분기점

복소해석학에서, 다치함수(복소해석학에서^{[citation needed]} 보통 "다함수"라고 함)의 분기점은 함수가 그 지점에서 n개의 값(n개의 값을 가지며)이면 그 모든 근방이 n개^[1] 이상의 값을 갖는 점을 포함하는 지점이다.다중값 함수는 리만 표면을 사용하여 엄격하게 연구되며 분기점의 공식 정의는 이 개념을 사용한다.

분기점은 대수 분기점, 초월 분기점 및 로그 분기점의 세 가지 범주로 나뉩니다.대수적 분기점은 z의 함수로 w = z의 방정식을² 푸는 것과 같이 근의 추출에 모호성이 있는 함수에서 가장 일반적으로 발생한다.여기서 분기점은 원점입니다. 왜냐하면 원점을 포함하는 닫힌 루프 주위에 있는 솔루션의 해석적 연속은 다른 함수를 낳기 때문입니다. 즉, 사소한 단색성이 존재하지 않습니다.대수적 분기점에도 불구하고 함수 w는 다중값 함수로 잘 정의되어 있고 적절한 의미에서 원점에서 연속적이다.이는 초월 및 로그 분기점, 즉 다중값 함수가 중요하지 않은 단색 및 필수 특이점을 갖는 점과는 대조적입니다.기하 함수 이론에서, 분지점이라는 용어의 조건 없는 사용은 전형적으로 전자의 더 제한적인 종류인 대수적 ^[2]분지점을 의미한다.복잡한 분석의 다른 영역에서도, 부적격 항은 초월형의 보다 일반적인 분기점을 나타낼 수 있다.

대수적 분기점

복소 평면 C에서 δ를 연결 개방 집합, δ: δ → C를 홀모픽 함수라고 하자.θ가 일정하지 않은 경우, θ의 임계점 집합, 즉 도함수 θ'(z)의 0은 δ에 한계점이 없다.따라서 θ의 각 임계점₀ z는 닫힘에서 θ의 다른 임계점을 포함하지 않는 디스크 B(z₀,r)의 중심에 있다.

θ를 B(z₀,r)의 경계로 하고, B(z,r)의 양의 방향을 취한다.점 θ(z₀)에 대한 θ(θ)의 권선수는 z의₀ 라미네이션 지수라고 하는 정의 정수이다.람화지수가 1보다 크면 z는₀ θ의 람화점, 대응하는 임계치 θ₀(z)는 (대수) 분기점이라고 한다.마찬가지로 z는 정수₀ k > 1에 대하여 θ(z) = θ(z - ^kz₀) + f(z₀)가 되도록 z 근방에₀ 정의되어 있는 정칙함수 θ가 존재하는 경우, 파점이다.

일반적으로는 θ 자체에 관심이 있는 것이 아니라 그 역함수에 관심이 있다.단, 파편점 근방의 정형함수의 역함수는 적절히 존재하지 않기 때문에 이를 글로벌 해석함수로 다치적으로 정의하도록 강요된다.일반적으로 언어를 남용하여 글로벌 해석함수 ƒ의⁻¹ 분기점₀ w = ((z₀)를 가리키는 것이 일반적이다.분기점의 보다 일반적인 정의는 암묵적으로 정의된 것과 같은 다른 종류의 다중값 글로벌 분석 함수에 대해 가능하다.이러한 예를 다루기 위한 통일된 프레임워크는 아래의 리만 서페이스 언어로 제공됩니다.특히 이 보다 일반적인 그림에서는 순서 극이 1보다 큰 경우에도 분파점으로 간주할 수 있습니다.

역글로벌 해석함수 θ에서⁻¹ 분기점은 중요하지 않은 단색점이 있는 지점이다.예를 들어, 함수 θ(z²) = z의 경우 z = 0에₀ 람화점이 있습니다.역함수는 제곱근 θ⁻¹^1/2(w) = w로, 분기는₀ w = 0입니다.실제로, 닫힌 루프 w = e를^iθ 돌면 하나는 θ = 0에서 시작하고^i0/2 e = 1에서 시작합니다. 그러나 루프를 돌면 θ = 2 µ로 돌면 e = -1이 됩니다^{2 $π$ i/2}.따라서 이 루프 주변에는 원점을 둘러싼 단색성이 있습니다.

초월 분기점 및 로그 분기점

g가 z 주위에₀ 구멍이 뚫린 디스크에 정의된 전역 분석 함수라고 가정합니다.z가₀₀ g의 필수 특이점이라면 g는 초월 분기점을 가지며, z점을 둘러싼 단순한 닫힌 곡선을 한 바퀴 돌면 다른 함수 요소가 ^[3]생성된다.

초월 분기점의 예는 다중값 함수의 원점입니다.

(\displaystyle g(z)=\exp \left(z^{-1/k}\right),

일부 정수 k > 1의 경우.여기서 원점 주위의 회선용 모노드로미 그룹은 유한합니다.k개의 전체 회로에 대한 분석적 연속은 기능을 원래대로 되돌립니다.

단색군이 무한대인 경우, 즉 z에 대해₀ 0이 아닌 권선수를 가진 곡선을 따라 해석 연속하여 원래의 함수 요소로 돌아가는 것이 불가능하면, 점₀ z를 로그 ^[4]분기점이라고 한다.이것은 이 현상의 전형적인 예가 원점에서의 복소수 로그의 분기점이기 때문에 그렇게 불린다.원점을 둘러싼 단순한 닫힌 곡선을 중심으로 시계 반대 방향으로 한 번 가면 복소수가 2µi씩 증가합니다.권선번호 w로 루프를 둘러싸면 로그는 2µi w 증가하며, 단색군은 무한순환군 $(\displaystyle$ \ $mathbb$ {Z $\mathbb {Z}$ 이다 $.$

로그 분기점은 초월 분기점의 특수한 경우입니다.

연관된 피복 리만 표면이 분기점 자체의 커버에 해석적으로 연속될 수 없기 때문에 초월 분기점과 로그 분기점에 대한 대응되는 라미네이션 개념은 없습니다.그러므로 그러한 커버는 항상 세분화되지 않는다.

예

0은 제곱근 함수의 분기점입니다.w = z^1/2 및 z가 4에서 시작하여 0을 중심으로 하는 복소 평면에서 반지름 4의 원을 따라 이동한다고 가정합니다.종속 변수 w는 z에 따라 연속적으로 변화합니다.z가 하나의 완전한 원을 만들었을 때, 다시 4에서 4로 돌아가면 w는 하나의 반원을 만들 것입니다. 즉, 양의 제곱근 4에서 음의 제곱근 4로 이동합니다(예: -2).
0은 자연 로그의 분기점이기도 합니다.e는 e와^{2 $π$ i} 같기 때문에⁰ 0과 2µi는 모두 ln(1)의 다중값 중 하나입니다.z가 0을 중심으로 반지름 1의 원을 따라 이동할 때 w = ln(z)은 0에서 2µi로 이동합니다.
삼각법에서는 tan( $θ$ /4)과 tan(5//4)은 모두 1이므로 arctan(1)의 배수값 중 $θ$ /4와 5//4가 2개 있다.가상 단위 i 및 -i는 아크탄젠트 함수 arctan(z) = (1/2i)log[(i - z)/(i + z)]의 분기점입니다.이는 미분(d/dz) arctan(z) = 1/(1 + z²)이 두 지점에서 단순한 극을 갖는 것을 관찰함으로써 알 수 있다. 왜냐하면 분모는 그 지점에서 0이기 때문이다.
함수 θ의 도함수 θ가 a점에 단순 극을 가지면 θ는 a점에 대수 분기점을 가진다.비합리적인 α에 대한 함수 θ(z^α) = z는 로그 분기점을 가지며, 그 도함수는 극이 아닌 단수이기 때문에 그 반대가 참이 아니다.

분기 절단

대략적으로 말하면, 분기점은 다중값 함수의 여러 시트가 모여 있는 지점입니다.함수의 분기는 함수의 다양한 시트입니다.예를 들어, 함수 w = z에는^1/2 두 개의 분기가 있습니다. 하나는 제곱근에 플러스 기호가 있고 다른 하나는 마이너스 기호가 있습니다.분기절단은 복합평면 내의 곡선으로, 그 곡선을 뺀 평면상에서 다치함수의 단일 해석분기를 정의할 수 있다.분기 절단은 보통 분기점 쌍 간에 이루어지지만 항상 그렇지는 않습니다.

분기 절단을 사용하면 다중값 함수 대신 분기 절단을 따라 "접합"된 단일 값 함수 집합을 사용할 수 있습니다.예를 들어, 함수가

F(z)=sqrt {z}}{\displayrt {1-z}},

단일 값, 하나는 실제 축의 구간 [0, 1]을 따라 분기를 절단하여 함수의 두 분기를 연결합니다.함수 δz에도 동일한 아이디어를 적용할 수 있지만, 이 경우 무한대의 점이 예를 들어 전체 음의 실제 축을 따라 0부터 연결하기에 적절한 '다른' 분기점임을 인식해야 합니다.

분기 절단 장치는 임의적인 것처럼 보일 수 있지만, 특수 기능 이론 등에서 매우 유용합니다.분기 현상에 대한 불변적 설명은 리만 표면 이론(역사적으로 그것이 기원)에서 개발되었고, 보다 일반적으로 대수 함수와 미분 방정식의 분화 및 단색 이론에서 개발되었습니다.

복소수 로그

분지를 표시하는 복소수 로그 함수의 다중값 허수 부분에 대한 그림입니다.복소수 z가 원점을 돌면 로그의 허수 부분이 올라가거나 내려갑니다.이것에 의해, 원점은 함수의 분기점이 됩니다.

분기 절단의 일반적인 예는 복소수 로그입니다.복소수가 극형식^iθ z = re로 표현된다면, z의 대수는 다음과 같다.

{\displaystyle\ln z=\ln r+i\theta .,}

그러나 각도 정의에는 분명한 모호성이 있습니다. 즉, 2의 정수배수를 더하면 다른 각도가 생성됩니다.로그의 분기는 복소평면 내의 접속개집합 내의 모든 z에 대해 z의 대수를 주는 연속함수 L(z)이다.특히, 로그의 분기는 원점에서 무한대까지의 모든 광선의 보완체, 즉 분기 절단이 존재합니다.일반적인 분기 절단 선택은 음의 실제 축이지만, 그 선택은 대부분 편의성의 문제입니다.

분기 절단을 교차할 때 로그의 점프 불연속성은 2µi이다.로그는 분기 절단을 따라 복합 평면의 복사본(시트라고 함)을 셀 수 없을 정도로 많이 붙여 연속적으로 만들 수 있습니다.각 시트에서 로그의 값은 기본 값과 2µi의 배수만큼 다릅니다.이러한 지표면은 분기 절단을 따라 서로 접착되어 로그를 연속적으로 만듭니다.변수가 원점을 이동할 때마다 로그는 다른 분기로 이동합니다.

극의 연속체

분기 절단이 복합 분석의 일반적인 특징인 한 가지 이유는 분기 절단이 극소 잔류물이 있는 복합 평면의 선을 따라 무한히 많은 극의 합으로 간주될 수 있기 때문이다.예를들면,

f_{a}(z)={1 \over z-a}

z = a에 단순 극이 있는 함수입니다.폴 위치 통합:

{{displaystyle u(z)=\int _{a=1}f_{a}(z),da=\int _{a=-1}{1 \over z-a},da=\log \leftsweatz+1 \over z-1}\right}}

-1에서 1까지의 절단을 사용하여 함수 u(z)를 정의합니다.적분선이 점 z를 통과하지 않는 한 적분선의 값을 변경하지 않고 이동할 수 있으므로 분기 절단을 이동할 수 있습니다.

리만 표면

분기점의 개념은 콤팩트하게 연결된 리만 표면 X에서 콤팩트한 리만 표면 Y(일반적으로 리만 구)까지의 정칙 함수 θ:X → Y에 대해 정의된다.일정하지 않은 한 함수 θ는 한정된 수의 포인트를 제외하고 이미지 상의 커버링 맵이 됩니다.fails가 커버가 되지 않는 X의 점은 ,의 파점이며, is의 파점 이미지를 분기점이라고 한다.

임의의 점 P x X 및 Q = ((P) y Y에 대하여 함수 ((z)가 다음과 같이 주어지는 관점에서 P 근방에 X의 경우 z와 Q 근방에 Y의 경우 w가 존재한다.

w=z^{k}

어떤 정수 k에 대해서.이 정수를 P의 람화 지수라고 합니다.일반적으로는 1개의 램피케이션인덱스는 1입니다.단, 람피규레이션인덱스가 1이 아닌 경우 정의상 P는 람피규레이션포인트, Q는 분기포인트입니다.

Y가 리만 구면이고 Q가 Y의 유한 부분에 있으면 특별한 좌표를 선택할 필요가 없습니다.라미네이션 지수는 코시의 적분 공식에서 명시적으로 계산할 수 있습니다.δ를 P 주위의 X의 단순 정류 루프라고 하자.P에서의 θ의 파장 지수는

e_{P}=frac {1}{2\pi i}}\int _{\frac {f'(z)}{f(z)-f(P)}},dz.

이 적분은 Q 지점 주위에 감기는 횟수이다.위와 같이 e > 1일 경우_P P는 람화점, Q는 분기점입니다.

대수기하학

대수기하학의 맥락에서 분기점의 개념은 임의의 대수곡선 사이의 매핑으로 일반화될 수 있다.θ:X → Y를 대수 곡선의 형태론이라고 하자.Y의 유리함수를 X의 유리함수로 되돌림으로써 K(X)는 K(Y)의 필드 확장이다.θ의 정도는 이 필드 확장 [K(X):K(Y)]의 정도로 정의되며, θ가 유한하면 유한하다고 한다.

θ는 유한하다고 가정합니다.점 P , X에 대해서, 라미네이션 지수_P e는 다음과 같이 정의된다.Q = δ(P)이고 P에서 t를 로컬 균일화 매개 변수라고 하자. 즉, t는 미분 값이 0이 아닌 t(Q) = 0인 Q 근방에서 정의된 정규 함수이다.t를 defines만큼 되돌리면 X의 정규 함수가 정의됩니다.그리고나서

e_{P}=v_{P}(t\circ f)

여기서_P v는 P에서의 정규 함수의 로컬링 평가입니다.즉_P, e는 p에서 t $t\circ f$ f $\displaystyle$ t $\circ$ f가 소거되는 $t\circ f$ $t\circ f$ 입니다.e > 1일 경우_P is는 P로 분할됩니다.이 경우 Q는 분기점이라고 불립니다.

메모들

^ Das, Shantanu (2011), "Fractional Differintegrations Insight Concepts", Functional Fractional Calculus, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 213–269, ISBN 978-3-642-20544-6, retrieved 2022-04-27 (6페이지)
^ 1979년 알포스
^ 솔로멘체프 2001; 마르쿠셰비치 1965
^ "Logarithmic branch point - Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org. Retrieved 2019-06-11.

레퍼런스

Ablowitz, Mark J.; Fokas, Athanassios S. (2003), Complex Variables: Introduction and Applications, Cambridge Texts in Applied Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53429-1
Ahlfors, L. V. (1979), Complex Analysis, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000657-7
Arfken, G. B.; Weber, H. J. (2000), Mathematical Methods for Physicists (5th ed.), Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-059825-0
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052
Markushevich, A. I. (1965), Theory of functions of a complex variable. Vol. I, Translated and edited by Richard A. Silverman, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall Inc., MR 0171899
Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Branch point", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[1] Das, Shantanu (2011), "Fractional Differintegrations Insight Concepts", Functional Fractional Calculus, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 213–269, ISBN 978-3-642-20544-6, retrieved 2022-04-27 (6페이지)

[2] 1979년 알포스

[3] 솔로멘체프 2001; 마르쿠셰비치 1965

[4] "Logarithmic branch point - Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org. Retrieved 2019-06-11.

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