아인슈타인 반지름

아인슈타인 반지름은 아인슈타인 링의 반지름이며, 중력렌즈에서 이미지 사이의 일반적인 거리가 아인슈타인 반지름의 순서이기 때문에 일반적으로 중력렌즈화의 특성각이다.^[1]

파생

아인슈타인 반경의 다음 파생에서 우리는 렌즈잉 은하 L의 모든 질량 M이 은하 중심에 집중되어 있다고 가정할 것이다.

점 질량의 경우 편향은 계산할 수 있으며 일반 상대성 시험의 고전적 시험 중 하나이다. 작은 각도 α의₁ 경우 점 질량 M에 의한 총 편향은 다음과 같이 주어진다(슈바르츠실트 메트릭 참조).

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {4G}{c^{2}}:{\frac {M}{b_{1}:{1}:{\frac {m}}}:{1}:{1}:{1}}}}$

어디에

b는₁ 충격 매개변수(빛 빔이 질량 중심에 가장 가깝게 접근하는 거리)

G는 중력 상수,

c는 빛의 속도다.

작은 각도와 라디안으로 표현되는 각도에 대해 거리 D에서_L 렌즈 L에 대한 각도 θ에서₁ 가장 가까운 접근 b의₁ 지점이 b₁ = θ₁ D로_L 주어진다는 점에 주목함으로써 휨 각도 α를₁ 다음과 같이 다시 표현할 수 있다.

${\displaystyle \alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{\theta _{1}}}{\frac {1}{D_{\rm {L}}}}}$ ..... (Eqn. 1)

만약 우리가 각도로 θS로 렌즈에 관한 원천의 이미지의 관찰된 각도 보면 열 렌즈(소스 비행기에 거리를 세고)의 기하학에서 멀리 떨어진 DS에서 수직 거리는 각도로 지방 θ1을 볼 수 있는 사람들은 렌즈(일반적으로 식별할 수 없다)없이 θ1은 소스를 볼 것이다.는 두 수직 거리 distances_S D와_S α₁ D의_LS 합계와 동일하다. 이것은 렌즈 방정식을 제공한다.

$\displaystyle \theta _{1}\;D_{\rm{S}=\theta _{\rm {S}\;D_{\rm{S}+\알파 _{1}\;D_{\rM {LS}$

다시 배열해서 줄 수 있는

${\displaystyle \alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {D_{\rm {S}}}{D_{\rm {LS}}}}(\theta _{1}-\theta _{\rm {S}})}$ ..... (Eqn. 2)

(eq. 1)을 (eq. 2)와 같게 설정하고 재배열함으로써 우리는

${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{1}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}}$

렌즈 바로 뒤에 있는 선원의 경우 point_S = 0, 점 질량에 대한 렌즈 방정식은 아인슈타인 각이라고 하는 θ에₁ 대한 특성 값을 부여하며, θ을_E 가리킨다. θ이_E 라디안으로 표현되고, 렌즈 공급원이 충분히 멀리 있을 때, R로_E 표시된 아인슈타인 반경은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ D ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ ${\$

θ_S = 0을 넣고 θ에₁ 대한 해결이 주어진다.

${\displaystyle \theta _{E}=\left({\frac {4)GM}{c^{2}}:}\;{\frac {D_{\rm{LS}}{D_{\rm}{L}D_{\rm{S}}\오른쪽)^{1/2}}$

점 질량에 대한 아인슈타인 각도는 치수 없는 렌즈 변수를 만들기 위해 편리한 선형 척도를 제공한다. 아인슈타인 각도로 볼 때, 점 질량에 대한 렌즈 방정식은

${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{\rm {S}+{\frac {\e}^{2}}:{\theta _{1}:{1}}}$

주어진 상수를 대체하는 것

${\displaystyle \theta _{E}=\left({\frac {M}{10^{11.09}M_{\bigodot }}}\right)^{1/2}\left({\frac {D_{\rm {L}}D_{\rm {S}}/D_{\rm {LS}}}{\rm {Gpc}}}\right)^{-1/2}{\rm {arcsec}}}$

후자의 형태에서 질량은 태양 질량으로 표현된다.M_☉ 그리고 Gpc(Gigaparsec)에서의 거리. 아인슈타인의 반경은 전형적으로 출처와 관찰자 사이의 중간에 있는 렌즈에서 가장 두드러진다.

1 Gigaparsec(1 Gpc)의 거리에서 질량_c M × 10¹⁵×10을 갖는 조밀한 군집의 경우 이 반지름은 100 arcsec(마크로렌싱이라고 함)만큼 클 수 있다. 은하 거리(예: D ~ 3 kpc)에서 찾는 중력 마이크로렌징 이벤트(순서 1의 질량)의 경우, 아인슈타인 반경은 밀리-아크초 순서가 될 것이다. 따라서 마이크로렌징 이벤트의 별도 영상은 현재 기법으로 관측할 수 없다.

마찬가지로 렌즈 밑에서 관찰자에게 도달하는 낮은 광선을 위해 우리는

$\displaystyle \theta _{2}\;D_{\rm {{S}=-\;\theta _{\rm {S}\;;D_{\rm{S}+\알파 _{2}\;D_{\rM {LS}$

그리고

${\displaystyle \theta _{2}+\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{2}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}}$

따라서

${\displaystyle \theta _{2}=-\;\theta _{\rm {S}+{\fract {\e}^{2}}:{\theta _{2}}:$

위의 인수는 벤딩 각도 α에 대해 다른 식을 사용하여 포인트 질량이 아닌 분산 질량을 갖는 렌즈에 대해 확장될 수 있다. α는_IS 영상의 위치 ((()를 계산할 수 있다. 작은 편향의 경우 이 매핑은 일대일이며, 반전 가능한 관측된 위치의 왜곡으로 구성된다. 이것을 약한 렌즈라고 한다. 큰 편향의 경우 여러 개의 영상과 반전 불가능한 매핑을 가질 수 있다. 이를 강한 렌즈라고 한다. 분산 질량이 아인슈타인 링을 생성하려면 축 대칭이어야 한다는 점에 유의하십시오.

참고 항목

• 중력 렌즈
• 아인슈타인 반지

참조

참고 문헌 목록

• Chwolson, O (1924). "Über eine mögliche Form fiktiver Doppelsterne". Astronomische Nachrichten. 221 (20): 329–330. Bibcode:1924AN....221..329C. doi:10.1002/asna.19242212003. (반지를 처음 제안하는 종이)
• Einstein, Albert (1936). "Lens-like Action of a Star by the Deviation of Light in the Gravitational Field" (PDF). Science. 84 (2188): 506–507. Bibcode:1936Sci....84..506E. doi:10.1126/science.84.2188.506. JSTOR 1663250. PMID 17769014. S2CID 38450435. Archived from the original (PDF) on 2018-04-29. (유명한 아인슈타인 링 페이퍼)
• Renn, Jurgen; Tilman Sauer & John Stachel (1997). "The Origin of Gravitational Lensing: A Postscript to Einstein's 1936 Science paper". Science. 275 (5297): 184–186. Bibcode:1997Sci...275..184R. doi:10.1126/science.275.5297.184. PMID 8985006. S2CID 43449111.