플로어 호몰로지

수학에서 플로어 호몰로지(Floer homology)는 공감 기하학, 저차원 위상학을 연구하는 도구다.플로어 호몰로지(Floer homology)는 유한차원 모스 호몰로지(Morse homology)의 무한 차원 아날로그로 발생하는 새로운 불변성이다.안드레아스 플로어는 아놀드 추측에 대한 그의 동정적 기하학에서 현재 라그랑지안 플로어 호몰로지라고 불리는 플로어 호몰로지 제1판을 소개했다.플로어는 또한 라그랑지아 서브매니폴드에 대해 공통적인 다지관의 이론과 밀접하게 연관되어 있는 이론을 개발했다.또한 플로어로 인한 세 번째 구조는 양-밀스 기능을 사용하여 폐쇄된 3차원 다지관에 호몰로지 그룹을 연결한다.이러한 건축물과 그 후손들은 (원활한) 3차원 및 4차원 다지관뿐만 아니라, 현재 복합체 및 접촉 다지관의 위상에 대한 조사에 근본적인 역할을 한다.

플로어 호몰로지(Floer homology)는 일반적으로 무한 차원 다지관과 그 다지관의 실제 가치 함수를 관심 대상과 연관시켜 정의된다.공감작용 버전에서, 이것은 공감작용 기능이 있는 공감각 다지관의 자유 루프 공간이다.3-매니폴드용 (인스턴트) 버전에 대해서는 체르노-시몬스 기능을 가진 3차원 다지관의 SU(2) 연결 공간이다.느슨하게 말하면 플로어 호몰로지(Floer homology)는 무한 차원 다지관에 있는 함수의 모스 호몰로지(Morse homology)이다.플로어 체인 콤플렉스는 함수의 임계점(또는 아마도 임계점들의 특정 집합)에 의해 확장되는 아벨 그룹으로부터 형성된다.체인 콤플렉스의 차등성은 특정 쌍의 임계점(또는 그것들의 집합)을 연결하는 기능의 구배 유량을 계산하여 정의된다.플로어 호몰로지(Floer homology)는 이 연쇄 복합체의 호몰로지(homology)

플로어의 사상이 성공적으로 적용될 수 있는 상황에서 구배 유동선 방정식은 전형적으로 기하학적으로 의미 있고 분석적으로 추적 가능한 방정식이다.동일성 플로어 동질학의 경우, 루프스페이스 경로에 대한 구배 유동 방정식은 관심의 동일성 다지기에 대한 실린더 지도(루프 경로의 총 공간)에 대한 Cauchy-Remann 방정식이며, 솔루션은 유사동형 곡선이라고 한다.그런 다음 그로모프 콤팩트성 정리를 사용하여 미분차가 잘 정의되어 있고 정사각형이 0으로 되어 있어 플로어 호몰로지(Floer homology)가 정의되어 있음을 보여준다.인스턴트온 플로어 호몰로지에서는 구배 유동 방정식이 실제 선과 교차된 3-매니폴드의 양-밀스 방정식이다.

심플렉틱 플로어 호몰로지

Simpellectic Floer Homology(SFH)는 그 복합적인 다지관과 그것의 비감응적인 동질성 이론과 연관된 동질론이다.만약 동형성이 해밀턴주의라면, 동질학은 동질 다지관의 (범용 커버) 자유 루프 공간에 대한 동질 작용 기능을 연구함으로써 발생한다.SFH는 해밀턴 동위원소 동위원소 동위원소 하에서는 불변한다.

여기서 비기생성은 1이 그 고정점 중 어느 하나에서든 동일성형성 파생상품의 고유값이 아니라는 것을 의미한다.이 조건은 고정된 점이 격리되어 있음을 의미한다.SFH는 그러한 동일성형성의 고정점들에 의해 생성되는 연쇄 복합체의 호몰로지로서, 여기서 미분류는 실제 선의 생산물 및 동일성형성의 매핑 토러스에서 특정 유사성형 곡선을 계수한다.이것 자체는 원래의 다지관보다 2차원적으로 더 큰 다지관이다.거의 복잡한 구조의 적절한 선택을 위해, 그 안에 구멍이 난 홀모픽 곡선(유한 에너지의)은 동일성 동형성의 고정점에 해당하는 매핑 토러스 내의 루프에 원통형 끝의 점근 무증상이다.고정점 쌍 사이에 상대지수를 정의할 수 있으며, 차분은 상대지수가 1인 홀로모르픽 실린더의 수를 계수한다.

콤팩트 다지관의 해밀턴식 동시체형성의 공감체 플로어 동질성은 기저 다지관의 단일 동질성과 이질성이 있다.따라서, 그 다지관의 베티 숫자의 합은 한 버전의 아놀드 추정에 의해 예측된 하한선을 산출하며, 비감속적 동선형성에 대한 고정점수의 수를 산출한다.해밀턴주의 동조형성의 SFH에도 양자 코호몰리학에 해당하는 기형적인 컵 제품인 바지 제품이 있다.제품의 버전은 비실재적 동형성에도 존재한다.

다지관 M의 등골다발의 경우 플로어 호몰로지(Floer homology)는 비적합성 때문에 해밀턴의 선택에 의존한다.무한대에 이차적인 해밀턴인들에게 플로어 호몰로지(Floer homology)는 M의 자유 루프 공간의 유일한 호몰로지(이 진술의 다양한 버전의 증명들은 비테르보, 살라몬-베버, 압본단돌로-슈워즈, 코헨에 기인한다)이다.기저 다지관의 루프 공간의 호몰로지상에 있는 문자열 위상 연산에 해당하는 동상 번들의 플로어 호몰로지에는 더 복잡한 연산이 있다.

플로어 호몰로지(Floer homology)의 동정적 버전은 호몰로지 거울 대칭 추측의 형성에 결정적인 방법으로 나타난다.

PSS 이형성

1996년 S. Piunikhin, D.살라몬과 M.슈바르츠는 플로어 호몰로지(Floer homology)와 양자 코호몰로지(quantum cohomology)의 관계에 대한 결과를 요약하고 다음과 같이 공식화했다.피우니킨, 살라몬 & 슈바르츠(1996)

반양성 공감 다지관(M, Ω)의 루프 공간의 플로어 코호몰로지 그룹은 자연적으로 M의 일반적인 코호몰로지와의 이형성이며 커버 변환 그룹과 연관된 적절한 노비코프 링에 의해 강조된다.
이러한 이형성은 M의 코호몰로지 상의 양자컵 제품 구조와 플로어 호몰로지 상의 쌍쌍 제품 구조를 얽어놓는다.

위의 조건인 반양성과 공감 다지관 M은 우리가 노비코프 링을 획득하고 플로어 호몰로지 및 양자 코호몰로지 둘 다의 정의를 위해 필요하다.반양성 조건은 다음 중 하나가 유지됨을 의미한다(세 가지 경우는 분리되지 않음).

$\langle [\omega ],A\rangle =\lambda \langle c_{1},A\rangle$ $\langle [\omega ],A\rangle =\lambda \langle c_{1},A\rangle$ $\langle [\omega ],A\rangle =\lambda \langle c_{1},A\rangle$ , $\langle [\omega ],A\rangle =\lambda \langle c_{1},A\rangle$ $\langle [\omega ],A\rangle =\lambda \langle c_{1},A\rangle$ = $\langle [\omega ],A\rangle =\lambda \langle c_{1},A\rangle$ $\langle [\omega ],A\rangle =\lambda \langle c_{1},A\rangle$ $\langle [\omega ],A\rangle =\lambda \langle c_{1},A\rangle$ 1 $\langle [\omega ],A\rangle =\lambda \langle c_{1},A\rangle$ , ⟩ $⟩$ {\ $displaystyle \langle[\omega ],A\lambda \langle c_{1},A\rangele },$ 여기서 $\langle [\omega ],A\rangle =\lambda \langle c_{1},A\rangle$ λ₂(M은 모노톤).
$\langle c_{1},A\rangle =0$ $\langle c_{1},A\rangle =0$ $\langle c_{1},A\rangle =0$ , $\langle c_{1},A\rangle =0$ $\langle c_{1},A\rangle =0$ = $\langle c_{1},A\rangle =0$ ${\displaystyle \langle c_{1},$ $A$ ₂ $\rangele$ =0 $\langle c_{1},A\rangle =0$ $}.$
$\langle c_{1},\pi _{2}(M)\rangle =N\mathbb {Z}$ $\langle c_{1},\pi _{2}(M)\rangle =N\mathbb {Z}$ 1, $\langle c_{1},\pi _{2}(M)\rangle =N\mathbb {Z}$ 2 $\langle c_{1},\pi _{2}(M)\rangle =N\mathbb {Z}$ ( $\langle c_{1},\pi _{2}(M)\rangle =N\mathbb {Z}$ ) $\langle c_{1},\pi _{2}(M)\rangle =N\mathbb {Z}$ = N $\langle c_{1},\pi _{2}(M)\rangle =N\mathbb {Z}$ ${\$ = $N\mathb {Z}}$ 에 의해 정의된 최소 체르넘버 N ≥ 0은 n - 2보다 크거나 같다 $\langle c_{1},\pi _{2}(M)\rangle =N\mathbb {Z}$ .

동조 다지관 M의 양자 코호몰로지 그룹은 노비코프 링 Ⅱ와 함께 일반 코호몰학의 텐서 곱으로 정의할 수 있다.

QH_{*}(M)=H_{*}(M)\otimes \Lambda .

이 플로어 호몰로지 구축은 M에 대한 거의 복잡한 구조의 선택에 관한 독립성과 모스 이론과 사이비홀로모르식 곡선의 사상으로부터 제공된 플로어 호몰로지와의 이소몰피즘에 대한 선택의 독립성을 설명하는데, 여기서 우리는 호몰로지 및 코호몰로지 사이의 푸앵카레 이중성을 배경으로 인식해야 한다.

3마니폴드의 플로어 호몰로지

닫힌 3개의 매니폴드와 관련된 몇 개의 동등한 플로어 호모어가 있다.각각은 세 종류의 동종학 그룹을 생산하는데, 이것은 정확한 삼각형에 들어맞는다.3마니폴드의 매듭은 각 이론의 체인 콤플렉스에 여과를 유도하는데, 그 체인 호모토피 타입은 매듭 불변형이다.(그들의 호모어는 결합적으로 정의된 호바노프 호몰로지(Kovanov homology)와 유사한 형식적 특성을 만족한다.)

이러한 호몰로지들은 4-매니폴드의 도날드슨과 세이버그 불변성, 그리고 타우베스의 4-매니폴드의 그로모프 불변성과 밀접하게 관련되어 있다. 이러한 이론에 대응하는 3-매니폴드 호몰로지들의 차이는 관련 미분방정식(양-밀스 , 세이버그-위튼)에 대한 해결책을 고려하여 연구된다.3-manifold 크로스 R에 각각 Cauchy-Riemann).또한 3-매니폴드 플로어 호몰로지는 경계를 가진 4-매니폴드의 상대적 불변성의 표적이 되어야 하며, 경계를 따라 경계된 3-매니폴드를 함께 붙임으로써 얻은 닫힌 4-매니폴드의 불변성에 대한 구조물을 붙임으로써 관련되어야 한다.(이는 위상학적 양자장 이론의 개념과 밀접한 관련이 있다.)Heegaard Floer homology의 경우, 3-manifold homology를 먼저 정의하고, 폐쇄형 4-manifolds에 대한 불변성을 나중에 그 관점에서 정의했다.

또한 3-manifold 호몰로어의 확장도 있다: 경계를 가진 3-manifold 호몰로어: 봉합된 Floer 호몰로지 (Juhasz 2008)와 접경한 Floer 호몰로학 (Lipshitz, Ozvath & Thurston 2008)이다.이것들은 경계를 가진 두 개의 3-매니폴드의 경계를 따라 조합으로 기술된 3-매니폴드의 플로어 호몰로지 공식을 붙임으로써 닫힌 3-매니폴드의 불변성과 관련이 있다.

3마니폴드 플로어 호몰로지 역시 3마니폴드가 접촉 구조를 갖추고 있는 경우 호몰로지 특유의 요소를 갖추게 된다.크론하이머와 음로카는 세이베르크-위튼 사건에서 처음으로 접촉 요소를 도입했다.오즈바스와 스자보는 접촉 다지관과 오픈 북 분해 사이의 지루스의 관계를 이용하여 희가아드 플로어 호몰로지용으로 제작하였으며, 임베디드 콘택트 호몰로지에서는 빈 세트의 호몰로지 클래스로서 무료로 제공된다.(다른 세 가지와는 달리, 그 정의를 위해서는 접촉 호몰로지(contact homology)가 필요하다.내장된 연락처 호몰로지 정보는 Hutchings(2009)를 참조한다.

이러한 이론들은 모두 선행 상대적 그라데이션이 갖추어져 있다; 이것들은 크론하이머와 Mrowka (SWF), 그리프와 황 (HF), 허칭 (ECH)에 의해 절대 그라데이션 (지향적 2-평면 영역의 호모토피 등급에 의해)으로 들어 올려졌다.크리스토파로-가디너는 타우베스의 ECH와 세이베르크-비튼 플로어 코호몰로지 사이의 이형성이 이러한 절대적 등급을 보존하고 있음을 보여 주었다.

인스턴 플로어 호몰로지

이것은 플로어가 직접 소개한 도날드슨 이론과 연결된 3마나 되는 불변제다.그것은 3-매니폴드(더 정밀하게, 호몰로지 3-space) 위에 있는 주요 SU(2)-번들 연결 공간에 체르노-시몬스 기능을 사용하여 얻는다.그것의 중요 지점은 평평한 연결이고 그것의 흐름 선은 인스턴트온이다. 즉, 실제 선과 교차된 3개의 매니폴드의 반자율 이중 연결이다.플로어 호몰로지(Floer homology)의 오일러 특성이 카슨 불변제와 일치하기 때문에 인스턴트온 플로어 호몰로지(Instanton Floer homology)는 카슨 불변제의 일반화로 볼 수 있다.

플로어의 플로어 호몰로지 도입 직후, 도날드슨은 거미줄이 지도를 유발한다는 것을 깨달았다.이것이 위상학적 양자장 이론으로 알려진 구조의 첫 사례였다.

세이버그-위튼 플로어 호몰로지

세이버그-위튼 플로어 호몰로지 또는 단층 플로어 호몰로지(Seiberg-Witten Floer homology)는 매끄러운 3마니폴드의 호몰로지 이론이다(회전^c 구조가 갖추어져 있다).그것은 3-매니폴드의 U(1) 연결에 대한 체르-시몬-디락 기능의 모르스 호몰로지라고 볼 수 있다.관련 구배 유량 방정식은 실제 선과 교차한 3-매니폴드의 세이베르크-위튼 방정식에 해당한다.동등하게, 체인 콤플렉스의 발생기는 3매니폴드와 실선의 생산물에 대한 세이베르크-위튼 방정식(일명 단면체)에 대한 번역-인바리 솔루션이며, 3매니폴드와 실선의 생산물에 대한 세이베르크-위튼 방정식에 대한 미분계 수치로 불변 용액에 대한 무증상이다.무한과 음의 무한 이온

세이베르크-위튼-플로어 호몰로지 중 하나는 피터 크론하이머와 토마즈 므로우카에 의해 단층형 플로어 호몰로지(Monopole Floer homology)로 알려진 단층형 단층형과 3-manifolds에서 엄격하게 구성되었다.타우베는 임베디드 접촉 호몰로지에는 이형성이 있다는 것을 보여주었다.이성적 호몰로지 3-sprese를 위한 SWF의 대체구조는 Manolescu(2003)와 Frøyshov(2010)가 제공한 것으로 알려져 있다.

히가아드 플로어 호몰로지

히가아드 플로어 호몰로지 // (듣자)는 스핀^c 구조를 갖춘 폐쇄형 3마니폴드의 피터 오즈바스와 졸탄 소보 때문에 불변형이다.라그랑지안 플로어 호몰로지(Lagrangian Floer homology)와 유사한 구조를 통해 공간의 Heegaard 다이어그램을 사용하여 계산한다.Kutluhan, 리&Taubesharvtxt 오류(2010년):노 타깃:CITEREFKutluhanLeeTaubes2010( 도와 주)은 입증은 Heegaard Floer 상동 Seiberg–Witten Floer 상동에 동형은 발표하고, 콜린, Ghiggini&혼다(2011년)이 증거 Heegaard Floer 상동(역 방향)의 plus-version 포함될 같은 모양의 것이라고 발표했다. 접촉동족학

3마니폴드의 매듭은 희가아드 플로어 호몰로지 그룹에 여과를 유도하고, 여과된 호모토피 타입은 매듭 플로어 호몰로지라고 불리는 강력한 매듭 불변성 물질이다.그것은 알렉산더 다항식을 분류한다.매듭 플로어 호몰로지(Nots Floer homology)는 Ozsvarth & Szabo(2003) 에 의해 정의되었으며 라스무센(2003)에 의해 독립적으로 정의되었다.그것은 매듭 속을 탐지하는 것으로 알려져 있다.Heegaard splitings에 격자 도표를 사용하여, 매듭 Floer homology는 Manolescu, Ozsvath and Sarkar(2009) harvtxt 오류: no target: CITREFManolescuOzsvthSarkar2009 (도움말)에 의해 결합형 구조로 주어졌다.

매듭 위에 접혀진 S^3 이중 커버의 Heegaard Floer homology는 Kovanov homology (Ozsvarth & Szabo 2005) (도움말)와 스펙트럼 시퀀스에 의해 관련된다.

Heegaard Floer homology의 "hat" 버전은 Sarkar & Wang (2010)에 의해 조합적으로 묘사되었다.Heegaard Floer homology의 "plus" 및 "minus" 버전과 관련 Ozsvarth-Szabo 4-manifold invariants도 함께 조합하여 설명할 수 있다(Manolescu, Ozvath & Thurston 2009).

임베디드 접촉 호몰로지

임베디드 접촉 상동, 마이클 허칭스가 때문에, 3-manifolds의 Seiberg–Witten Floer cohomology에(저명한 두번째 상동 클래스로, spinc 구조의 Seiberg–Witten Floer 상동의 선택에 해당하는) 같은 모양의(CliffordTaubes의 작품으로)과 결과적으로(일 Kutluhan, 리&타웁에 의해 발표된에 의해 불변이다.20es10 및 콜린, 기르기니 & 혼다 2011)은 Heegaard Floer homology의 플러스 버전에 도달한다(역방향).그것은 세이베르크-위튼 불변성에 해당하는 것으로 알려진 타우베르크의 그로모프 불변량(Troomov invariant)을 폐쇄적인 컴플렉틱 4-매니폴드에서 특정 비 컴팩트 컴플렉틱 4-매니폴드(명칭, 접촉 3매니폴드 cross R)로 확장한 것으로 볼 수도 있다.그것의 구조는 닫힌 렙 궤도의 특정 집합에 의해 생성되고 그것의 차이는 렙 궤도의 특정 집합에서 끝이 있는 특정한 홀로모르픽 곡선을 계산한다는 점에서 공통의 장 이론과 유사하다.그것은 그것을 생성하는 Reeb 궤도의 집합에 관한 기술적 조건과, 그리고 주어진 목적을 가진 Fredholm 지수 1로 모든 홀로모픽 곡선들을 계산하는 것이 아니라, ECH 지수에 의해 주어진 위상학적 조건들을 만족하는 곡선들만을 계산하는 것에서 SFT와 다르다. 특히, 이 곡선은 고려된 곡선이 (주로) 내장되어 있다는 것을 의미한다.

웨인슈타인은 3-매니폴드가 접촉 형태에 대해 렙 궤도를 닫은 것으로 추정하며, ECH와 밀접한 관련이 있는 기법을 사용하여 타우베에 의해 증명되었다. 이 연구의 확장은 ECH와 SWF 사이의 이형성을 낳았다.ECH의 많은 구성(잘 정의된 것 포함)은 이러한 이형성에 의존한다(Taubes 2007).

ECH의 접촉 요소는 특히 좋은 형태를 가지고 있다: 그것은 렙 궤도의 빈 채집과 관련된 사이클이다.

내장된 접촉 호몰로지 아날로그는 표면의 동극성(경계일 가능성이 있음)을 매핑하기 위해 정의될 수 있으며, 주기적 플로어 호몰로지라고 알려져 있어 표면 동극성의 동극성 플뢰르 호몰로지(synoptic Floer homology)를 일반화한다.보다 일반적으로는 3-매니폴드의 어떤 안정된 해밀턴식 구조물에 관해서도 정의할 수 있다; 접촉 구조와 마찬가지로, 안정된 해밀턴식 구조물은 비바니싱 벡터장(Reeb 벡터장)을 정의하고, 허칭스와 타우베는 그들을 위해, 즉 그들이 항상 닫힌 궤도를 가지고 있다는 것을, 웨인슈타인 추측의 아날로그를 증명했다.2-토러스(tori)의 토리를 매핑하지 않는 한).

라그랑 교차로 플로어 호몰로지

라그랑지안 플로어 호몰로지(Lagrangian Floer homology)는 두 개의 서브매니폴드의 교차점에 의해 생성되며, 그 차등 계산이 의사홀로모르픽 휘트니 디스크인 체인 콤플렉스의 호몰로지(hyouthholorphic hitney disks)이다.

라그랑지안 하위매니폴즈₀ L, L₁, L의₂ 세 가지 공통 다지관의 경우 라그랑지안 플로어 호몰로지에는 다음과 같은 제품 구조가 있다.

HF(L_{0},L_{1})\otimes HF(L_{1},L_{2})\오른쪽 화살표 HF(L_{0},L_{2}),

즉, 정점과 가장자리가 적절한 교차점과 라그랑지아 서브매니폴드에 매핑되는 삼각형의 홀모픽 맵을 계산하여 정의한다.

이 주제에 대한 논문들은 후카야, 오, 오노, 오타에 기인한다; 최근 랄롱드와 각막의 "클러스터 호몰로지"에 대한 연구는 그것에 대해 다른 접근법을 제공한다.한 쌍의 라그랑지아 서브매니폴드의 플로어 호몰로지(Floer homology)가 항상 존재하는 것은 아닐 수 있다. 그럴 경우, 해밀턴 동위원소 복사를 사용하여 한 라그랑지아인으로부터 다른 라그랑지아인으로부터 떨어져 있는 라그랑지아인 동위원소를 동위원소화하는 데 방해가 된다.

플로어 호몰로지에는 라그랑지안 플로어 호몰로지(Lagrangian Floer homology)의 몇 가지 종류가 있다.M의 동일성 플뢰어 동질성은 주변 다지관이 M과 교차하고, 라그랑지아 서브매니폴드는 대각선이고, 그래프는 동일성 플뢰어 동질성의 경우라고 생각할 수 있다.히가아드 플로어 호몰로지(Heegaard Floer homology)의 구축은 3마니폴드의 히가아드 분할을 사용하여 정의한 완전히 실제 서브매니폴드에 대한 라그랑지안 플로어 호몰로지(Lagrangian Floer homology)의 변형에 기초하고 있다.세이델-스미스와 마놀레스쿠는 라그랑지안 플로어 호몰로지(Lagrangian Floer homology)의 특정 사례로서 링크 불변제를 구성했는데, 이는 추측컨대 결합기적으로 정의된 링크 불변제인 Kovanov homology와 일치한다.

아티야-플로어 추측

아티야-플로어 추측은 즉석 플로어 호몰로지(Instanton Floer homology)와 라그랑가 교차로 플로어 호몰로지(Lagrangian crossters Floer homology)를 연결한다.^[1]Consider a 3-manifold Y with a Heegaard splitting along a surface $\Sigma$ . Then the space of flat connections on $\Sigma$ modulo gauge equivalence is a symplectic manifold $M(\Sigma )$ of dimension 6g − 6, where g is the genus of the surface ${\displaystyle \Si$ $gma$ $\Sigma$ $\Sigma$ 분할에서 { $\Sigma$ 은(는) 두 개의 서로 다른 3-manifold를 경계로 $\Sigma$ 한다; 경계가 $M(\Sigma )$ 된 각 3-manifold에 대한 평면 연결 모듈로 게이지 동등성의 공간은 Lagrangian 하위 manifold로 M $({\displaystyma ){\Sigma$ )이 된다.라그랑비아 교차로 플로어 호몰로지(Floer homology)를 고려할 수 있다.그 대신에, 우리는 3-manifold Y의 Instanton Floer homology를 고려할 수 있다.아티야-플로어 추측에 따르면 이 두 불변성은 이형성이라고 한다.살라몬-웨어하임과 대미-후카야는 이 추측을 증명하기 위해 프로그램을 진행하고 있다.^{[according to whom?]}

대칭 미러와의 관계

막심 콘체비치의 동질 거울 대칭 추측에 따르면 칼라비치의 라그랑비아 플로어 동질학 사이의 동일성을 예측하고 있다.Yau 매니폴드 $X$ $X$ 및 $X$ 거울 칼라비에 부착된 일관성 있는 조각 Ext 그룹야우 다지관.이런 상황에서 플로어 호몰로지 집단이 아니라 플로어 체인 집단에 초점을 맞춰야 한다.짝퉁 제품과 유사하게 사이비홀모픽 n-곤을 이용해 복합체를 만들 수 있다.이러한 구성은 $∞{\$ 관계를 만족시켜 $A_{\infty }$ , 모든 (방해되지 않은) 라그랑지아 서브매니폴드의 범주를 $A_{\infty }$ aya ${\$ 카테고리 $A_{\infty }$ (후카야 범주)로 한다.

좀 더 정확히 말하자면, 사람들은 라그랑지아에 추가 데이터 즉, 정지 및 스핀 구조를 추가해야 한다.이러한 구조를 선택할 수 있는 라그랑지안을 흔히 기초 물리학에 대한 경의를 표하는 브레인이라고 부른다.호몰로지 미러 대칭 추측에 따르면 칼라비–의 후카야 범주 사이에 파생된 모리타 동등성의 유형이 있다고 한다.Yau $X$ $X$ 및 $X$ 미러의 일관성 있는 피복의 경계 파생 범주에 기초하는 dg 범주 및 그 반대의 범주.

SFT(Simplexic field 이론)

이것은 원래 야코프 엘리아쉬베르크, 알렉산더 기브탈, 헬무트 호퍼에 기인하여 그들 사이의 접촉 다지기와 동감적인 자갈의 불변이다.그 하위 복합체, 이성적 복합체장 이론과 접촉 호몰로지뿐만 아니라, 공감각장 이론은 선택된 접촉 형태의 렙 벡터장 폐쇄 궤도에 의해 생성되는 미분 알헤브라의 호몰로 정의된다.디퍼렌셜은 접촉 매니폴드 위에 있는 실린더의 특정 홀로모픽 곡선을 계수하며, 여기서 사소한 예는 닫힌 렙 궤도에 있는 (다중) 실린더의 분기 커버들이다.또한 원통형 또는 선형화된 접촉 호몰로지(때로는 표기법 남용에 의해 단지 접촉 호몰로지)라고 불리는 선형 호몰로지 이론을 포함하며, 체인 그룹은 폐쇄 궤도에 의해 생성되는 벡터 공간이며, 차이점은 홀로모르픽 실린더만 계산한다.단, 원통형 접촉 호몰로지(holomorphic disk)가 존재하며 규칙성 및 횡단성 결과의 부족으로 인해 항상 정의되는 것은 아니다.원통형 접촉 호몰로지(contact homology)가 이치에 맞는 상황에서, 자유 루프 공간에서 작용 기능의 모스 호몰로지(slightly modified)로 볼 수 있으며, 이 호몰로지에서는 루프를 접점 형태 알파(alpha)의 적분으로 보낸다.렙 궤도는 이 기능의 중요한 지점이다.

SFT는 또한 상대적 접촉 호몰로지라고 알려진 접촉 다지관의 레전드리아 하위관리본의 상대적 불변성을 연결한다.그것의 발생기는 렙 화음이며, 렙 벡터 필드의 궤적이며, 렙 화음은 라그랑지아에서 시작하고 끝나는 궤적이며, 그 차이는 렙 화음에 무증상인 접점 다지관의 결합에서 특정 홀로모르픽 스트립을 계수한다.

SFT에서 접점 다지관은 공통 다지관의 토리(tori)와 동일체형성(componlectomorphism)을 매핑하여 대체할 수 있다.원통형 접촉 호몰로지(contact homology)는 잘 정의되어 있고, 동일성형(synoptomorphism)의 힘에 대한 공감성 플로어 호몰로지(loer homology)에 의해 주어지는 반면, (riational) 공감성장 이론과 접촉 호몰로지(contact homology)는 일반화된 공감성 플뢰어 호몰로 간주할 수 있다.그러나, 동정형성이 시간에 의존하는 해밀턴의 시간 1 지도인 중요한 경우, 이러한 상위 불변성들은 더 이상의 정보를 포함하지 않는 것으로 나타났다.

플로어 호모토피

어떤 대상의 플로어 호몰로지 이론을 구성하는 한 가지 가능한 방법은 일반적인 호몰로지(Floer homology)가 원하는 플로어 호몰로지(Floer homology)인 관련 주파수를 구성하는 것이다.그러한 스펙트럼에 다른 호몰로지 이론을 적용하는 것은 다른 흥미로운 불변자를 산출할 수 있다.이 전략은 랄프 코헨, 존 존스, 그레임 시걸에 의해 제안되었고, 마놀스쿠(2003)에 의한 세이버그-위튼-플로어 호몰로지, 코헨에 의한 코탄젠트 다발의 공감 플로어 호몰로지 등에 대해 일정한 경우에 실시되었다.이러한 접근방식은 2013년 마놀레스쿠가 핀(2) 등가 시베르크-위튼 플로어 호몰로지(Pin)를 건설한 기초였으며, 그는 차원 5 이상의 다지관에 대한 삼각측량 추측을 반증했다.

분석적 기초

이러한 Floer의 상당수는 완전하고 엄격하게 구성되지 않았으며, 많은 추측들이 입증되지 않았다.관련된 분석에서 기술적 어려움이 발생하며, 특히 유사동형 곡선의 압축된 모듈리 공간을 구성할 때 더욱 그러하다.호퍼는 크리스 위소키, 에두아르 잰더와 공동으로 그들의 폴리폴드 이론과 "일반 프레드홀름 이론"을 통해 새로운 분석적 기초를 개발했다.폴리폴드 프로젝트가 아직 완전히 완료되지 않은 반면, 몇몇 중요한 경우 더 간단한 방법을 사용하여 횡단성을 보여주었다.

연산

플로어 동어는 일반적으로 명시적으로 계산하기 어렵다.예를 들어, 모든 표면의 동질성에 대한 동질성 플로어 동질론은 2007년에야 완료되었다.Heegaard Floer homology는 이 점에서 성공 신화가 되어왔다: 연구자들은 3-manifolds의 다양한 계층을 위해 그것을 계산하기 위해 그것의 대수적 구조를 이용했고 이론의 많은 부분을 계산하기 위한 결합 알고리즘을 발견했다.또한 기존의 불변제 및 구조와도 연결되며 3-매니폴드 위상에 대한 많은 통찰력을 얻었다.

참조

각주

^ 아티야 1988

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외부 링크

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"Higaard Floer Knot Homology," The Knot Atlas.

[1] 아티야 1988

[1]

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