삼각함수

삼각법
개요 역사 사용. 함수(역) 일반화 삼각법
언급
아이덴티티 정확한 상수 표 단위원
법칙과 정리
사인스 코사인스 접선 코탄젠츠 피타고라스 정리
미적분학.
삼각 치환 적분(역함수) 파생상품
v t

수학에서 삼각함수(^[1][2]원함수, 각도함수 또는 각도함수라고도 함)는 직각 삼각형의 각도와 두 변의 길이의 비율을 관계시키는 실제 함수입니다.그것들은 항해, 고체 역학, 천체 역학, 측지학, 그리고 많은 다른 것들과 같이 기하학과 관련된 모든 과학에 널리 사용됩니다.이들은 가장 단순한 주기 함수 중 하나이며, 이는 푸리에 분석을 통한 주기 현상 연구에도 널리 사용됩니다.

현대 수학에서 가장 널리 사용되는 삼각함수는 사인, 코사인, 접선입니다.그들의 역수는 각각 덜 사용되는 보조수, 보조수, 보조수입니다.이 6개의 삼각함수는 각각 대응하는 역함수와 쌍곡함수 중에서 아날로그를 갖습니다.

직각 삼각형과 관련된 삼각함수의 가장 오래된 정의는 예각에 대해서만 정의합니다.사인 함수와 코사인 함수를 정의역이 전체 실선인 함수로 확장하기 위해 표준 단위 원(즉, 반지름이 1인 원)을 사용하는 기하학적 정의가 자주 사용됩니다. 다른 함수의 정의역은 일부 고립된 점이 제거된 실선입니다.현대적인 정의는 삼각함수를 무한급수 또는 미분방정식의 해로 표현합니다.이를 통해 사인 함수와 코사인 함수의 도메인을 전체 복소 평면으로 확장하고, 다른 삼각 함수의 도메인을 일부 고립된 점이 제거된 복소 평면으로 확장할 수 있습니다.

표기법

종래, 각 삼각 함수의 이름의 축약식이 공식에서 그 기호로 사용되고 있습니다.오늘날 이러한 축약어의 가장 일반적인 버전은 사인을 뜻하는 "sin", 코사인을 뜻하는 "cos", 접선을 뜻하는 "tan" 또는 "tg", 초선을 뜻하는 "sec", 초선을 뜻하는 "csc" 또는 "cosec", 그리고 코선을 뜻하는 "cot" 또는 "ctg"입니다.역사적으로, 이 약어들은 처음에는 임의의 원의 호와 관련된 특정 선분이나 그들의 길이를 나타내기 위해 산문 문장에서 사용되었고, 나중에는 길이의 비율을 나타내기 위해 사용되었지만, 17-18세기에 개발된 함수 개념으로서, 그것들은 실수 값 각도 측정의 함수로 간주되기 시작했습니다.sin(x)와 같이 함수 표기를 사용하여 작성됩니다.괄호는 종종 잡동사니를 줄이기 위해 생략되지만 필요한 경우도 있습니다. 예를 들어 ⁡${\displaystyle x}$ + ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle$ \$sin x+$$y$}의 표현식은 일반적으로 ${\displaystyle \sin }$ ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle +}$ $,$ {\$displaystyle$ \$sin(x$) + y$,}$의 의미로 해석되므로 ${\displaystyle \mathrm{괄호}}$는 sin${\displaystyle }$⁡ (${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +}$ y${\displaystyle )}$를 표현하는 데 필요합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \sin(x+y$).$}$

함수의 기호 뒤에 위첨자로 나타나는 양의 정수는 함수 구성이 아니라 지수화를 의미합니다.예를 들어 ${\displaystyle {\sin }^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ⁡ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sin ^{2}x}$ 및 ${\displaystyle {\sin }^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ⁡${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$는 ${\displaystyle \sin }$⁡${\displaystyle (x),}$ ${\displaystyle \sin(x)\cdot \sin(x),$ ${\displaystyle \sin }$ ⁡${\displaystyle (x}$)가${\displaystyle }$아닌 ${\displaystyle \sin }$ ⁡(sin x$)$를 나타냅니다.${\displaystyle }${\$displaystyle \sin(\sin x).$$}$이것은 $f$ ${\displaystyle 2^{}}$( ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$$=$${\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$ $∘$ f${\displaystyle }$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) $=$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$) .${\displaystyle f^{2}$ (x) $=$ ($f\circ f)$ (x) $=$ f$(x$) ($f(x$)) . $}$

그러나 지수 -${\displaystyle 1}$ ${\$은 역수가 아닌 역함수를 나타내는 데 일반적으로 사용됩니다$$.예를 들어 ${\displaystyle {\sin }^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ⁡ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sin ^{-1}x}$ 및 ${\displaystyle {\sin }^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$ ⁡ ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$은 ⁡ ${\displaystyle x}$에서 ${\displaystyle 호}$를 번갈아 쓰는 역삼각 함수를 나타냅니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \arcsin x\$colon } 방정식 θ = ${\displaystyle \sin }$ -${\displaystyle 1^{}}$ ⁡ x ${\displaystyle \theta$ =\$sin ^{-1}x}$는 ${\displaystyle \sin }$ = ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \sin \theta$ =$x},$ θ ⋅ ${\displaystyle \sin }$ ⁡ ${\displaystyle x}$ =이 아닙니다.${\displaystyle \theta \cdot \sin$$}$이 경우$$ 위첨자는 구성되거나 반복되는 함수를 나타내는 것으로 간주될 수 있지만${\displaystyle -1}$ ${\$ 이외의 부정적인 위첨자는 일반적으로 사용되지 않습니다$$.

직각삼각형 정의

예각 θ이 주어지면 θ각을 가지는 직각 삼각형은 서로 비슷합니다.이는 임의의 두 변 길이의 비율이 θ에만 의존한다는 것을 의미합니다.따라서 이 6개의 비율은 삼각함수인 θ의 6개의 함수를 정의합니다.다음 정의에서 빗변은 직각과 반대인 변의 길이이고, 반대인 변은 주어진 각도 θ과 반대인 변을 나타내며, 인접한 변은 각도 θ과 직각 사이의 변을 나타냅니다.

사인의 ${\displaystyle \sin \theta = {\frac {\mathrm {opposite}}{\mathrm {hypotenuse}}}}$	공변의 ${\displaystyle \csc \theta = {\frac {\mathrm {hypotenuse}}{\mathrm {opposite}}}}$
코사인 ${\displaystyle \cos \theta = {\frac {\mathrm {adjacent}}{\mathrm {hypotenuse}}}}$	부항의 ${\displaystyle \sec \theta = {\frac {\mathrm {hypotenuse}}{\mathrm {adjacent}}}$
접선의 ${\displaystyle \tan \theta = {\frac {\mathrm {opposite}}{\mathrm {adjacent}}}$	공태음의 ${\displaystyle \cot \theta = {\frac {\mathrm {adjacent}}{\mathrm {opposite}}}$

이러한 정의를 기억하기 위해 다양한 기억법을 사용할 수 있습니다.

직각 삼각형에서 두 예각의 합은 직각, 즉 90° 또는 π/2 라디안입니다.따라서 ${\displaystyle \sin }$⁡${\displaystyle {(}^{}}$θ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \sin(\theta )}$과 ${\displaystyle \cos }$ ⁡${\displaystyle (}$∘ -${\displaystyle {}^{}}$θ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \cos(90^{\circ }-\theta )}$는 동일한 비율을 나타내므로 같습니다.다른 삼각함수 사이의 이 동일성과 유사한 관계는 다음 표에 요약되어 있습니다.

삼각함수간의^[5] 관계 요약

기능.	묘사	관계
		라디안 사용	학위 사용하기
사인의	반대로/저급한 용법	${\displaystyle \sin \theta =\cos \left ({\frac {\pi}{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc \theta}}$	${\displaystyle \sin x=\cos \left(90^{\circ}-x\right)={\frac {1}{\csc x}}$
코사인	인접한/저급한 용법	${\displaystyle \cos \theta =\sin \left ({\frac {\pi}{2}-\theta \right)={\frac {1}{\sec \theta}}\,}$	${\displaystyle \cos x=\sin \left(90^{\circ}-x\right)={\frac {1}{\sec x}}\,}$
접선의	반대로/인접한	${\display style \tan \theta = {\frac {\sin \theta}{\cos \theta}}=\cot \left ({\frac {\pi}{2}-\theta \right)={\frac {1}{\cot \theta}}}$	${\display style \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}=\cot \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cot x}}$
공태음의	인접한/반대로	${\displaystyle \cot \theta = {\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan \left ({\frac {\pi }{2}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}$	${\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}=\tan \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\tan x}}$
부항의	저급한 용법/인접한	${\displaystyle \sec \theta =\csc \left ({\frac {\pi}{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cos \theta }}$	${\displaystyle \sec x=\csc \left(90^{\circ}-x\right)={\frac {1}{\cos x}}}$
공변의	저급한 용법/반대로	${\displaystyle \csc \theta =\sec \left ({\frac {\pi}{2}-\theta \right)={\frac {1}{\sin \theta}}}$	${\displaystyle \csc x=\sec \left(90^{\circ}-x\right)={\frac {1}{\sin x}}}$

라디안 대 도

기하학적 응용에서 삼각함수의 인수는 일반적으로 각도의 측도입니다.이를 위해서는 어느 각도 단위라도 편리합니다.일반적인 단위는 도(degree)인데, 직각은 90°이고 완전한 회전은 360°입니다(특히 초등 수학에서).

그러나 미적분학과 수학적 분석에서 삼각함수는 일반적으로 각도보다는 실수나 복소수의 함수로 추상적으로 여겨집니다.실제로 함수 sin과 cos는 기하학적 개념을 참조하지 않고 지수 함수의 관점에서, 멱급수를 통해,^[6] 또는 특정 초기 값이^[7] 주어진 미분 방정식의 해(아래 참조)로 모든 복소수에 대해 정의될 수 있습니다.나머지 네 개의 삼각함수(tan, cot, sec, csc)는 분모에서 0이 발생하는 경우를 제외하고 sin과 cos의 몫과 역수로 정의될 수 있습니다.실제 주장의 경우, 주장을 라디안으로 주어진 각도로 간주하면 이러한 정의가 기본적인 기하학적 정의와 일치함을 증명할 수 있습니다.^[6]또한 이러한 정의는 도함수에 대한 단순한 표현과 삼각함수에 대한 부정적분을 초래합니다.^[8]따라서 기본 기하학 이상의 설정에서 라디안은 각도 측정을 설명하는 수학적으로 자연스러운 단위로 간주됩니다.

라디안(radians)을 사용할 때 각도는 단위 원의 원호 길이를 나타내는 데, 단위 원에서 길이 1의 원호를 나타내는 각도는 1 rad(≈ 57.3°), 완전 회전(360°)입니다.는 2 π(≈ 6.28) rad의 각도입니다.실수 x의 경우 x, cos x 등의 표기는 x rad의 각도에서 평가된 삼각 함수의 값을 나타냅니다.도 단위를 의도하는 경우에는 도 기호를 명시적으로 표시해야 합니다(예: sin x°, cos x° 등).이 표준 표기법을 사용하면 삼각함수에 대한 인수 x는 x = (180x/π)를 만족하므로 예를 들어 x = π를 취할 때 sin π = sin 180°를 만족합니다.이러한 방식으로, 도 기호는 1° = π/180 ≈ 0.0175와 같은 수학 상수로 간주될 수 있습니다.

단위원 정의

6개의 삼각 함수는 이 좌표계의 원점 O에 중심을 둔 반지름 1의 원인 단위 원과 관련된 유클리드 평면 상의 점들의 좌표 값으로 정의될 수 있습니다.직각 삼각형 정의는 0에서 π $\frac{2}{}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}$ 라디안(90°) 사이의 각도에 대한 삼각 함수의 정의를 허용하지만, 단위 원 정의는 삼각 함수의 영역을 모든 양수와 음수로 확장할 수 있습니다.

$L$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}$을(를) x축의 양의 반을 θ 각도로 회전하여 얻은 광선이라고 합니다(θ> ${\displaystyle \theta >0,}$을(를), θ< ${\displaystyle \theta <0}$을) 시계 방향으로 회전).이 광선은 점 $A$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {A,}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {)}_{}}$에서 단위 원과 교차합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathrm {A}$ = ($x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A}}).$$$ 필요한 경우 선으로 확장된 광선 $L{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}$은(는) 점 $B$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (1,}$ y ${\displaystyle {)}_{}}$에서 식 ${\displaystyle \mathrm{x}}$ = 1 {\$displaystyl$e$$x$=1}$의 선과 교차합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathrm {$B$}$ = ($1,y_{\mathrm {B}}),$ $점$ $C$ $=$$$${\displaystyle (\mathrm{x}}$ ${\displaystyle {C,}_{}}$1 )에서 식 y = 1 {\displaystyle y$=1}$의 선과 교차합니다$.$ ${\displaystyle \mathrm {$C$}$ = ($x_{\mathrm {C}},$1).$}$점 A의 단위 원에 대한 접선은 $L{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}$과(와) 수직이며 점 $D$ $=$ ${\displaystyle (0,}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {)}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm {D}$ $=$ ($0,y_{\mathrm {D}})$ 및 $E$ $=$ ${\displaystyle (\mathrm{x}}$ ${\displaystyle {E,}_{}}$ 0 ${\displaystyle )}$에서 y 및 x $axes$과(와) 교차합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathrm {E}$ $=$ ($x_{\mathrm {E}}, 0}$$$ 이 점들의 좌표는 다음과 같은 방식으로 임의의 θ의 실제 값에 대한 모든 삼각 함수의 값을 제공합니다.

삼각함수 cos와 sin은 각각 점 A의 x- 및 y-좌표 값으로 정의됩니다.그것은,

${\displaystyle \mathrm{cos\; }}$ $θ =$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $displaystyle \cos \th$ = $x_{\mathrm {$$uad$ } 및 ${\displaystyle \mathrm{sin\; }}$ θ = ${\displaystyle y{A}_{}}$. ${\displaystyle \sin \th$${\displaystyle e}$$ta$ = $y_{\mathrm {A}}$

$0$ ${\displaystyle \le }$ θ ≤ π${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$ 범위에서$$이 정의는 직각 삼각형을 사용하여 단위 반경 OA를 빗변으로 함으로써 직각 삼각형 정의와 일치합니다.그리고 식 $x$ ${\displaystyle 2^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ $2$= 1 ${\displaystyle$ x$^{2}$ + y$^{2$} = $1}$은 단위 원의 모든 점 $P$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y)}$ ${\displaystyle$ \$mathrm {P}$ = ($x,y)}$에 대해 성립하므로, 코사인과 사인의 이 정의는 피타고라스 항등식을 만족시키기도 합니다.

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta = 1.}$

다른 삼각 함수는 다음과 같이 단위 원을 따라 찾을 수 있습니다.

${\displaystyle \tan }$⁡$θ$ $=$ y ${\displaystyle B_{}}$ $displaystyle \tan \th$ = $y_{\mathrm {$$uad$ } 및 ${\displaystyle \mathrm{간이}}$${\displaystyle \mathrm{침대}}$⁡${\displaystyle }$θ = x ${\displaystyle {C,}_{}}$ ${\displaystyle \cot \th$${\displaystyle e}$$ta$= $x_{\mathrm {C}},}$

${\displaystyle \csc }$⁡$θ$ $=$ y ${\displaystyle D_{}}$ $displaystyle \csc \the$\=$y_{\mathrm {$$uad$ } ${\displaystyle \mathrm{및\; 초}}$⁡${\displaystyle }$θ = x ${\displaystyle E_{}}$. ${\displaystyle$ \$sec$ \$th$${\displaystyle e}$$ta$=$x_{\mathrm$ {E$}}}$

피타고라스 항등식과 기하학적 증명 방법을 적용함으로써, 이러한 정의는 사인과 코사인의 관점에서 접선, 공접선, 시언트 및 시언트의 정의, 즉

${\displaystyle \tan \theta = {\frac {\sin \theta}{\cos \theta}},\cot \theta = {\frac {\cos \theta}},\sec \theta = {\frac {1}{\cos \theta}},\csc \theta = {\frac {1}{\sin \theta}} quad입니다.$

$\pm$ ${\displaystyle 2}$ π ${\displaystyle \pm 2\pi }$인 각도의 회전은 도형의 위치나 크기를 변경하지 않으므로, 점 A, B, C, D, E는 2 π의 정수 배인 두 각도에 대해 동일합니다$.$ 따라서 삼각함수는 $주기$가 2 π$${\$displaystyle$2\$pi$}인 주기함수입니다.$$즉,평등.

${\displaystyle \sin \theta }$ $=$ ${\displaystyle s\mathrm{in}}$${\displaystyle }$${\displaystyle }$(${\displaystyle \theta }$+${\displaystyle \mathrm{2k}}$ ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle )}$ $displaystyle \sin \th$ =\$sin \left(\theta$+ $2k\pi \rig$uad } 및 ${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathrm{os}}$ = ${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathrm{os}}$${\displaystyle }$⁡ ${\displaystyle (\theta }$+${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{2k}}$ $π$ ${\displaystyle \cos \th$${\displaystyle e}$$ta$=\$cos \left(\theta$+ $2k\pi \right)}$

임의의 각도 θ 및 임의의 정수 k에 대해 유지합니다.네 개의 다른 삼각 함수에 대해서도 마찬가지입니다.4사분면에서 사인, 코사인, 코사인, 코사인, 시언트 함수의 부호와 단조성을 관찰하면, $2$ π$${\$displaystyle$ 2$\pi}$가 주기적인 가장 작은 값임을 알 수 있습니다(즉, $2$ π ${\displaystyle 2\pi}$가 이 함수들의 기본 주기입니다).그러나, 각도 π$${\$displaystyle \pi}$만큼 회전한$$후, 점 B와 C는 이미 원래 위치로 복귀하므로, 접선 함수와 코탄젠트 함수는 기본 주기가 π ${\displaystyle \pi}$인 것을 알 수 있습니다$.$ 즉, 균등함

${\displaystyle \tan \theta }$ $=$ ${\displaystyle t\mathrm{an}}$${\displaystyle }$${\displaystyle }$(${\displaystyle \theta +}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle )}$ ${\display$ style $\tan \th$ =\$tan (\theta$+ $k\p$uad } and ${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathrm{ot}}$ = ${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathrm{ot}}$${\displaystyle }$⁡ ${\displaystyle (\theta }$${\displaystyle +}$ ${\displaystyle k}$ π )${\display$ style $\cot$\cot $\th$${\displaystyle e}$$ta$ =\$cot (\theta$+ $k\pi )}$

임의의 각도 θ 및 임의의 정수 k에 대해 유지합니다.

대수적 값

가장 중요한 각도에 대한 대수적 표현은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle s\mathrm{in}}$ ${\displaystyle {}^{}}$∘ ${\displaystyle =02}$ = 0 ${\displaystyle \s$ 0=\$sin$ 0$^{\ci$ ={\$frac {\sqrt {0}}$}}=$0}($각도 0)

${\displaystyle \sin {\frac {\pi}{6}}=\sin 30^{\circ}={\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi}{4}}=\sin 45^{\circ}={\frac {\sqrt {2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi}{3}}=\sin 60^{\circ}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle s\mathrm{in}}$ ⁡${\displaystyle 90^{}}$∘ $=$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sin {\frac {\pi}$}}=\$sin 90^{\c$}={\$frac {\sqrt {4}}$}}=$1}($직각)

분자를 분모가 2인 연속된 음이 아닌 정수의 제곱근으로 쓰면 값을 쉽게 기억할 수 있습니다.^[11]

이러한 단순한 표현은 일반적으로 직각의 유리수인 다른 각도에는 존재하지 않습니다.

• 도 단위로 측정한 각도가 3의 배수인 경우 사인과 코사인의 정확한 삼각법 값은 제곱근으로 나타낼 수 있습니다.따라서 사인과 코사인의 이러한 값은 자와 나침반으로 구성할 수 있습니다.
• 정수 도수의 각도에서 사인과 코사인은 제곱근과 실수가 아닌 복소수의 세제곱근으로 표현될 수 있습니다.갈루아 이론은 각도가 3°의 배수가 아닌 경우, 비실세 입방체 근은 피할 수 없다는 증거를 허용합니다.
• 도로 표현되는 각이 유리수인 경우 사인과 코사인은 대수적인 수이며, n번째 근으로 표현될 수 있습니다.이것은 순환 다항식의 갈루아 군이 순환적이라는 사실에서 비롯됩니다.
• 도로 표현된 각도가 유리수가 아닌 경우, 각도 또는 사인과 코사인 모두 초월수입니다.이것은 1966년에 증명된 베이커 정리의 결과입니다.

단순대수값

다음 표에는 0도에서 90도 사이의 15도 배수의 사인, 코사인 및 접선이 나와 있습니다.

각도, θ, 인		${\displaystyle \sin(\theta )}$	${\displaystyle \cos(\theta )}$	${\displaystyle \tan(\theta )}$
라디안	도
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\circ}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {\pi}{12}}$	${\displaystyle 15^{\circ}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}{4}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}{4}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}$
${\displaystyle {\frac {\pi}{6}}$	${\displaystyle 30^{\circ}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}$
${\displaystyle {\frac {\pi}{4}}$	${\displaystyle 45^{\circ}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {\pi}{3}}$	${\displaystyle 60^{\circ}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}$
${\displaystyle {\frac {5\pi}{12}}$	${\displaystyle 75^{\circ}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}{4}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}{4}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}$
${\displaystyle {\frac {\pi}{2}}$	${\displaystyle 90^{\circ}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	미정의

미적분학에서

수학의 현대적 경향은 미적분학에서 기하학을 만드는 것이지 역으로 만드는 것이 아닙니다.^{[citation needed]}따라서 매우 기초적인 수준을 제외하고 삼각함수는 미적분학의 방법을 사용하여 정의됩니다.

삼각함수는 정의된 모든 점에서 미분 가능하고 분석적입니다. 즉, 사인과 코사인의 경우 모든 곳에서, 접선의 경우 모든 정수 k에 대해 π/2 + k π을 제외한 모든 곳에서 미분 가능합니다.

삼각 함수는 주기 함수이며, 원시 주기는 사인과 코사인의 경우 π, 접선의 경우 π이며, 각 열린 구간(π/2 + k π, π/2 + (k + 1) π)에서 증가합니다.이 구간들의 각 끝점에서 접선 함수는 수직 점근선을 갖습니다.

미적분학에서는 거듭제곱급수나 미분방정식을 사용하여 삼각함수에 대해 두 가지 동등한 정의가 있습니다.이러한 정의는 동일하며, 이 중 하나에서 시작하여 다른 하나를 속성으로 쉽게 검색할 수 있습니다.그러나 미분 방정식을 통한 정의는 다소 자연스러운 것인데, 예를 들어 멱급수의 계수 선택이 상당히 자의적으로 보일 수 있고, 피타고라스 항등식은 미분 방정식에서 추론하기가 훨씬 쉽기 때문입니다.

미분방정식에 의한 정의

사인과 코사인은 초기값 문제에 대한 고유한 해결책으로 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x,\{\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x,\\sin(0)=0,\\cos(0)=1.}$

다시 구분하자면, $d$ $\frac{2^{}}{}$ $\frac{{}^{}}{}$ $\frac{{}^{}}{}$ $\frac{2^{}}{}$ $\sin$ ⁡ $x$ = d $\frac{d}{}$ d x $\cos$ ⁡ $x$ = - $\sin$ ⁡ ${\frac {d^{2}}{$dx$^{2}}\sin$ x = {\$frac {d}{$dx$}\cos$ x =-\$sin$ x$}$ 및 $\frac{d^{}}{}$ $\frac{2}{}$ $\frac{d}{}$ $x$ 2 $\cos$ ⁡ $x$ = - $cos$ ⁡$${\$frac {d^{2}}{$dx$^{2}}\cos$ x =- {\$frac {d}{$dx$}\sin$ x =-\$cos$ x$\},$따라서 사인과 코사인 둘 다 동일한 보통 미분 방정식의 해입니다.

${\displaystyle y"+y=0\",}$

사인은 y(0) = 0이고 y'(0) = 1인 유일한 해이고, 코사인은 y(0) = 1이고 y'(0) = 1인 유일한 해입니다.

${\displaystyle \mathrm{접선}}$ 탄 ⁡ ${\displaystyle x}$ = ${\displaystyle \sin }$ ⁡ x${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \cos }$ ⁡ x ${\displaystyle \tan$x =\$sin x/\cos x}$에 몫 규칙 적용$,$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x\..}$

따라서 접선함수는 보통 미분방정식을 만족합니다.

${\displaystyle y'=1+y^{2}\,}$

y(0) = 0인 유일한 솔루션입니다.

멱급수팽창

미분 방정식을 계수가 불확정된 멱급수에 적용하면 사인 함수와 코사인 함수의 테일러 급수의 계수에 대한 반복 관계를 추론할 수 있습니다.이러한 재발 관계는 해결하기 쉬우며, 시리즈 확장을^[12] 제공합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\[8pt]\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}}x^{2n}.\end{aligned}}$

이들 영상 시리즈의 수렴 반경은 무한합니다.따라서 사인과 코사인은 전체 복소평면에서 정의되고 동형인 복소값 함수인 전체 함수(정의상 "사인" 및 "코사인"이라고도 함)로 확장될 수 있습니다.

전체 함수의 분수로 정의하면, 다른 삼각 함수들은 극이라고 불리는 일부 고립된 점을 제외하고, 전체 복소 평면에서 동형인 함수인 메로모형 함수로 확장될 수 있습니다.여기서 극은 접선과 초승수의 경우 형식 $(\mathrm{2k}$+ $1)$ π $\frac{2}{}$ ${\textstyle (2k$+ $1){\frac {\pi }{2}},$ 또는 $공접선$과$$초승수의 $경우$ k π {\displaystyle k$\pi }$의 수이며, 여기서 k는 임의의 정수입니다.

반복 관계는 다른 삼각 함수의 테일러 급수의 계수에 대해서도 계산할 수 있습니다.이 열에는 수렴 반경이 유한합니다.그들의 계수는 조합 해석을 갖는데 유한 집합의 교대 순열을 열거합니다.^[13]

좀 더 정확하게 말하면, 정의하기

U_n, 위/아래 번호,

B_n, n번째 베르누이 번호, 그리고

E_n, n번째 오일러 수,

하나는 다음과 같은 시리즈 확장이 있습니다.^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {U_{2n+1}}{(2n+1)!}}}x^{2n+1}\[8mu]&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\[5mu]&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}x^{7}+\cdots,\qquad {\text{for}}x<\frac {\pi}}{2}.\end{aligned}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\[5mu]&=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}x^{3}+{\frac {31}{15120}x^{5}+\cdots,\qquad {\text{for}}0< x <\pi .\end{align}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {U_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\[5mu]&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}x^{6}+\cdots,\qquad {\text{for}}x<\frac {\pi}}{2}.\end{aligned}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}2^{n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\[5mu]&=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}x^{3}-{\frac {2}{945}x^{5}-\cdots,\qquad {\text{for}}0< x <\pi .\end{align}}$

지속적인 분율 확장

전체 복합 평면에서 다음과 같은 확장이 유효합니다.

${\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cdot {x^{2}}{2}}{{\cdot 3-x^{2}}{{4\cdot 5-x^{2}}}{{\cdot 5-x^{2}}{{6\cdot 7-x^{2}+}}}}}}}.$

${\displaystyle \cos x={\cfrac {1}{1+{\cdot {x^{2}}{{1\cdot 2-x^{2}}{{3\cdot 4-x^{2}}{{3\cdot 4-x^{2}}{{5\cdot 6-x^{2}+}}}}}}}.$

${\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}}{{7-\dots}}}}}}={\cfrac {1}{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{7}}-\dots}}}}}}}.$

마지막 증거는 π가 비이성적이라는 역사적으로 최초의 증거로 사용되었습니다.

부분분수팽창

코탄젠트 함수와 역수 함수의 극이 일치하도록 방금 번역된 역수 함수가 합산되는 부분 분율 확장으로 일련의 표현이 있습니다.^[16]

${\displaystyle \pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty}}\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}}$

이 정체는 헤르글로츠의 속임수로 증명할 수 있습니다.^[17](–n)번째와 n번째 항을 결합하면 절대 수렴 급수가 됩니다.

${\displaystyle \pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{x^{2}-n^{2}}}}$

마찬가지로, 할, 할, 할, 접선 함수에 대한 부분 분율 확장을 찾을 수 있습니다.

${\displaystyle \pi \csc x=\sum _{n=-\infty}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}{x+n}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty}}{\frac {(-1)^{n}}{x^{2}-n^{2}}}$

${\displaystyle \pi ^{2}\csc ^{2}\pi x=\sum _{n=-\infty}^{\infty}{\frac {1}{(x+n)^{2}},}$

${\displaystyle \pi \sec \pi x=\sum _{n=0}^{\infty}(-1)^{n}{\frac {(2n+1)}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}$

${\displaystyle \pi \pi \tan x=2x\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {1}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}}$

제품의 무한 확장

사인에 대한 다음의 무한 곱은 복소 분석에서 매우 중요합니다.

${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty}\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}\right),\quad z\in \mathbb {C}.}$

이 확장에 대한 증명은 사인을 참조하십시오.이로부터 다음과 같이 추론할 수 있습니다.

${\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty}}\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi^{2}}\right), \mathbb {C}\quad z\in \mathbb {C}.}$

지수함수와의 관계 (을러 공식)

오일러의 공식은 사인과 코사인을 지수 함수와 연관짓습니다.

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

이 공식은 일반적으로 x의 실수 값에 대해 고려되지만, 모든 복소수 값에 대해서는 참으로 유지됩니다.

${\displaystyle \mathrm{증명}}$: f ${\displaystyle 1_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$x )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \cos }$ ⁡ x${\displaystyle }$+ 를 ⁡ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f_{1}(x$) =\$cos x+i\sin x,}$ 로 ${\displaystyle \mathrm{하고}}$ $f$ ${\displaystyle 2_{}}$ (${\displaystyle {}_{}x}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle e^{}}$ x 라고 하자${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle f_{2}(x$) = e$^{ix}.$$}$하나는 j $=$ 1, 2에 대해 df${\displaystyle {}_{}j}$ (${\displaystyle }$x$$) {\$displaystyle df_{$j}(x$)/$$dx=$$if_{j}(x)}$인 경우 $df$ ${\displaystyle j_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$ $=$ 입니다.따라서 몫 규칙은 $d{\displaystyle }$/ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$/ f ${\displaystyle 2_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ d /$$dx$\,$ ($f_{1}(x))/f_{2}(x$))=$0}$을 의미합니다$.$ $따라서$ f${\displaystyle 1_{}}$ (${\displaystyle x}$) / ${\displaystyle f{2}_{}}$ ( ${\displaystyle x}$)$${\$displaystyle f_{$${\displaystyle 1}$$}(x)/f_{2}(x)}$는 상수 함수이며, f 1${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle 0_{}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$( ${\displaystyle 0}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle f_{1}(0$) = $f_{2}(0$) = 1.$}$이것은$$ 공식을 증명합니다.

한명은

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\sin x.\end{aligned}}$

이 선형 시스템을 사인과 코사인으로 풀면 지수 함수로 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}$

x가 실수일 때, 이것은 다음과 같이 다시 적을 수 있습니다.

${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \sin x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)}$

대부분의 삼각함수 항등식은 위의 공식을 이용하여 삼각함수를 복소 지수함수의 관점에서 표현한 다음 항등식 $e$ ${\displaystyle a^{}}$+ ${\displaystyle b^{}}$ = ${\displaystyle {}^{}}$ a ${\displaystyle b^{}}$ ${\displaystyle e^{a+b$}= $e^{a}e^{b}}$를 이용하여 결과를 단순화함으로써 증명할 수 있습니다.

함수방정식을 이용한 정의

또한 다양한 함수 방정식을 사용하여 삼각 함수를 정의할 수 있습니다.

예를 들어,^[18] 사인과 코사인은 차 공식을 만족하는 연속 함수의 유일한 쌍을 형성합니다.

${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cosy+\sin x\siny\,}$

가해진 조건과

${\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ for }}}\quad 0<x<1.}$

복소평면에서

복소수 $z$ = ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle$z = $x$+ $iy}$ 의 사인과 코사인은 다음과 같이 실수, 코사인 및 쌍곡 함수로 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\coshy+i\cos x\sinhy\[5pt]\cos z&=\cos x\coshy-i\sin x\sinhy\end{aligned}}$

도메인 컬러링을 활용하면 삼각 함수를 복소 값 함수로 그래프화할 수 있습니다.복잡한 함수에 고유한 다양한 특징을 그래프에서 볼 수 있습니다. 예를 들어, 사인 함수와 코사인 함수는 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$의 허수 부분이 커질수록$$(흰색은 무한대를 나타내기 때문에),그리고 함수들이 단순한 0이나 극을 포함한다는 사실은 색상이 각각의 0이나 극 주위를 정확히 한 번 순환한다는 사실로부터 명백합니다.이러한 그래프를 해당 쌍곡선 함수의 그래프와 비교하면 둘 사이의 관계가 강조됩니다.

복소평면의 삼각함수

${\displaystyle \sinz\,}$ ${\displaystyle \cosz\,}$

${\displaystyle \tanz\,}$ ${\displaystyle \cotz\,}$

${\displaystyle \sec z\,}$ ${\displaystyle \cscz\,}$

기본아이덴티티

많은 항등식들이 삼각함수를 상호 연관시킵니다.이 섹션에는 가장 기본적인 항목이 포함되어 있습니다. 자세한 식별 정보는 삼각형 식별 목록을 참조하십시오.이러한 식별은 단위 원 정의 또는 직각 삼각형 정의에서 기하학적으로 증명될 수 있습니다(그러나 후자의 정의의 경우 구간 [0, π/2]에 없는 각도에 대해 주의해야 합니다. 삼각형 식별 증명 참조).미적분 도구만을 사용하는 비기하학적 증명의 경우 위의 오일러 항등식과 유사한 방식으로 미분 방정식을 직접 사용할 수 있습니다.또한 오일러의 아이덴티티를 사용하여 복잡한 지수의 관점에서 모든 삼각함수를 표현하고 지수함수의 성질을 사용할 수 있습니다.

패리티

코사인과 시언트는 짝수 함수이고, 다른 삼각 함수는 홀수 함수입니다.즉,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin (-x)&=-\sin x\\cos (-x)&=-\tan x\cot (-x)&=-\cot x\\csc (-x)&=-\csc x)&=-\sec x.&=\end{aligned}}$

기간

모든 삼각함수는 주기 2 π의 주기함수입니다.이 기간은 π이 가장 작은 기간인 접선과 공접선을 제외하고 가장 작은 기간입니다.이는 모든 정수 k에 대하여 다음을 갖는다는 것을 의미합니다.

${\displaystyle {\begin{array}{lrl}\sin(x+&2k\pi )&=\sin x\\cos(x+&2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+&k\pi )&=\cot x\\\csc(x+&2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+&2k\pi )&=\sec x.\end{array}}$

피타고라스 정체성

피타고라스의 항등식은 삼각함수의 관점에서 피타고라스 정리를 표현한 것입니다.그렇다.

${\displaystyle {\sin }^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ $$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle c^{}{o}^{}{s}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}{}^{}}$⁡ ${\displaystyle x}$ $=$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos$

${\displaystyle {\cos }^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ⁡ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cos ^{2}x}$ 또는 ${\displaystyle {\sin }^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ⁡ x ${\displaystyle \sin ^{2}x}$로 나누면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle \tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x}$

그리고.

${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle {\mathrm{간이}}^{}}$ 침${\displaystyle \mathrm{대}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ $=$ ${\displaystyle {\mathrm{cs}}^{}\mathrm{c}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ⁡ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1+\cot ^$=\$csc$

합과 차분식

합과 차 공식을 사용하면 사인, 코사인, 그리고 합 또는 차의 접선을 각도 자체의 사인, 코사인, 접선으로 확장할 수 있습니다.이것들은 기하학적으로 프톨레마이오스까지 거슬러 올라가는 주장들을 사용하여 유도될 수 있습니다.오일러 공식을 사용하여 대수적으로 생성할 수도 있습니다.

합

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\[5mu]\cos x\sin y,\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}.\end{aligned}}$

차이

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\sin y,\[5mu]\cos \left(x-y\right)&=\cos x+\sin x\sin y,\[5mu]\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}$

두 각도가 같을 때 합 공식은 이중각 공식으로 알려진 간단한 방정식으로 줄어듭니다.

${\디스플레이 스타일 {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1-2\sin ^{2}x={\frac {1+\tan ^{2}x},\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}$

이러한 ID는 제품 대 합 ID를 도출하는 데 사용할 수 있습니다.

$t$ = ${\displaystyle \tan }$ ⁡ ${\displaystyle 12}$ θ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$t =\$tan {\tfrac$ {$1}{2}}\$$theta,}$ θ의 모든 삼각함수를 t ${\displaystyle t}$의 유리분수로 표현할 수 있습니다$.$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}},\[5mu]\cos \theta &={\frac {1-t^{2}},\[5mu]\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}.\end{aligned}}$

와 함께

${\displaystyle d\theta = {\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,}$

이것은 삼각함수의 적분과 원시함수의 계산을 유리분수의 계산으로 줄이는 접선 반각 치환입니다.

파생상품 및 파생상품

삼각 함수의 도함수는 몫 규칙을 적용하여 사인과 코사인의 도함수로부터 얻어집니다.다음 표의 항도함수에 대해 주어진 값은 이들을 구별하여 확인할 수 있습니다.숫자 C는 적분 상수입니다.

${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle f'(x)}$	${\textstyle \int f(x)\,dx}$
${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\cos x+C}$
${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\sin x}$	${\displaystyle \sin x+C}$
${\displaystyle \tan x}$	${\displaystyle \sec ^{2}x}$	${\displaystyle \ln \left \sec x\right +C}$
${\displaystyle \cscx}$	${\displaystyle -\csc x\cot x}$	${\displaystyle \ln \left \csc x-\cot x\right +C}$
${\displaystyle \sec x}$	${\displaystyle \sec x\tan x}$	${\displaystyle \ln \left \sec x+\tan x\right +C}$
${\displaystyle \cot x}$	${\displaystyle -\csc ^{2}x}$	${\displaystyle \ln \left \sin x\right +C}$

참고: < x < <π ${\displaystyle 0$< x$<\$$pi$ $}$의 경우, ${\displaystyle \csc }$⁡ ${\displaystyle x}${\$displaystyle \csc$x}의 적분값은 -${\displaystyle \mathrm{arsinh}}$ ⁡${\displaystyle (\cot }$ x${\displaystyle ),}${\$displaystyle -\operator$ name ${arsinh}(\cot$ x),$$π ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sec x}$의 적분값은 -π/<< x $<\displaystyle$-\$pi /2}$의 경우, ${\displaystyle \mathrm{arsinh}}$ ⁡${\displaystyle (탄}$ ⁡ ${\displaystyle x),}$ ${\displaystyle \operator$ name {arsinh}(\cot x)로 쓸 수도 있습니다.또는 $이름 {arsinh}(\tan x),$ 여기서$$ ${\displaystyle \mathrm{arsinh}}$ ${\displaystyle \operatorname {arsinh}}$은$($는) 역 쌍곡선 사인입니다.

또는 삼각형 항등식과 연쇄 규칙을 사용하여 '동함수'의 도함수를 구할 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\cos x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sin(\pi /2-x)=-\cos(\pi /2-x)=-\sin x\,\{\frac {d\csc x}{dx}}&={\pi /2-x}=-\sec(\pi /2-x)=-\tan(\pi /2-x)=-\csc x\cot x\,\{\frac {d\cot x}{dx}&={\frac {d}{dx}}\tan(\pi /2-x)=-\sec^{2}(\pi /2-x)=-\csc ^{2}x\,.\end{aligned}}$

역함수

삼각함수는 주기적이기 때문에 주사적인 함수가 아니므로 엄밀하게 말하면 역함수를 갖지 않습니다.그러나 삼각 함수가 단조인 각 구간에서 역함수를 정의할 수 있으며, 이는 역삼각 함수를 다중값 함수로 정의합니다.진정한 역함수를 정의하려면 도메인을 함수가 단조로운 구간으로 제한해야 하며 따라서 이 구간에서 함수에 의해 이미지로 투영됩니다.이 구간에 대해 공통으로 선택하는 주 값 집합은 다음 표에 나와 있습니다.통상적으로 역삼각형 함수는 함수의 이름이나 약어 앞에 접두사 "arc"로 표시됩니다.

기능.	정의.	도메인	주 값 집합
${\displaystyle y=\arcsin x}$	${\displaystyle \sin y=x}$	${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$	${\textstyle -{\frac {\pi}{2}}\leq y\leq {\frac {\pi}{2}}$
${\displaystyle y=\arccos x}$	${\displaystyle \cosy=x}$	${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$	${\textstyle 0\leqy\leq \pi }$
${\displaystyle y=\arctan x}$	${\displaystyle \tan y=x}$	${\displaystyle -\infty <x<\infty }$	${\textstyle -{\frac {\pi}{2}}<y<\frac {\pi}{2}}}$
${\displaystyle y=\operator name {arccot} x}$	${\displaystyle \coty=x}$	${\displaystyle -\infty <x<\infty }$	${\textstyle 0<y<\pi}$
${\displaystyle y=\operator name {arcsec} x}$	${\displaystyle \secy=x}$	${\displaystyle x<-1{\text{또는 }}x>1}$	${\textstyle 0\leq y\leq \pi,\;y\neq {\frac {\pi}{2}}}$
${\displaystyle y=\operator name {arccsc} x}$	${\displaystyle \cscy=x}$	${\displaystyle x<-1{\text{또는 }}x>1}$	${\textstyle -{\frac {\pi}{2}}\leq y\leq {\frac {\pi}{2}},\;y\neq 0}$

sin⁻¹, cos⁻¹ 등의 표기는 아크신, 아크코 등에 많이 사용됩니다.이 표기법을 사용하면 역함수가 곱셈 역수와 혼동될 수 있습니다."arc" 접두사가 붙은 표기법은 이러한 혼동을 피하지만, "arcsec"은 "arcsec"과 혼동될 수 있습니다.

사인과 코사인과 마찬가지로 역삼각형 함수도 무한급수로 표현할 수 있습니다.이들은 복잡한 로그로 표현될 수도 있습니다.

적용들

삼각형의 각도와 변

이 절에서 A, B, C는 삼각형의 세 (내부) 각도를 나타내고, a, b는 각 반대쪽 가장자리의 길이를 나타냅니다.이들은 관련된 삼각 함수에 의해 명명되는 다양한 공식에 의해 연관됩니다.

사인의 법칙

정소의 법칙에 따르면 변 a, b, c와 그 변 A, B, C와 반대인 각도를 갖는 임의의 삼각형에 대해 다음과 같습니다.

여기서 δ는 삼각형의 면적이거나, 또는 동등하게,여기서 R은 삼각형의 원반지름입니다.

삼각형을 두 개의 오른쪽으로 나누고 사인의 위 정의를 사용하여 증명할 수 있습니다.사인의 법칙은 두 개의 각도와 한 개의 변이 알려진 경우 삼각형에서 미지의 변의 길이를 계산하는 데 유용합니다.이것은 두 개의 각도와 접근 가능한 밀폐 거리를 측정하여 알려지지 않은 거리를 결정하는 기술인 삼각측량에서 흔히 발생하는 상황입니다.

코사인의 법칙

코사인의 법칙(, )은 피타고라스 정리의 확장인 코사인 법칙입니다.

또는 그와 동등하게,

이 공식에서 C에서의 각도는 변 c와 반대입니다.이 정리는 삼각형을 두 개의 오른쪽으로 나누고 피타고라스 정리를 사용하여 증명할 수 있습니다.

코사인의 법칙은 두 변과 그 사이의 각도가 알려진 경우 삼각형의 변을 결정하는 데 사용될 수 있습니다.또한 모든 변의 길이가 알려진 경우 각도(그리고 결과적으로 각도 자체)의 코사인을 찾는 데 사용할 수 있습니다.

접선의 법칙

접선의 법칙은 다음과 같이 말합니다.

${\displaystyle \frac{}{}\frac{\mathrm{태닝}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{A\frac{}{}}{}}$- B${\displaystyle \frac{}{\frac{2}{}}}$ ${\displaystyle \frac{tan}{}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{}{}}{}}$ A${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\frac{}{}}{}}$2 $=$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ - ${\displaystyle \frac{b}{a}}$ + b ${\displaystyle {\frac {\frac$ {$A-B}{2}}}{\tan${\$frac {A${2}}}{={\$frac {a-b}}.$

공변법

s가 삼각형의 반지름이고 (a + b + c)/2이고 r이 삼각형의 원의 반지름이면 rs는 삼각형의 넓이입니다.따라서 헤론의 공식은 다음을 의미합니다.

${\displaystyle r}$ $=$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{}}}$ s${\displaystyle \sqrt{}}$( ${\displaystyle \sqrt{s}}$- ${\displaystyle \sqrt{a}}$)${\displaystyle \sqrt{}}$( ${\displaystyle \sqrt{s}}$- ${\displaystyle \sqrt{b}}$)${\displaystyle \sqrt{}}$( s${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{c}}$) ${\displaystyl$= {\$sqrt {\frac {1}$ {$s}}$ (s - a ) $($s - b ) $($s - c $)}}.$

코탄젠트의 법칙은 다음과 같이 말합니다.^[19]

${\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}={\frac {s-a}{r}}$

다음과 같습니다.

${\displaystyle {\cot {\dfrac {A}{2}}{{s-a}}={\frac {\cot {\dfrac {B}{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\dfrac {2}}{s-c}}={\frac {1}{r}}}.$

주기함수

삼각함수는 물리학에서도 중요합니다.예를 들어, 사인 함수와 코사인 함수는 스프링에 부착된 질량의 움직임과 작은 각도의 경우 끈으로 매달린 질량의 진자 운동과 같은 많은 자연 현상을 모델링하는 단순한 조화 운동을 설명하는 데 사용됩니다.사인 함수와 코사인 함수는 균일한 원운동의 1차원 투영입니다.

삼각 함수는 일반 주기 함수 연구에도 유용한 것으로 입증되었습니다.주기 함수의 특징적인 파동 패턴은 소리나 광파와 같은 반복 현상을 모델링하는 데 유용합니다.^[20]

다소 일반적인 조건에서는 주기 함수 f (x)를 푸리에 급수에서 사인파 또는 코사인파의 합으로 나타낼 수 있습니다.^[21]사인 또는 코사인 기저 함수를 φ로 나타내면 주기 함수 f (t)의 확장은 다음과 같은 형태를 갖습니다.

예를 들어 사각파를 푸리에 급수로 쓸 수 있습니다.

오른쪽 상단의 사각파 애니메이션에서 몇 개의 항만 이미 상당히 좋은 근사치를 만들어 낸다는 것을 알 수 있습니다.톱니파의 팽창에서 여러 항들의 중첩이 아래에 나타나 있습니다.

역사

삼각법의 초기 연구는 고대로 거슬러 올라갈 수 있지만, 오늘날 사용되고 있는 삼각법 함수는 중세 시대에 개발되었습니다.화음의 기능은 니케아의 히파르코스 (기원전 180–125)와 로마 이집트의 프톨레마이오스 (기원전 90–165)에 의해 발견되었습니다.사인과 베르사인(1 – 코사인)의 기능은 산스크리트어에서 아랍어로, 그리고 아랍어에서 라틴어로 번역을 통해 굽타 시대 인도 천문학(아라바티야, 수리야 싯단타)에서 사용된 jyā와 koti-jā의 기능으로 거슬러 올라갈 수 있습니다.^[22](아리아바타 사인 테이블 참조)

현재 사용되는 6개의 삼각함수는 모두 9세기에 이슬람 수학에서 알려졌고 삼각형을 푸는 데 사용되는 사인의 법칙도 마찬가지였습니다.^[23](인도 수학에서 채택된) 사인을 제외한 나머지 다섯 개의 현대 삼각함수는 페르시아와 아랍 수학자들에 의해 코사인, 접선, 코탄젠트, 시언트, 코산트를 포함하여 발견되었습니다.^[23]알콰리즈미 ī (c. 780–850)는 정강이, 코사인, 접선의 표를 만들었습니다.830년경, 하바시 알 하시브 알 마르와지는 코탄젠트를 발견했고, 코탄젠트와 코탄젠트의 표를 만들었습니다.^[24][25]무함마드 이븐 자비르 알-하란 ī 알-바탄 ī (853–929)는 시맨트와 시맨트의 호혜적인 기능을 발견했고, 1°에서 90°까지의 각 차수에 대한 시맨트의 첫 번째 표를 만들었습니다.삼각함수는 나중에 오마르 카얌, 바스카라 2세, 나시르 알 딘 알 투시, 잠쉬 ī드 알 카쉬 ī (14세기), 울루그 베그 (14세기), 레지오몬타누스 (1464년), 리테쿠스, 그리고 리테쿠스의 제자 발렌티누스 오토를 포함한 수학자들에 의해 연구되었습니다.

Samamagrama(c. 1400)의 Madhava는 무한급수의 관점에서 삼각함수의 분석에 있어서 초기에 진보하였습니다.^[26](Madhava series and Madhava's sine table 참조)

접선함수는 지오바니 비앙키니가 항성좌표의 계산을 뒷받침하기 위해 만든 삼각법 표에서 1467년에 유럽으로 가져왔습니다.^[27]

접선과 접선이라는 용어는 덴마크 수학자 토마스 핀케에 의해 그의 책 기하학 로툰디에서 처음 소개되었습니다.^[28]

17세기 프랑스 수학자 알베르 지라르(Albert Girard)는 자신의 저서 트리고노메트리(Triogonétrie)에서 sin, cos, tan이라는 약자를 처음으로 사용했습니다.^[29]

1682년에 출판된 논문에서, 고트프리트 라이프니츠는 sin x가 x의 대수함수가 아니라는 것을 증명했습니다.^[30]라이프니츠 결과는 직각 삼각형의 변의 비율로 소개되어 유리 함수로 보이지만 실제로는 그들의 주장의 초월 함수임을 확인했습니다.원함수를 대수적 표현에 동화시키는 작업은 오일러가 그의 무한해석학 개론(1748)에서 이루어졌습니다.그의 방법은 사인 함수와 코사인 함수가 각각 지수 급수의 짝수 항과 홀수 항으로부터 형성된 교대 급수임을 보여주는 것이었습니다.그는 "Euler's formula"^[22]와 근현대적인 약어(sin., cos., tang., cot., sec., cos., cos., cos., cot., sec., cos., cos., cos., cos., cos.

몇 가지 기능은 역사적으로 흔했지만 현재는 거의 사용되지 않습니다. 코드, 버진(초기 표에^[22] 나타난), 커버진, 하버진,^[31] 엑센트 및 엑센트.삼각형 항등식 목록은 이 함수들 사이의 더 많은 관계를 보여줍니다.

• crd(θ) = 2 sin(θ/2)
• versin(θ) = 1 - cos(θ) = 2 sin(θ/2)
• 커버 인(θ) = 1 - sin(θ) = versin(π/2 - θ)
• haversin(θ) = 1/2versin(θ) = sin(θ/2)
• exsec(θ) = sec(θ) - 1
• exsc(θ) = exsec(π/2 - θ) = csc(θ) - 1

어원

사인(sine)이라는 단어는 "구부러진; 만(bend; bay)"을 의미하는 라틴어 동음부에서 유래되었으며^[32], 더 구체적으로는 "토가의 윗부분의 늘어뜨린 주름", "옷의 가슴", 아랍어 자이브(jaib)로 해석되는 것의 번역으로 선택되었습니다.12세기에 알바타니와 알콰리즈미 ī가 중세 라틴어로 번역한 작품에서 "주머니" 또는 "접다"를 의미합니다.이 선택은 아랍어로 쓰여진 형태인 j-y-b(جيب)를 잘못 읽은 것에 기반을 두었는데, 이는 그 자체가 산스크리트어 jyā(사인에 대한 표준 산스크리트어 용어)와 함께 "bowstring"으로 번역되며, 고대 그리스 χορδή "string"에서 따온 것입니다.

접선(tangent)^[35]이라는 단어는 "만지다"라는 뜻의 라틴어 탄젠스(tangens)에서 유래하는데, 선이 단위 반지름의 원에 닿기 때문인 반면에, 선이 원을 자르기 때문에 secant는 라틴어 탄젠스(cutting)에서 유래합니다.

접두사 "co-"("코사인", "코탄트", "코칸트"에서)는 에드먼드 군터의 캐논 삼각형에서 발견되는데, 코탄트는 코탄트를 동보각(상보각의 사인)의 약어로 정의하고 코탄겐을 유사하게 정의합니다.^[36][37]

참고 항목

메모들

참고문헌

외부 링크

• "Trigonometric functions", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 파상수학 비전 학습 모듈
• GonioLab 단위 원, 삼각함수 및 쌍곡선함수의 시각화
• 수학세계에서 죄의 q-아날로그에 대한 q-Sine 기사
• q-Cosine MathWorld 코스의 q-analog에 대한 기사