볼록 폴리토페스

Convex Polytopes

볼록폴록테스는 볼록폴록체, 3차원 볼록폴록헤드라의 고차원 일반화에 대한 대학원 수준의 수학 교과서다.브란코 그룬바움(Branko Grünbaum)이 쓴 것으로, 빅터 클라이(Victor Klee), 미차 펄스(Micha Perles), G. C(G. C)의 기고문이다. 1967년 존 와일리 & 선즈가 출판한 셰퍼드.[1][2][3][4]그것은 1970년에 절판되었다.[5][6]볼커 카이벨, 빅터 클라이, 귄터 M. 지글러의 도움으로 준비된 두 번째 판은 2003년 스프링거-베를라크가 출판한 책 시리즈 '수학 대학원 교과서' 221권이다.[5][6][7][8]

볼록스 폴리토페스는 2005년 르로이 P의 우승자였다. 미국수학회가 수여하는 수학 박람회 스틸상.[9]미국수학협회의 기본 도서관 목록 위원회는 그것을 학부 수학 도서관에 포함시킬 것을 권고했다.[10]

주제

이 책은 19장으로 되어 있다.선형대수학, 위상학, 볼록기하학에서 배경재료를 소개한 2장 이후, 2장의 추가는 폴리헤드라의 기본적인 정의를 그들의 2개의 이중버전(유한점 세트의 반공간과 볼록한 선체의 교차)에서 제시하며, 슐레겔 도표를 소개하고, 주기적인 폴리토페스를 포함한 몇 가지 기본적인 예를 제공한다.제5장에서는 게일 도표를 소개하고, 다음 두 장에서는 그 치수보다 약간 높은 정점수만을 가진 폴리토페스와 이웃적인 폴리토페스를 연구하는 데 사용한다.[8][5]

8장부터 11장까지는 오일러의 다면 공식, 딘-소머빌 방정식, 다면체 면수의 극한 조합법을 통해 다면체에서 서로 다른 치수의 얼굴 수를 연구한다.11장에서는 저차원 얼굴을 폴리토프의 골격으로 함께 연결하고, 저차원 공간으로의 골격의 비임베디블성에 관한 반 캄펜-플로레스 정리를 증명한다.12장에서는 언제 골격이 그것의 폴리토프의 고차원 결합 구조를 고유하게 결정하는지에 대한 문제를 연구한다.13장에서는 슈타인리츠의 정리를 통해 3차원 볼록 폴리토프에 대한 이 정리에 대한 완전한 해답을 제시하는데, 이것은 볼록 다면체 결합체의 그래프를 특징짓고, 오직 하나의 방법으로만 볼록 다면체로서 실현될 수 있다는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다.또한 다면체(Eberhard의 정리)로 실현될 수 있는 얼굴 크기의 여러 가지 다면체(Multisets)와 글씨를 새긴 구나 구를 가질 수 있는 다면체 결합형(Combinatorial type)에도 닿는다.[8][5]

14장에서는 폴리토페스의 각도의 합계에 대해 덴-소머빌 방정식과 유사한 관계를 다루고 있으며, 각도의 합계를 사용하여 모든 폴리토페에 대해 중심점인 "스티너 포인트"를 정의한다.15장에서는 다른 폴리토페를 생산하기 위해 폴리토페를 결합할 수 있는 두 가지 작업인 민코프스키 덧셈과 블라스치케 덧셈을 연구한다.16장과 17장은 최단 경로와 허쉬 추측, 가장 긴 경로와 해밀턴 주기, 그리고 폴리에스테스의 단점 지수를 연구한다.18장에서는 하이퍼플레인의 배열과 조노토프의 결합구조와의 이중 관계를 연구한다.결론 장 19장은 또한 폴리토페스의 대칭에 관한 자료를 포함한다.[8][5]

책 전반에 걸쳐 연습하면 교과서로 쓸 수 있고, 최근 연구와 추가적인 연결고리를 제공하며, 이 책의 후반부 장에도 많은 개방형 연구 문제가 나열되어 있다.[1]이 책의 제2판은 초판의 내용, 구성, 페이지화를 그대로 유지하며, 각 장의 끝에 이 장에 있는 자료의 업데이트에 대한 주석을 추가한다.[7][8]이러한 업데이트는 Mnerev의 보편성 정리 및 이들의 결합 구조에서 폴리탑의 실현가능성과의 관계, 단순화된 구를 g{\conjecture의 증명, Kalai의 3가지d 추측에 관한 자료를 포함한다.[8]제2판은 또한 향상된 서지학 자료를 제공한다.[6]

볼록 폴리토페스 이론에는 중요하지만 볼록 폴리토페스라는 책에서 잘 다루지 않는 주제로는 힐베르트의 세 번째 문제와 딘 불변론 등이 있다.[8]

청중 및 접대

비록 대학원 수준에서 쓰여졌지만, 책을 읽기 위한 주요 전제조건은 학부 수준에서의 선형대수학과 일반 위상이다.[1]

베르너 펜첼은 이 책의 초판에 대한 리뷰에서 "놀라운 성과", "자료가 풍부한" "명쾌한 문체로 잘 정리되고 제시된다"[2]고 말했다.35년이 넘는 세월이 흐른 후, 볼록스 폴리토페스에 대한 그룬바움에게 스틸 상을 수여하면서, 미국수학회는 이 책이 "표준적인 참고자료와 영감으로서의 역할을 해 왔다"고 썼고, 다면 결합학 분야에서 활발한 진행 중인 연구에 상당 부분 책임이 있으며, 이 분야와 관련이 있다고 밝혔다.[9]두 번째 판을 검토하고 환영하면서, 피터 맥뮬런은 그것이 촉발시킨 연구에 의해 "즉시 쓸모 없게 되었다"고 했지만, 이 책은 이 분야의 연구자들에게 여전히 필수적인 읽을거리라고 썼다.[8]

참고 항목

참조

  1. ^ a b c Baxandall, P. R. (October 1969), "Review of Convex Polytopes (1st ed.)", The Mathematical Gazette, 53 (385): 342–343, doi:10.2307/3615008
  2. ^ a b Fenchel, Werner (Winter 1968), "Review of Convex Polytopes (1st ed.)", American Scientist, 56 (4): 476A–477A, JSTOR 27828384
  3. ^ Sallee, G. T., "Review of Convex Polytopes (1st ed.)", MathSciNet, MR 0226496
  4. ^ Jucovič, E., "Review of Convex Polytopes (1st ed.)", zbMATH (in German), Zbl 0163.16603
  5. ^ a b c d e Zvonkin, Alexander (2004), "Review of Convex Polytopes (2nd ed.)", MathSciNet, MR 1976856
  6. ^ a b c Ehrig, G., "Review of Convex Polytopes (2nd ed.)", zbMATH (in German), Zbl 1024.52001
  7. ^ a b Lord, Nick (March 2005), "Review of Convex Polytopes (2nd ed.)", The Mathematical Gazette, 89 (514): 164–166, JSTOR 3620690
  8. ^ a b c d e f g h McMullen, Peter (July 2005), "Review of Convex Polytopes (2nd ed.)", Combinatorics, Probability and Computing, 14 (4): 623–626, doi:10.1017/s0963548305226998
  9. ^ a b "2005 Steele Prizes" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 52 (4): 439–442, April 2005
  10. ^ "Convex Polytopes (Basic Library List selection, no review)", MAA Reviews, Mathematical Association of America, retrieved 2020-08-26