아인슈타인 계수

아인슈타인 계수는 원자나 분자에 의한 빛의 흡수 또는 방출 확률을 측정하는 수학적 수량이다.^[1] 아인슈타인 A 계수는 빛의 자발적 방출 속도와 관련이 있으며, 아인슈타인 B 계수는 빛의 흡수 및 자극적 방출과 관련이 있다.

스펙트럼 라인

물리학에서는 두 가지 관점에서 스펙트럼 라인을 생각한다.

방출선은 원자나 분자가 특정 에너지와 파장의 광자를 방출하면서 원자의 특정 이산 에너지 레벨 E에서₂ 낮은 에너지 레벨 E로₁ 이행할 때 형성된다. 그러한 많은 광자의 스펙트럼은 이러한 광자와 관련된 파장에서 방출 스파이크를 보여줄 것이다.

흡수선은 원자나 분자가 낮은 E에서₁ 높은 이산 에너지 상태 E로 이행할₂ 때 형성되며, 그 과정에서 광자가 흡수된다. 이러한 흡수된 광자는 일반적으로 백그라운드 연속선 방사선(전자파 방사선의 전체 스펙트럼)에서 발생하며 스펙트럼은 흡수된 광자와 관련된 파장에서 연속선 방사선의 강하를 보일 것이다.

두 상태는 전자가 원자나 분자에 결합되는 결합 상태여야 하므로, 전자가 연속체 상태로 완전히 배출되어("경계-자유" 전환) 이온화된 원자를 남기고 연속체를 생성하는 전환과는 반대로, 그 전환을 "경계-경계" 전환이라고 부르기도 한다.음 방사선이요.

에너지 수준 간의 차이 E₂ - E와₁ 동일한 에너지를 가진 광자가 방출되거나 프로세스에서 흡수된다. 스펙트럼 라인이 발생하는 주파수 ν은 Bohr의 주파수₂ 조건₁ E - E = hν에 의해 광자에너지와 관련된다. 여기서 h는 Planck 상수를 나타낸다.^{[2][3][4][5][6][7]}

방출 및 흡수 계수

원자 스펙트럼 라인은 기체 내 방출 및 흡수 이벤트를 말하며, n ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개는$$ 라인의 상위 에너지 상태에 있는 원자의 밀도, $n{\displaystyle {}_{}}$ 1${\$}은$$ 라인의 하위 에너지 상태에 있는 원자의 밀도다.

주파수 ν에서의 원자선 방사선의 방출은 에너지 단위/(시간 × 부피 × 고체 각도)를$$ 갖는 방출 계수 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon$}에 의해 설명될 수 있다. ∆ dV DΩ은 볼륨 요소 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle dt}$에서 고체 각도 d ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle dt$}에$$ 시간 $d{\displaystyle }$ V {\$displaystyle$ $d_Oomega}$에 방출되는 에너지.$$원자선 방사선의 경우,

여기서 A ${\displaystyle {21}_{}}$ ${\$는 자발적 방출에 대한 아인슈타인 계수로서$$, 관련 에너지 수준 두 개에 대해 관련 원자의 고유 특성에 의해 고정된다.

원자선 방사선의 흡수는 길이가 1/2인 $흡수$ 계수 { ${\displaystyle \kappa }$로 설명할 수 있다. dx라는 표현은 이동 거리 dx에서 주파수 ν에서 광선에 흡수된 강도의 비율을 나타낸다. 흡수 계수는 다음과 같다.

여기서 B ${\$와 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {21}_{}}$ ${\$는 각각 광자 흡수 및 유도 방출에 대한 아인슈타인 계수다$$. 계수 A ${\displaystyle {21}_{}}$ ${\$과 같이$,$ 이러한 계수들은 두 개의 관련 에너지 수준에 대해 해당 원자의 고유 특성에 의해서도 고정된다. 열역학 및 Kirchhoff의 법칙의 적용을 위해, 총 흡수를 각각 양과 음의 흡수로 간주할 수 ${\displaystyle {\mathrm{있는}}_{}}$B 12{\$displaystyle B_{$$12$}와$$B 21{\$displaystyle$B_${21$}로 각각 기술한 두 성분의 대수적 합으로 표현할 필요가 있다$.$리, 직접 광자 흡수, 그리고 흔히 자극 또는 유도 방출이라고 불리는 것.^[8][9][10]

위의 방정식은 분광선 모양의 영향을 무시해 왔다. 정확성을 기하기 위해서는 위의 방정식에 (정상화된) 스펙트럼 라인 형상을 곱해야 하며, 이 경우 단위가 1/Hz 항을 포함하도록 변경된다.

열역학적 평형 조건에서 숫자 밀도 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} 및 ${\displaystyle n_{}}$ 1 ${\$ 아인슈타인 계수 및 스펙트럼 에너지 밀도는 흡수 및 방출 속도를 결정하기에 충분한 정보를 제공한다.

평형조건

숫자 밀도 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} 및$$ ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}는 국소 스펙트럼 광도(또는 일부 프레젠테이션에서는 국소 스펙트럼 복사 에너지 밀도)를 포함하여 스펙트럼 라인이 발생하는 기체의 물리적 상태에 의해 설정된다$$. 그 상태는 하나의 엄격한 열역학적 평형 중 하나 또는 소위"국소 열역학 적평형"[11][12][13]의 여자(는 n2{\displaystyle n_{2}}과 n1{\displaystyle n_{1}}을 포함한다)의 원자의 각국의 분포가 되suc 원자 방출과 absorptions의 비율을 결정한다.h가 Kirc방사능 흡수율과 방출성의 평등 법칙은 유지된다. 엄격한 열역학적 평형에서 방사선장은 흑체 방사선이라고 하며 플랑크의 법칙에 의해 기술된다. 국소 열역학적 평형에서 방사선장은 흑체장이 될 필요는 없지만 원자간 충돌 속도는 빛의 퀀타 흡수 및 방출 속도를 크게 초과해야 하기 때문에 원자간 충돌은 원자성 흥분 상태의 분포를 완전히 지배한다. 강한 복사 효과가 분자 속도의 맥스웰-볼츠만 분포 경향을 압도하기 때문에 국소 열역학적 평형이 우세하지 않은 상황이 발생한다. 예를 들어, 태양의 대기에서는 방사선의 큰 힘이 지배한다. 지구 상층 대기권에서는 100km 이상의 고도에서 분자간 충돌의 희귀성이 결정적이다.

열역학적 평형 및 국소 열역학적 평형의 경우, 흥분된 경우와 그렇지 않은 경우 모두 원자의 수 밀도는 맥스웰-볼츠만 분포로부터 계산할 수 있지만, 다른 경우(예: 레이저)의 경우 계산이 더 복잡하다.

아인슈타인 계수

1916년 알버트 아인슈타인은 원자 스펙트럼 라인의 형성에 세 가지 과정이 발생한다고 제안했다. 이 세 가지 과정은 자발적 배출, 자극적 배출, 흡수라고 불린다. 각각은 아인슈타인 계수와 연관되어 있으며, 이것은 특정 과정이 발생할 확률을 측정하는 척도다. 아인슈타인은 주파수 ν의 등방성 방사선과 스펙트럼 에너지 밀도 ρ(ν)의 경우를 고려했다.^{[3][14][15][16]}

다양한 제형

힐본은 다양한 저자들의 아인슈타인 계수에 대한 파생에 대한 다양한 공식들을 비교했다.^[17] 예를 들어, Herzberg는 방사조도와 와바넘버로 작업한다.^[18] Yariv는 더 최근의 (2008) 공식에서와 같이 단위 주파수 간격당 단위 부피 당 에너지로 작업한다.^[19] Mihalas & Weibel-Mihalas는 광도와 주파수를 가지고 일한다.^[13] 또한 Chandrasekhar;^[21] Goody & Yong;^[22] Loudon은 각 주파수와 광도를 사용한다.^[23]

자연방사능

자발적 방출은 전자가 더 높은 에너지 수준에서 더 낮은 에너지 수준으로 "자발적으로"(즉, 외부 영향 없이) 이 과정은 아인슈타인 계수 A₂₁(s⁻¹)로 설명되며$,$ 이 $계수$는 에너지 E ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}개의 $상태$ 2에 있는 전자가 에너지 E ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}}와 함께 상태 1에 자연적으로 붕괴할$$ 확률로₂ 에너지 E₁ - E = hν로 광자를 방출한다. 에너지-시간 불확실성 원리로 인해, 그 전환은 실제로 스펙트럼 선폭이라고 불리는 좁은 주파수 범위 내에서 광자를 생산한다. $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$이 상태$$ i에 있는 원자의 수 밀도인 경우, 자발적 방출로 인한 단위 시간 당 상태 2에 있는 원자의 수 밀도일 것이다.

${\displaystyle \left({\frac {dn_{2}}:{dt}\right)_{\text{desposal}}=-A_{21}n_{2}.}$

동일한 과정을 통해 주 1의 모집단이 증가하게 된다.

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}{dn}\오른쪽)_{\text{filency}=A_{21}n_{2}.}$

자극 방출

자극 방출(유도 방출이라고도 함)은 전자가 전환 빈도(또는 가까운)에서 전자기 방사선이 존재함으로써 더 높은 에너지 수준에서 더 낮은 에너지로 점프하도록 유도하는 과정이다. 열역학적으로 볼 때, 이 과정은 음의 흡수로 간주되어야 한다. 과정은 단위 시간당 단위당}상태에 에너지 E1{\displaystyle E_{1}과}가 부패할 확률이 2에 에너지를 전자 E2{\displaystyle E_{2}는 방사선 분야의 분광 복사량을 준다 아인 계수 B21{\displaystyle B_{21}}(J−1 s−2 m3), 설명합니다. emi에너지₂ E - E₁ = h =로 광자를 tting한다. 유도 방출에 의한 단위 시간 당 상태 1의 원자 수 밀도의 변화는 다음과 같을 것이다.

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}{dnt}\right)_{\text{neg. 흡수.}}}=B_{21}n_{2}\rho(\nu ),}$

여기서 $\rho {\displaystyle }$ (${\displaystyle \nu }$ ) ${\displaystyle \rho (\nu )}$은 전환 주파수에서 등방성 방사선 영역의 1Hz 대역폭에서 광도를 나타낸다$$(Planck의 법칙 참조).

자극된 방출은 레이저의 발전을 이끈 근본적인 과정 중 하나이다. 그러나 레이저 방사선은 현재의 등방성 방사선과 매우 멀리 떨어져 있다.

광자 흡수

흡수는 광자가 원자에 의해 흡수되어 전자가 낮은 에너지 수준에서 더 높은 에너지 수준으로 뛰어오르게 하는 과정이다. 그 과정은 방사선장의 유닛 분광 복사에 의한 상태로 에너지 E1{\displaystyle E_{1}과 전자}는 에너지 E2− E1)hν과 상태에와 일치한 광자를 흡수하게 된다. 단위 시간당 확률을 준다 아인 계수 B12{\displaystyle B_{12}}(J−1 s−2 m3), 설명합니다.energ$Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ 흡수에 의한 단위 시간 당 상태 1의 원자 수 밀도의 변화는 다음과 같을 것이다.

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}{dnt}\right)_{\text{pos. 흡수.}}}=-B_{12}n_{1}\rho(\nu).}$

디테일 밸런싱

아인슈타인 계수는 각 원자와 관련된 시간 당 고정 확률이며, 원자가 일부인 기체의 상태에 의존하지 않는다. 따라서 열역학적 평형에서의 계수들 사이에 우리가 도출할 수 있는 어떤 관계도 보편적으로 유효할 것이다.

열역학적 평형에서, 우리는 모든 과정으로 인해 손실과 이득에 의해 균형을 이루면서, 어떤 흥분된 원자의 수의 순변화가 0인 단순한 균형을 이룰 것이다. 바운드 전환과 관련하여, 우리는 세부적인 균형도 가질 것이다. 이 균형은 어떤 두 수준 간의 순 교환도 균형을 이룰 것이다. 다른 흥분된 원자의 유무에 의해 전이 확률은 영향을 받을 수 없기 때문이다. 상세 균형(평형 상태에서만 유효함)을 위해서는 위의 세 가지 공정에 의한 수준 1의 원자 수의 시간 변화가 0이 되어야 한다.

${\displaystyle 0=A_{21}n_{2}+B_{21}n_{2}\rho(\nu )-B_{12}n_{1}\rho(\nu).}$

세부적인 균형 조정과 함께 온도 T에서 우리는 아인슈타인 계수 사이의 보편적 관계를 도출하기 위해 Planck의 흑체 방사선 법칙에 명시된 바와 같이 Maxwell-Boltzmann 분포에 명시된 원자의 평형 에너지 분포와 광자의 평형 분포에 대한 지식을 사용할 수 있다.

Boltzmann 분포로부터 우리는 흥분한 원자 종의 수 i:

${\displaystyle {\frac {n_{i}}{n}}={\frac {g_{i}e^{-E_{i}/kT}{Z}},}$

여기서 n은 원자종의 총수 밀도로서 흥분되고 기약되지 않은 것이며, k는 볼츠만의 상수, ${\displaystyle T_{}}$는 온도, $g{\displaystyle {}_{}}$ i ${\$는 상태 i의 퇴보성(일명 다중성)이며$$, Z는 분할함수다. 온도 T에서의 흑체 방사선의 플랑크의 법칙으로부터 우리는 주파수 ν에서 스펙트럼 광도(방사능은 단위 투영 면적당 단위 고형각 당 에너지)를 확보했다.^[24]

${\displaystyle \rho_{\nu }(\nu ,T)=F(\nu ){\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1,}$

어디에^[25]

${\displaystyle F(\nu )={\frac {2h\nu ^{3}{c^{2}},}$

여기서 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$은(는) 빛의 $속도$고 h {\$displaystyle h}$은(는$)$ Planck의 상수다.

이러한 표현을 상세 균형식의 공식으로 대체하고₂₁ E - E = h³의 수율을 기억함

${\displaystyle A_{21}g_{2}e^{-h\nu /kT}+B_{21}g_{2}e^{-h\nu /kT}{\frac {F(\nu )}{e^{h\nu /kT}-1}}=B_{12}g_{1}{\frac {F(\nu )}{e^{h\nu /kT}-1}},}$

로 분리하여.

${\displaystyle A_{21}g_{2}(e^{h\nu /kT}-1)+B_{21}g_{2}F(\nu )=B_{12}g_{1}e^{h\nu /kT(\nu).}$

위의 방정식은 어떤 온도에서도 유지되어야 하므로

${\displaystyle B_{21}g_{2}=B_{12}g_{1},}$

, 그리고

${\displaystyle -A_{21}g_{2}+B_{21}g_{2}F(\nu )=0.}$

따라서 세 개의 아인슈타인 계수는 다음과 같이 상호 연관되어 있다.

${\displaystyle {\frac {A_{21}{B_{21}}=F(\nu )}$

, 그리고

${\displaystyle {\frac {B_{21}{B_{12}}={\frac {g_}{1}{1}}}}.}$

이 관계를 원래의 방정식에 삽입하면 플랑크의 법칙을 수반하는$$A ${\$과 B ${\$ 사이의 관계도 찾을 수 있다.

오실레이터 강도

오실레이터 강도 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 흡수를 위한$$ 단면 ${\displaystyle \sigma }$에 대해 다음과 같은 관계로 정의된다$$.^[17]

${\displaystyle \sigma ={\frac {e^{2}}{4\varepsilon _{0}m_{e}c}}\,f_{12}\,\phi _{\nu }={\frac {\pi e^{2}}{2\varepsilon _{0}m_{e}c}}\,f_{12}\,\phi _{\omega },}$

여기서 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$은 전자 ${\displaystyle {전하}_{}}$, m $e{\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle m_{e}$은 전자 $질량$이며, {$${\$displaystyle \phi_{\nu}},$ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ ${\$은 각각 주파수와 각 주파수에서 정규화된 분포 함수다$$. 이를 통해 아인슈타인 계수 3개를 모두 특정 원자 스펙트럼 라인과 관련된 단일 발진기 강도의 관점에서 표현할 수 있다.

${\displaystyle B_{12}={\frac {e^{2}}:{4\varepsilon_{0}m_{e}h\nu }}f_{12}}}}$

${\displaystyle B_{21}={\frac{e^{2}}:{0}m_{e}h\nu }}{{g_}}{2}}:{\frac {g_{2}}:f_{12}}}}}}}$

${\displaystyle A_{21}={\frac {2\pi \nu ^{2}e^{2}}:{{0}m_{e}c^{3}}{\frac {g_{1}{1}}f_{12}}}}}}}}$

참고 항목

참조

인용 서지학

기타리딩

외부 링크

• 다양한 광원의 방출 스펙트럼