안티릴 수 있다.선형 비자발성 ∘∘τ.

따라서 이 분류는 복잡한 Lie 대수학의 반선형 비실수의 통근 쌍의 분류로 감소한다.복합 στ은 복잡한 대칭공간을 결정하는 반면, τ은 실제 형태를 결정한다.이를 통해 주어진 $g{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\displaystyle c^{}}$ ${\$에 대해 대칭 공간 테이블을 쉽게 구성할 수 있으며, 나아가 σ과 τ을 교환하여 주어지는 명백한 이중성이 있다.이는 리만니아 사례에서 콤팩트/비콤팩트 이중성을 확장하는데, 여기서 σ 또는 τ 중 하나가 카르탄 비자발, 즉 고정점 세트는 최대 콤팩트 서브골격이다.

테이블

다음 표는 각 고전적이고 예외적으로 복잡한 단순 Lie 그룹에 대해 복잡한 대칭 공간과 실제 형태에 의해 실제 대칭 공간을 지수화한다.

Gc = SL(n,C)	Gc/SO(n,C)	Gc/S(K,C)×GL(C), k + ℓ = n	Gc/Sp(n,C), n 짝수
G = SL(n,R)	G/SO(k,l)	G/S(GL(k,R)×GL(l,R)) 또는 G/GL(n/2,C), n 짝수	G/Sp(n,R), n 짝수
G = SU(p,q), p + q = n	G/SO(p,q) 또는 SU(p,p)/Sk(p,H)	G/S(Kp,kq)×U(lp,lq) 또는 SU(p,p)/GL(p,C)	G/Sp(p/2,q/2), p,q 짝수 또는 SU(p,p)/Sp(2p,R)
G=SL(n/2,H), n 짝수	G/Sk(n/2,H)	G/S(K/2,H)×GL(×/2,H), k,cale 짝수 또는 G/GL(n/2,C)	G/Sp(k/2,sv/2), k,sv 짝수, k + ℓ = n

Gc=SO(n,C)	Gc/SO(k,C)×SO(so,c), k + ℓ = n	Gc/GL(n/2,C), n 짝수
G=SO(p,q)	G/SO(kp,kq)×SO(sop,lq) 또는 SO(n,n)/SO(n,C)	G/U(p/2,q/2), p,q 짝수 또는 SO(n,n)/GL(n,R)
G = Sk(n/2,H), n 짝수	G/Sk(k/2,164/2), k,162 짝수 또는 G/SO(n/2,C)	G/U(k/2,164/2), k,162 짝수 또는 G/SL(n/4,H)

Gc = Sp(2n,C)	Gc/Sp(2k,C)×Sp(2ℓ,C), k + ℓ = n	Gc/GL(n,C)
G = Sp(p,q), p + q = n	G/Sp(kp,kq)×Sp(ℓp,ℓq) 또는 Sp(n,n)/Sp(n,C)	G/U(p,q) 또는 Sp(p,p)/GL(p,H)
G = Sp(2n,R)	G/Sp(2k,R)×Sp(2l,R) 또는 G/Sp(n,C)	G/U(k,cs), k + ℓ = n 또는 G/GL(n,R)

예외적으로 단순한 리 그룹의 경우, σ을 (대시로 나타냄)의 정체성이 되도록 허용함으로써 아래에 리만니아 사례가 명시적으로 포함되어 있다.위의 표에서 이것은 사례 kl=0으로 암묵적으로 다루어진다.

G2c	–	G2c/SL(2,C)× SL(2,C)
G2	–	G2/SU(2)×SU(2)
G2(2)	G2(2)/SU(2)×SU(2)	G2(2)/SL(2,R)× SL(2,R)

F4c	–	F4c/Sp(6,C)×Sp(2,C)	F4c/SO(9,C)
F4	–	F4/Sp(3)×Sp(1)	F4/SO(9)
F4(4)	F4(4)/Sp(3)×Sp(1)	F4(4)/Sp(6,R)×Sp(2,R) 또는4(4) F/Sp(2,1)×Sp(1)	F4(4)/SO(5,4)
F4(−20)	F4(−20)/SO(9)	F4(−20)/Sp(2,1)×Sp(1)	F4(−20)/SO(8,1)

E6c	–	E6c/Sp(8,C)	E6c/SL(6,C)×SL(2,C)	E6c/SO(10,C)×SO(2,C)	E6c/F4c
E6	–	E6/Sp(4)	E6/SU(6)×SU(2)	E6/SO(10)×SO(2)	E6/F4
E6(6)	E6(6)/Sp(4)	E6(6)/Sp(2,2) 또는6(6) E/Sp(8,R)	E6(6)/SL(6,R)×SL(2,R) 또는6(6) E/SL(3,H)×SU(2)	E6(6)/SO(5,5)×SO(1,1)	E6(6)/F4(4)
E6(2)	E6(2)/SU(6)×SU(2)	E6(2)/Sp(3,1) 또는6(2) E/Sp(8,R)	E6(2)/SU(4.2)×SU(2) 또는 E6(2)/SU(3,3)×SL(2,R)	E6(2)/SO(6,4)×SO(2) 또는 E6(2)/Sk(5,H)×SO(2)	E6(2)/F4(4)
E6(−14)	E6(−14)/SO(10)×SO(2)	E6(−14)/Sp(2,2)	E6(−14)/SU(4.2)×SU(2) 또는 E6(−14)/SU(5,1)×SL(2,R)	E6(−14)/SO(8,2)×SO(2) 또는 Sk(5,H)×SO(2)	E6(−14)/F4(−20)
E6(−26)	E6(−26)/F4	E6(−26)/Sp(3,1)	E6(−26)/SL(3,H)×Sp(1)	E6(−26)/SO(9,1)×SO(1,1)	E6(−26)/F4(−20)

E7c	–	E7c/SL(8,C)	E7c/SO(12,C)×Sp(2,C)	E7c/E6c×SO(2,C)
E7	–	E7/SU(8)	E7/SO(12)× Sp(1)	E7/E6× SO(2)
E7(7)	E7(7)/SU(8)	E7(7)/SU(4,4) 또는7(7) E/SL(8,R) 또는7(7) E/SL(4,H)	E7(7)/SO(6,6)×SL(2,R) 또는7(7) E/Sk(6,H)×Sp(1)	E7(7)/E6(6)×SO(1,1) 또는 E7(7)/E6(2)×SO(2)
E7(−5)	E7(−5)/SO(12)× Sp(1)	E7(−5)/SU(4,4) 또는7(−5) E/SU(6,2)	E7(−5)/SO(8,4)×SU(2) 또는7(−5) E/Sk(6,H)×SL(2,R)	E7(−5)/E6(2)×SO(2) 또는 E7(−5)/E6(−14)×SO(2)
E7(−25)	E7(−25)/E6× SO(2)	E7(−25)/SL(4,H) 또는7(−25) E/SU(6,2)	E7(−25)/SO(10,2)×SL(2,R) 또는7(−25) E/Sk(6,H)×Sp(1)	E7(−25)/E6(−14)×SO(2) 또는 E7(−25)/E6(−26)×SO(1,1)

E8c	–	E8c/SO(16,C)	E8c/E7c×Sp(2,C)
E8	–	E8/SO(16)	E8/E7×Sp(1)
E8(8)	E8(8)/SO(16)	E8(8)/SO(8,8) 또는 E8(8)/Sk(8,H)	E8(8)/E7(7)×SL(2,R) 또는 E8(8)/E7(−5)×SU(2)
E8(−24)	E8(−24)/E7×Sp(1)	E8(−24)/SO(12,4) 또는 E8(−24)/Sk(8,H)	E8(−24)/E7(−5)×SU(2) 또는 E8(−24)/E7(−25)×SL(2,R)

약하게 대칭되는 리만 공간

1950년대에 Atle Selberg는 카탄의 대칭 공간에 대한 정의를 약하게 대칭된 리만 공간, 또는 현재 용어로는 약하게 대칭적인 공간까지 확장했다.These are defined as Riemannian manifolds M with a transitive connected Lie group of isometries G and an isometry σ normalising G such that given x, y in M there is an isometry s in G such that sx = σy and sy = σx. (Selberg's assumption that σ² should be an element of G was later shown to be unnecessary by Ernest Vinberg.)셀버그는 약하게 대칭되는 공간은 겔판드 쌍을 발생시키므로 특히 L²(M)에서 G의 단일 표현은 다중성이 없다는 것을 증명했다.

셀버그의 정의는 또한 지질학적 대칭의 일반화 측면에서 동등하게 표현될 수 있다.M의 모든 점 x와 x의 접선 벡터 X에 대해 다음과 같이 x와 X에 따라 M의 등위계 s가 있어야 한다.

• s 픽스 x;
• x에서 s의 파생상품은 X를 –X로 보낸다.

s가 X와 독립적일 때, M은 대칭 공간이다.

복잡한 반실행 리 알헤브라의 주기적 자동화의 분류를 바탕으로 약하게 대칭되는 공간과 그 분류를 Akhiezer와 Vinberg가 분류한 계정은 Wolf(2007)에 제시되어 있다.

특성.

대칭 공간의 일부 특성과 형태는 주목할 수 있다.

미터법 텐서 들어올리기

리만 매니폴드 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 미터법 텐서는 킬링 양식과 결합하여$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 스칼라 제품으로 들어올릴 수 있다$$.이 작업은 정의에 의해 수행된다.

${\displaystyle \langle X,Y\rangle _{\mathfrak {g}}={\begin{cases}\langle X,Y\rangle _{p}\quad &X,Y\in T_{p}M\cong {\mathfrak {m}}\\-B(X,Y)\quad &X,Y\in {\mathfrak {h}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

Here, ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{p}}$ is the Riemannian metric defined on ${\displaystyle T_{p}M}$, and ${\displaystyle B(X,Y)=\operatorname {trace} (\operatorname {ad} X\circ \operatorname {ad} Y)}$ is the Killing form.킬링 폼이 $h{\displaystyle \mathfrak{};}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}$에 음-확정성이기 때문에 마이너스 기호가 나타나는데, 이는${\displaystyle ⟨,{}_{}}$ g ${\displaystyle {g\mathfrak{}}_{}}$ g$\langle \cdotrangle _{\mathfrak {g}$ 양-확정성이$$ 된다.

인자화

접선 공간 $m{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는) 킬링 양식에 의해 분류된 아이겐스페이스로 추가 고려될 수 있다$$.^[1]$이{\displaystyle \mathfrak{}}$ $작업$은 Y${\displaystyle }$#${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ #$${\$displaystyle {\$m}\$to${\$mathfrak {m}$을(를) 기준으로 조정 맵 m → m {\$displaystyle$ Y$^{\#}$을(를) 정의하여 수행된다.

${\displaystyle \langle X,Y^{\#}\angle =B(X,Y)}$

여기서 ${\displaystyle ⟨,\cdot ,}$ ⋅, \,$$\$displaystyle \langle \cdot,\cdot }$은 $m{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$displaystyle$ ${\\mathfrak{m}}}$에 있는 리만 메트릭이고, $B{\displaystyle (}$ (,$⋅,$ ${\displaystyle \cdot )}$는 킬링 형식이다$.$이 지도는 직교 집단의 전치법과 단일 집단의 은둔자 결합에 해당하는 일반화된 전치(戰治)라고도 한다.선형 기능이며, 자칭성이므로, 정관기준 Y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\$가 있다고$$ 결론짓고, M ${\$

${\displaystyle Y_{i}^{\#}=\lambda _{i}Y_{i}}$

이러한 것들은 미터법과 관련하여 직교한다.

${\displaystyle \langle Y_{i}^{\#},Y_{j}\angle =\lambda _{i}\langle Y_{i}}Y_{j}\rangele =B(Y_{i},Y_{j}=\langle Y_{j}^{\#},Y_{i}\angle =\lambda _{j}\langle Y_{j},Y_{i}\랑글 }$

살인 양식이 대칭이기 때문에$이렇게{\displaystyle \mathfrak{}}$ 하면 m ${\$을(를) 에이겐스페이스로$$ 인자화한다.

${\displaystyle {\mathfrak{m}={\mathfrak {m}_{1}}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak{m}_{d}}}}}}$

와 함께

${\displaystyle [{\mathfrak {{m}_{i},{\mathfrak {m}_{j}]=0}$

$i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i\neq j}$의 경우$.$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${\$mathfak{g}$ 반실행의$$ 경우, 킬링 폼이 소멸되지 않도록 메트릭도 마찬가지로 다음을 고려한다.

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle ={\frac {1}{\frada _{1}}\왼쪽.B\right _{\mathfrak{m}_{1}}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{d}}\왼쪽.B\right _{\mathfrak{m}_{d}}}$

어떤 실제적인 응용에서, 이러한 인자화는 궤도 각운동량의 다른 값에 해당하는 킬링 형태의 고유값을 갖는 연산자 스펙트럼(예: 수소 원자의 스펙트럼)으로 해석될 수 있다(즉 킬링 폼은 다른 표현을 분류할 수 있는 카시미르 연산자임).s 서로 다른 궤도가 변환되는 곳)

대칭 공간 분류는 킬링 형태가 양/음 확정인지 여부에 따라 진행된다.

신청 및 특례

대칭 공간 및 홀로노미

한 점에서 리만 다지관의 홀노노미 그룹의 정체성 요소가 접선 공간에서 이해할 수 없는 작용을 한다면, 그 다지관은 국소적으로 리만 대칭적인 공간이거나, 7개 가족 중 하나에 속한다.

은둔자의 대칭 공간

리만계측과 호환되는 병렬 복합구조를 추가로 갖춘 리만계 대칭공간을 에르미트계 대칭공간이라고 한다.일부 예로는 복잡한 벡터 공간과 복잡한 투영 공간, 둘 다 통상적인 리만니아식 메트릭스를 가지고 있으며, 완전한 리만식 대칭이 되도록 적절한 지표를 가진 복잡한 단위 볼이 있다.

복구할 수 없는 대칭 공간 G/K는 K가 중심 원을 포함하는 경우에만 에르미트어 공간이다.이 원을 4분의 1바퀴 돌면 아이덴티티 코셋의 접선 공간에서 나에 의해 곱셈의 역할을 한다.따라서 은둔자의 대칭 공간은 분류에서 쉽게 판독할 수 있다.컴팩트한 경우와 비 컴팩트한 경우 모두에서 무한 시리즈, 즉 AIII, p=2, DII와 CI의 BDI, 그리고 EIII와 EVII라는 두 개의 예외적인 공간이 있는 것으로 나타났다.비 컴팩트한 은둔자 대칭 공간은 복잡한 벡터 공간에서 경계된 대칭 영역으로 실현될 수 있다.

Quaternion-Kahler 대칭 공간

각 지점의 가상 쿼터니온과 이형질의 평행 하위 번들(TM)이 추가적으로 장착되고 리만계측과 호환되는 리만계 대칭공간을 콰터니온-케흘러 대칭공간이라고 한다.

K의 동위원소 표현이 Sp(1) 합계를 포함하고 쿼터니온 벡터 공간에서 단위 쿼터니온과 같은 작용을 하는 경우에만 G/K는 쿼터니온-케흘러이다.따라서 quaternion-Kahler 대칭 공간은 분류에서 쉽게 판독할 수 있다.콤팩트 케이스와 비 컴팩트 케이스 모두에서 각각의 복잡한 단순 Lie 그룹, 즉 p = 2 또는 q = 2(이것은 이소모르픽), p = 4 또는 q = 4, p = 1 또는 q = 1, EII, EVI, EIX, FI 및 G의 CIII가 정확히 한 개씩 있는 것으로 나타났다.

병주성 정리

Bott의 주기성 정리에서는 안정적인 직교 그룹의 루프스페이스가 환원 대칭공간으로 해석될 수 있다.

참고 항목

• 직교 대칭 리 대수
• 상대적 루트 시스템
• 사타케 도표
• 카르탄 비자발

참조

• Akhiezer, D. N.; Vinberg, E. B. (1999), "Weakly symmetric spaces and spherical varieties", Transf. Groups, 4: 3–24, doi:10.1007/BF01236659
• van den Ban, E. P.; Flensted-Jensen, M.; Schlichtkrull, H. (1997), Harmonic analysis on semisimple symmetric spaces: A survey of some general results, in Representation Theory and Automorphic Forms: Instructional Conference, International Centre for Mathematical Sciences, March 1996, Edinburgh, Scotland, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0609-8
• Berger, Marcel (1957), "Les espaces symétriques noncompacts", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 74 (2): 85–177, doi:10.24033/asens.1054
• Besse, Arthur Lancelot (1987), Einstein Manifolds, Springer-Verlag, ISBN 0-387-15279-2 컴팩트한 소개와 많은 테이블이 포함되어 있다.
• Borel, Armand (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0288-7
• Cartan, Élie (1926), "Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann, I", Bulletin de la Société Mathématique de France, 54: 214–216, doi:10.24033/bsmf.1105
• Cartan, Élie (1927), "Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann, II", Bulletin de la Société Mathématique de France, 55: 114–134, doi:10.24033/bsmf.1113
• Flensted-Jensen, Mogens (1986), Analysis on Non-Riemannian Symmetric Spaces, CBMS Regional Conference, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0711-8
• Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces, Academic Press, ISBN 0-12-338460-5 리만 대칭공간에 관한 표준서.
• Helgason, Sigurdur (1984), Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions, Academic Press, ISBN 0-12-338301-3
• Huang, Yongdong; Leung, Naichung Conan (2010). "A uniform description of compact symmetric spaces as Grassmannians using the magic square" (PDF). Mathematische Annalen. 350 (1): 79–106. doi:10.1007/s00208-010-0549-8.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Volume II, Wiley Classics Library edition, ISBN 0-471-15732-5 챕터 XI는 리만 대칭적 공간에 대한 좋은 소개를 포함하고 있다.
• Loos, Ottmar (1969), Symmetric spaces I: General Theory, Benjamin
• Loos, Ottmar (1969), Symmetric spaces II: Compact Spaces and Classification, Benjamin
• Nomizu, K. (1954), "Invariant affine connections on homogeneous spaces", Amer. J. Math., 76 (1): 33–65, doi:10.2307/2372398, JSTOR 2372398
• Selberg, Atle (1956), "Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric riemannian spaces, with applications to Dirichlet series", J. Indian Math. Society, 20: 47–87
• Wolf, Joseph A. (1999), Spaces of constant curvature (5th ed.), McGraw–Hill
• Wolf, Joseph A. (2007), Harmonic Analysis on Commutative Spaces, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4289-8