콕스의 정리

물리학자 리차드 트렐켈트 콕스의 이름을 딴 콕스의 정리는 일정한 체조에서 확률론 법칙을 도출한 것이다.콕스의 정리에 의해 도출된 확률의 법칙이 어떤 명제에도 적용 가능하기 때문에, 이러한 파생은 소위 "논리적" 확률 해석을 정당화한다.논리(객관적 베이시안이라고도 함) 확률은 베이시안 확률의 한 유형이다.주관적 해석과 같은 베이시안주의의 다른 형태에는 다른 정당성이 부여된다.

콕스의 가정

콕스는 자신의 시스템이 다음과 같은 조건을 충족시키기를 원했다.

1. 차별성과 비교가능성 – 제안의 타당성은 실제 숫자로, 제안과 관련하여 우리가 가지고 있는 정보에 의존한다.
2. 상식 – 모델에서 타당한 수준의 평가에 따라 타당한 수준의 차이가 있어야 한다.
3. 일관성 – 여러 가지 방법으로 제안의 타당성을 도출할 수 있다면, 모든 결과는 동일해야 한다.

여기에 언급된 견본들은 아르노보르와 din딘으로부터 가져온다.^[1][2][3]"상식"은 논리적으로 동등한 명제가 동일한 타당성을 가져야 한다는 의미에서 아리스토텔레스 논리와의 일관성을 포함한다.

콕스가 처음에 말한 인용문은 수학적으로 엄격하지 않았다(위의 비공식적인 설명보다 더 좋기는 하지만), 예를 들어 할펜이 지적한 바와 같다.^[4][5]그러나 콕스가 유효한 증거를 작성하기 위해 암묵적으로 또는 명시적으로 만든 다양한 수학 가정으로 그것들을 증강하는 것이 가능해 보인다.

콕스의 표기법:

$일부{\displaystyle }$ 관련 정보 X ${\displaystyle X}$이(가) 주어진 제안 $A{\displaystyle }$ {\$displaystyle A$$}$의 타당성은 $∣$ X {\$displaystyle$A$\mid X}$로 표시된다$.$

Cox의 가정 및 기능 방정식은 다음과 같다.

• 일부 관련 $정보{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X}$을$($를) 감안한 두 가지 $제안{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle$A$\},$ $B{\displaystyle }${\$displaystyle B}$의 ${\displaystyle \mathrm{접속사}}$ A$$${\\$$displaystyle A}$의 신뢰성은 X ${\$$displaystyty$ $X}$과 B$}$의 신뢰성에 의해 결정된다.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle AX$

함수 방정식의 형태로

$(\displaystyle AB\mid X=g(A\mid X,B\mid AX)}$

명제 논리에서의 결합 특성 때문에 논리와의 일관성은 함수 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가) 연관 이진 연산이라는$$ 기능 방정식을 준다.

• 또한 Cox는 함수 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$을(를) 단조로 가정한다.

실수에 대해 엄격하게 증가하는 모든 연관 이진 연산은 [0, + +]의 하위 중간에서 숫자의 곱셈에 대해 이형성이며, 이는 [0, +∞]에 대해 그럴듯성을 $매핑하는$ 단조함수가 있음을 의미한다.

$w(AB\mid X)=w(A\mid X)w(B\mid AX)}$

• In case ${\displaystyle A}$ given ${\displaystyle X}$ is certain, we have ${\displaystyle AB\mid X=B\mid X}$ and ${\displaystyle B\mid AX=B\mid X}$ due to the requirement of consistency.일반 방정식은 다음으로 이어진다.

$w(B\mid X)=w(A\mid X)w(B\mid X)}$

이는 다음과 같은 모든 $제안{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$에 대해 유지된다$.$

${\displaystyle ww(A\mid X)=1}$

• In case ${\displaystyle A}$ given ${\displaystyle X}$ is impossible, we have ${\displaystyle AB\mid X=A\mid X}$ and ${\displaystyle A\mid BX=A\mid X}$ due to the requirement of consistency.일반 방정식(A 및 B 인자 전환 시)은 다음과 같다.

$w(A\mid X)=w(B\mid X)w(A\mid X)}$

이는 일반성을 상실하지 않고 해결책으로 이어지는 모든 $제안{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$에 대해 유지되어야 한다$.$

$(A\mid X)=0}$

단일성의 요구 조건 때문에, $이$는 w ${\displaystyle$ w$}$이(가) 그럴듯할 수 있는 간격을 [0, 1] 간격으로 매핑한다는$$ 것을 의미한다.

• 명제의 타당성은 명제의 부정의 타당성을 결정한다.

이것은 다음과 같은$$ 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 존재를 가정한다.

${\displaystyle w({\text{not}}A\mid X)=f(A\mid X)}$

"이중 부정은 긍정"이기 때문에, 논리와의 일관성은 기능 방정식을 제공한다.

${\displaystyle f(f(x)=x,}$

$함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$이(가) 비자발적, 즉 그 자체의 역이라고 말하는 것이다.

• 또한 Cox는 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) 단조로 가정한다.

위의 기능 방정식과 논리와의 일관성은 다음을 함축한다.

${\displaystyle w(AB\mid X)=w({\text{}B\mid AX)=w(A\mid X)f\left({w(A\mid X가 아님)\over w(A\mid X)}\right)$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$은(는) 논리적으로 ${\displaystyle B}$ A ${\displaystyle BA}$과(와) 같기 때문에$,$ 우리는 또한

${\displaystyle w(A\mid X)f\left({w(A{\text{{}B\mid X가 아님) \over w(A\mid X}\right)=w(B\mid X가 아님) \overw(B\mid X가 아님) \over w(B\mid X)}오른쪽)$

If, in particular, ${\displaystyle B={\text{ not }}(AD)}$, then also ${\displaystyle A{\text{ not }}B={\text{not }}B}$ and ${\displaystyle B{\text{ not }}A={\text{ not }}A}$ and we get

${\displaystyle w(A{\text{}B\mid X가 아님)=w({\text{}B\mid X)=f(w(B\mid X))}$

그리고

${\displaystyle w(B{\text{}A\mid X가 아님)=w({\text{}A\mid X)=f(w(A\mid X))}$

${\displaystyle A(}$A vi X )${\displaystyle }$= x ${\displaystyle w(A\mid X)=x}$ 및$$ $w{\displaystyle (B}$ ${\displaystyle \mid }$ X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle w(B\mid X)=y}$의 함수 방정식을 얻음

$\\displaystyle x\,f\leftf(y) \over x}\right)=y\,f\leftf(x) \over y}\right}}$

콕스의 가설의 의미

이들 견본에서 도출할 수 있는 확률의 법칙은 다음과 같다.^[6]${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\mid$ B$}$이(가) Cox의 체관을 $만족$하는 B ${\displaystyle B}$이(가) 주어진 $명제{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle$A}의 타당성이 되도록$$ 한다.그 다음, [0,1] 간격에 대한 ${\displaystyle w}$ 매핑$$ $기능{\displaystyle }$ 및 다음과$$ 같은 $양$의 숫자$$m {\$displaystyle$ m$}$이(가) 있다.

1. 확실성은 $w{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mid }$ B${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 1${\displaystyle$w$(A\mid$ B$)=1$로 나타낸다$.$$}$
2. ${\displaystyle w^{m}(A B)+w^{m}({\text{}}}A\mid B)=1.}$
3. $(AB\mid C)=w(A\mid C)w(B\mid AC)=w(B\mid C)w(A\mid C)w(A\mid BC)).}$

유의할 점은 이 가정은 이러한 일반적 특성만을 내포한다는 것이다.우리는 $통상적$으로 P$$${\$$displaystyle P$$\}$ ${\displaystyle 또는<img\; alt="P"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.745ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="132">}$ Pr$${\$displaystyle$$\Pr}$으로 표시된 ${\displaystyle {wm}^{}}$ {\$displaystyle$ w$^{m}$와 같은 새로운 함수를 설정함으로써 일반적인 확률 법칙을 복구할 수 있다$.$ 그런 다음 우리는 확률 법칙을 보다 친숙한 형태로 얻는다.

1. 어떤 진리는 ${\displaystyle \mathrm{Pr}}$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mid }$ B${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \Pr(A\mid B)=1$ 어떤 거짓은 ${\displaystyle Pr}$(${\displaystyle A=}$ B ) = $.$ {\$displaystyle \Pr($A\mid B$)=0$으로 나타낸다$.$$}$
2. ${\displaystyle \Pr(A\mid B)+\Pr({\text{}}}A\mid B)=1.}$
3. $[\displaystyle \Pr(AB\mid C)=\Pr(A\mid C)\Pr(B\mid C)=\Pr(B\mid C)\Pr(A\mid BC)]}$

규칙 2는 부정의 규칙이고, 규칙 3은 접속의 규칙이다.접속사, 분리, 부정을 포함하는 어떤 명제라도 접속사 및 부정(접합 정상 형태)만을 사용하여 동등하게 재인용될 수 있으므로, 우리는 이제 어떤 복합 명제를 처리할 수 있다.

따라서 도출된 법칙은 확률에 대해 유한한 부가성을 산출하지만 셀 수 없는 부가성을 산출한다.Kolmogorov의 측정-이론적 공식은 확률 측정치가 카운트할 수 있을 정도로 부가적이라고 가정한다.이 약간 더 강한 조건은 어떤 이론의 증거에 필요하다.^{[citation needed]}

해석 및 추가 논의

콕스의 정리는 베이지안 확률론의 이용에 대한 정당화 중 하나로 쓰이게 되었다.예를 들어, Jaynes에서^[6] 그것은 1장과 2장에서 자세히 논의되고 나머지 책의 주춧돌이 된다.확률은 논리학의 형식 체계, 즉 (모든 진술이 참이거나 거짓인) 아리스토텔레스 논리가 불확실성 앞에서 추리의 영역으로 자연스럽게 확장되는 것으로 해석된다.

그 정리가 불확실성에 대한 추론을 위해 대체 모델을 어느 정도 배제하는지에 대해 논의되어 왔다.예를 들어, 만약 특정한 "직관적이지 않은" 수학적인 가정들이 삭제되었다면, 대안들이 고안될 수 있다. 예를 들어,^[4] Halpern이 제공한 예.그러나 Arnborg와 Sjödin은^[1][2][3] 추가적인 "상식" 체형을 제안하는데, 이것은 Halpern의 예를 배제하면서 어떤 경우에는 가정들을 완화시킬 수 있게 한다.다른 접근법은 하디나^[7] 뒤프레와 티플러에 의해 고안되었다.^[8]

콕스 정리의 원래 공식은 콕스(1946년)에 있으며, 콕스(1961년)에서는 추가 결과와 더 많은 논의를 통해 확장된다.Jaynes는^[6] 아벨을^[9] 연관성 함수 방정식의 알려진 첫 번째 사용으로 인용한다.야노스 아셀은^[10] "연애 방정식"(256-267페이지)에 대한 긴 증거를 제공한다.Jaynes는^{[6]: 27} 다른 가능성을 가정하는 Cox에 의해 더 짧은 증거를 재현한다.Van Horn에 의한 Cox의 정리 안내서는 독자를 이 모든 참고문헌에 포괄적으로 소개하는 것을 목적으로 한다.^[11]

참고 항목

• 확률 공리
• 확률 논리학

참조