도메인 컬러링

f())).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output .sf 기능의 번 색소 줄거리.Rac.den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆬ(미국 1−)()− 2− 나는)2/x2+2+2i, 구조화된 색 기능 아래 설명.

복잡한 분석에서 도메인 컬러링이나 컬러 휠 그래프는 복잡한 평면의 각 점에 색상을 할당하여 복잡한 기능을 시각화하는 기법이다. 복합 평면의 포인트를 다른 색상과 밝기에 할당함으로써 도메인 색상은 4차원 복합 기능을 쉽게 표현하고 이해할 수 있게 한다. 이것은 복잡한 기능의 유동성에 대한 통찰력을 제공하고 실제 기능의 자연스러운 기하학적 확장을 보여준다.

많은 다양한 색상 기능이 사용된다. 일반적인 관행은 색상 휠을 따르는 색조와 함께 복잡한 주장("각도"라고도 함)과 밝기나 포화도와 같은 다른 방법으로 크기를 나타내는 것이다.

동기

$실제$ 함수의 그래프는 x ${\displaystyle$ x $}$ 와 $x$ y $y$ 라는 두 개의 변수가 있기 때문에 2차원으로 그려질 수 있다 $y$ 그러나 복잡한 함수는 2차원으로 표현된다. 이는 복합함수를 나타내는 것이다(더 정확히 말하면 1의 복합값 함수를 의미한다). 복합 변수 $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ → $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ ${\$ )에는 4차원의 시각화가 필요하다. 그것을 달성하는 한 가지 방법은 리만 표면이지만, 다른 방법은 도메인 색소를 사용하는 것이다.

방법

텍스트(왼쪽)에 기술된 단순한 색함수의 예에 따른

z

의 HL 그림 및 동일한 색함수를 사용하는

복합함수 3

z -

1

(오른쪽)의 그래프로, 3개의 0과 0에서 시작하는 핑크빛 실수를 나타낸다.

투영과 같은 방법은 정보 손실을 초래할 수 있기 때문에 두 변수만으로 4차원 복합 매핑을 나타내는 것은 바람직하지 않다. 그러나 4차원의 가시화 없이도 4차원 공정을 유지하는 변수를 추가할 수 있다. 이 경우 추가된 두 변수는 자연스레 인간의 눈으로 쉽게 처리되고 구별되는 두 변수이기 때문에 색과 밝기 등 시각적 입력이다. 이 과제는 "색상함수"라고 불린다. 많은 다양한 색상 기능이 사용된다. 일반적인 관행은 색상 휠을 따르는 색조로 복잡한 주장("상" 또는 "각도"라고도 함)을 나타내고, 밝기나 포화도와 같은 다른 수단으로 크기를 표현하는 것이다.

심플 컬러 함수

다음 예제는 기원을 검정색으로, $1$ 은 녹색으로, $-1$ 은 자홍색으로, 1은 무한대로 흰색으로 색칠한다.

{\displaysty}H&=\arg z+2\pi /3,\S&=100\%\L&=\ell(z).\end{case}}

함수 $\ell :[0,\infty )\to [0,1)$ : [ $\ell :[0,\infty )\to [0,1)$ ) $\ell :[0,\infty )\to [0,1)$ → [ $\ell :[0,\infty )\to [0,1)$ $\ell :[0,\infty )\to [0,1)$ ) $\ell :[0,\infty )\to [0,1)$ {\ $displaystyle \ell$ : [ $0,\infit )\to [0,1$ ). $\ell :[0,\infty )\to [0,1)$ $\ell$ {\ $displaystyle \ell}$ 은(는) 엄격히 단조롭고 연속적이어야 $\ell$ 한다. 또 다른 바람직한 속성은 $\ell (1/r)=1-\ell (r)$ ( $\ell (1/r)=1-\ell (r)$ / $\ell (1/r)=1-\ell (r)$ r $\ell (1/r)=1-\ell (r)$ ) = $\ell (1/r)=1-\ell (r)$ - $\ell (1/r)=1-\ell (r)$ ( r $\ell (1/r)=1-\ell (r)$ ) $\ell (1/r)=1-\ell (r)$ 이다. 이렇게 $\ell (1/r)=1-\ell (r)$ 하면 함수의 역은 원래 함수가 어둡게(그리고 다른 방향으로)와 같이 정확하게 밝다. 가능한 선택은 다음과 같다.

$\ell _{1}(r)={\frac {2}{\pi }}\arctan(r)$ $\ell _{1}(r)={\frac {2}{\pi }}\arctan(r)$ ( r $\ell _{1}(r)={\frac {2}{\pi }}\arctan(r)$ ) $\ell _{1}(r)={\frac {2}{\pi }}\arctan(r)$ = $\ell _{1}(r)={\frac {2}{\pi }}\arctan(r)$ $\ell _{1}(r)={\frac {2}{\pi }}\arctan(r)$ $\ell _{1}(r)={\frac {2}{\pi }}\arctan(r)$ $\ell _{1}(r)={\frac {2}{\pi }}\arctan(r)$ ( $\ell _{1}(r)={\frac {2}{\pi }}\arctan(r)$ ) ${\displaystyle \ell _{1}(r)={\frac {2}{\pi }}\arctan$ 및
$\ell _{2}(r)={\frac {r^{a}}{r^{a}+1}}$ $\ell _{2}(r)={\frac {r^{a}}{r^{a}+1}}$ ( r $\ell _{2}(r)={\frac {r^{a}}{r^{a}+1}}$ ) $\ell _{2}(r)={\frac {r^{a}}{r^{a}+1}}$ = r $\ell _{2}(r)={\frac {r^{a}}{r^{a}+1}}$ + $\ell _{2}(r)={\frac {r^{a}}{r^{a}+1}}$ ${\$ 일부 매개 $a>0$ a $a>0$ > $a>0$ ${\style a>0}).$ $a=2$ = $a=2$ $a=2$ 의 경우 $a=2$ 이는 리만 구에 대한 입체 투영에 해당한다.

이 재산은 기능이 있지 않는 광범위한 선택 3(r))은 a=1/2{\displaystyle a=1/2}과 0≤ r에 ≤ 1{\displaystyle 0\leq r\leq 1}과 가깝기 1− r{\displaystyle \ell_{3}(r)=1-a^{r}}(일부 매개 변수 0<>,<>1{\displaystyle 0<, a< 1})ℓ. ℓ 1 $\displaystyle \ell _{1$

이 접근방식은 HSL(Hue, 포화, 밝기) 색상 모델을 사용한다. 포화도는 항상 최대 100%로 설정된다. 무지개의 선명한 색깔들이 복잡한 단위 원 위에서 연속적으로 회전하고 있기 때문에 (1부터) 통합의 여섯 번째 뿌리는 녹색, 청록색, 청록색, 청록색, 청록색, 자홍색, 노랑색이다.

HSL 색상 공간은 지각적으로 균일하지 않기 때문에 노란색, 청록색, 자홍색(절대값이 빨강, 녹색, 파랑과 동일함에도 불구하고)에서 인식된 밝기의 줄무늬를 볼 수 $있고$ L= 1/ $2$ 주위의 후광을 볼 수 있다. Lab 색상 공간 또는 CIECAM02와 같은 보다 현대적인 색 공간은 이를 수정하여 이미지를 더 정확하고 덜 포화 상태로 만든다.

불연속 색상 변경

많은 색상 그래프는 불연속성을 가지고 있는데, 여기서 밝기와 색상이 고르게 변하는 대신 기능 자체가 여전히 부드러워도 갑자기 변한다. 이것은 기능의 보다 자세한 내용을 보여주거나 특정 측면을 강조하기와 같은 다양한 이유로 수행된다.

규모성장

불연속 색상 함수. 그래프에서 각 불연속성은 정수 n에 대해

|z|=2^{n}

|z|=2^{n}

=

|z|=2^{n}

{\

일 때 발생한다.

인수의 유한범위와는 달리 복합수의 크기는 $0$ 부터 $\infty$ 까지의 범위를 가질 수 있다. 따라서 크기 범위가 큰 함수에서는 매우 큰 변화가 그래프에도 그려질 때 크기 변화를 구별하기 어려울 수 있다. 이것은 주어진 방정식에 기초하여 크기에 대한 반복 밝기 패턴을 보여주는 불연속 색상 함수로 교정될 수 있다. 이것은 작은 변화뿐만 아니라 더 큰 규모로 "지속적으로 점프"하는 더 큰 변화도 쉽게 볼 수 있게 해준다. 오른쪽 그래프에서 이러한 불연속은 중앙을 중심으로 원을 그리며 발생하며 그래프의 희미한 빛을 보여주며 다시 밝아지기 시작할 수 있다. 글 위에 있는 그래프에도 비슷한 색 함수가 사용되어 왔다.

불연속성을 결정하는 방정식은 $2^{n}$ ${\$ 이 정수인 $2^{n}$ 모든 정수 n과 같은 지수 방정식 또는 다른 방정식과 같이 선형일 수 있다.

특성 강조 표시

그래프의 어느 부분에 해당 특성이 있는지 강조하기 위해 출력에 특정 특성이 있는 곳에 불연속부가 배치될 수 있다. 예를 들어, 녹색에서 청록색으로 점프를 표시하는 대신 그래프가 나타날 수 있다. 이것은 발견하기 쉬운 불연속성을 야기하고, 논점이 0인 곳과 같은 선을 강조할 수 있다.^[1] 불연속성은 색상 휠이 그래프를 사분면으로 나누는 그래프와 같이 그래프의 많은 부분에 영향을 미칠 수 있다. 이렇게 하면 각 사분면이 결국 다른 사람과 관계를 맺게 되는 곳을 쉽게 보여줄 수 있다.^[2]

역사

"도메인 컬러링"이라는 용어는 아마도 1998년경 프랭크 패리스에 의해 만들어졌다.^[3]^[4] 복잡한 함수를 시각화하기 위한 색상의 초기 사용들이 많았는데, 일반적으로 인수(위상)를 색조에 매핑한다.^[5] 래리 크론은 1980년대 후반에 이 방법을 사용했다.^[6] 연속적인 색상을 사용하여 도메인에서 코도메인 또는 이미지 평면으로 점을 매핑하는 기술은 1999년 조지 아브도와 폴 고드프리에^[7] 의해 사용되었고 컬러 그리드는 그가 1997년까지 거슬러 올라가는 더그 아놀드에 의해 그래픽에 사용되었다.^[8]

제한 사항

색맹을 경험하는 사람들은 표준 색 지도로 만들어졌을 때 그러한 그래프를 해석하는 데 어려움을 겪을 수 있다.^[9]^[10] 이 문제는 색맹이 있는 사람들이 식별할 수 있는 색 공간 내에 맞는 색상 맵을 사용하여 대체 버전을 생성함으로써 개선될 수 있다.^[11] 예를 들어, 총 중수소경을 가진 사람들이 사용하는 경우, 파란색/회색/노랑색을 기반으로 한 색상 지도가 파란색/녹색/빨간색을 기반으로 한 기존 지도보다 더 읽기 쉬울 수 있다.^[11]

참조

^ 2004년 5월. 아마존닷컴, 2018년 12월 13일 회수
^ Poelke, K.; Polthier, K. (September 2012). "Domain Coloring of Complex Functions: An Implementation-Oriented Introduction". IEEE Computer Graphics and Applications. 32 (5): 90–97. doi:10.1109/MCG.2012.100. PMID 24806991. S2CID 19237225.
^ 프랭크 A. 패리스, 평면 내 복합 값 함수 시각화
^ Hans Lundmark (2004). "Visualizing complex analytic functions using domain coloring". Archived from the original on 2006-05-02. Retrieved 2006-05-25. 룬드마크는 패리스가 2004년 본 기사에서 "도메인 컬러링"이라는 용어를 사용한 것을 말한다.
^ David A. Rabenhorst (1990). "A Color Gallery of Complex Functions". Pixel: The Magazine of Scientific Visualization. Pixel Communications. 1 (4): 42 et seq.
^ Elias Wegert (2012). Visual Complex Functions: An Introduction with Phase Portraits. Springer Basel. p. 29. ISBN 9783034801799. Retrieved 6 January 2016.
^ George Abdo & Paul Godfrey (1999). "Plotting functions of a complex variable: Table of Conformal Mappings Using Continuous Coloring". Retrieved 2008-05-17.
^ Douglas N. Arnold (2008). "Graphics for complex analysis". Retrieved 2008-05-17.
^ "CET Perceptually Uniform Colour Maps". peterkovesi.com. Retrieved 2020-12-22.
^ Farris, Frank A. (2 June 2015). Creating Symmetry: The Artful Mathematics of Wallpaper Patterns. Princeton University Press. pp. 36–37. ISBN 978-0-691-16173-0.
^ ^a ^b Kovesi, Peter (2017). "Colour Maps for the Colour Blind, presented at IAMG 2017" (PDF).

외부 링크

사무엘 리의 함수 플로터
복합 함수의 색상 그래프
평면에서 복합 값 함수를 시각화하는 중.
복합기능 갤러리
알레산드로 로사의 복잡한 매퍼
John Davis 소프트웨어 - 도메인 색칠을 위한 S-Lang 스크립트
오픈 소스 C 및 Python 도메인 컬러링 소프트웨어
향상된 3D 도메인 색상
GPU의 도메인 색채법
Java 도메인 컬러링 소프트웨어(개발 중)
MATLAB 루틴 [1]
마이클 J. 그루버의 KIMP용 파이톤 스크립트
Matplotlib와 MayaVi는 E에 의한 도메인 색상의 구현. 페트리스터 [2]
매트랩 사용자 인터페이스 및 다양한 색 구성표를 사용한 루틴
매트랩 복잡한 기능의 3D 시각화를 위한 루틴
컬러 휠 방식
실시간 확대축소 연산 엔진
프랙탈 줌러 : 도메인 컬러링을 활용한 소프트웨어
cplot, Python용 도메인 색상 패키지

[1] 2004년 5월. 아마존닷컴, 2018년 12월 13일 회수

[2] Poelke, K.; Polthier, K. (September 2012). "Domain Coloring of Complex Functions: An Implementation-Oriented Introduction". IEEE Computer Graphics and Applications. 32 (5): 90–97. doi:10.1109/MCG.2012.100. PMID 24806991. S2CID 19237225.

[3] 프랭크 A. 패리스, 평면 내 복합 값 함수 시각화

[Ludmark1-4] Hans Lundmark (2004). "Visualizing complex analytic functions using domain coloring". Archived from the original on 2006-05-02. Retrieved 2006-05-25. 룬드마크는 패리스가 2004년 본 기사에서 "도메인 컬러링"이라는 용어를 사용한 것을 말한다.

[5] David A. Rabenhorst (1990). "A Color Gallery of Complex Functions". Pixel: The Magazine of Scientific Visualization. Pixel Communications. 1 (4): 42 et seq.

[6] Elias Wegert (2012). Visual Complex Functions: An Introduction with Phase Portraits. Springer Basel. p. 29. ISBN 9783034801799. Retrieved 6 January 2016.

[Abdo1-7] George Abdo & Paul Godfrey (1999). "Plotting functions of a complex variable: Table of Conformal Mappings Using Continuous Coloring". Retrieved 2008-05-17.

[Arnold1-8] Douglas N. Arnold (2008). "Graphics for complex analysis". Retrieved 2008-05-17.

[9] "CET Perceptually Uniform Colour Maps". peterkovesi.com. Retrieved 2020-12-22.

[10] Farris, Frank A. (2 June 2015). Creating Symmetry: The Artful Mathematics of Wallpaper Patterns. Princeton University Press. pp. 36–37. ISBN 978-0-691-16173-0.

[:0-11] Kovesi, Peter (2017). "Colour Maps for the Colour Blind, presented at IAMG 2017" (PDF).

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