투영 다면체

기하학에서 (광택적으로) 투사성 다면체는 실제 투사면의 테셀레이션이다.^[1]이것들은 구체의 테셀레이션인 구형 폴리헤드라와 토로이드의 테셀레이션의 투영적 유사점이다.

투사성 다면체는 "구형 다면체"의 동의어인 ^[3]구형 타일링과 유사하게 투사면을 (투사성) 타원형 기하학으로 지칭하면서 타원형 테셀레이션^[2] 또는 타원형 기울기라고도 한다.그러나 타원형 기하학이라는 용어는 구면 기하학과 투영 기하학 모두에 적용되기 때문에 다면체에는 다소 모호한 부분이 있다.

투영 평면의 세포 분해로서 오일러 특성 1을 가지고 있는 반면 구형 폴리헤드라는 오일러 특성 2를 가지고 있다."광학적으로"라는 한정자는 추상 다면체 이론에 정의된 국지적으로 투영적인 다면체와 대조되는 것이다.

비과대칭 투사성 다면체(밀도 1)는 중심 대칭을 갖는 구형 다면체(동등하게 볼록한 다면체)에 해당한다.이는 구면 다면체 및 전통 다면체와의 관계에 대해 아래에 상세히 기술하고 확장한다.

예

헤미큐브는 정사각형 면 3개, 모서리 6개, 꼭지점 4개를 가진 일반적인 투사성 다면체다.

투사성 다면체의 가장 잘 알려진 예로는 중심 대칭 플라토닉 고형분의 인용인 일반 투사성 다면체뿐만 아니라 두 가지 무한 등급의 디에드라와 호소헤드라가 있다.^[4]

헤미큐브, {4,3}/2
헤미옥타헤드론, {3,4}/2
헤미도데카헤드론, {5,3}
헤미-icosaheadron, {3,5}/2
헤미다이헤드론, {2p,2}/2, p>=1
헤미호소헤드론, {2,p}/2, p>=1

이것들은 대척도 지도에 의해 관련 구면 다면체의 몫을 취함으로써 얻을 수 있다(구상의 반대점 식별).

반면 사면체는 중심 대칭이 없어 '헤미-테트라헤드론'이 없다.사면체 처리 방법에 대해서는 아래의 구형 다면체와의 관계를 참조하십시오.

헤미폴리헤드라속

테트라헤미헥사헤드론은 투사성 다면체로서 유클리드 3공간에 스며드는 유일한 균일한 투사성 다면체다.

접두사 "hemi-"는 대칭의 중심을 통과하는 일부 얼굴을 가진 균일한 다면체인 헤미폴리헤드라를 가리키는 데에도 사용된다는 점에 유의한다.이들은 구면 다면체를 정의하지 않기 때문에(구상의 정의된 지점에 매핑되지 않는 중앙을 통과하기 때문에), 3-공간(원점 이하)에서 투사면까지의 인지도에 의해 투사 다면도를 정의하지 않는다.

이러한 균일한 혈중합체 중에서 오직 4차원만 위상적으로 투영 다면체로서, 오일러 특성과 시각적으로 분명한 로마 표면과의 연결에 의해 검증될 수 있다.큐옥타헤드론(cuboctaheadron)에 의해 2개 덮혀 있으며, 대척지도에 의해 구형 큐옥타헤드론의 지수로 실현될 수 있다.투사성이 있는 유일한 균일한(전통적인) 다면체, 즉 균일한 전통 다면체로서 유클리드 3공간에 스며드는 유일한 균일한 투사 다면체다.

구형 다면체와의 관계

투사면에는 $S^{2}\to \mathbf {RP} ^{2}$ 의 $S^{2}\to \mathbf {RP} ^{2}$ 1 커버가 있으며 $S^{2}\to \mathbf {RP} ^{2}$ 투사면에는 투사면 S 2 → R $S^{2}\to \mathbf {RP} ^{2}$ $S^{2}\to \mathbf {RP} ^{2}$ ${\$ 2}}: 투사성 다면체는 중심 대칭의 구면 다면체에 해당한다.또한 피복 지도가 국부적 동형상(이 경우 국부적 등축)이기 때문에 구면과 그에 상응하는 투영적 다면체 모두 동일한 추상 정점 형상을 갖는다.

예를 들어 (투사형) 헤미-큐브의 2배 커버는 (구형) 큐브다.헤미큐브는 정점 4개, 면 3개, 가장자리 6개로 각각 구에서 2개의 복사본으로 덮여 있으며, 이에 따라 큐브에는 정점 8개, 면 6개, 가장자리 12개가 있으며, 이들 다면체 모두 정점 4.4(정점에서 3개의 사각형이 만나는 것)이 있다.

또한 투영 다면체와 피복 다면체의 대칭군(등각형)은 관련이 있다: 투영 다면체의 대칭은 구면 다면체의 회전 대칭과 자연스럽게 동일시되는 반면, 구면 다면체의 전체 대칭군은 그 회전군(symme)의 산물이다.투영 다면체) 및 주기적 그룹 순서 2, {±I}을(를) 시도하십시오.자세한 내용 및 기타 치수는 아래 대칭 그룹을 참조하십시오.

중심 대칭이 없는 구형 다면체는 정점, 가장자리 및 면의 영상이 겹치기 때문에 투영 다면체를 정의하지 않는다.틸팅 언어에서 투영 평면의 이미지는 투영 평면의 1면에 해당하는 구면 2면이 아니라 투영 평면을 2번 덮는 것으로서 투영 평면의 각 면은 투영 평면의 단일 면에 대응하여 2번 덮는 것을 의미한다.

클래스가 투사면의 2도 기울기를 포함하도록 확장된 경우 투사성 다면체와 중심 대칭 구형 다면체 사이의 대응은 모든 구면 다면체(중간 대칭은 아님)를 포함하여 갈루아 연결부로 확장할 수 있다.중심 역(두 다면체의 화합물)과 함께 비-대칭 다면체의 중심 역(다면체의 화합물)이다.이 기하학적 구조는 O(3)와 PO(3)의 유한 부분군 수준에서 갈루아 연결부를 형성하며, 그 아래 결합은 "중앙 역과의 결합"이다.예를 들어 사면체는 중심 대칭이 아니며 정점 4개, 가장자리 6개, 면 4개가 있으며, 정점 그림 3.3.3(각 정점에서 만나는 3개의 삼각형)이 있다.투사 평면에 있는 그것의 이미지는 4개의 정점, 6개의 가장자리( 교차하는) 및 4개의 면(중복되는)을 가지고 있으며 투사 평면을 두 번 덮는다.이것의 커버는 균등하게, 정점 8개, 가장자리 12개, 면 8개, 정점 그림 3.3.3을 가진 두 개의 사면체 화합물이다.

일반화

추상 폴리토페스의 맥락에서, 그 대신에 하나는 "로컬하게 투영적인 폴리토페스"를 의미한다 – 추상 폴리토페: 로컬 위상.예를 들어, 11세포는 "로컬하게 투영적인 폴리토프"이지만, 세계적으로 투영적인 다면체도 아니고, 실제로 어떤 다면체도 아닌, 국소적으로 투영적인 유클리드도 아니고, 이름처럼 국소적으로 투영적인 것이기도 하다.

투영 폴리토페스는 한 치수 작은 투영 공간의 테셀레이션으로 더 높은 차원으로 정의할 수 있다.통상적인 유클리드 공간의 폴리토페스의 정의는 투사적 개념이 아닌 점의 볼록한 조합을 취해야 하고 문헌에서 드물게 다루어지지만 (Vives & Mayo 1991년)과 같이 정의되었기 때문에 n차원 투사적 공간에서 k차원 투사적 폴리토페스를 정의하는 것은 다소 까다롭다.

대칭군

투사성 폴리토프의 대칭 그룹은 투사직교군 PO의 유한(이연산)^{[note 1]} 부분군이며, 반대로 PO의 모든 유한 부분군은 그룹의 기본영역의 영상에 의해 주어지는 폴리토프를 취함으로써 투사성 폴리토프의 대칭군이다.

The relevant dimensions are as follows: n-dimensional real projective space is the projectivization of (n+1)-dimensional Euclidean space, $\mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {P} (\mathbf {R} ^{n+1}),$ so the projective orthogonal group of an n-dimensional projective space is denoted

PO(n+1) = P(O(n+1) = O(n+1)/{±나는.

n=2k가 짝수일 경우(그러므로 n+1 = 2k+1이 홀수일 경우), O(2k+1) = SO(2k+1)×{±I} decomposes as a product, and thus $PO(2k+1)=PSO(2k+1)\cong SO(2k+1)$ ^{[note 2]} so the group of projective isometries can be identified with the group of rotational isometries.

그러므로 특히 투영 다면체의 대칭 그룹은 피복구 다면체의 회전 대칭 그룹이다. 구면 다면체의 완전한 대칭 그룹은 투영 공간에 대한 통로의 커널인 원점을 통해 반사되는 직접적인 제품일 뿐이다.투영 평면은 방향성이 없으며, 따라서 "투영 다면체의 방향 유지 등위계"라는 뚜렷한 개념이 없으며, 이는 동일한 PSO(3) = PO(3)에 반영된다.

n=2k + 1이 홀수인 경우 O(n+1) = O(2k+2)는 산물로 분해되지 않고, 따라서 투영 폴리포프의 대칭은 단순히 구형 폴리토프의 회전 대칭이 아니라 해당 구형 폴리토프의 전체 대칭군(구형군은 프로제크의 중심 확장이다).tive group).또한 홀수 투사 치수(이븐 벡터 치수) $PSO(2k)\neq PO(2k)$ S $PSO(2k)\neq PO(2k)$ ( 2 $PSO(2k)\neq PO(2k)$ ) $PSO(2k)\neq PO(2k)$ ≠ P $PSO(2k)\neq PO(2k)$ ( 2 $PSO(2k)\neq PO(2k)$ ) $PSO(2k)\neq PO(2k)}$ 이(가)이며 $PSO(2k)\neq PO(2k)$ , 그 대신 적절한 (지표 2) 부분군이기 때문에 방향 유지 등위계에 대한 뚜렷한 개념이 있다.

예를 들어, n = 1(폴리곤)에서 2r곤의 대칭은 이면 그룹 Dih_2r (순서 4r)이며, 순환 그룹 C와_2r 함께 이들은 각각 O(2)와 SO(2)의 하위 그룹이다.2r-곤(원 내)의 투영화는 r-곤(투영선 내)이며, 따라서 PO(2)와 PSO(2)의 지수 그룹, 하위 그룹은 Dih와_r C이다_r.스핀 그룹과 핀 그룹의 제곱인 스핀(2), 핀(2), SO₊(2), O(2), O(2)에 대해 동일한 교차 제곱의 부분군이 발생한다는 점에 유의하십시오. 여기서 두 배의 몫으로 내려가지 않고 두 배의 커버로 올라간다.

마지막으로 격자 정리(lattice organis)에 의해 O(n)의 부분군과 PO(n)의 부분군 사이에 갈루아 연결이 있는데, 특히 유한 부분군이다.이 연결에서 중심 대칭 폴리토페스의 대칭 그룹은 해당 투영 폴리토페의 대칭 그룹에 해당하는 반면, 중심 대칭이 없는 구형 폴리토페스의 대칭 그룹은 도 2 투영 폴리토페스의 대칭 그룹(투영 공간을 두 번 커버하는 틸팅)에 해당하며, 피복(상응)이 있는 도 2의 투영 폴리토페스의 대칭 그룹에 해당한다.연결부 부속)는 원래의 폴리토페와 그것의 중심 역의 두 폴리토페의 혼합물이다.

이러한_± 대칭 그룹은 2대 1 커버로서, 2대 1 커버와 다면 그룹 사이에 갈루아 연결이 있는 것처럼, O(n) → PO(n)는 2대 1 커버로, 따라서 하위 그룹들 사이에 유사한 갈루아 연결부를 가지고 있는 이항 다면 그룹과 비교하고 대조해야 한다.However, while discrete subgroups of O(n) and PO(n) correspond to symmetry groups of spherical and projective polytopes, corresponding geometrically to the covering map $S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n},$ there is no covering space of $S^{n}$ (for ${\displaystyle n\ge$ $q 2$ )는 구가 단순히 연결되어 있기 때문에 핀의 하위 그룹이 대칭 그룹인 해당하는 "이진 폴리토프"가 없다.

참고 항목

메모들

^ PO는 소형이고 유한하며 이산형 집합은 동일하기 때문에 무한 세트에는 축적점이 있다.
^ The isomorphism/equality distinction in this equation is because the context is the 2-to-1 quotient map $O\to PO$ – PSO(2k+1) and PO(2k+1) are equal subsets of the target (namely, the whole space), hence the equality, while the induced map $SO\to PSO$ is an isomorphism but the two groups는 서로 다른 공간의 하위 집합이며, 따라서 평등이라기 보다는 이등형이다.이러한 구분이 이루어지는 예는 (Conway & Smith 2003, 페이지 34)를 참조하십시오.

참조

각주

^ Schulte, Egon; Weiss, Asia Ivic (2006), "5 Topological classification", Problems on Polytopes, Their Groups, and Realizations, pp. 9–13, arXiv:math/0608397v1, Bibcode:2006math......8397S
^ Coxeter, Harold Scott Macdonald (1970). Twisted honeycombs. CBMS regional conference series in mathematics (4). AMS Bookstore. p. 11. ISBN 978-0-8218-1653-0.
^ Magnus, Wilhelm (1974), Noneuclidean tesselations and their groups, Academic Press, p. 65, ISBN 978-0-12-465450-1
^ Coxeter, 기하학 입문, 1969년, 제2판, 제21.3절 일반 지도, 페이지 386-388

일반참조

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Arocha, Jorge L.; Bracho, Javier; Montejano, Luis (2000-02-01). "Regular projective polyhedra with planar faces I" (PDF). Aequationes Mathematicae. 59 (1): 55–73. CiteSeerX 10.1.1.498.9945. doi:10.1007/PL00000128. Retrieved 2010-04-15.
Bracho, Javier (2000-02-01). "Regular projective polyhedra with planar faces II". Aequationes Mathematicae. 59 (1): 160–176. doi:10.1007/PL00000122.
Conway, John Horton; Smith, Derek Alan (2003-02-07), "3.7 The Projective or Elliptic Groups", On quaternions and octonions, A K Peters, Ltd., pp. 34, ISBN 978-1-56881-134-5
Hilbert, David; Cohn-Vossen, S. (1999), Geometry and the imagination, AMS Bookstore, p. 147, ISBN 978-0-8218-1998-2
McMullen, Peter; Schulte, Egon (December 2002), "6C. Projective Regular Polytopes", Abstract Regular Polytopes (1st ed.), Cambridge University Press, pp. 162–165, ISBN 978-0-521-81496-6
Vives, Gilberto Calvillo; Mayo, Guillermo Lopez (1991). Susana Gómez; Jean Pierre Hennart; Richard A. Tapia (eds.). Advances in numerical partial differential equations and optimization. Fifth United States-Mexico Workshop. SIAM. pp. 43–49. ISBN 978-0-89871-269-8.

[5] PO는 소형이고 유한하며 이산형 집합은 동일하기 때문에 무한 세트에는 축적점이 있다.

[6] The isomorphism/equality distinction in this equation is because the context is the 2-to-1 quotient map $O\to PO$ – PSO(2k+1) and PO(2k+1) are equal subsets of the target (namely, the whole space), hence the equality, while the induced map $SO\to PSO$ is an isomorphism but the two groups는 서로 다른 공간의 하위 집합이며, 따라서 평등이라기 보다는 이등형이다.이러한 구분이 이루어지는 예는 (Conway & Smith 2003, 페이지 34)를 참조하십시오.

[1] Schulte, Egon; Weiss, Asia Ivic (2006), "5 Topological classification", Problems on Polytopes, Their Groups, and Realizations, pp. 9–13, arXiv:math/0608397v1, Bibcode:2006math......8397S

[2] Coxeter, Harold Scott Macdonald (1970). Twisted honeycombs. CBMS regional conference series in mathematics (4). AMS Bookstore. p. 11. ISBN 978-0-8218-1653-0.

[3] Magnus, Wilhelm (1974), Noneuclidean tesselations and their groups, Academic Press, p. 65, ISBN 978-0-12-465450-1

[cox-4] Coxeter, 기하학 입문, 1969년, 제2판, 제21.3절 일반 지도, 페이지 386-388

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