섬유다발구축정리

수학에서 섬유다발 구축정리는 주어진 염기공간, 섬유, 적절한 전이함수 집합에서 섬유다발을 구성하는 정리다.그 정리는 또한 그러한 두 묶음이 이형성이라는 조건도 준다.그 정리는 주어진 묶음으로 시작해서 다른 모든 데이터를 동일하게 유지하면서 외과적으로 섬유질을 새로운 공간으로 대체하는 관련 묶음 구조에서 중요하다.

형식명세서

X와 F를 위상학적 공간이 되게 하고 G를 F에 대한 연속적인 좌측 작용을 하는 위상학적 집단이 되게 한다.X의 개방형 커버 {U_i} 및 일련의 연속 기능 제공

${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G}$

각 비어 있지 않은 오버랩에 대해 정의됨(코키클 조건)

${\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}t_{jk}(x)\qquad \forall x\in U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}}}}}}}}}}}$

holds, fiber F와 structure group G를 가진 섬유 번들 E → X가 존재하며, 전환 함수 t를_ij 가진 {U_i}에 걸쳐 사소한 것으로 간주된다.

E ′은 같은 베이스 공간, 섬유, 구조 그룹, 그리고 사소한 이웃을 가진 또 다른 섬유 묶음이 되되, 전환 기능은 ′._ijF에 대한 G의 작용이 충실하다면, E and과 E는 기능이 있는 경우에만 이형성이 된다.

${\displaystyle t_{i}:U_{i}\to G}$

그런

${\displaystyle t'_{ij}=t_{i}(x)^{-1}t_{ij}(x)_{j}(x)\qquad \forall x\in U_{i}\cap U_{j}}}}}}$

G에서_i 아이덴티티에 일정한 기능을 하는 것으로 보아, 우리는 같은 베이스를 가진 두 개의 섬유 묶음, 섬유, 구조 그룹, 사소한 동네, 전이 기능이 이형체라는 것을 알 수 있다.

비슷한 정리가 매끄러운 범주에서 잡히는데, 여기서 X와 Y는 매끄러운 다지관이며, G는 Y에 매끄러운 왼쪽 작용을 하는 Lie 그룹이며 지도 t는_ij 모두 매끈하다.

건설

그 정리의 증거는 건설적이다.즉, 주어진 성질을 가진 섬유 묶음을 실제로 구축한다.하나는 제품 공간 U_i × F의 분리 유니온을 취하는 것으로 시작한다.

${\displaystyle T=\coprod _{i\in I}{i}\time F=\{{(i,x,y):i\in I,x\in U_{i}y\}}}$

그리고 동등성 관계에 의해 지수를 형성한다.

$\displaystyle (j,x,y)\sim (i,x,t_{ij}(x)\cdot y)\qquad \forall x\in U_{i}\cap U_{j}y\in F.}$

번들의 총 공간 E는 T/~이고, 투영 π : E → X는 (i, x, y)의 등가 등급을 x에 보내는 지도다.로컬 사소한 작업

${\displaystyle \phi _{i}\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\time F}$

다음으로 정의된다.

${\displaystyle \phi _{i}^{-1(x,y)=[(i,x,y)]]}$

관련 번들

E → X fiber F와 structure group G가 있는 섬유 묶음을 X하고 F′을 또 다른 왼쪽 G-space가 되게 한다.시공 정리에서 E의 국소적인 사소한 것을 취하고 F로 F를 대체함으로써 F와 F를 섬유 F와 구조 그룹 G로 관련 번들 E′ → X를 형성할 수 있다.왼쪽 곱셈의 작용으로 F′을 G로 하면 연관된 주성분 묶음을 얻는다.

참조

• Sharpe, R. W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
• Steenrod, Norman (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6. 제1부, 제2.10조 및 제3조를 참조한다.