이세렐리스 정리

확률론에서 이세렐리스의 정리나 윅의 확률정리는 공분산 행렬의 관점에서 다변량 정규 분포의 고차 모멘트를 계산할 수 있는 공식이다.레옹 이스셀리스의 이름을 따서 지은 것이다.

이 정리는 입자물리학에서도 특히 중요한데, 여기서 Wick(1950년)의 작업 후 Wick의 정리라고 알려져 있다.^[1]그 밖에 포트폴리오 수익률 분석,^[2] 양자장 이론^[3], 색소음 발생 등이 응용된다.^[4]

성명서

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle X_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n}})$이 0평균 다변량 정규 랜덤 벡터인 경우

where the sum is over all the pairings of ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$, i.e. all distinct ways of partitioning ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ into pairs ${\displaystyle \{i,j\}}$, and the product is over the pairs contained in ${\displaystyle p}$.^[5][6]

리언 이세렐리스는 그의 원문에서 이 정리를 수학 유도로 증명하여, 외관을 취하는 ^[8]${\displaystyle {\text{4t}}^{}}$ ${\$ 주문$$ 모멘트의 공식을 일반화한다.^[7]

${\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}\,]=\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]\,\operatorname {E} [X_{3}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{3}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{4}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{3}].}$

홀수 케이스, n${\displaystyle }n{\displaystyle }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{N}}$+ 1 ${\displaystyle n\in 2\mathb {N} +$1}

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{2m}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n=2m+1$}이$($가) 홀수인$$ 경우${\displaystyle }${${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \dots ,\mathrm{2m}}$+ ${\displaystyle 1\}}$ ${\displaystyle \{1,\ldots, 2m+1\}}$의 쌍은 존재하지 않는다$.$ 이 가설에서 isserlis의 정리는 다음과 같은 의미를 내포함

This also follows from the fact that ${\displaystyle -X=(-X_{1},\dots ,-X_{n})}$ has the same distribution as ${\displaystyle X}$, which implies that ${\displaystyle \ope$$ratorname {E} [\,X_{1}\cdots X_{2m+1}\,]=\operatorname {E} [\,(-X_{1})\cdots (-X_{2m+1})\,]=-\operatorname {E} [\,X_{1}\cdots X_{2m+1}\,]=0}$.

짝수인 경우 n${\displaystyle n\mathbb{}}$ ${\displaystyle 2}$ N ${\$

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{2m}}$ ${\displaystyle n=2m}$이${\displaystyle (}$가) 짝수라면${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{2m}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle !}$ /${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{2m}!)}$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{2m}}$ - 1 )${\displaystyle }$! ($2m$ - 1${\displaystyle )}$!$$($2^{m}m!)=(2m-1)!!!!$$\}\}($이중 요인 참조) {${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle \mathrm{2m}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{1,\ldots,2m$ : 이${\displaystyle \mathrm{산출량}}$(${\displaystyle \mathrm{2m})!}$/ ($!)$= (${\displaystyle \mathrm{2m}}$-${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle )!}$ ${\displaystyle$ ($2m$)!/(2$^{m}m!)=(2m-1$)=(2m-1$)!!!!$합계에서 $}$개의$$ 항.예를 들어, ${\displaystyle {\text{4t}}^{}}$ ${\$ 주문$$ 모멘트(즉, $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 4}$ 랜덤$$ 변수)에는 세 개의 항이 있다.$6{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\text{th}}^{}}$ ${\$ 6$^{\text{th}}$ - 주문$$ 모멘트는 3 ${\displaystyle \times }$ $5{\displaystyle \mathrm{}}$ =${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle$ 3$\$$time$ $5=15}$이고, 8 ${\displaystyle {\text{th}}^{}}$ ${\$ - 주문$$ 모멘트는 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 5}$= ${\displaystyle 105}$= 3$\time 7=105}$이다.

일반화

부품별 가우스 통합

Wick의 확률 공식의 등가 공식은 부품에 의한 가우스 통합이다.$({\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle (X_{1},\dots X_{n})$이 0평균 다변량 정규 랜덤 벡터인 경우

The Wick's probability formula can be recovered by induction, considering the function ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ defined by ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{2}\ldots x_{n}}$. Among other things, this formulation is important in Liouvi일치 워드의 신원, BPZ 방정식을^[9] 얻고 표도로프-부쇼 공식을 증명하기 위한 lle 컨포멀 필드 이론.^[10]

비가우스 랜덤 변수

비 가우스 랜덤 변수의 경우 모멘트-큐뮬런트 공식은^[11] Wick의 확률 공식을 대체한다.$({\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle (X_{1},\dots X_{n})$이 변수의 벡터인 경우

where the sum is over all the partitions of ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$, the product is over the blocks of ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle \kappa {\big (}(X_{i})_{i\in b}{\big )}}$ is the cumulant of ${\displaystyle (X_{i})_{i\in b}}$.

참고 항목

• 윅의 정리
• 누룩제
• 정규 분포

참조

추가 읽기

• Koopmans, Lambert G. (1974). The spectral analysis of time series. San Diego, CA: Academic Press.