고전적 한계

고전적 한계 또는 대응 한계는 물리 이론이 파라미터의 ^[1]특수값을 고려할 때 고전 역학을 근사하거나 "복구"하는 능력이다.고전적인 한계는 고전적이지 않은 행동을 예측하는 물리 이론과 함께 사용됩니다.

양자 이론

닐스 보어에 의해 대응 원리라고 불리는 발견적 공식이 양자 이론에 도입되었습니다: 실제로 그것은 플랑크의 상수 값이 매우 작아짐에 따라 양자 시스템의 고전적인 한계에 어떤 연속성 주장이 적용되어야 한다고 말합니다.많은 경우 이는 "준클래식" 기법을 통해 접근됩니다(cf).WKB의 근사치).^[2]

보다 ^[3]엄밀하게는, 고전적 한계와 관련된 수학적 연산은 관련 작용이 플랑크의 상수 $θ$ 보다 훨씬 큰 근사 물리계인 군 수축이다. 따라서 "변형 매개변수" $δ$ / $S$ 는 사실상 0으로 간주될 수 있다(cf).Weyl 정량화).따라서 일반적으로 양자 정류자(동등하게 Moyal 괄호)는 군 수축에서 포아송 ^[4]괄호로 감소합니다.

양자역학에서, 하이젠베르크의 불확실성 원리로 인해, 전자는 절대 정지할 수 없다; 그것은 항상 0이 아닌 운동 에너지를 가져야 한다. 그 결과는 고전 역학에서 찾을 수 없는 것이다.예를 들어, 야구공과 같이 전자에 대해 매우 큰 것을 고려한다면, 불확실성의 원리는 운동 에너지가 실제로 제로일 수 없다고 예측하지만, 운동 에너지의 불확실성은 너무 작아서 야구공이 효과적으로 정지해 있는 것처럼 보일 수 있고, 따라서 고전 역학을 따르는 것처럼 보인다.일반적으로 양자역학에서 큰 에너지와 큰 물체(전자의 크기와 에너지 수준에 상대적인 것)를 고려한다면, 그 결과는 고전 역학을 따르는 것처럼 보일 것이다.관련된 일반적인 직업 숫자는 매우 큽니다. $θ$ = 2Hz, $m$ = 10g, 최대 $진폭$ ₀ x = 10cm의 거시적 고조파 발진기는 S $e$ E $/ m$ m m $x 20 -4$ 10 $kg$ · $m 2 /s$ = $n$ $n$ 이므로 n 10³⁰ $10$ 이다.자세한 내용은 일관성 있는 상태를 참조하십시오.그러나 양자 혼돈으로 알려진 분야인 혼돈 시스템에 고전적 한계가 어떻게 적용되는지는 명확하지 않다.

양자 역학과 고전 역학은 보통 완전히 다른 형식주의로 취급된다: 힐버트 공간을 이용한 양자 이론과 위상 공간에서의 표현을 이용한 고전 역학.이 둘을 다양한 방법으로 공통의 수학적 틀에 넣을 수 있다.통계적인 양자역학의 위상공간 공식화에서는 양자역학과 고전통계역학의 논리적인 연결이 이루어져 양자화에 ^[5]^[6]관한 리우빌의 정리(해밀턴)의 위반을 포함한 양자역학의 자연적 비교를 가능하게 한다.

중요한 종이(1933년)에서, Dirac[7]이 양자 역학이 어떻게 고전 역학은 긴급 현상:경로 중non-extremal 거시적 행동으로 상쇄적 간섭 Sħ 진폭 기여한 그는 도입한 경로에서 그 극치 액션 Sclass, domina로 이에 따라 고전 액션을 남겨말소 » 설명했다.nt contr파인만이 1942년 ^[8]박사학위 논문에서 더욱 정교하게 만든 관찰인 Ibention. (더 자세한 내용은 양자탈결성 참조)

기대치의 시간 진화

고전과 양자역학을 비교하는 한 가지 간단한 방법은 예상 위치와 예상 운동량의 시간-진화를 고려하는 것입니다. 그러면 고전역학의 통상적인 위치와 운동량의 시간-진화와 비교될 수 있습니다.양자 기대치는 에렌페스트 정리를 만족시킨다.1차원 양자 입자가 $전위$ V $({displaystyle$ V $V$ 내에서 움직이면 에렌페스트 정리는^[9] 다음과 같다.

({displaystyle mbrac {d}{dt}}\rangle x\rangle;\rangle p\rangle =-\\right\rangle V'(X)\rangle.})

첫 번째 방정식은 고전 역학과 일치하지만 두 번째 방정식은 그렇지 않다: 쌍 $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$ ( $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$ $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$ 、 $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$ P $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$ ) $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$ { $displaystyle$ ( \ $langle$ X \ $rangle$ , \ $langle$ P \ $rangle$ ) $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$ }이 $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$ 뉴턴의 제2법칙을 만족한다면 두 번째 방정식의 오른쪽은 다음과 같다.

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)

d t

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)

-

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)

X ⟩

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)

）

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)

{

displaystyle

{

frac

{

d

} {

dt

} \

displaystyle

p \

rangle

= -

V

' \

left

( \

langle

X \

right

\

rangle

\

right )

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)

하지만 대부분의 경우,

\left\langle V'(X)\right\rangle \neq V'(\left\langle X\right\rangle )

\left\langle V'(X)\right\rangle \neq V'(\left\langle X\right\rangle )

\left\langle V'(X)\right\rangle \neq V'(\left\langle X\right\rangle )

\left\langle V'(X)\right\rangle \neq V'(\left\langle X\right\rangle )

\left\langle V'(X)\right\rangle \neq V'(\left\langle X\right\rangle )

X

）

。{ displaystyle

\

left

\ langle

V

' (

X

) \

right

\

rangle

\

neq

V ' （

left \ langle

X \ right \ rangle

\left\langle V'(X)\right\rangle \neq V'(\left\langle X\right\rangle )

）

\left\langle V'(X)\right\rangle \neq V'(\left\langle X\right\rangle )

。

예를 들어 $전위$ V $(\displaystyle$ V $)$ 가 $V$ 입방체일 경우 $(\$ V $')$ 는 $V'$ 2차입니다 $이$ 경우 $\langle X^{2}\rangle$ 와 $\langle X\rangle ^{2}$ 의 $\langle X\rangle ^{2}$ 차이 $(\displaystyle$ \ $langle$ X $^{2}\$ $rangle$ $(\Delta X)^{2}$ 가 $\langle X^{2}\rangle$ $다릅니다$ . $e(\Delta$ X $)^{2$

고전적인 운동 방정식이 선형인 경우, 즉 V $(\displaystyle$ V $)$ 가 $V$ 2차이고 V $(\$ V $')$ 가 $V'$ 선형인 $경우$ 예외가 발생합니다.이 특수한 경우 V $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ ( $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ X $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ ) $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ { $displaystyle$ V $left$ ( \ $left$ \ $langle$ X \ $right$ \ $rangle$ \ $right$ ) $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ $\left\langle V'(X)\right\rangle$ $\left\langle V'(X)\right\rangle$ V $\left\langle V'(X)\right\rangle$ ( $\left\langle V'(X)\right\rangle$ ) ${\$ \ $displaystyle \ langle$ V ' ( $X$ ) \ $right$ \ $rangle }$ agree $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ agree $\left\langle V'(X)\right\rangle$ agree 。특히 자유 입자 또는 양자 조화 진동자의 경우 예상 위치와 예상 운동량은 정확히 뉴턴 방정식의 해를 따릅니다.

일반 시스템의 경우 예상되는 위치와 모멘텀이 거의 기존의 궤적을 따르는 것이 최선의 방법입니다.웨이브 함수가 $x_{0}$ x $(\$ 을 중심으로 고도로 집중되어 있는 $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ V $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ ( $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ X $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ ) $\$ ( \ $displaystyle$ $\left\langle V'(X)\right\rangle$ X \ $right$ \ $rangle$ $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ \ right ) $\left\langle V'(X)\right\rangle$ $\left\langle V'(X)\right\rangle$ $\left\langle V'(X)\right\rangle$ ( $\left\langle V'(X)\right\rangle$ $X$ ) ${\$ \ $displaystyle V$ ' ( \ $langle$ \ langle \ right )가 됩니다 $.$ $V'(x_{0})$ $V'(x_{0})$ 0 ) $V'(x_{0})$ { $displaystyle$ V $'(x_{0$ 이 경우 예상되는 위치와 예상 운동량은 적어도 파동 함수가 고도로 ^[10]국소화된 상태로 유지되는 한 기존 궤적에 매우 가깝게 유지됩니다.

초기 상태가 매우 국소화되면 모멘텀으로 매우 확산되기 때문에 파동 함수가 빠르게 확산되어 고전 궤적과의 연결이 끊어질 것으로 예상됩니다.그러나 플랑크의 상수가 작을 경우 위치와 운동량 모두 잘 국소화된 상태를 가질 수 있다.운동량의 작은 불확실성은 입자가 오랜 시간 동안 제 위치에 잘 유지되도록 하기 때문에 예상 위치와 운동량이 오랜 시간 동안 계속해서 고전적인 궤적을 면밀히 추적합니다.

상대성 이론 및 기타 변형

물리학의 기타 익숙한 변형에는 다음이 포함됩니다.

변형 매개 $변수$ v $/ c$ 와 함께 고전 뉴턴의 상대론적 역학으로의 변형; 고전적 한계는 작은 속도를 수반하므로 $v / c$ → $0$ , 그리고 시스템은 뉴턴 역학을 따르는 것으로 보인다.
마찬가지로, 변형 파라미터 슈바르츠실트 반지름/특징-차원과 함께 뉴턴 중력의 일반 상대성 이론으로의 변형을 위해, 우리는 물체의 질량에 플랑크 길이의 제곱을 곱한 값이 그것의 크기와 프로의 크기보다 훨씬 작을 때, 다시 한번 물체가 고전 역학(평탄한 공간)에 따르는 것으로 보인다는 것을 발견한다.Blem 주소 지정.뉴턴 한계를 참조하십시오.
파형광학도 변형 $파라미터 δ$ /a에 대한 광선광학의 변형으로 간주할 수 있다.
마찬가지로 열역학은 변형 매개 $변수$ 1/ $N$ 을 사용하여 통계 역학으로 변형됩니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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^
반대로, 1932년 쿠프만과 폰 노이만이 제시한 덜 알려진 접근법에서, 고전 역학의 역학은 양자 역학을 위해 전통적으로 사용되는 형식주의인 힐베르트 공간의 연산 형식주의의 관점에서 공식화되었습니다.
- Koopman, B. O.; von Neumann, J. (1932). "Dynamical Systems of Continuous Spectra". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 18 (3): 255–263. Bibcode:1932PNAS...18..255K. doi:10.1073/pnas.18.3.255. PMC 1076203. PMID 16587673.
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재생된 위치
^ 홀 2013 섹션 3.7.5
^ 홀 2013 페이지 78

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[5] Bracken, A.; Wood, J. (2006). "Semiquantum versus semiclassical mechanics for simple nonlinear systems". Physical Review A. 73 (1): 012104. arXiv:quant-ph/0511227. Bibcode:2006PhRvA..73a2104B. doi:10.1103/PhysRevA.73.012104. S2CID 14444752.

[6] 반대로, 1932년 쿠프만과 폰 노이만이 제시한 덜 알려진 접근법에서, 고전 역학의 역학은 양자 역학을 위해 전통적으로 사용되는 형식주의인 힐베르트 공간의 연산 형식주의의 관점에서 공식화되었습니다.
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[7] Koopman, B. O.; von Neumann, J. (1932). "Dynamical Systems of Continuous Spectra". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 18 (3): 255–263. Bibcode:1932PNAS...18..255K. doi:10.1073/pnas.18.3.255. PMC 1076203. PMID 16587673.

[8] Mauro, D. (2003). "Topics in Koopman-von Neumann Theory". arXiv:quant-ph/0301172.

[9] Bracken, A. J. (2003). "Quantum mechanics as an approximation to classical mechanics in Hilbert space". Journal of Physics A. 36 (23): L329–L335. arXiv:quant-ph/0210164. doi:10.1088/0305-4470/36/23/101. S2CID 15505801.

[7] Dirac, P.A.M. (1933). "The Lagrangian in quantum mechanics" (PDF). Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion. 3: 64–72.

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