통합 상수

미적분학에서 적분 상수(C $\displaystyle$ C $C$ 는 f $f(x)$ $f(x)$ )\displaystyle f $(x)$ 의 $f(x)$ 적분이 f( $)\displaystyle$ f $($ $x)($ 즉, f $x)$ 의 모든 반파생물의 집합임을 나타내기 위해 f $f(x)$ x $)\displaystyle$ f(x)의 $f(x)$ 반파생물에 추가되는 상수항이다.가법 ^[1]^[2]^[3]상수까지만 정의됩니다.이 상수는 반파생물의 구성에 내재된 모호성을 나타낸다.

구체적으로 함수 $f(x)$ { $displaystyle$ f $(x)}$ 가 $f(x)$ 간격에 정의되어 있고 F $x)$ { $displaystyle$ F $(x$ $f(x)$ 가 $F(x)$ f $x)$ 의 역도함수인 $경우$ f $(x)$ { $f(x)$ f $(x)}$ 의 $f(x)$ $f(x)$ 역도함수 $F(x)+C$ 은 f $F(x)+C$ $)$ + displaystyle f $($ 에 의해 지정됩니다. $e$ C $(\displaystyle$ C $)$ 는 $C$ 임의의 상수입니다(C $(\displaystyle$ C $)$ 의 값은 $C$ F $(\displaystyle$ F $(x)+C)$ 를 $F(x)+C$ 유효한 반파생으로 $F(x)+C$ ).이러한 이유로, 무한 적분은 종종 ${\textstyle \int f(x)\,dx=F(x)+C}$ f ( ${\textstyle \int f(x)\,dx=F(x)+C}$ ) ${\textstyle \int f(x)\,dx=F(x)+C}$ ${\textstyle \int f(x)\,dx=F(x)+C}$ ${\textstyle \int f(x)\,dx=F(x)+C}$ ( ${\textstyle \int f(x)\,dx=F(x)+C}$ ) + ${\textstyle \int f(x)\,dx=F(x)+C}$ { $textstyle \int$ f $(x), dx=F(x)+C$ ^[4]적분 목록에서 적분 상수가 생략되는 경우가 있다.

기원.

상수 함수의 도함수는 0입니다. $f(x)$ f $)$ 에 대해 하나의 $F(x)$ F $)$ { $displaystyle$ F $(x)}$ 를 $F(x)$ 찾으면 $상수$ C(\ $displaystyle$ F( $x$ 를 $C$ 더하거나 빼면 d ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x)}$ + ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x)}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x)}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x)}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x)}$ F ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x)}$ + ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x)}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x)}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x)}$ F( ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x)}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x)}$ D F(x) = D F ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x)}$ x) = F(x)에 대한 역도함수 C를 얻을 수 ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x)}$ . $c {d}{dx}(F(x)+C)=$ param $frac {d}{dx}F(x)+{\frac {d}{dx}C=F'(x$ )= $f(x$ 상수는 적어도 하나의 역도함수를 갖는 모든 함수에 무한대의 역도함수가 있다는 것을 표현하는 방법입니다.

$F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ : $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ {\ $displaystyle$ F $:\mathbb {R}$ \ $to \mathbb {R}$ $G:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $G:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ : $G:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $→$ R {\ $displaystyle$ G:\ $mathbb {R} \to$ \ $mathbb$ { $R}}$ 을 $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $G:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ (를) 구분 가능한 함수라고 합니다.모든 실수 x에 대해 F $F\,'(x)=G\,'(x)$ ( $F\,'(x)=G\,'(x)$ ) $=$ $F\,'(x)=G\,'(x)$ $F\,'(x)=G\,'(x)$ ( $F\,'(x)=G\,'(x)$ ) { $displaystyle$ F $',(x$ )= $G',(x)}$ 라고 $F\,'(x)=G\,'(x)$ 합니다 $F\,'(x)=G\,'(x)$ .다음으로 실수 x마다 F $F(x)-G(x)=C$ - $F(x)-G(x)=C$ $F(x)-G(x)=C$ $(x)$ - G(x) = C { $displaystyle$ F $(x$ )- $G(x$ ) $= C$ }가 $F(x)-G(x)=C$ 되는 $실수$ C { $displaystyle$ C $}$ 가 $C$ 존재합니다.

이를 증명하기 $[F(x)-G(x)]'=0$ [ $[F(x)-G(x)]'=0$ ( $[F(x)-G(x)]'=0$ x ) $[F(x)-G(x)]'=0$ - G $[F(x)-G(x)]'=0$ ( $[F(x)-G(x)]'=0$ )] $[F(x)-G(x)]'=0$ $=$ $[F(x)-G(x)]'=0$ { $displaystyle$ $[ F$ ( $x$ ) - $G$ ( x ) ]' $= 0$ $[F(x)-G(x)]'=0$ 입니다. $따라서$ F(\ $displaystyle$ F)는 $F-G$ F $F-G$ G(\ $displaystyle$ F-G $0$ 로 $F$ 대체하고 G $(\$ $displaystyle$ G $)$ 는 $G$ 0 $style$ 0 style로 대체하면 $됩니다$ .ve는 항상 0이어야 합니다.

$실수$ $(\$ $C=F(a)$ a $a$ 를 선택하고 C $=$ 로 $C=F(a)$ . 임의의 x에 대해F(\ $displaystyle$ F $)$ 의 도함수가 사라진다는 $F$ 가정과 함께 미적분의 기본정리는 다음과 같은 의미를 내포합니다.

{displaystyle}&0=\int _{a}^{x}F'(t)\dt\&0=F(x)-F(a)\&0=F(x)-C\&F(x)=C\\end {aligned}

F $(\displaystyle$ F $)$ 가 $F$ 상수 함수임을 나타냅니다.

이 증거에는 두 가지 사실이 중요하다.먼저, 실제 회선이 연결됩니다.실제 회선이 연결되어 있지 않은 경우 고정 a에서 특정 x로 항상 통합할 수 없습니다.예를 들어 구간 [0,1]과 [2,3]의 조합으로 정의된 함수를 요청하고 a가 0인 경우 함수는 1과 2 사이에 정의되어 있지 않기 때문에 0에서3까지 통합할 수 없습니다.여기에서는 도메인의 연결된 각 구성 요소에 대해 하나씩 두 개의 상수가 있습니다.일반적으로, 상수를 국소 상수 함수로 대체함으로써, 우리는 이 정리를 단절된 영역으로 확장할 수 있다.예를 들어, ${\textstyle \int dx/x}$ d x / ${\textstyle \int dx/x}$ $(\textstyle$ \ ${\textstyle \int \tan x\,dx}$ dx $/x$ 에는 2개의 적분 상수가 있고 ${\textstyle \int \tan x\,dx}$ tan ${\textstyle \int \tan x\,dx}$ † ${\textstyle \int \tan x\,dx}$ x ${\textstyle \int \tan x\,dx}$ (\ $textstyle \int \tan$ x $,dx$ 에는 무한히 많은 적분 상수가 있습니다.따라서 1/x의 일반적인 형식은 다음과 같습니다.^[5]^[6]

\displaystyle \int { frac { x } = case { case } \ ln \ left x \ right + C^ { - } & x < 0 \ \ \ ln \ left x \ right + C^ { + } & x > 0 \ end { case }

둘째, F $($ 디스플레이 스타일 $F)$ 와 $F$ G $(디스플레이 스타일$ G $)$ 는 $G$ 어디에서나 구별된다고 가정했다. $F($ 디스플레이 스타일 $F)$ 와 $F$ G $(디스플레이 스타일$ G $)$ 가 $G$ 한 점이라도 구분이 되지 않으면 정리가 실패할 수 있습니다.예를 들어 $F(x)$ $F(x)$ x $)$ { $displaystyle$ $F($ x)}를 $F(x)$ Heaviside 스텝 함수(x)로 하고, G $G(x)=0$ $=$ { $displaystyle$ G $(x$ )= $0$ x)로 $G(x)=0$ $,$ F( $G$ )의 도함수는 정의및 G의 도함수이다.항상 제로입니다.그러나 $F$ 와 $F$ $G$ 는 $G$ 어디에서나 $F$ 이고 거의 어디에서나 구별할 수 있는정리가 여전히 실패한다고 가정하더라도 $F$ 와 $F$ $G는$ 상수로 다르지 않다는 $F$ 은 분명하다.예를 들어 F $(\displaystyle$ F $)$ 를 $F$ Cantor 함수로 사용하고 다시 G $G=0$ $(\displaystyle$ G $=0$ 으로 $G=0$ .

$\cos(x)$ 를 들어 cos $\cos(x)$ ( $\cos(x)$ ) \ $displaystyle \ cos$ ( $x$ ) $\cos(x)$ 。이러한 반파생 중 $\sin(x)$ 가 sin $\sin(x)$ ( $\sin(x)$ x ) \ $sin$ ( $\sin(x)$ x )입니다.다른 하나는 sin $\sin(x)-\pi$ ( $\sin(x)+1$ $\sin(x)-\pi$ $\sin(x)+1$ ) + $\sin(x)+1$ ( \ $display$ style \ $sin$ ( $x$ ) + $1$ . sin - $display$ $（$ x ) style \ sin ( \ sin ( x ) $\sin(x)-\pi$ \ $sin$ ( \ sin ( \ sin ) $\sin(x)-\pi$ ）（ ) $\sin(x)-\pi$ 。 $)(\displaystyle \cos($ x $\cos(x)$ 이므로 모두 cos $\cos(x)$ ( x $\cos(x)$ )\ $display \cos(x$ 의 역파생입니다.

상수의 덧셈과 뺄셈이 같은 함수의 서로 다른 반파생물을 찾는 유일한 유연성이라는 것이 밝혀졌습니다.즉, 모든 반파생물은 상수까지 동일합니다.cos $\cos(x)$ ( $\cos(x)$ ) \ $displaystyle \ cos$ ( $x$ )에 $\cos(x)$ 이 사실을 표현하기 위해 다음과 같이 기술합니다.

\displaystyle \int \cos(x),dx=\sin(x)+C.}

C $(\displaystyle$ C $)$ 를 $C$ 숫자로 $C$ 하면 파생물이 생성됩니다.단, 숫자 대신 C $\displaystyle$ 를 입력하면 $C$ cos $\cos(x)$ ( ( $\cos(x)$ $)\displaystyle \cos(x)}$ 의 $\cos(x)$ 가능한 모든 반파생물에 대한 간략한 설명을 얻을 수 있습니다. $(디스플레이 스타일$ C $)$ 는 $C$ 적분 상수라고 불립니다.이들 함수는 모두 cos $\cos(x)$ ( $\cos(x)$ $)\displaystyle \cos(x)$ 의 $\cos(x)$ 역도함수라고 쉽게 판단할 수 있습니다.

{\frac {d} {dx} [\sin(x) + C] & = sin(x) + {\frac {d} {d}C\&=\cos(x)+0\&=\cos(x)\end{aligned}

필요성

상수는 0으로 설정할 수 있기 때문에 언뜻 보기에는 불필요하다고 생각될 수 있습니다.게다가 미적분학의 기본정리를 이용하여 확실한 적분을 평가할 때, 상수는 항상 그 자체로 소거된다.

그러나 상수를 0으로 설정하려고 해도 항상 의미가 있는 것은 아닙니다. $2\sin(x)\cos(x)$ 를 들어, $2\sin(x)\cos(x)$ sin $2\sin(x)\cos(x)$ ( x ) $2\sin(x)\cos(x)$ $2\sin(x)\cos(x)$ ( $2\sin(x)\cos(x)$ ){ $displaystyle$ 2 \ $sin$ ( $x$ )\ $cos$ ( x $2\sin(x)\cos(x)$ )}는 $2\sin(x)\cos(x)$ 적어도3가지 방법으로 통합할 수 있습니다.

{syn(x)\int 2\sin(x)\cos(x)\cos ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+C&=&-{\frac {1}{2}\cos(2x)+C\int 2\sin(x)&cos,C&=&\sin ^{2}(x)-1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\int 2\sin(x)\cos(x)\cos(x)\cos(x)\cos(x)\cos(x)\cos(=-{2}}\sin(x)&-{x)&-{\frac{{c}&{c}&{c}&{c}&{c}&{c}&{c}&{c}&\frac}&{c}C\end {aligned}

따라서 C $(\displaystyle$ C $)$ 를 $C$ 0으로 $C$ 해도 상수는 유지됩니다.즉, 주어진 함수에 대해 "가장 간단한 역도함수"는 존재하지 않습니다.

C $(\displaystyle$ C $)$ 를 $C$ 0으로 $C$ 하는 경우의 또 다른 문제는 (초기값 문제처럼) 특정 포인트에서 특정 값을 갖는 역파생물을 찾는 것입니다.예를 들어, x = ,에서 값 100을 갖는 cos $\cos(x)$ ( $\cos(x)$ $){$ $displaystyle \cos (x)}$ 의 $\cos(x)$ 역도함수를 구하려면C {\ $displaystyle$ C $}$ 의 $C$ 값 1개만 동작합니다( $C=100$ 경우 C $=$ $100$ { $displaystyle$ C $=$ 100}). $C=100$

이 제한은 미분방정식의 언어로 바꿀 수 있다. $f(x)$ f $($ 의 $f(x)$ 무한 적분을 찾는 것은 미분 ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)}$ d ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)}$ d ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)}$ $=$ ( $)$ { $textstyle {frac}{$ flac $}=f($ x ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)}$ $textstyle$ }{f(x)}{textstyle}}{f(x}}}}{f(x}}}}}}}}를 푸는 것과 같습니다. 모든 미분 방정식은 많은 해답을 가지며, 각 상수는 잘 정의된 초기 값의 고유한 해답을 나타냅니다.역도함수가 x = is에서 값 100을 취하는 조건을 부과하는 것이 초기 조건이다.각 초기 조건은C의 $값$ (\ $displaystyle$ C $C$ 을 1개만 지원하므로 C $(\displaystyle$ C $)$ 가 $C$ $없으면$ 문제를 해결할 수 없습니다.

추상대수에서 나온 또 다른 명분이 있다.실수의 모든 (적합한) 실수값 함수의 공간은 벡터 공간이며, 미분 ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ d ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ {\ $textstyle {d}{dx}}$ 는 ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ 선형 연산자이다. ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ $(\$ 는 ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ 함수가 일정한 경우에만 함수를 0으로 매핑합니다. ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ d $(\$ dx})의 ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ 커널은 모든 상수 함수의 공간입니다.무한 통합 프로세스는 주어진 함수의 사전 이미지를 찾는 것과 같습니다.주어진 함수에 대한 표준 사전 이미지는 없지만 이러한 모든 사전 이미지 집합이 코셋을 형성합니다.상수를 선택하는 것은 코셋의 원소를 선택하는 것과 같습니다.이 문맥에서 초기값 문제를 해결하는 것은 초기 조건에 의해 주어진 하이퍼플레인에 놓여 있는 것으로 해석됩니다.

레퍼런스

^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.
^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4.
^ "Definition of constant of integration Dictionary.com". www.dictionary.com. Retrieved 2020-08-14.
^ Weisstein, Eric W. "Constant of Integration". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-14.
^ "Reader Survey: log x + C", Tom Leinster, The n-category Cafe, 2012년 3월 19일
^ Banner, Adrian (2007). The calculus lifesaver : all the tools you need to excel at calculus. Princeton [u.a.]: Princeton University Press. p. 380. ISBN 978-0-691-13088-0.

[1] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.

[2] Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4.

[3] "Definition of constant of integration Dictionary.com". www.dictionary.com. Retrieved 2020-08-14.

[4] Weisstein, Eric W. "Constant of Integration". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-14.

[5] "Reader Survey: log x + C", Tom Leinster, The n-category Cafe, 2012년 3월 19일

[6] Banner, Adrian (2007). The calculus lifesaver : all the tools you need to excel at calculus. Princeton [u.a.]: Princeton University Press. p. 380. ISBN 978-0-691-13088-0.

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v t 미적분학.
계산 전	이항 정리 오목함수 연속 함수 요인 유한차이 자유 변수 및 한계 변수 함수의 그래프 선형 함수 라디안 롤의 정리 섹트 경사 접선
한계	부정 형식 함수의 한계 단측 한계 시퀀스의 제한 근사순서 제한의 정의(약어, ))-한도의 정의
미적분	파생상품 둘째 파생 상품 편도함수 차동 미분 연산자 평균값 정리 표기법 라이프니츠 표기법 뉴턴 표기법 차별화 규칙 직선성 힘 합 체인 로피탈스 제품. 라이프니츠 장군의 법칙 지수 기타 기술 맹목적 분화 역함수와 미분 로그 도함수 관련 요금 정지점 제1도함수 검정 2차 도함수 극단값 정리 맥시멈과 미니마 기타 응용 프로그램 뉴턴의 방법 테일러 정리 미분 방정식 상미분 방정식 편미분 방정식 확률 미분 방정식
적분학	반파생적 호 길이 리만 적분 기본 속성 통합 상수 미적분의 기본 정리 적분 기호로 구분 부품별 통합 대체에 의한 통합 삼각형의 오일러 접선 반각 치환 적분에서의 부분 분수 이차 적분 사다리꼴 규칙 볼륨 워셔 방법 셸 방식 적분 방정식 적분 미분 방정식
벡터 미적분	파생상품 컬 방향 도함수 발산 그라데이션 라플라시안 기본 정리 라인 인테그레이션 녹색의 스토크스 가우스
다변수 미적분	발산 정리 기하학 헤시안 행렬 야코비 행렬과 행렬식 라그랑주 승수 라인 적분 매트릭스 다중 적분 편도함수 표면적분 볼륨 적분 상세 토픽 미분 형식 외부파생상품 일반화 스톡스의 정리 텐서 미적분
시퀀스 및 시리즈	산술-기하수열 시리즈의 종류 교대로 이항 푸리에 기하학 고조파 인피니트 힘 마크로린 테일러 텔레스코핑 수렴 테스트 아벨스 교대 급수 코시 응축 직접 비교 디리클레즈 일체형 한계 비교 비율 뿌리 용어
특수 기능 및 숫자	베르누이 수 e(역학적 상수) 지수 함수 자연 로그 스털링 근사
미적분의 역사	적절성 브룩 테일러 콜린 매클로린 대수의 일반성 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 무한소수 미적분학 아이작 뉴턴 플럭션 연속성의 법칙 레온하르트 오일러 플럭션법 역학적 이론의 방법
리스트	차별화 규칙 지수함수의 적분 목록 쌍곡선 함수의 적분 목록 역쌍곡선 함수의 적분 목록 역삼각함수의 적분 목록 비합리함수 적분 목록 로그 함수 적분 목록 합리적인 함수의 적분 목록 삼각함수의 적분 목록 섹트 세컨트 큐브 제한 목록 적분 목록
기타 토픽	복소 미적분 등고선 적분 미분 지오메트리 다지관 곡률 곡선의 표면의 텐서 오일러-마클로린 공식 가브리엘의 뿔 인테그레이션 22/7이 †를 초과하는 증거 레지오몬타누스의 각도 최대화 문제 슈타인메츠 고체

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