나사 축

나사 축(헬리컬 축 또는 트위스트 축)은 회전 축과 신체의 번역이 일어나는 선과 동시에 일어나는 선이다. 샤슬스의 정리는 3차원 공간에 있는 각각의 유클리드 변위는 나사 축을 가지고 있으며 변위는 이 나사 축을 따라 회전하고 미끄럼틀로 분해될 수 있다는 것을 보여준다.^[1][2]

plücker 좌표는 공간에서 나사 축을 찾는 데 사용되며, 한 쌍의 3차원 벡터로 구성된다. 첫 번째 벡터는 축의 방향을 식별하고, 두 번째 벡터는 축의 위치를 찾는다. 첫 번째 벡터가 0일 때의 특수한 경우는 두 번째 벡터 방향으로 순수하게 번역한 것으로 해석된다. 나사 축은 나사 이론이라고도 하는 나사 대수에서 각 벡터 쌍과 연관된다.^[3]

신체의 공간 이동은 연속적인 변위 집합으로 나타낼 수 있다. 이러한 각 변위에는 나사 축이 있기 때문에 이동에는 나사 표면이라고 알려진 관련 지배 표면이 있다. 이 표면은 신체의 움직임의 순간적인 나사 축에 의해 추적되는 축소드와 같지 않다. 순간 나사 축 또는 '즉시 나선축'(IHA)은 움직이는 신체 내 모든 점의 속도에서 발생하는 헬리코이드 장의 축이다.

공간적 변위가 평면 변위에 특화되면 나사 축이 변위극이 되고, 순간 나사 축이 속도극, 즉 즉 순간 중심축이 되어 즉석 중심이라고도 한다. centro라는 용어는 속도극에도 사용되며, 평면 이동에 대한 이러한 지점들의 위치를 centrode라고 한다.^[4]

역사

공간적 변위가 순환으로 분해될 수 있다는 증거는 1830년 미셸 샤슬스가 우주에서 선을 그은 것으로 추정된다.^[5] 최근 줄리오 모찌의 작품은 1763년에 비슷한 결과를 나타낸 것으로 확인되었다.^[6][7]

나사 축 대칭

나사 변위(나사 조작 또는 회전 변환)는 축(나사 축이라고 함)에 대한 각도 φ에 의한 회전 구성으로, 이 축을 따라 d 거리에 의한 변환이다. 양의 회전 방향은 보통 오른손 법칙에 의한 번역 방향에 해당하는 방향을 의미한다. 시계방향으로 회전하면 변위가 뷰어에서 멀어진다는 뜻이다. φ = 180°를 제외하고는 나사 변위를 거울 이미지와 구분해야 한다. 회전과 달리, 8번째 및 2번째 나사 작동은 다른 그룹을 생성한다.

축에 대한 회전과 축에 수직인 방향으로의 변환의 조합은 평행 축에 대한 회전이다. 그러나 축을 따라 0이 아닌 변환 벡터를 가진 스크류 연산은 그렇게 줄일 수 없다. 따라서 어떤 번역과 결합한 회전의 효과는 일반적인 의미에서 나사 연산이며, 특별한 경우로서 순수 번역, 순회전, 정체성이 있다. 이것들은 모두 3D로 된 직접적인 등위계들이다.

결정학에서 스크루 축 대칭은 축에 대한 회전과 그 축에 평행한 번역의 조합으로 결정체가 변하지 않는다. 일부 양의 정수 n에 대해 φ = 360°/n이면 나사 축 대칭은 나사 변위의 n배인 변환 벡터로 변환 대칭을 의미한다.

공간 그룹에 적용 가능한 것은 축에 대하여 360°/n씩 회전하는 것으로, 변환 대칭 거리의 배수를 n으로 나눈 축을 따라 번역과 결합한다. 이 배수는 첨자로 표시된다. 그래서 6은₃ 격자 벡터의 1/2의 번역과 결합된 60°의 회전으로, 이 축에 3배 회전 대칭도 있음을 암시한다. 가능성은 2₁, 3₁, 4₁, 4₂, 6₁, 6이며₂₃, 반동형성₂ 3₃, 4₄, 6, 6이다₅.^[8] 나사 축 n을_m 고려할 때 g가 n과 m의 최대 공통점이라면 g-폴드 회전 축도 있다. n/g 나사 연산을 수행했을 때 변위는 m/g가 될 것이며, 이는 정수이기 때문에 360°/g 회전을 수행하는 동안 격자의 등가 파인트로 이동했음을 의미한다. 그래서₂ 4, 6₂, 6은₄ 2배 회전축을 만들고, 6은₃ 3배 회전축을 만든다.

비구체 나사 축 등방정 그룹에는 축을 따라 회전하는 모든 조합과 비례 변환(리프링에서 비례의 상수를 트위스트 레이트라고 함)이 포함되며, 일반적으로 이 조합은 같은 축에 대한 k-폴드 회전 등방정(k ≥ 1)과 결합된다. 등방정 아래 점의 이미지 집합trys는 k-폴드 나선형이다. 또한 수직 교차 축을 중심으로 2-폴드 회전할 수 있으며, 따라서 그러한 축의 k-폴드 나선형도 있다.

공간 변위의 나사 축

기하학적 인수

D : R³ → R을³ R의³ 방향 유지 강체 운동으로 한다. 이러한 변형의 집합은 특수 유클리드 그룹 SE(3)로 알려진 유클리드 운동의 한 부분군이다. 이러한 경직된 동작은 다음과 같이 주어진 R에서³ x의 변환에 의해 정의된다.

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=A(\mathbf {x})+\mathbf {d}}$

3차원 회전 A에 이어 벡터 d에 의한 번역으로 구성된다.

3차원 회전 A는 선 L을 정의하는 고유한 축을 가지고 있다. 이 선을 따라 있는 단위 벡터 d가 축 L에 수직인 두 벡터의 합으로 분해될 수 있도록, 즉, 변환 벡터 d를 S로 한다.

${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {d} _{L}+\mathbf {d} _{\perp },\quad \mathbf {d} _{L}=(\mathbf {d} \cdot \mathbf {S} )\mathbf {S} ,\quad \mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {d} -\mathbf {d} _{L}.}$

이 경우 경직된 모션이 형태를 취한다.

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=(A(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{\perp }+\mathbf {d} _{L}).}$

이제 강체 운동 D* = A(x) + d를_⊥ 보존하는 방향은 R의³ 모든 지점을 변환하여 그것들이 L에 수직으로 유지되도록 한다. 이 형식의 강체 이동의 경우 L에서 0까지 수직인 평면 P에 다음과 같은 고유한 점이 있다.

${\displaystyle D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C})++\mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {C}.}$

점 C는 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {C} = [I-A]^{-1}\mathbf {d} _{\perp }}$

왜냐하면_⊥ d는 A의 축방향에 구성요소를 가지고 있지 않기 때문이다.

고정점이 있는 강성 운동 D*는 지점 c를 통과하는_c 축 L 주위를 회전해야 한다. 따라서 경직된 동작

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=D^{*}(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{L}}}$

선 L에_c 대한 회전에 이어 선_c L의 방향으로 벡터 d에_L 의한 번역으로 구성된다.

결론: R의³ 모든 경직된 동작은 선 L에_c 대한 R의³ 회전과 선 방향으로의 번역의 결과물이다. 선에 대한 회전과 선에 따른 번역의 조합을 나사 운동이라고 한다.

나사 축의 점 계산

나사 축의 C 지점은 다음 등식을 만족한다.^[9]

${\displaystyle D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C})++\mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {C}.}$

Cayley의 회전 행렬에 대한 공식을 사용하여 C에 대한 이 방정식 해결

${\displaystyle [A]=[I-B]^{-1}[I+B],}$

여기서 [B]는 Rodrigues의 벡터로 구성된 스큐 대칭 행렬이다.

${\displaystyle \mathbf {b} =\tan {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S},}$

그런

${\displaystyle [B]\mathbf {y} =\mathbf {b} \times \mathbf {y} .}$

이 형식의 회전 A를 사용하여 얻으십시오.

${\displaystyle \mathbf {C} =[I-B]^{-1}[I+B]\mathbf {C} +\mathbf {d} _{\perp },\quad [I-B]\mathbf {C} =[I+B]\mathbf {C} +[I-B]\mathbf {d} _{\perp },}$

어떤 것이 되느냐

${\displaystyle -2[B]\mathbf {C} = [I-B]\mathbf {d} _{\perp }}}$

이 방정식은 나사 축 P(t)의 C에 대해 해결할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {d} -\mathbf {b} \times \mathbf {d} \times \mathbf {d}}{2\mathbf {b} \cdot \mathbf {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이 공간 변위의 나사 축 P(t) = C + tS에는 Plucker 좌표 S = (S, C × S)가 있다.^[9]

이중 쿼터니온

나사 축은 공간 변위 D = ([A], d)의 이중 쿼터니온 제형에 나타난다. 듀얼 쿼터니언은 나사 축과 듀얼 각도(dual angle, d)를 정의하는 듀얼 벡터 S = (S, V)로 구성되며, 여기서 φ은 이 축을 따라 회전하고 d 미끄럼틀을 형성하며, 이 축을 따라 D를 정의하여 얻을 변위 D를 정의한다.

${\displaystyle {\hat{S}=\cos {\frac {\barphi}}{2}}:00}\frac {\barphi{\frac {\barphi }}{2}}:{\mathsf {S}}}.}$

벡터 쿼터니온으로 대표되는 지점 q의 공간적 변위는 쿼터니온을 매핑으로 사용하여 정의할 수 있다.

${\daystyle \mathbf {q} \mapsto S\mathbf {q} S^{-1}+\mathbf {d}}$

여기서 d는 번역 벡터 쿼터니온이고, S는 에 의해 주어지는 버저라고도 불리는 단위 쿼터니온이다.

$\displaystyle S=\cos \theta +\mathbf {S} \sin \theta ,\\mathbf {S} ^{2}=-1,}$

축 S를 중심으로 2°씩 회전을 정의한다.

적절한 유클리드 그룹 E⁺(3)에서 회전은 병렬 회전 축으로 이동하기 위한 번역과 함께 결합될 수 있다. 그러한 결합은 쿼터니온 호모그래피를 사용하여 샤슬스의 정리에 따라 주어진 공간 변위를 스크류 변위로서 표현하기 위해 적절한 스크류 축을 생성한다.

역학

강체 본체의 순간적인 동작은 축(나사 축)에 대한 회전과 그 축을 따른 번역의 조합일 수 있다. 이 나사 이동은 변환을 위한 속도 벡터와 동일하거나 반대 방향으로의 각도 속도 벡터가 특징이다. 만약 이 두 벡터가 일정하고 신체의 주요 축 중 하나를 따라 움직인다면, 이 운동(움직임과 회전)에 외부 힘이 필요하지 않다. 일례로 중력과 드래그를 무시하면, 이것은 격추된 총에서 발사된 총알의 움직임이다.

생물역학

이 매개변수는 신체의 관절 운동을 설명할 때 생체역학에서 자주 사용된다. 어떤 기간 동안, 관절 운동은 인접한 표면(보통 근위부에 관한 원위부)에 대하여 하나의 관절 표면에서 하나의 점의 이동으로 볼 수 있다. 동작 경로를 따라 총 번역과 회전은 주어진 기준 시간 동안 IHA에서 순간 번역과 회전 속도의 시간 통합으로 정의할 수 있다.^[10]

어떤 단일 평면에서도 움직이는 순간축(IAR)의 위치에 의해 형성된 경로를 '중심'이라고 하며, 관절 운동 설명에 사용된다.

참고 항목

• 코르크스크루(롤러코스터 요소)
• 오일러의 회전 정리 – 번역이 없는 회전
• 글라이드 반사
• 헬리컬 대칭
• 라인군
• 나사 이론
• 스페이스 그룹

참조