힐베르트-폴랴 추측

수학에서 힐베르트-폴랴 추측은 리만 제타 함수의 자명하지 않은 0은 자기 인접 연산자의 고유값에 대응한다고 말합니다. 그것은 스펙트럼 이론을 통해 리만 가설에 대한 가능한 접근법입니다.

역사

1982년 1월 3일자 앤드루 오들리즈코에게 보낸 편지에서 조지 폴랴는 1912년에서 1914년 사이 괴팅겐에 있을 때 에드먼드 란다우로부터 리만 가설이 사실이어야 한다는 물리적 이유를 물었고, 0의 허수 부분 t가 이 경우에 해당할 것이라고 제안했습니다.

{\tfrac {1}{2}}+it

리만 제타 함수는 자기 인접 연산자의 고유값과 일치합니다.^[1] 이 추측에 대해 가장 먼저 발표된 진술은 몽고메리(1973)에 있는 것으로 보입니다.^[1]^[2]

데이비드 힐버트는 분석적 정수론의 중심 영역에서 일하지 않았지만, 그의 이름은 힐버트로 알려지게 되었습니다.폴랴 추측은 힐베르트의 제자인 에른스트 헬린저가 안드레 바일에게 한 이야기 때문입니다. 헬린저는 힐베르트가 1900년대 초 자신의 세미나에서 리만 가설이 대칭핵을 갖는 적분방정식에 대한 프레드홀름의 연구의 결과가 될 것으로 예상한다고 발표했다고 말했습니다.^[3]^[4]^[5]^[6]

1950년대와 셀버그 추적 공식

폴랴가 란다우와 대화를 나눌 당시에는 그런 추측의 근거가 별로 없었습니다. 그러나 1950년대 초 셀버그는 리만 곡면의 길이 스펙트럼과 라플라시안 고유값 사이의 이중성을 증명했습니다. 이 소위 셀버그 추적 공식은 힐베르트에게 신뢰를 주는 명시적 공식과 현저한 유사성을 가졌습니다.폴랴 추측.

1970년대와 랜덤 행렬

휴 몽고메리가 조사한 결과 임계선 상의 0의 통계적 분포는 현재 몽고메리의 쌍 상관 추론이라고 불리는 특정 속성을 가지고 있음을 발견했습니다. 0은 너무 가까이 모여 있지 않고 반발하는 경향이 있습니다.^[2] 1972년 고등연구소를 방문한 그는 랜덤 행렬 이론의 창시자 중 한 명인 프리먼 다이슨에게 이 결과를 보여주었습니다.

Dyson은 Montgomery가 발견한 통계적 분포가 임의 에르미트 행렬의 고유값에 대한 쌍 상관 분포와 동일한 것으로 나타났다고 보았습니다. 이러한 분포는 물리학에서 중요합니다. 예를 들어 원자핵의 에너지 수준과 같은 해밀턴의 고유 상태는 이러한 통계를 만족합니다. 후속 작업에서는 리만 제타 함수의 0 분포와 가우시안 유니터리 앙상블에서 추출한 무작위 에르미트 행렬의 고유값 사이의 연관성을 강력하게 입증했으며, 현재 둘 다 동일한 통계를 따르는 것으로 믿어집니다. 그래서 힐베르트-폴랴 추측은 아직 리만 가설의 증명으로 이어지지는 않았지만, 이제 더 확실한 근거를 갖게 되었습니다.^[7]

후대의 발전

1998년 알랭 콘스는 실제로 리만 가설과 동등한 추적 공식을 공식화했습니다. 이것은 셀버그 추적 공식과 유사성을 강화하여 정확한 진술을 제공합니다. 그는 숫자 이론의 명시적 공식을 아델 수업의 비상호기하학에 대한 추적 공식으로 기하학적 해석을 제공합니다.^[8]

양자역학과의 연결 가능성

힐베르트의 연결 가능성-양자역학을 가진 폴랴 연산자는 폴랴에 의해 주어졌습니다. 힐베르트-폴랴 추측 연산자는 ${\tfrac {1}{2}}+iH$ + ${\tfrac {1}{2}}+iH$ ${\tfrac {1}{2}}+iH$ ${\tfrac {1}{2}}+iH$ 형태입니다. 여기서 ${\tfrac {1}{2}}+iH$ $H {\displaystyle$ H $}$ 는 $H$ 전위 $V(x)$ ${\displaystyle$ $V$ $(x)}$ 의 영향을 받아 이동하는 $m$ 질량 $m$ ${\displaystyle$ m $}$ 입자의 해밀토니안입니다 $V(x)$ 리만 추측은 해밀토니안이 에르미트라는 주장 또는 V ${\displaystyle$ V $}$ 가 $V$ $실수$ 라는 주장과 동등합니다.

섭동 이론을 사용하여 n번째 고유 상태의 에너지는 퍼텐셜의 기대 값과 관련이 있습니다.

E_{n}=E_{n}^{0}+\left.\left\langle \varphi_{n}^{0}\right V\left \varphi_{n}^{0}\right.\right\rangle

여기서 $E_{n}^{0}$ $E_{n}^{0}$ $E_{n}^{0$ 및 $\varphi _{n}^{0}$ φ n 0 ${\displaystyle \varphi_{$ n}^{0}}은 자유 입자 해밀턴의 고유 값 및 고유 상태입니다. 이 방정식은 $E_{n}$ En $E_{n}$ {\ $displaystyle E_{n}}$ 을 갖는 프레드홀름 적분 방정식으로 간주될 수 있습니다 $E_{n}$ 이러한 적분 방정식은 분해능 커널을 통해 풀 수 있으므로 퍼텐셜은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

V(x)=A\int _{-\infty }^{\infty }\left(g(k)+{\overline {g(k)}}-E_{k}^{0}\right)\,R(x,k)\,dk

$R(x,k)$ 서 R $R(x,k)$ $R(x,k)$ $R(x,k)$ 은 $R(x,k)$ (는) 해상도 커널이고, $A$ ${\displaystyle$ A $}$ 은 $A$ (는) 실수 상수이고,

g(k)=i\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-\rho _{n}\right)\delta (k-n)

여기서 $\delta (k-n)$ δ $\delta (k-n)$ (k $\delta (k-n)$ - n ) ${\displaystyle \$ delta (k - n)}는 디랙 델타 $\rho _{n}$ 이고 $,$ ρ n ${\$ displaystyle \rho _{n}}은 $\zeta (\rho _{n})=0$ $\zeta (\rho _{n})=0$ ζ(ρ n) = 0 ${\displaystyle$ \zeta (\rho _{n}) = 0}의 "비trivial" 루트입니다.

Michael Berry와 Jonathan Keating은 Hamiltonian H가 실제로 고전적인 Hamiltonian xp의 일부 양자화라고 추측했습니다. 여기서 p는^[9] xp에 해당하는 가장 단순한 에르미트 연산자인 xp와 관련된 표준 운동량입니다.

{\hat {H}}={\tfrac {1}{2}}({\hat {x}}{\hat {p}}+{\hat {p}})=-i\left(x{\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}+{\frac {1}{2}\right)}

힐베르트의 세련된 모습은폴랴 추측은 베리 추측(또는 베리-키팅 추측)으로 알려져 있습니다. 2008년 현재, 이 연산자가 정확한 역학을 얻기 위해 어떤 공간에서 행동해야 하는지, 그리고 예상되는 로그 보정을 얻기 위해 어떻게 정규화해야 하는지 명확하지 않기 때문에, 그것은 아직 구체적이기에는 상당히 거리가 있습니다. 베리와 키팅은 이 연산자가 확장 상태에서 불변하므로 정수 n에 대한 경계 조건 f(nx) = f(x)가 큰 n에 대해 올바른 점근 결과를 얻는 데 도움이 될 수 있다고 추측했습니다.

{\displaystyle {\frac {1}{2}}+i{\frac {2\pin}{\log n}}.

^[10]

칼 M. 벤더, 도르제 C가 쓴 논문이 2017년 3월에 발표되었습니다. 브로디, 그리고 문제에 대한 베리의 접근 방식을 기반으로 한 마르쿠스 P. 뮐러.^[11] 저기 연산자가

{\hat {H}}={\frac {1}{1-e^{-i{\hat {p}}}\left ({\hat {x}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {x}\right)\left(1-e^{-i{\hat {p}}\right)

그들은 힐베르트 조건의 특정한 수정된 버전을 만족시킨다고 주장합니다.폴랴 추측. 장 벨리사드는 이 논문을 비판했고,^[12] 저자들은 해명으로 화답했습니다.^[13] 게다가 프레드릭 목슬리는 슈뢰딩거 방정식으로 문제에 접근했습니다.^[14]

참고문헌

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^ ^a ^b Montgomery, Hugh L. (1973), "The pair correlation of zeros of the zeta function", Analytic number theory, Proc. Sympos. Pure Math., vol. XXIV, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 181–193, MR 0337821.
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