선(지오메트리)

기하학
구를 평면에 투영
개요 역사
나뭇가지 유클리드 주 논유클리드 타원체 구면 쌍곡선 비 아르키메데스 기하학 투영적 아핀 합성 분석적 대수학 산술 디오판틴 미분 리만어족 심플렉틱 이산 미분 콤플렉스 유한한 이산/복합 디지털 볼록스 연산 프랙탈 발생 비확정 기하학 비계산 대수 기하학
개념 특징들 치수 직선 및 컴퍼스 구조 각 곡선 대각선 직교성(수직) 평행 꼭지점 조화 유사성 대칭
0차원 포인트
일차원 라인 분절하다 광선을 치다 길이
이차원 평면 면적 폴리곤 삼각형 고도 하이포테누스 피타고라스 정리 평행사변형 사각형 직사각형 마름모꼴 롬보이드 4각형 사다리꼴 연 원 지름 원주 면적
입체 볼륨 큐브 입방체의 실린더 피라미드 구
4차원 / 기타 차원 테세락트 하이퍼스피어
기하학
이름하여 아이다 아리아바타 아흐메스 알하젠 아폴로니우스 아르키메데스 아티야 바우다야나 볼라이 브라마굽타 카르탄 콕시터 데카르트 유클리드 오일러 가우스 그로모프 힐베르트 예시하데바 카티아나 하이야름 클라인 로바체프스키 마나바 민코프스키 밍가투 파스칼 피타고라스 파라메슈바라 푸앵카레 리만 사카베 시지 알투시 베블렌 비라세나 양희 알야사민 장 기하학 목록
기간별로 기원전 아흐메스 바우다야나 마나바 피타고라스 유클리드 아르키메데스 아폴로니우스 1-1400년대 장 카티아나 아리아바타 브라마굽타 비라세나 알하젠 시지 하이야름 알야사민 알투시 양희 파라메슈바라 1400년대-1700년대 예시하데바 데카르트 파스칼 밍가투 오일러 사카베 아이다 1700년대–1970년대 가우스 로바체프스키 볼라이 리만 클라인 푸앵카레 힐베르트 민코프스키 카르탄 베블렌 콕시터 현재 아티야 그로모프
v t

기하학에서 선이나 직선의 개념은 무시해도 될 정도의 폭과 깊이를 가진 직선 물체(즉, 곡면성이 없는 것)를 나타내기 위해 고대 수학자들에 의해 도입되었다.선은 그러한 객체의 이상화로서, 흔히 두 가지 점(예: $A{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{B}}$파운드$${\$displaystyle {\wardweightarrow {AB$으로 설명하거나 단일 문자(예: $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell$})$$^[1]로 언급된다.

17세기까지 선은 "[...] 제1종 양으로 정의되었는데, 이 종은 길이도 깊이도 폭도 없이 단지 하나의 차원만을 가지고 있으며, [...] 어떤 폭도 배제한 채 상상의 이동으로 어떤 자취에서 벗어날 지점의 흐름이나 런에 지나지 않는다.[...] 직선은 바로 그것과 같은 것이다.동맹이 그 지점들 사이에 확장되어 있다."^[2]

유클리드는 선을 "자체 위의 점들에 관해서 균등하게 놓여 있는" "브레드리스 길이"라고 묘사했다; 그는 몇 개의 행정을 그가 모든 기하학을 건설한 기본적인 입증 불가능한 특성이라고 소개했는데, 이것은 현재 19세기 말부터 도입된 다른 기하학과의 혼동을 피하기 위해 유클리드 기하학이라고 불린다.고리(비유클리드, 투사형 및 부착형 기하학 등)

현대 수학에서, 기하학의 다수를 고려할 때, 선의 개념은 기하학이 묘사되는 방식과 밀접하게 연관되어 있다.예를 들어, 분석 기하학에서, 평면의 선은 종종 좌표가 주어진 선형 방정식을 만족하는 점들의 집합으로 정의되지만, 입사 기하학과 같은 보다 추상적인 설정에서 선은 그 위에 놓여 있는 점들의 집합과는 구별되는 독립적인 객체일 수 있다.

기하학이 공리 집합에 의해 설명될 때, 선의 개념은 대개 정의되지 않은 채 방치된다(일명 원시적 객체).선들의 특성은 선들을 가리키는 공리에 의해 결정된다.이 접근방식의 한 가지 장점은 기하학 사용자에게 제공하는 유연성이다.따라서 차동 기하학에서 선은 지오데틱(점 사이의 가장 짧은 경로)으로 해석될 수 있는 반면, 일부 투영 기하학에서 선은 2차원 벡터 공간(두 개의 독립 벡터의 모든 선형 결합)이다.이러한 유연성은 또한 수학 이상으로 확장되며, 예를 들어 물리학자들이 광선의 경로를 선이라고 생각할 수 있게 한다.

정의 대 설명

모든 정의는 그 자체가 정의가 있어야 하는 개념에 의존하기 때문에 본질적으로 궁극적으로 순환적이며, 이는 출발점으로 돌아가지 않고는 무한히 지속될 수 없다.이러한 악순환을 피하기 위해, 어떤 개념들은 원시 개념으로 받아들여져야 한다. 즉, 정의가 주어지지 않은 용어들이다.^[3]기하학에서는 선이라는 개념을 원시적인 개념으로 받아들이는 경우가 많다.^[4]좌표 기하학에서와 같이 선이 정의된 개념인 상황에서, 일부 다른 기본 사상은 원시적 개념으로 간주된다.선 개념이 원시적인 경우 선의 행동과 성질은 그들이 충족시켜야 하는 공리에 의해 결정된다.

기하학의 비자율적 또는 단순화된 자명적 처리에서 원시 개념의 개념은 너무 추상적이어서 다루기 어려울 수 있다.이러한 상황에서, 원시의 개념에 대한 설명이나 정신적 이미지를 제공하는 것이 가능하며, 공식적으로 (정설화되지 않은) 공리에 기초할 개념을 구축할 수 있는 기반을 제공할 수 있다.일부 저자는 이러한 형식에 대한 설명을 비공식적인 발표 방식의 정의라고 언급할 수 있다.이것들은 진정한 정의가 아니며, 공식적인 진술 증명에 사용될 수 없다.유클리드 원소에 있는 선의 "정의"는 이 범주에 속한다.^[5]특정 기하학(예: 유클리드 기하학)을 고려하고 있는 경우에도, 주체를 정식으로 취급하지 않을 때 행에 대한 비공식적인 설명이 어떻게 되어야 하는지에 대해서는 저자들 사이에 일반적으로 받아들여지는 동의는 없다.

유클리드 기하학에서

유클리드(Eucleid)에 의해 기하학이 처음 공식화되었을 때, 그는 일반 선(직선 또는 곡선)을 "브레드리스 길이"로 정의했고, 직선은 "그 자체에 점들이 고르게 놓여 있는" 선이다.^[6]이러한 정의는 그 자체로 정의되지 않은 용어를 사용하기 때문에 거의 의미가 없다.사실 유클리드 자신은 이 작품에서 이러한 정의를 사용하지 않았으며, 단지 독자들에게 논의되고 있는 것을 분명히 하기 위해서 그러한 정의를 포함시켰을 것이다.현대 기하학에서 선은 단순히 공리에 의해 주어진 성질을 가진 정의되지 않은 물체로 받아들여지지만,^[7] 때로는 어떤 다른 근본적인 개념이 정의되지 않은 채로 남겨질 때 선형 관계에 복종하는 점들의 집합으로 정의되기도 한다.

힐베르트(유클리드의 원래 공리는 현대 수학자들에 의해 교정된 다양한 결함을 포함하고 있다)^[8]와 같은 유클리드 기하학의 자명적인 공식화에서 선은 다른 선과 점들과 관련되는 특정한 속성을 가지고 있다고 명시된다.예를 들어, 어떤 두 개의 구별되는 점의 경우, 그것들을 포함하는 고유한 선이 있으며, 어떤 구별되는 두 개의 선은 최대 한 점에서 교차한다.^[9]2차원(즉, 유클리드 평면)에서는 교차하지 않는 두 선을 평행이라고 한다.더 높은 차원에서는 교차하지 않는 두 선이 평면에 포함되어 있으면 평행하고, 교차하지 않으면 기울어진다.

미세하게 많은 선들의 집합은 평면을 볼록한 다각형으로 분할한다. 이 분할은 선의 배열이라고 알려져 있다.

데카르트 좌표

데카르트 평면의 선 또는 보다 일반적으로 부속 좌표의 선은 선형 방정식으로 특징지어진다.더 정확히 말하면, 모든 선 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ L$}($수직선 포함)은 좌표(x, y)가 선형 방정식을 만족하는 모든 점의 집합이다. 즉,

${\displaystyle L=\{(x,y)\mid ax+by=c\}}$

여기서 a, b 및 c는 a와 b가 모두 0이 아닌 고정된 실수(계수라고 함)이다.이 양식을 사용하여 수직선은 b = 0의 방정식에 해당한다.

0이 아닌 경우 모든 것을 c로 나누면 c = 1 또는 c = 0이라고 가정할 수 있다.

대수적 조작에 의해 모두 하나에서 다른 것으로 변환될 수 있는 선의 방정식을 쓰는 많은 변형된 방법들이 있다.위의 형식을 표준형이라고 부르기도 한다.상수 항을 왼쪽에 붙이면 방정식이 된다.

${\displaystyle ax+by-c=0,}$

그리고 이것은 때때로 방정식의 일반적인 형태라고 불린다.그러나 이 용어는 보편적으로 받아들여지지 않으며, 많은 저자들이 이 두 형식을 구분하지 않는다.

이러한 양식(다른 양식에 대한 선형 방정식 참조)은 일반적으로 양식을 적는 데 필요한 선에 대한 정보(데이터) 유형에 의해 명명된다.선의 중요한 데이터 중 일부는 기울기, x 절편, 선의 알려진 점 및 y 절편이다.

$P$ 0(${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{y\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$) $displaystyle P_{0}(x_{0},y_{0})$ 및 P 1${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$y${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ ) ${\displaystyle P_{1}(x_{1$},$y_{1})$을 통과하는 $선$의 방정식은 다음과 같이$$ 쓸 수 있다.

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle y}$- ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- y ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (y-y_{0})(x_{1}-x_{0})=(y_{1}-y_{0})(x-x_{0$

x₀ ≠ x이면₁ 이 방정식은 다음과 같이 다시 쓰일 수 있다.

${\displaystyle y=(x-x_{0}\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}+y_{0}}}$

또는

${\displaystyle y=x\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{0}}+{\frac {x_{1}-x_{0}y_{0}}}}}{x_{1}-x_-x_{0}}}}}}\,}}}}}\,}}\,.}$

모수 방정식

파라메트릭 방정식은 특히 2차원 이상의 선에서는 단일 선형 방정식으로 설명할 수 없기 때문에 3차원 이상의 선에서는 선들을 지정하는데도 사용된다.

3차원 선은 흔히 파라메트릭 방정식으로 설명된다.

${\displaystyle x=x_{0}+at}$

${\displaystyle y=y_{0}+bt}$

${\displaystyle z=z_{0}+ct}$

여기서:

x, y, z는 모두 실수에 걸쳐 있는 독립 변수 t의 함수다.

(x₀, y₀, z₀)는 선의 임의의 지점이다.

a, b, c는 방향 벡터(a, b, c)가 선과 평행하도록 선의 기울기와 관련된다.

더 높은 차원의 선에 대한 파라메트릭 방정식은 선상의 한 점과 방향 벡터의 사양을 기반으로 한다는 점에서 유사하다.

참고로 3차원의 선은 두 개의 선형 방정식의 동시 해법이라고도 설명할 수 있다.

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z-d_{1}=0}$

${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z-d_{2}=0}$

such that ${\displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1})}$ and ${\displaystyle (a_{2},b_{2},c_{2})}$ are not proportional (the relations ${\displaystyle a_{1}=ta_{2},b_{1}=tb_{2},c_{1}=tc_{2}}$ imply ${\d$$isplaystyle t=0}$ $$.이는 3차원에서 단일 선형 방정식이 일반적으로 평면을 설명하고 선은 두 개의 뚜렷한 교차 평면에 공통되는 것이기 때문에 뒤따른다.

경사 절편형식

2차원에서 비수직선에 대한 방정식은 종종 다음과 같은 경사 절편 형태로 제시된다.

${\displaystyle y=mx+b}$

여기서:

m은 선의 기울기 또는 기울기입니다.

b는 선의 y자형이다.

x는 y = f(x) 함수의 독립 변수다.

The slope of the line through points ${\displaystyle A(x_{a},y_{a})}$ and ${\displaystyle B(x_{b},y_{b})}$, when ${\displaystyle x_{a}\neq x_{b}}$, is given by ${\displaystyle m=(y_{b}-y_{a})/(x_{b}-x_{a})}$그리고 이 선의 방정식은 ${\displaystyle y}$= m${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$- x ${\displaystyle a_{}}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$라고 쓸 수 있다$.$

정상형식

정상 형태(독일 수학자 루트비히 오토 헤세(Ludwig Otto Hese)^[10]의 이름을 따서 헤세 정상 형태라고도 함)는 주어진 선에 대한 정상 세그먼트를 바탕으로 하며, 이는 선에 수직인 원점에서 도출된 선 세그먼트로 정의된다.이 세그먼트는 선에서 원점에 가장 가까운 점과 원점을 결합한다.평면에서 직선 방정식의 정상적인 형태는 다음과 같다.

$\displaystyle x\cos \varphi +y\sin \varphi -p=0,}$

여기서 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은(는) 정규 세그먼트의 기울기 각도(x축 단위 벡터에서 이 세그먼트까지의 방향각)이며 p는 정규 세그먼트의 (양) 길이이다.정규 형식은 모든 계수를 ${\displaystyle \mathrm{다음}}$과 같이 나누어 표준$$ $형식{\displaystyle }$x + ${\displaystyle b}$y = ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle ax+by=c}$에서 도출할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {c}{{}}}{{\\sqrt{a^{2}+b^{2}}.}$

경사 절편 및 절편 형식과는 달리 이 형식은 모든 선을 나타낼 수 있지만 $but{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$ 및 p라는 두 개의 유한 매개변수만 지정하면 된다.p > 0이면 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) 고유하게 정의된 modulo 2π이다.반면 선이 원점(c = p = 0)을 통과하면 c/c 용어를 떨어뜨려 ${\displaystyle \varphi }$과 ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \varphi }$을$($를) 계산하고, $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi$}은$$ modulo π로만 정의된다.

극좌표에서

데카르트 평면에서 극좌표(r, θ)는 방정식에 의해 데카르트 좌표와 관련된다.

$\displaystyle x=r=r\cos \theta,\put y=r\sin \theta.}$

극좌표에서는 원점을 통과하지 않는 선의 방정식, 즉 좌표(0, 0)가 있는 점을 기록할 수 있다.

${\displaystyle r={\frac {p}{\cos(\theta -\varphi )}},}$

with r > 0 and ${\displaystyle \varphi -\pi /2<\theta <\varphi +\pi /2.}$ Here, p is the (positive) length of the line segment perpendicular to the line and delimited by the origin and the line, and ${\displaystyle \varphi }$ is the (oriented) angle from the x-axis to this segment.

x축과 선 사이의$$ 각도 $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle \phi }$+ ${\displaystyle \pi \mathrm{}}$/ 2 ${\displaystyle \alpha =\varphi +\pi /2}$의 관점에서 방정식을 표현하는 것이 유용할 수 있다.이 경우 방정식이 된다.

${\displaystyle r={\frac {p}{\sin(\theta -\property )},}$

r > 0과 <> + ${\displaystyle 0<\theta <\cHB +\pi.$$}$

$이러한{\displaystyle }$ 방정식은 x${\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta ,}$ ${\displaystyle x=r\cos \theta ,}$ $및{\displaystyle }$ y$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta ,}$ ${\displaystyle$ y$=r\sin \theta ,}$를 설정한 다음$$ 사인 또는 코사인(cosine)에 대한 각도 차이 ID를 적용하여 선 방정식의 정상적인 형태에서 도출할 수 있다.

또한 이러한 방정식은 선과 원점을 정점으로 하는 직각 삼각형에 사인 및 코사인 직각 삼각형 정의를 적용하여 기하학적으로 증명할 수 있다.

이전의 양식은 원점을 통과하는 선에는 적용되지 않지만, 더 간단한 공식은 다음과 같다: 원점을 통과하는 선점의 극좌표$({\displaystyle r}$ ,$$$){\displaystyle (r,\theta )}$는 원점을 통과하고 x축으로$$ $\alpha {\displaystyle }$ {\$displaystyle \alpha$}의 각도를 만드는 선점의 극좌표$($${\displaystyle r}$ ,${\displaystyle \theta )}$이다$.$$\theta )}$ 그런$$ 것.

${\displaystyle r\geq 0,\qquad {\text{and}}\cHB\cHB\cHB\cHB\cHB\text{or}\cHB\theta =\cHB +\pi.}$

벡터 방정식으로

$점{\displaystyle \mathbf{}}$ A와 B를 통과하는 선의 벡터 방정식은 r${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathbf{OA}}$+ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf{A}}$ ${\displaystyle B\mathbf{}}$ ${\$에 의해 주어진다(여기서 ar은 스칼라임).

a가 벡터 OA이고 b가 벡터 OB인 경우 $선$의 방정식은 r${\displaystyle }$= a +${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (b\mathbf{}}$- a${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda (\mathbf {b}$ -$\mathbf {a} )}$로 기록할 수 있다$.$

A 지점에서 시작하는 광선은 λ을 제한하여 설명한다.λ 0이면 한 개의 광선을 얻고, 그 반대 광선은 λ 0에서 나온다.

더 높은 차원으로

3차원 공간에서는 변수 x, y, z의 1도 방정식이 평면을 정의하므로, 평면이 평행이 아닐 경우 평면의 교차점인 선을 정의한다.보다 일반적으로 n차원 공간에서는 n 좌표 변수의 n-1 1도 방정식이 적절한 조건에서 선을 정의한다.

보다 일반적인 유클리드 공간 Rⁿ(그리고 다른 모든 부속 공간에서 유사하게)에서, 두 개의 다른 지점 a와 b(벡터로 간주됨)를 통과하는 선 L은 부분집합이다.

${\displaystyle L=\{(-t)\,a+t\,b\mid t\in \mathb {R}\}}}$

선의 방향은 a(t = 0)에서 b(t = 1)로, 즉 벡터 b - a의 방향으로. a와 b의 다른 선택은 동일한 선을 산출할 수 있다.

시준점

세 점이 같은 선에 놓여 있으면 일직선으로 되어 있다고 한다.보통 3개의 점이 평면을 결정하지만, 3개의 동일선 점의 경우에는 이러한 일이 발생하지 않는다.

부속 좌표에서 n차원 공간에서는 행렬이 있으면 X = (x₁, x₂, x, x_n), Y = (y₁₂, y, ..., y_n), Z = (z₁, z, ..., z)가_2n 시준된다.

${\displaystyle {\displaysty}{bmatrix}1&x_{1}&x_{1}\x_{n}\1&y_{n}\1&y_{n1}\1&z_{2}&n}\nd{bmatrix}}}}}}$

계급이 3 미만이다.특히 평면의 세 점(n = 2)에 대해 위의 행렬은 정사각형이고 결정 요인이 0인 경우에만 점이 일직선이다.

평면의 세 점에 대해 동등하게, 한 점 쌍 사이의 기울기가 다른 점 쌍 사이의 기울기와 같을 경우에만 점이 일렬로 정렬된다(이 경우 나머지 점 쌍 사이의 기울기는 다른 기울기와 같음).확장에 의해 평면의 k 점은 (k–1) 쌍의 점들이 동일한 쌍의 기울기를 갖는 경우에만 시준된다.

유클리드 기하학에서 두 지점 a와 b 사이의 유클리드 거리 d(a,b)를 사용하여 세 지점 사이의 공선성을 다음과 같이 표현할 수 있다.^[11][12]

d(x,a) = d(c,a) 및 d(x,b) = d(x,b) = d(c,b) = d(c,b)가 x = c를 내포하는 경우에만 a, b, c 점이 시준된다.

그러나 이 속성이 사실이 아닌 다른 개념의 거리(맨해튼 거리 등)가 있다.

선의 개념이 원시적인 개념인 기하학에서는 일부 합성 기하학에서 그러하듯이 다른 공선성 결정 방법이 필요하다.

선종류

어떤 의미에서 ^[13]유클리드 기하학의 모든 선은 동일하며, 그 점에서 좌표가 없으면 서로 구별할 수 없다.단, 선은 기하학의 다른 물체와 관련하여 특별한 역할을 할 수 있으며, 그 관계에 따라 유형으로 나뉜다.예를 들어 원뿔(원, 타원, 포물선 또는 하이퍼볼라)과 관련하여 선은 다음과 같을 수 있다.

• 단일 지점에서 원뿔을 접촉하는 접선선
• 두 지점에서 원뿔을 교차하고 원뿔의 내부를 통과하는 이차선
• 유클리드 평면의 어떤 지점에서 원뿔체를 충족하지 않는 외부 라인, 또는
• 점으로부터의 거리가 점이 원뿔에 있는지 여부를 확인하는 데 도움이 되는 다이렉트릭스

유클리드 기하학에서 평행성을 결정하는 맥락에서 횡단(transversal)은 서로 평행할 수도 있고 아닐 수도 있는 다른 두 선을 교차하는 선이다.

더 일반적인 대수 곡선의 경우 선은 다음과 같을 수 있다.

• i-secant 선, 다중성 없이 카운트된 i 포인트의 곡선을 만족하는 선 또는
• 곡선이 만지지 않고 임의로 가까이 접근하는 점근법

삼각형 관련:

• 오일러 선,
• 심슨 가의 대사들, 그리고
• 중심선

거의 두 개의 평행한 면이 있는 볼록한 사각형의 경우, 뉴턴 선은 두 대각선의 중간점을 연결하는 선이다.

원뿔에 정점이 있는 육각형에는 파스칼 선이 있고, 원뿔이 한 쌍의 선인 특별한 경우에는 파푸스 선이 있다.

평행선은 절대 교차하지 않는 동일한 평면에 있는 선이다.교차하는 선들은 하나의 공통점을 공유한다.우연의 일치 선은 서로 일치한다. 두 선 중 하나에 있는 모든 점 역시 서로 일치한다.

수직선은 직각으로 교차하는 선이다.

3차원 공간에서 꼬치선은 같은 평면에 있지 않아 서로 교차하지 않는 선이다.

투영 기하학에서

투영 기하학의 많은 모델에서 선의 표현은 유클리드 기하학에서 시각화되기 때문에 "직선 곡선"의 개념에 거의 부합하지 않는다.타원형 기하학에서 우리는 이것의 전형적인 예를 본다.^[14]타원형 기하학의 구면 표현에서 선은 정반대의 점이 식별된 구의 큰 원으로 표현된다.타원 기하학의 다른 모델에서 선은 원점을 통과하는 유클리드 평면으로 표현된다.이러한 표현은 시각적으로 구별되지만, 이 기하학에서 선에 적합한 표현으로 만드는 모든 특성(예: 고유한 선을 결정하는 두 점)을 만족시킨다.

확장

레이

선과 그 위에 A가 있는 점을 고려하면, 우리는 A가 이 선을 두 부분으로 분해하는 것으로 간주할 수 있다.그런 부분을 각각 광선이라고 하고 A점을 초점이라고 한다.1차원 반공간인 하프라인으로도 알려져 있다.A 지점은 광선의 일원으로 간주된다.^[15]직감적으로, 레이는 A를 통과하고 A에서 시작하여 선을 따라 한 방향으로만 무한정 진행되는 선상의 그러한 점들로 구성된다.그러나 이러한 광선 개념을 증명서에 사용하기 위해서는 보다 정밀한 정의가 필요하다.

구별되는 점 A와 B를 지정하면 초기 점 A로 고유한 광선을 결정한다.두 점이 고유한 선을 정의함에 따라 이 광선은 A와 B 사이의 모든 점(A와 B 포함)과 A와 B를 통과하는 선상의 모든 C로 구성되어 B가 A와 C 사이에 있게 된다.^[16]이것은 때로는 A가 B와 C 사이에 있지 않도록 A와 B가 결정한 라인에 있는 모든 포인트 C의 집합으로 표현되기도 한다.^[17]점 D는 A와 B에 의해 결정되지만 초기 점 A가 B에 의해 결정되는 선에서, 초기 점 A에 의해 초기 점 A가 결정되는 또 다른 선은 A에 의해 결정된다.AB 레이와 관련하여 AD 레이는 반대 레이라고 불린다.

따라서 우리는 A와 B라는 두 개의 다른 점들이 이 선을 하나의 선과 분해하여 열린 세그먼트(A, B)와 두 개의 선인 BC와 AD의 분리 결합으로 정의한다고 말할 것이다(점 D는 도표에서 그리는 것이 아니라 선 AB에서 A의 왼쪽에 있다.이것들은 초기 지점이 다르기 때문에 반대 광선이 아니다.

유클리드 기하학에서 공통 끝점을 가진 두 개의 광선이 각도를 형성한다.

광선의 정의는 선상의 점에 대한 중간성의 개념에 따라 달라진다.광선은 일반적으로 유클리드 기하학이나 순서가 정해진 분야 위에 부착된 기하학 등 이 개념이 존재하는 기하학에만 존재한다는 것을 따른다.반면에, 광선은 복잡한 수나 어떤 한정된 장과 같이 비순서가 없는 장에 걸친 투영 기하학이나 기하학에는 존재하지 않는다.

라인 세그먼트

선 세그먼트는 두 개의 구별되는 끝점으로 경계되는 선의 일부분이며, 끝점 사이의 선의 모든 점을 포함한다.선 세그먼트를 정의하는 방법에 따라 두 끝점 중 하나가 선 세그먼트의 일부가 될 수도 있고 아닐 수도 있다.두 개 이상의 선 세그먼트는 평행, 교차 또는 기울임과 같은 선과 같은 관계를 가질 수 있지만 선과 달리 선은 동일 평면이며 교차하지 않거나 일직선인 경우 이러한 관계가 아닐 수 있다.

지리학

선의 "짧음"과 "직선"은 두 점 사이의 선을 따라 가는 거리를 최소화하는 속성으로 해석되며(삼각형 불평등 참조), 일반화할 수 있고 미터법 공간의 지오데틱스 개념으로 해석된다.

참고 항목

메모들

참조

위키소스는 1911년 브리태니커 백과사전 기사 "라인"의 원문을 가지고 있다.

• Coxeter, H.S.M (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
• Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course, Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Wylie Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 라인 관련 미디어가 있다.

• "Line (curve)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 컷더코트에서의 직선 방정식