파워 룰

미적분학에서 전원 규칙은 $r$ $r$ 이(가) 실수일 $r$ 때마다 $f(x)=x^{r}$ $f(x)=x^{r}$ ) $f(x)=x^{r}$ = $f(x)=x^{r}$ $f(x)=x^{r}$ ${\$ 형식의 기능을 구분하는 데 사용된다. 분화는 서로 다른 함수의 공간에 대한 선형 연산이기 때문에 다항식도 이 규칙을 사용하여 분화할 수 있다. 파워 룰은 파워 시리즈와 함수의 파생상품을 연관시키기 때문에 테일러 시리즈의 기초가 된다.

전원 규칙 문

$f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ : $f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ $r\in \mathbb {R}$ $f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ ${\$ $f:\mathb {R} \mapsto$ \mathb {R $}$ $\mapsto$ $\mathb$ { $R$ $} \mathstyle$ f( $x$ $)=x^{r}}}$ 을 $($ 를) $포함$ 한 모든 $x$ 에 $f(x)=x^{r}$ f $f(x)=x^{r}$ x $f(x)=x^{r}$ ) $f(x)=x^{r}$ = $f(x)=x^{r}$ ${\displaystystystylean f($ $r\in \mathbb {R}$ )를 만족하는 함수가 되도록 $f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ 한다 $r\in \mathbb {R}$

f'(x)=rx^{r-1}\,

통합을 위한 전원 규칙에는 다음과 같이 명시되어 있다.

\int \!x^{r}\,dx={\frac{x^{r+1}{r+1}:{r+1}+}+C

real number $r\neq -1$ $r\neq -1$ - $r\neq -1$ ${\displaystyle r\neq -1$ 전력 규칙을 뒤집어서 분화하여 도출할 수 있다.

교정쇄

실제 지수에 대한 증거

시작하려면 $f(x)=x^{r}$ x $f(x)=x^{r}$ ) $f(x)=x^{r}$ = x $f(x)=x^{r}$ ${\$ 의 값에 대한 작업 정의를 선택해야 한다 $f(x)=x^{r}$ 여기서 $r$ $r$ 은 $r$ (는) 실제 숫자임. 비록 우리가 그러한 권력과 마주칠 때마다 비합리적인 권력에 접근하는 일련의 합리적 권력에 대한 한계 또는 주어진 권력보다 적은 합리적 권력에 대한 최소한의 상한으로 그 가치를 정의하는 것은 실현 가능하지만, 이러한 유형의 정의는 분화에 순응할 수 없다. 그러므로 x의 모든 값 위해 되)r)을 받고는 기능적 정의, exp⁡(r(⁡)))erln ⁡){\displaystyle x^{r}(r\ln))=e^{r\ln)}}, 어디exp{\displaystyle \exp}은 자연적인 지수 함수와 e0{\displaystyle x>0},{\displaystyle는 것은 바람직하다. e} 오일러의 ^[1]^[2]번호야 첫째, $f(x)=e^{x}$ ( $f(x)=e^{x}$ x $f(x)=e^{x}$ ) = $f(x)=e^{x}$ $f(x)=e^{x}$ ${\$ 의 $f'(x)=e^{x}$ 이 $f(x)=e^{x}$ f $f'(x)=e^{x}$ ( $f'(x)=e^{x}$ ) $f'(x)=e^{x}$ = $f'(x)=e^{x}$ x ${\$ 임을 증명할 수 있다 $f'(x)=e^{x}$

$f(x)=e^{x}$ ( $f(x)=e^{x}$ ) $f(x)=e^{x}$ = $f(x)=e^{x}$ x ${\$ 인 경우 $\ln(f(x))=x$ $\ln(f(x))=x$ ( $\ln(f(x))=x$ = ${\displaystyle \ln(f(x))$ $=x$ 여기서 $\ln$ $\ln$ 은 $\ln$ (는) 자연 로그 함수로서, 오일러가 설명한 지수함수의 역함수다.^[3] 후자의 두 함수는 $x>0$ > 0 $x>0$ {\ $displaystyle$ x $>0}$ 의 모든 값에 대해 동일하므로 $x>0$ 두 파생상품이 존재할 때마다 파생상품도 동일하므로, 우리는 체인 규칙에 따라,

{\frac {1}{f(x)}}\cdot f'(x)=1

또는 $f'(x)=f(x)=e^{x}$ $f'(x)=f(x)=e^{x}$ ) $f'(x)=f(x)=e^{x}$ = $f'(x)=f(x)=e^{x}$ ( $f'(x)=f(x)=e^{x}$ ) = e $f'(x)=f(x)=e^{x}$ {\ $displaystyle$ f'(x $)=f(x)=e$ ^{x $}},$ 요구대로 $f'(x)=f(x)=e^{x}$ $f(x)=e^{r\ln x}$ f $f(x)=e^{r\ln x}$ $f(x)=e^{r\ln x}$ ) $f(x)=e^{r\ln x}$ = $f(x)=e^{r\ln x}$ r $f(x)=e^{r\ln x}$ $f(x)=e^{r\ln x}$ $f(x)=e^{r\ln x}$ ${\$ 에 체인 규칙을 적용하면 다음과 같은 것을 알 수 있다 $f(x)=e^{r\ln x}$

f'(x)={\frac {r}{x}{x}e^{r\ln x}={\frac {r}{x}x^{r}}}}}

$rx^{r-1}$ $rx^{r-1}$ - $rx^{r-1}$ ${\$ 로 단순화 $rx^{r-1}$

When $x<0$ , we may use the same definition with $x^{r}=((-1)(-x))^{r}=(-1)^{r}(-x)^{r}$ , where we now have $-x>0$ . 이것은 반드시 같은 결과를 초래한다. $r$ $r$ 이 $r$ (가) 합리적인 숫자가 아닌 경우 $(-1)^{r}$ ( $(-1)^{r}$ - $(-1)^{r}$ ) $(-1)^{r}$ {\ $displaystyle(-1)^{r}}}}$ 이(가) 일반적인 정의가 없기 $(-1)^{r}$ 때문에 음의 기저에 대해 비합리적인 전원 함수가 잘 정의되지 않는다는 점에 유의하십시오. 또, 짝수분모(최저용도)를 가진 -1의 합리적 힘은 실수가 아니기 때문에, 이러한 표현은 홀수분모(최저용도)를 가진 이성적 힘에 대해서만 실질가치로 평가된다.

마지막으로, $x=0$ = $x=0$ $x=0$ 에서 함수가 다를 때마다 파생상품의 정의 한계는 다음과 같다 $x=0$

\lim_{h\to 0}{\frac {h^{r}-0^{r}}{h}}

이 $r$ 은r {\ $displaystyle$ r $}$ 이(가 $r$ ) 홀수 분모(최저 용어로 $)$ 가 있는 합리적인 숫자일 때만 0을 산출하며 $r>1$ $r>1$ = 1인 경우 $r>1$ 1을 산출한다. r의 다른 모든 값에 대해, $h<0$ 에서 $h^{r}$ 한 $h<0$ 와 같이 $h<0$ h < 0 {\ $displaystyle$ h $r}$ 라는 표현식이 잘 정의되어 있지 $h^{r}$ 않거나, 실제 숫자가 아니므로 한계는 실제 값 파생상품으로 존재하지 않는다. 존재하는 두 가지 경우에, 이 값은 0에서 기존 전력 규칙의 값과 일치하므로 예외를 둘 필요가 없다.

$0^{0}$ 의 강조 체계에서 $0^{0}$ 0 {\ $displaystyle$ 0 $^{0}}($ 사례 x = 0)을 제외하는 $f(x,y)=x^{y}$ 은 함수 f $f(x,y)=x^{y}$ $f(x,y)=x^{y}$ $f(x,y)=x^{y}$ y $f(x,y)=x^{y}$ ) = $f(x,y)=x^{y}$ {\ $displaystyle$ f $(x$ $,$ $y)=x$ $^{0}}}$ 가 x $x^{0}$ 에 가까워질수록 1이 $x^{0}$ 접근하기 $때문$ 에 함수 f (0)에 제한이 없기 $f(x,y)=x^{y}$ 때문이다 $.$ $0^{y}}}$ 는 y가 0에 가까워질 때 0에 접근한다 $0^{y}$ . 따라서 그 값이 적용에 의존하는 두 가지 사례 중 하나와 모순되기 때문에, 특정 가치를 그것에게 귀속시키는 것은 문제가 될 수 있다. 그것은 전통적으로 정의되지 않은 채로 남겨져 있다.

0이 아닌 정수 지수에 대한 증명

유도에 의한 증명(양정수)

n을 양의 정수가 되게 하라. ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$ ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$ ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$ ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$ n = ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$ ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$ n ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$ - ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$ . ${\displaystyle {\d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1$ }을(를 $)$ 증명하는 데 필요하다. $}$

When $n=1$ , ${\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=1=1x^{1-1}.$ Therefore, the base case holds.

이 문장이 일부 양의 정수 k(예: ${\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.$ ${\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.$ ${\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.$ k ${\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.$ = k ${\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.$ ${\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.$ - ${\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.$ . ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}x^{k}=kx^{k-1$ }에 대해 유지된다고 가정하십시오 $.$ $}$

When $n=k+1$ , ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k+1}={\frac {d}{dx}}(x^{k}\cdot x)=x^{k}\cdot {\frac {d$ $}{dx}x+x\cdot{d}{dx}}x^{k}=x^{k}+x^{k-1}=x^{k-1}=(k+1)x^{k}=(k+1)x^{k+1-1}=(k+1)x^{(k+1)-1}-1}:{dx-1}:{d}}$

수학적 유도의 원리에 의해, 그 진술은 모든 양의 정수 n에 대해 진실이다.

이항 정리(양정수)에 의한 증명

Let $y=x^{n}$ = $y=x^{n}$ $y=x^{n}$ ${\$ 여기서 $n\in \mathbb {N}$ $n\in \mathbb {N}$ $n\in \mathbb {N}$ ${\$

Then ${\frac {dy}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}$ ${\displaystyle =\lim _{h\to 0$ $}}{\frac {1}{h}\왼쪽[x^{n}+{\binom{n1}{1}x^{n-1}h+{1}:{n-1}{n}}{n-2}}x^{n-2}h^{2}+...$ $+{\binom {n}{n}}h^{n}-x^{n}\오른쪽]}$

=\lim _{h\to 0}\왼쪽[{\binom {n}{1}x^{1}+{\binom{n}{2}}x^{n-2}h+...+{\binom{n}{n}h^{n-1}\오른쪽]

=nx^{n-1

음의 정수 지수에 대한 일반화

음의 정수 n의 경우 m이 양의 정수이도록 $n=-m$ = $n=-m$ - m $n=-m$ 을(를) 두십시오. Using the reciprocal rule, ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}}=-{\frac {mx^$ ${m-1}{x^{2m}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}.$ $}$

결론적으로, 0이 아닌 $정수$ n{\ $displaystyle n}$ 에 $n$ ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$ , ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$ ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$ ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$ n ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$ = ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$ ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$ - ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$ 1 ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$ . {\ $displaystyle {\frac {d}{dx}}}{$ dx $^{n}=nx^{n-1}.$ $}$

합리적인 지수에 대한 일반화

파워 규칙이 정수 지수를 유지한다는 것을 증명하는 즉시, 규칙은 합리적인 지수로 확장될 수 있다.

사례별 일반화

1. $y=x^{\frac {1}{n}}=x^{m}$ y $y=x^{\frac {1}{n}}=x^{m}$ = $y=x^{\frac {1}{n}}=x^{m}$ = x $y=x^{\frac {1}{n}}=x^{m}$ ${\$ n}}}= $x^{m$ 여기서 $n\in \mathbb {N}$ $n\in \mathbb {N}$ $n\in \mathbb {N}$ ${\$

그러면 $y^{n}=x$ $y^{n}=x$ = $y^{n}=x$ ${\displaystyle$ y $^{n}=x}$

체인 규칙에 따르면 $ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1$ y $ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1$ - $ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1$ 1 $ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1$ $ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1$ $ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1$ $ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1$ = 1 ${\displaystyle ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}=1$ }을 $($ 를) 얻는다.

Thus, ${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{ny^{n-1}}}={\frac {1}{n\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{n-1}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}=mx^{m-1}$

2. $m,n\in \mathbb {N}$ $y=x^{\frac {n}{m}}=x^{p}$ y = $y=x^{\frac {n}{m}}=x^{p}$ = $y=x^{\frac {n}{m}}=x^{p}$ p $y=x^{\frac {n}{m}}=x^{p}$ {\ $displaystyle y=x^{n}{m}}{$ m}}= $x^{p$ 여기서 $p\in \mathbb {Q} ^{+}$ , $m,n\in \mathbb {N}$ $m,n\in \mathbb {N}$ , n $,$ $m,n\in \mathbb {N}$ { $p\in \mathbb {Q} ^{+}$ $},$ $displaystystyle p\in$ \in $\mathb{Q$ }^{Q}}}}}}}}}}}} $p\in \mathbb {Q} ^{+}$ ^{{+}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

체인 규칙에 따르면 ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ x = d ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ ( ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ = ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ - ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ x ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ - 1 ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ = n ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ 1 ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ m - ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ = ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ x x ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ - ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ = ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ - 1 = p - ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$ ${\$ frac $스타일 {\frac{d}}}={dx}}}}{d}}}}}}}{x^{1}{m$ }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{m}}}}}}}}오른쪽\frac { $m}\$ $^{n}=n\왼쪽(x^{1}{m}\오른쪽)^{n-1}\cdot {\frac{1}{1}{m}x^{{1}:{\frac{1}-1}={\frac{n}}{n}}}}}{m-1}={p-1}:{p-1}}}}}}}}}}}}}}}}.$

3. $y=x^{q}$ = $y=x^{q}$ x $y=x^{q}$ ${\$ 여기서 $q=-p$ = $q=-p$ - p $q=-p$ 및 $p\in \mathbb {Q} ^{+}$ $p\in \mathbb {Q} ^{+}$ Q $p\in \mathbb {Q} ^{+}$ + ${\$

By using chain rule and reciprocal rule, we have ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x}}\right)^{p}=p\left({\frac {1}{x}}\right)^{p-1}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-px$ $^{-p-1}=qx^{q-1}$

위의 결과에서 $r$ 이 합리적인 숫자일 때 ${\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.$ ${\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.$ ${\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.$ ${\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.$ ${\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.$ = ${\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.$ x ${\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.$ - ${\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.$ . ${\dplaystyle {\d}{dx}}{dx^{d$ }}}{dx $^{$ r}=rx $^{r-1$ }라고 결론을 내릴 수 있다 $.$ $}$

암묵적 차별화에 의한 증거

합리적인 지수에 대한 파워 룰의 보다 직접적인 일반화는 암묵적인 차별화를 이용한다.

$y=x^{r}=x^{p/q}$ = $y=x^{r}=x^{p/q}$ x $y=x^{r}=x^{p/q}$ = $y=x^{r}=x^{p/q}$ $y=x^{r}=x^{p/q}$ / $y=x^{r}=x^{p/q}$ {\ $displaystyle y=x^{r}=x^{p/$ q $y=x^{r}=x^{p/q}$ $r\in \mathbb {Q}$ 서 $p,q\in \mathbb {Z}$ p , $p,q\in \mathbb {Z}$ $r\in \mathbb {Q}$ , $, q$ \ $mathb {Z},$ $displaystyle r\in \mathb$ { $Q}$

그러면.

y^{q}=x^{p}}

qy^{q-1}{\frac {dy}{dx}=sniform^{p-1}

$dy/dx$ $dy/dx$ / $dy/dx$ $dy/dx$ $dy/dx$ 에 대한 해결 중 $dy/dx$

{\frac {dy}{dx}={\frac { {^{p-1}{qy^{q-1}}.

$y=x^{p/q}$ = $y=x^{p/q}$ $y=x^{p/q}$ / $y=x^{p/q}$ ${\$ y $=x^{p/q}}$ 이(가) 있기 때문에 $y=x^{p/q}$

{\frac{d}{dx}x^{p/q}={\frac {p-1}{qx^{p-p/q}}}.

지수 법칙 적용,

{\dplaystyle {\frac{d}{dx}x^{p/q}={\frac{p-1}{p-1}x^{p-1}x^{p+p/q}={\frac}{p}}}x^{p/q-1}.}

따라서 $r$ = p = $r=p/q$ / $r=p/q$ ${\$ $displaystyle$ $r=p/q}$ 을 $r=p/q$ 를) 내버려두면 $r$ r ${\$ ${\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}$ }{ $dx}{$ dx $^{r$ }= $rx^{$ r-1} ${\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}$ ${\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}$ r = r - ${\$ { $d$ $}{d}}}}}=$ rx^{ $r-1$ }라고 결론을 내릴 수 있다.

역사

통합에 대한 전원 규칙은 17세기 초 이탈리아의 수학자 보나벤투라 카발리에리가 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ {\ $displaystylen}$ 의 모든 양의 정수 값에 대해 기하학적 형태로 처음 입증했고 ${\displaystyle n}$ 17세기 중반에는 수학자 피에르 드 페르마, 에반젤리스타 토리첼리첼리, G.일레스 드 로베르발, 존 월리스, 블레이즈 파스칼은 각각 독립적으로 활동한다. 그 당시, 그들은 합리적인 동력함수의 그래프와 수평축 사이의 영역을 결정하는 것에 대해 검토되었다. 그러나 사후판단과 함께 발견된 최초의 미적분학의 일반정리로 여겨진다.^[4] 분화를 위한 권력 법칙은 17세기 중반 이성적인 권력 기능을 위해 각각 독립적으로 아이작 뉴턴과 고트프리드 빌헬름 라이프니츠에 의해 도출되었는데, 이들은 이 법칙을 사용해 역작용으로 통합에 대한 권력 규칙을 도출했다. 이는 일반적으로 분화 규칙이 통합 규칙보다 선행하는 현대의 기초 미적분 교과서에서 관련 이론들이 제시되는 전통적인 방식을 반영한다.^[5]

두 사람 모두 합리적 양만을 위해 입증된 그들의 규칙이 모든 실권을 위해 효과가 있다고 진술했지만, 당시 이론의 적용이 그러한 이국적인 권력 기능과 관련이 없었고, 무한 계열의 융합에 대한 의문도 여전히 모호했다.

$r=-1$ = $r=-1$ - $r=-1$ $r=-1$ 의 독특한 경우는 17세기 중반 플랑드르 예수이트와 수학자 그레고아르 드 생빈센트 그리고 그의 제자 알폰스 안토니오 데 사라사에 의해 해결되었다 $r=-1$ . 그들은 연관된 확실한 적분인

\int_{1}^{x}{\frac {1}{t}\,dt

직사각형 하이퍼볼라 $xy=1$ $xy=1$ = $xy=1$ $xy=1$ 과 $xy=1$ X 축 사이의 영역을 나타내는 것은 로그 함수였으며, 그 기저는 결국 초월수 e로 밝혀졌다. 이 확실한 적분 값의 현대적 표기법은 자연 로그인 $\ln(x)$ $\ln(x)$ ( $\ln(x)$ x ) $\ln(x)$ 이다 $\ln(x)$

일반화

복잡한 전원 기능

$f(z)=z^{c}$ $f(z)=z^{c}$ ) $f(z)=z^{c}$ = $f(z)=z^{c}$ $f(z)=z^{c}$ ${\$ 형식의 기능을 고려한다면, $c$ 서 $f(z) = z^c$ c $c$ 은 $c$ (는) 모든 복잡한 숫자이고 z $z$ 은 $z$ 0의 분기점과 그에 연결된 모든 분기 컷을 제외하는 슬릿 복합적인 숫자로서 기존의 다중값 정의를 사용한다. $z^{c}:=\exp(c\ln z)$ , then it is straightforward to show that, on each branch of the complex logarithm, the same argument used above yields a similar result: $f'(z)={\frac {c}{z}}\exp(c\ln z)$ .^[6]

또한 $c$ ${\$ $displaystyle$ $c}$ 이 $c$ ( $f(0)=0$ ) 양의 정수인 경우 분기 컷이 필요 없음: $f(0)=0$ ( 0 $f(0)=0$ ) $f(0)=0$ = $f(0)=0$ ${\displaystyle$ f $(0)=0}$ 또는 복잡한 곱셈을 통해 양의 적분 복합력을 정의하고, 모든 복합 $z$ 에 대해 $f'(z)=cz^{c-1}$ $f'(z)=cz^{c-1}$ $f'(z)=cz^{c-1}$ ) $f'(z)=cz^{c-1}$ = $f'(z)=cz^{c-1}$ - $(z)=cz^{c-1}$ 을 표시할 수 있다 $.$ 파생형과 이항 정리의 정의에서 나온 $splaystyle$ z $}.$

단, 비정수 지수에 대한 복합 전력 함수의 다중값 특성 때문에 사용 중인 복합 로그의 분기를 지정하는데 주의해야 한다. 또한 어느 가지를 사용하든 $c$ $c$ 이(가) 양의 정수가 아니면 $c$ 0에서 함수를 달리할 수 없다.

참조

^ Landau, Edmund (1951). Differential and Integral Calculus. New York: Chelsea Publishing Company. p. 45. ISBN 978-0821828304.
^ Spivak, Michael (1994). Calculus (3 ed.). Texas: Publish or Perish, Inc. pp. 336–342. ISBN 0-914098-89-6.
^ Maor, Eli (1994). e: The Story of a Number. New Jersey: Princeton University Press. p. 156. ISBN 0-691-05854-7.
^ Boyer, Carl (1959). The History of the Calculus and its Conceptual Development. New York: Dover. p. 127. ISBN 0-486-60509-4.
^ Boyer, Carl (1959). The History of the Calculus and its Conceptual Development. New York: Dover. pp. 191, 205. ISBN 0-486-60509-4.
^ Freitag, Eberhard; Busam, Rolf (2009). Complex Analysis (2 ed.). Heidelberg: Springer-Verlag. p. 46. ISBN 978-3-540-93982-5.

추가 읽기

Larson, Ron, Hostetler, Robert P, Edwards, Bruce H.(2003). 단일 변수의 미적분: 초기 초월 함수(3판) Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.

[1] Landau, Edmund (1951). Differential and Integral Calculus. New York: Chelsea Publishing Company. p. 45. ISBN 978-0821828304.

[2] Spivak, Michael (1994). Calculus (3 ed.). Texas: Publish or Perish, Inc. pp. 336–342. ISBN 0-914098-89-6.

[3] Maor, Eli (1994). e: The Story of a Number. New Jersey: Princeton University Press. p. 156. ISBN 0-691-05854-7.

[Boyer-4] Boyer, Carl (1959). The History of the Calculus and its Conceptual Development. New York: Dover. p. 127. ISBN 0-486-60509-4.

[5] Boyer, Carl (1959). The History of the Calculus and its Conceptual Development. New York: Dover. pp. 191, 205. ISBN 0-486-60509-4.

[6] Freitag, Eberhard; Busam, Rolf (2009). Complex Analysis (2 ed.). Heidelberg: Springer-Verlag. p. 46. ISBN 978-3-540-93982-5.

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v t 미적분학.
프레살쿨루스	이항 정리 오목함수 연속함수 요인 유한차이 자유 변수 및 경계 변수 함수의 그래프 선형함수 라디안 롤의 정리 세컨트 경사 접선
한계	불확정형 함수의 한계 단측한도 수열의 한계 근사순번 (ε, Δ)-한계의 정의
미분학	파생상품 미분 미분방정식 미분 연산자 평균값 정리 표기법 라이프니츠의 표기법 뉴턴의 표기법 차별화 규칙 직선성 힘 합계 체인 L'Hepital's girls 제품 라이프니츠 장군의 통치 지수 기타 기법 암묵적 분화 역함수 규칙 및 분화 로그 유도화 관련금리 정지점 제1차 파생상품시험 2차파생성시험 극값정리 맥시마와 미니마 추가 애플리케이션 뉴턴의 방법 테일러의 정리
적분 미적분학	해독제 호 길이 기본 속성 집적 상수 미적분학의 기본 정리 통합 기호 아래 차별화 부품별 통합 대체에 의한 통합 삼각 측량 오일러 위어스트라스 적분 부분분수 2차 적분 사다리꼴 법칙 볼륨 와셔법 셸 방식
벡터 미적분학	파생상품 컬 방향파생상품 발산 그라데이션 라플라시안 기본 정리 라인 통합 그린스 스톡스 가우스
다변량 미적분학	발산정리 기하학 헤시안 행렬 야코비안 행렬과 결정인자 라그랑주 승수 라인 적분 매트릭스 다중 적분 부분파생상품 표면 적분 부피 적분 고급 주제 미분형식 외부파생상품 일반화 스톡스의 정리 텐서 미적분학
시퀀스 및 시리즈	산술-기하 시퀀스 계열의 종류 교대로 이항체 푸리에 기하학 조화 무한 힘 마클로린 테일러 텔레스코핑 수렴 시험 아벨의 교대계열 코시 응결 직접 비교 디리클레트 적분 한계비교 비율 뿌리 용어
특수 기능 와 숫자	베르누이 수 e (계속 상수) 지수함수 자연 로그 스털링의 근사치
미적분학의 역사	적정성 브룩 테일러 콜린 매클라우린 대수 일반성 고트프리트 빌헬름 라이프니즈 최소값 소수점 미적분학 아이작 뉴턴 플럭시온 연속성의 법칙 레온하르트 오일러 플럭션의 방법 기계식 이론의 방법
목록	차별화 규칙 지수함수의 통합 목록 쌍곡선 함수의 통합 목록 역 쌍곡선 함수의 통합 목록 역삼각계 함수의 통합 목록 비합리적인 기능의 통합 목록 로그 함수의 통합 목록 합리적인 기능의 통합 목록 삼각함수의 통합 목록 세컨트 큐방트 한계 목록 통합 목록
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