제곱근

수학에서, 숫자 x의 제곱근은 y = x가 되는² 숫자 y이다. 즉, 숫자 y의 제곱근(숫자 자체를 곱한 결과 또는 y y y)은 ^[1]x이다. 예를 들어, 4 = (-4)² = 16이기 때문에² 4와 -4는 16의 제곱근이다.

음이 아닌 모든 실수 x에는 주 제곱근이라고 하는 고유한 음이 아닌 제곱근이 있습니다. 이 제곱근은 x$$, ${\$style {\$sqrt$${~^{~}}}$ 기호${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}${\$displaystyle${\$sqrt$ {~}}}}}로^[2] $표시$됩니다.예를 들어, 9의 주 제곱근이 3이라는 사실을 표현하기 위해 ${\displaystyle 9}$ $=$ 3 (\$displaystyle$\displaystyle$\displayrt {9}}=3$이라고 합니다.제곱근이 고려되는 항(또는 수)을 라디칸드라고 합니다.라디칸드는 이 경우 9의 근호 아래에 있는 숫자 또는 식입니다.음수가 아닌 x의 경우 주 제곱근을 지수 표기법(x)으로^1/2 쓸 수도 있습니다.

모든 양수 x에는 두 개의 제곱근($양수인{\displaystyle \sqrt{}}$ x $,$ {\$displaystyle$${x})$과${\displaystyle }$음수인 ${\displaystyle -x\sqrt{}}$, ${\sqrt {x})$이 있습니다.두 개의 루트는 ± x$(\$로${\displaystyle }$더 간결하게 쓸 수 있습니다.양수의 주 제곱근은 두 개의 제곱근 중 하나이지만, "제곱근"이라는 명칭은 종종 주 ^[3][4]제곱근을 나타낼 때 사용됩니다.

음수의 제곱근은 복소수의 틀 안에서 논의될 수 있다.보다 일반적으로, 제곱근은 수학적 객체의 "제곱" 개념이 정의된 모든 맥락에서 고려될 수 있습니다.여기에는 함수 공간과 정사각형 행렬, 다른 수학적 구조도 포함됩니다.

역사

예일 대학교의 바빌로니아의 컬렉션 YBC 7289 점토 태블릿 1800년 기원전 1600년 사이에, 2{\displaystyle{\sqrt{2}}}을 보여 주었고 22=12{\textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}={\frac{1}{\sqrt{2}}}}이 만든 것을 각각 1;24,51,10과 0;42,25,35 기본 60숫자를 정사각형 교차에 의해 두 대각선.[5](1;24,51,10)기지60은 1.41421296에 해당하며, 이는 소수점 5개(1.41421356...)의 올바른 값입니다.

진드 수학 파피루스는 기원전 1650년 이전의 베를린 파피루스와 이집트인들이 어떻게 반비례법으로 ^[6]정사각근을 추출했는지를 보여주는 다른 문서들 - 아마도 카훈 파피루스의 사본이다.

고대 인도에서, 제곱근과 제곱근의 이론적인 측면과 응용적인 측면의 지식은 적어도 기원전 800-500년 ^{[citation needed]}경의 술바 수트라만큼 오래되었다.보하야나술바수트라에는 ^[7]2와 3의 제곱근에 대한 매우 양호한 근사를 구하는 방법이 제시되어 있다.아리아바티야(섹션 2.4)의 아리아바타는 많은 숫자를 가진 숫자의 제곱근을 구하는 방법을 제공했다.

고대 그리스인들은 완벽한 정사각형이 아닌 양의 정수의 제곱근은 항상 비합리적인 숫자라고 알려져 있었다: 두 정수의 비율로 표현될 수 없는 숫자이다(즉, m과 n이 정수인 m/n처럼 정확히 쓸 수 없다.이것은 유클리드 X, 9의 정리이며, 거의 확실히 기원전 ^[8]380년경 테에테투스에 기인한다.2의 제곱근의 특별한 경우는 피타고라스인 이전으로 추정되며, 전통적으로 히파소스에 ^{[citation needed]}기인한다.변 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이입니다.

기원전 202~186년에 쓰여진 중국 한나라 초기 산술서에서는 부족분자에 분모와 분모를 곱하여 과잉과 결핍을 합친다는 '초과부족' 방법을 사용하여 제곱근을 근사한다.분자에 결손분모를 곱하면 배당금으로 ^[9]합산된다."

정교한 R로 쓰인 제곱근의 기호는 레지오몬타누스에 의해 발명되었다.R은 또한 Gerolamo Cardano의 Ars ^[10]Magna에서 제곱근을 나타내기 위해 기수에 사용되었다.

수학사학자 D.E. 스미스에 따르면, 제곱근을 구하는 아리아바타의 방법은 1546년 카타네오에 의해 유럽에 처음 도입되었다.

제프리 A에 따르면오크족, 아랍인들은 "جm/īm"( letterm/ĝm)이라는 글자를 사용했는데, "ḏr", "jiḏr", "arr" 또는 "ḏi,r", "root"로 다양하게 번역되는 단어 ",r"의 첫 글자인 "jmm/ĝm")을 숫자 위에 배치하여 제곱근을 표시하였다.문자 j resemblesm은 현재의 제곱근 모양과 유사합니다.모로코 수학자 이븐 알-야사민의 ^[11]작품에서 12세기 말까지 사용되었습니다.

제곱근의 기호 """은 1525년 크리스토프 루돌프의 코스에서 ^[12]처음 인쇄되었다.

속성 및 용도

주요 제곱근 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x}$) $=$ {\$displaystyle$ f$(x$)=$sqrt {x}}($일반적으로 "제곱근 함수"라고 함)는 음이 아닌 실수 집합을 그 자체에 매핑하는 함수이다.기하학적 관점에서 제곱근 함수는 정사각형의 면적을 변의 길이에 매핑합니다.

x의 제곱근은 x가 두 개의 완전 제곱의 비율로 표현될 수 있는 유리수인 경우에만 유리하다.(비합리수라는 증거는 제곱근 2를 참조하고, 제곱하지 않은 모든 자연수에 대한 증거는 2차 비합리수를 참조하십시오.)제곱근 함수는 유리수를 대수수로 매핑하고, 대수수는 유리수의 상위 집합이다.

모든 실수 x에 대해서

$x$$\end {case}}$ (절대값 참조)

음수가 아닌 모든 실수 x와 y에 대해

$({displaystyle {xy}}=syslogrt {x}}{\syslogrt {y}})$

그리고.

$({displaystyle {x}}=x^{1/2}).}$

제곱근 함수는 음이 아닌 모든 x에 대해 연속적이며 모든 양의 x에 대해 미분할 수 있습니다. 만약 f가 제곱근 함수를 나타내며, 그 도함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle f'(x)=syslogfrac {1}{2syslogrt {x}}}}.}$

x = 0에 관한 1${\displaystyle \sqrt{}}$+$$의 Taylor 시리즈(\style {\$displayrt {1+x})$는 x ÷ 1에 대해 수렴되며 다음과 같이 표시됩니다.

${\displaystyle {1+x}=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}x-{\frac {1}{8}x^{2}+{\frac {1}x^{3}-{\frac {5}{128}x^{4}+cdots}$

음수가 아닌 수의 제곱근은 힐베르트 공간과 같은 일반화뿐만 아니라 유클리드 노름의 정의에도 사용된다.그것은 확률론과 통계학에서 사용되는 표준 편차의 중요한 개념을 정의합니다.이는 2차 방정식의 근에 대한 공식에서 주로 사용됩니다. 제곱근에 기초한 2차 정수의 2차장과 링은 대수학에서 중요하고 기하학에서 사용됩니다.제곱근은 많은 물리 법칙뿐만 아니라 다른 곳의 수학 공식에서도 자주 나타납니다.

양의 정수 제곱근

양수는 서로 반대되는 두 개의 제곱근, 즉 양수와 음수를 가지고 있습니다.양의 정수의 제곱근을 말할 때, 일반적으로 의미하는 것은 양의 제곱근입니다.

정수의 제곱근은 대수 정수, 더 구체적으로 2차 정수입니다.

양의 정수의 제곱근은 소수 인자의 근의 곱입니다. 왜냐하면 곱의 제곱근은 인자의 제곱근의 곱이기 때문입니다.${\displaystyle \sqrt{{p\mathrm{}}^{}}}$ 2 ${\displaystyle \sqrt{k^{}}}$ $=$ ${\displaystyle p^{}}$k이므로$,$ ${{displayrt {p^{2k$}}=$p^{k}}}$은 인수분해에서 홀수 검정력을 갖는 소수들의 루트만 필요하다.더 정확히 말하면, 소인수 분해의 제곱근은

$({displaystyle {p_{1}^2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}{k+1}\cdots p_{2e_{n}}}=p_{1}^2e_{e_{n}{n}{n}}}{cdisplaystyp_{n}^{k}{n}{n}{n}{n}{n}{n}}}}}{cdotsp_{cdotsp_{k}{k}}$

소수점 확장으로

완전 제곱근(예: 0, 1, 4, 9, 16)은 정수입니다.다른 모든 경우, 양의 정수의 제곱근은 비합리적인 숫자이기 때문에 십진수 표현에 반복되지 않는 소수점이 있습니다.처음 몇 개의 자연수의 제곱근에 대한 십진수 근사치가 다음 표에 나와 있습니다.

n	${\displaystyle \sqrt{n}}$,$${\$displaystyle$ {n}, {\displaystyle$}이($가$$) 소수점 50자리로 잘렸습니다.
0	0
1	1
2	1.41421356237309504880168872496980786671837694
3	1.732050756877293544634150587236694280525381038
4	2
5	2.236067977499789640917366873127623544061835961152
6	2.44948974278317809819728407470589139196548065667
7	2.645751311064590550161575363926042571025918308245
8	2.82842712474619009760337744841939615713934375075389
9	3
10	3.1622776601683793319988935444327185337195513932521

다른 숫자 시스템의 확장으로 표시됨

이전과 마찬가지로 완전 제곱근(예: 0, 1, 4, 9, 16)은 정수입니다.다른 모든 경우, 양의 정수의 제곱근은 비합리적인 숫자이므로 표준 위치 표기법 체계에서는 반복되지 않는 숫자를 가집니다.

작은 정수의 제곱근은 SHA-1과 SHA-2 해시함수 설계에서 모두 사용되어 슬리브 번호에 아무것도 제공하지 않습니다.

주기 연속 분수로

연속분수로서 무리수를 연구한 결과 중 가장 흥미로운 것은 조셉 루이스 라그랑주 1780에 의해 얻어졌다.라그랑주는 제곱이 아닌 양의 정수의 제곱근을 연속 분수로 표현하는 것이 주기적이라는 것을 발견했습니다.즉, 부분 분모의 특정 패턴이 연속된 분수로 무한히 반복됩니다.어떤 의미에서 이 제곱근들은 가장 단순한 비합리적인 숫자입니다. 왜냐하면 그것들은 단순한 반복적인 정수 패턴으로 표현될 수 있기 때문입니다.

${\displaystyle {2}}$	= [1; 2, 2, ...]
$(\displaystyle\displaystyle$	= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
${\displaystyle {4}}$	= [2]
${\displaystyle {5}}$	= [2; 4, 4, ...]
${\displaystyle {6}}$	= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
$(\displaystyle\displaystyle{7})$	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
${\displaystyle {8}}$	= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
${\displaystyle {9}}$	= [3]
${\displaystyle {10}}$	= [3; 6, 6, ...]
${\displaystyle {11}}$	= [3; 3, 6, 3, 6, ...]
${\displaystyle {12}}$	= [3; 2, 6, 2, 6, ...]
${\displaystyle {13}}$	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
${\displaystyle {14}}$	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
${\displaystyle {15}}$	= [3; 1, 6, 1, 6, ...]
${\displaystyle {16}}$	= [4]
${\displaystyle {17}}$	= [4; 8, 8, ...]
${\displaystyle {18}}$	= [4; 4, 8, 4, 8, ...]
${\displaystyle {19}}$	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
${\displaystyle {20}}$	= [4; 2, 8, 2, 8, ...]

위에서 사용된 대괄호 표기법은 연속된 분수에 대한 짧은 형식입니다.보다 시사적인 대수적 형식으로 작성된 11의 제곱근에 대한 단순 연속 분수는 다음과 같습니다. [3; 3, 6, 3, 6, ...]

${\displaystyle {\displaystyle {11}=3+{\displayac {1}{6+{\displayac {1}{6+{\displayac {1}{3+\dots}}}}}}}}$

여기서 두 자리 패턴 {3, 6}이(가) 부분 분모에서 반복됩니다.11 = 3² + 2이므로 위의 값은 다음과 같은 일반화 연속 분수와 동일하다.

${\displaystyle {dots}=3+{\displayac {2}{6+{\displayac {2}{6+{\displayac {2}{6+\dots}}}}}}}=3+{\displayac {6}{\displayac {20}{6+}}}}{\displayac {6+{\displayac {6+}}}}}}{6+{\clic}}}}}{\clic}}{\clac {6+{\clic}}}}$

계산

양수의 제곱근은 일반적인 유리수가 아니기 때문에 종료식 또는 반복식 십진식으로 쓸 수 없습니다.따라서 일반적으로 십진 형식으로 표현된 제곱근을 계산하려는 어떠한 시도도 점점 더 정확한 일련의 근사치를 얻을 수 있지만 근사치만을 산출할 수 있다.

대부분의 포켓 계산기에는 제곱근 키가 있습니다.제곱근을 계산하기 위해 컴퓨터 스프레드시트와 기타 소프트웨어도 자주 사용됩니다.포켓 계산기는 일반적으로 양의 실수의 ^[13][14]제곱근을 계산하기 위해 뉴턴의 방법과 같은 효율적인 루틴을 구현합니다.로그 테이블 또는 슬라이드 규칙을 사용하여 제곱근을 계산할 때 ID를 이용할 수 있습니다.

$({displaystyle {a}}=e^{(\ln a)/2}=10^{(\log _{10}a)/2})$

여기서 ln과₁₀ log는 자연 로그 및 base-10 로그입니다.

시행착오를 ^[15]거치면$,$ \$displaystyle\sqrt {a}$에 $대한{\displaystyle \sqrt{}}$ 추정치를 제곱하고 충분한 정확도에 동의할 때까지 추정치를 높이거나 낮출 수 있다.이 기술의 경우 식별 정보를 사용하는 것이 현명합니다.

${\displaystyle(x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2}$

따라서 추정치 x를 어느 정도 c만큼 조정하고 원래 추정치와 그 제곱의 관점에서 조정의 제곱을 측정할 수 있다.또한 c = 0에서 x + 2xc + c² 그래프에² 대한 접선은 c만의 함수로서 y = 2xc + x이기² 때문에 c가 0에 가까울 때 (x ²+ c) θ² x + 2xc이다.따라서 x에 대한 작은 조정은 2xc를 a로 설정하거나 c = a/(2x)로 설정하여 계획할 수 있습니다.

손으로 제곱근을 계산하는 가장 일반적인 반복 방법은 그것을 처음 ^[16]기술한 1세기 그리스 철학자 알렉산드리아의 헤론의 이름을 따서 "바빌로니아 방법" 또는 "헤론의 방법"으로 알려져 있다.이 방법은 y = f(x) = x² - a 함수에 적용될 때 뉴턴-라프슨 방법이 산출하는 것과 동일한 반복 체계를 사용하며, 임의의 지점에서 기울기가 dy/di/diples = fθ(x) = 2x라는 사실을 사용하지만, ^[17]수 세기 전이다.이 알고리즘은 결과를 새 입력으로 하여 반복할 때마다 실제 제곱근에 가까운 숫자가 나오는 단순한 계산을 반복하는 것입니다.그 이유는 만약 x가 음이 아닌 실수의 제곱근에 대한 과대평가라면 a/x는 과소평가이기 때문에 이 두 숫자의 평균은 둘 중 하나보다 더 나은 근사치가 되기 때문이다.그러나 산술평균과 기하평균의 부등식은 이 평균이 항상 제곱근의 제곱근의 과대평가(아래에 언급)임을 보여주며, 따라서 이 평균은 반복 후에 서로 더 가까이 있는 것을 과대평가하고 과소평가하는 결과로 수렴되는 새로운 과대평가로서 기능할 수 있다.x를 찾으려면:

1. 임의의 양의 시작 값 x부터 시작합니다.a의 제곱근에 가까울수록 원하는 정밀도를 달성하는 데 필요한 반복 횟수가 줄어듭니다.
2. x를 x와 a/x 사이의 평균(x + a/x) / 2로 바꿉니다.
3. 이 평균을 새 x 값으로 사용하여 2단계부터 반복합니다.

즉$,$ \$displaystyle\$displayrt$$${a}$가_{0n + 1} x이고 x = (x + a_n/x_n) / $2$인 경우, 각_n x는 \$displaystyle\$displaystyle\$displayrt {a}$의 근사치로, 작은 n보다 큰 n에 적합합니다.a가 양수일 경우 컨버전스는 2차입니다.즉, 제한에 가까워지면 다음 번 반복할 때마다 올바른 자릿수가 약 2배로 증가합니다.a = 0이면 수렴은 선형일 뿐입니다.

아이덴티티 사용

${\displaystyle {a}}=2^{-n}{\displayrt {4^{n}a}}}$

양수의 제곱근 계산은 [1,4] 범위에 있는 숫자의 제곱근 계산으로 줄일 수 있다.이를 통해 다항식 또는 부분 선형 근사를 사용할 수 있는 제곱근에 가까운 반복 방법의 시작 값을 쉽게 찾을 수 있습니다.

정밀도가 n자리인 제곱근을 계산하는 시간의 복잡도는 2개의 n자리 숫자를 곱하는 시간과 동일합니다.

제곱근을 계산하는 또 다른 유용한 방법은 n = 2에 적용되는 이동 n번째 루트 알고리즘이다.

제곱근 함수의 이름은 프로그래밍 언어에서 프로그래밍 언어까지 다양하며,sqrt^[18] (종종 "squirt"로 발음됨)는 C, C++ 및 JavaScript, PHP 및 Python과 같은 파생 언어에서 일반적으로 사용됩니다.

음수 및 복소수의 제곱근

양수 또는 음수의 제곱은 양수이고 0의 제곱은 0입니다.따라서 음수는 실제 제곱근을 가질 수 없습니다.그러나 음수의 제곱근에 대한 해답을 포함하는 복소수라고 불리는 보다 포괄적인 숫자의 집합으로 작업할 수 있습니다.이것은 i로 표현되는 새로운 수(특히 "i"가 전통적으로 전류를 나타내는 전기의 맥락에서 j)와 가상 단위라고 불리는 새로운 수를 도입함으로써 이루어지며, 이는 i = -1로² 정의된다.이 표기법을 사용하면 i를 -1의 제곱근이라고 생각할 수 있지만, (-i)² = i² = -1이므로 -i도 -1의 제곱근입니다.관례상, -1의 주 제곱근은 i이고, 보다 일반적으로, x가 음수가 아닌 숫자일 경우, -x의 주 제곱근은 다음과 같다.

$(\displaystyle {\displaystyle {-x}}=i440rt {x}).}$

오른쪽(및 음수)은 실제로는 -x의 제곱근입니다.

${\displaystyle(i440rt {x})^2}=i^{2}({\displayrt {x})^{2}=display1)x=-x.}$

모든 0이 아닌 복소수 z에 대해 w = z: z의 주 제곱근(아래 정의)과² 음수인 정확히 두 개의 숫자 w가 존재합니다.

복소수의 주 제곱근

주값이라고 하는 단일 값을 일관되게 선택할 수 있는 제곱근의 정의를 찾기 위해 먼저 $복소수{\displaystyle }$x + ${\displaystyle i}$ (${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ,y}$)$$, \ $display$$style$(x , y ) , \ display style (x ,$y$ ) , \ display style ( x , y )을 평면상의 점으로 볼 수 있습니다$.{\displaystyle }$같은 점을 극좌표$({\displaystyle r}$ , ${\displaystyle )}$) ,$$( r$$, \ $displaystyle$( r , \ $varphi$)의$$ 쌍으로 재해석할 수 있습니다.$여기$서${\displaystyle }$r$$ 0 ( \ $displaystyle$r \ $geq$0 )은 원점으로부터의 거리이고, {\$$\ $displaystyle$$\$ $varphi$ }$$$the$ } } $the{\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ($$( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ($splaystyle$ x$\}$ )축.복소해석에서는 통상적으로 이 지점의 ${\displaystyle {}^{}}$는 r ${\displaystyle e^{}}$..$${\$displaystyle$re$^{i\varphi}$로 $표기$된다.

z$\displaystyle$z의$$ $주{\displaystyle }$ 제곱근은 다음과 같이 정의됩니다.따라서 주 제곱근 함수는 양의 실축을 분기 절단으로 사용하여 정의됩니다.z$({displaystyle$ z$})$가 음수가 아닌 실수($\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$(\$displaystyle \varphi$=$0$인 경우$,$ z({$displaystyle$z})의 주 $제곱근$은 r${\displaystyle e^{}}$ (${\displaystyle {0)}^{}}$ / ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}r\sqrt{}}$; {$displaystyle {r} e^{i$(0$)/2$} =$sqrrrrr})$입니다. 다른 말로 표현합니다.ative 실수는 음이 아닌 일반적인 제곱근입니다.를 들어 z ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle 2}$i $$( $so$ $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ -${\displaystyle 2\mathrm{}}$ / 2 \ $displaystyle$ \$varphi$ = - \$pi$ / 2 $($ so ${\displaystyle =}$ - / / 2$$\ $displaystyle$\ $varphi =$ - \ $pi$ /$$2 $)$인 경우 주 제곱근은 다음과같기 때문에 중요합니다.그러나${\displaystyle \stackrel{}{}}sq{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~${\displaystyle }$: ${\displaystyle =\mathrm{sq}}$ + ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{sq}}$ ${\displaystyle =}$ 3$$$sq{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$$/ 2$ \ $displaystyle$ { \ $varphi +$ 2 \$pi$ /$2$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$ ${\displaystyle e^{}}$（ ${\displaystyle {3\pi }^{}}$ / ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$） ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle i\sqrt{}=}$ - ${\displaystyle \sqrt{2}}$ e / 2 $} display$ { $2 } style$을 사용합니다$.$$}$

주 제곱근 함수는 양의 실수가 아닌 집합(엄밀히 말하면 음의 실수에서는 연속적이지 않음)을 제외하고 모든 곳에서 정형입니다.위의 1${\displaystyle \sqrt{}}$+$$(\$displaystyle {1+x})$에 Taylor 시리즈는 x<.$displaystyle$x$$<$1$ .

위는 삼각함수로도 표현할 수 있습니다.

대수식

실수 부분과 허수 부분을 사용하여 숫자를 표현하면 주 제곱근에 ^[20][21]다음 공식을 사용할 수 있습니다.

${{displaystyle {x+iy}}={frac {\fracrt {x^{2}+y^{2}}}}+x}{2}}+i\operatorname {sgn}(y){\frac {\frac {\frac {x^{2}+y^{2}}}-x}{2}}}$

여기서 sgn(y)은 y 기호이다(여기서 sgn(0) = 1은 제외).특히, 원수의 허수 부분과 제곱근의 주값은 같은 부호를 가진다.제곱근의 주값의 실제 부분은 항상 음이 아닙니다.

예를 들어, ±i의 주요 제곱근은 다음과 같이 구한다.

${\displaystyle {\displayrt {i}&=displayfrac {1}{\displayrt {2}}+i}=displayfrac {\displayrt {i}}{\displayrt {i},\displayfrac {i}{\displayfrcrcrcrc} {i}{1}\end { aligned}}$

메모들

다음에서 복소수 z와 w는 다음과 같이 표현될 수 있다.

• $({displaystyle z=z e^{i\theta_{z}})$
• ${\displaystyle w= w e^{i\theta _{w}}}$

여기서- " < z $"$ (\$displaystyle$ -$\pi)$<\$theta _{$z}\$leq$ \pi} -$"<$ $displaystyle -\tea$ _${w}\leq \pi$ 입니다.

복소 평면에서 제곱근 함수의 불연속성 때문에 다음 법칙은 일반적으로 참이 아닙니다.

• ${\displaystyle \sqrt{z}}$ w ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle z\sqrt{}}$w {\$displaystyle {zw} = sqrt$ {z}} {\$sqrt {w}}$ (주제곱근의 카운트 예: z = -1 및 w -1) 이 동일성은 - < z + w \ $displaystyle -\pi$ \ $ta$ { $z$+ ta $} _ ta le$ { ta } { ta } { ta } _ ta }이 $경우$에만 유효합니다.
• ${\displaystyle \frac{\sqrt{}}{\sqrt{}}}$ z ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{w}{}}}$z {$displaystyle {frac {w}}$ {\$frac {$w}} =$sparamrt$ {z}} = sparamrt ${frac$ {$w}${z}}}}$$ (주제곱근의 반례: w = 1 및 z = -1)이 동등성은 - < w - z $≤$ { $displaystyle -$ \ $pi$< \ $theta$_ { $w$} - \ $theta$_ { $z$} \ $leq$\$pi }$ 의 경우에만 유효합니다.
• $display$$^{*}($주제곱근의 반례: z = -1)이 동등성은 "$"$가 $"\displaystyle$ \$theta _{z}\neq$ \pi$"$인 경우에만 유효합니다.

분기 절단이 있는 다른 복잡한 함수에서도 유사한 문제가 나타난다. 예를 들어, 복소수 로그와 관계 logz + logw = log(zw) 또는 log(z^*) = log(z)^*는 일반적으로 참이 아니다.

예를 들어 -1 = 1을 나타내는 다음 법칙과 같이 이러한 법칙 중 하나가 몇 가지 결함이 있는 "불량"의 기초가 된다고 잘못 가정하면:

${\displaystyle {displaystyle}-1&=i\cdot i\&=cdot {-1}\cdot {-right}\cdot \cdot 1\right)}}\\&=paramrt {1}}\&=1\end{aligned}}$

세 번째 등식은 정당화될 수 없습니다(잘못된 증명 참조).이 값을 유지하려면 , 「」의 의미를 변경해, 이것이 주 제곱근을 나타내지 않게 됩니다$($상기 참조$displaystyle${\$sqrt {1}\cdot${\$sqrt${-$1}}$을 포함하는 제곱근의 분기를 선택합니다.$$ 왼쪽이 다음 중 하나가 됩니다.

${\displaystyle {-1}\cdot {-1}=i\cdot i=-1}$

브랜치에 +i 또는

$\displaystyle\cdot{-1}\cdot{-1}=cdoti)\cdot(-i)=-1}$

분기에 -i가 포함되어 있는 반면 오른쪽은

$\displaystyle\left\cdot\left1\right)}}=sqrt {1}}=-1,}$

여기서 마지막 등호 $1{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ $=$ - ${\displaystyle 1}$,$$({$displaystyle${{$displaystyle {$1}=-$1})$은 §의 재정의에서 분기 선택의 결과입니다.

N번째 근과 다항식 근

$x{\displaystyle }$$(x$)의$$ 제곱근의$$${\displaystyle {정의}^{}}$는 y ${\displaystyle 2}$ x(x$) =$ x(x) = x(x)로 다음과$$ 같이 일반화되었습니다.

$x의$세제곱근$({displaystyle$ x})은 ${\displaystyle {y3\mathrm{}}^{}}$${\displaystyle \text{exception 25:}}$$=$({$displaystyle$y$^{$$3$}=$x$$\})$가 $되는{\displaystyle \text{exception 25:}}$ $숫자{\displaystyle }$y({$displaystyle$$$y$})$입니다$.$$}$

n이 2보다 큰 정수일 경우$x의$$$n번째 루트 $y$는 y$$${\displaystyle n^{}}$ $=$ {\$displaystyle$ y$^{n$}=$x$가 됩니다$$.${\displaystyle \text{exception 25:}}$ n${\displaystyle \text{exception 25:}}$.$$\ $displaystyle${$n$} { $x$} 。$}$

임의의 다항식 p가 주어졌을 때, p의 근은 $p{\displaystyle {}^{}}$(y) = 0이 되는 숫자 y이다. 예를 들어, x의 n번째 근은 다항식 ${\displaystyle y^{}n}$ -${\displaystyle }$x의 근이다$.$ ({$displaystyle$ y$^{n}-x}).$

아벨-루피니 정리는 일반적으로 5도 이상의 다항식의 근은 n번째 근으로 표현될 수 없다고 말한다.

행렬 및 연산자의 제곱근

A가 양의 행렬 또는 연산자일 경우, B = A인 하나의² 양의 유한 행렬 또는 연산자 B가 정확히 존재합니다. 그런 다음 A = B를 정의합니다^1/2.일반적으로 행렬은 여러 개의 제곱근이나 심지어 무한의 제곱근을 가질 수 있습니다.예를 들어, 2 × 2 항등 행렬은 제곱근의 ^[22]무한대를 가지지만, 그 중 하나만 양의 유한이다.

필드를 포함한 통합 도메인 내

적분 도메인의 각 요소는 2제곱근을 넘지 않습니다.두 제곱² 단위 u - v² = (u - v)(u + v)의 차이는 곱셈의 교환성을 사용하여 증명된다.u와 v가 같은 원소의 제곱근이면 u - v² = 0이다². 0의 제수가 없기 때문에 u = v 또는 u + v = 0을 의미하며, 여기서 후자는 두 개의 루트가 서로 가산역임을 의미한다.즉, 원소 a의 제곱근 u가 존재하면 a의 제곱근은 u와 -u뿐입니다.적분 도메인에서 0의 유일한 제곱근은 0 자체입니다.

특성 2의 장에서 원소는 하나의 제곱근을 가지거나 아예 갖지 않는다. 왜냐하면 각 원소는 그 자체의 가산역이기 때문에 -u = u. 특성 2의 장이 유한하다면 모든 원소는 고유한 제곱근을 갖는다.다른 특성의 필드에서는 위에서 설명한 바와 같이 0이 아닌 요소는 2개의 제곱근을 가지거나 가지지 않습니다.

홀수 소수 p가 주어졌을 때, 어떤 양의 정수 e에 대해 q^e = p라고 하자.q원소를 갖는 필드_q F의 0이 아닌 원소는 F에_q 제곱근을 가지면 2차 잔기가 된다.그렇지 않으면 2차 비잔류입니다.(q - 1)/2차 잔기가 있고 (q - 1)/2차 비잔기가 있으며, 0은 어느 클래스에도 카운트되지 않습니다.2차 잔기는 곱셈 아래 군을 형성한다.2차 잔기의 특성은 수 이론에서 널리 사용된다.

일반적으로 링 내

통합 도메인과 달리 임의의(단순) 링의 제곱근은 서명까지 고유할 필요가 없습니다.예를 들어, 정수 모듈로 ${\displaystyle 8의}$링 Z /$$ Z (\$displaystyle \mathbb {Z}$ /$8\mathbb {Z})$에서 요소 1은 ±1 및 ±3의 4개의 서로 다른 제곱근을 가집니다.

또 다른 예는 0의 제수는 없지만 가환하지 않는 $사분위수{\displaystyle \mathbb{}}$ H$,$ \$displaystyle \mathbb {H}$의 링입니다.여기서 요소 -1은 ±i, ±j, ±k를 포함한 무한히 많은 제곱근을 가진다.사실, -1의 제곱근 집합은 정확히

$({displaystyle\{ai+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\})$

0의 제곱근은 0 또는 0 제수 중 하나입니다.따라서 0의 제수가 존재하지 않는 링에서는 고유하게 0이 됩니다.단, 제수가 0인 링은 0의 복수 제곱근을 가질 수 있습니다.예를 들어${\displaystyle }$Z / ${\displaystyle n{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbb{}}$ Z$,$ \$displaystyle \mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z}$에서 $n$의 배수는 0의 제곱근입니다.

제곱근의 기하학적 구조

양수의 제곱근은 보통 면적이 주어진 숫자와 같은 정사각형의 변 길이로 정의됩니다.그러나 정사각형 모양은 필요하지 않습니다. 두 개의 유사한 평면 유클리드 물체 중 하나가 다른 물체보다 면적이 1배 더 클 경우 선형 크기의 비율은 $\$입니다.

제곱근은 나침반과 직선으로 구성할 수 있습니다.Euclid(기원전 300년)는 원소(Elements)에서 제안 II.14와 제안 VI.13의 두 곳에 두 수량의 기하평균을 구축했다. a와 b의 기하평균은 b$(\display$ style {$ab$이므로 b=1을 취하기만 하면 \$displaystyle {rt {ab})$을 $구성$할 수 있다.

또한 데카르트가 그의 라 게오메트리에를 통해 설명했습니다. 그림 2(2페이지)를 참조하십시오.그러나 데카르트는 독창성을 주장하지 않았고 그의 청중들은 유클리드에 대해 상당히 친숙했을 것이다.

제6권에서 유클리드의 두 번째 증거는 유사한 삼각형의 이론에 의존한다.AHB를 AH = a 및 HB = b인 길이 a + b의 선분이라고 하자. AB를 직경으로 구성하고 C를 H에서 수직 현의 두 교차점 중 하나로 하고 길이 CH를 h로 나타낸다.그리고 탈레스의 정리와 비슷한 삼각형에 의한 피타고라스의 정리의 증명에서와 같이, 삼각형 AHC는 삼각형 CHB와 유사하다(둘 다 삼각형 ACB와 유사하지만, 우리는 필요하지 않지만, 그것은 피타고라스의 정리에 대한 증명의 본질이다). 그래서 AH는 다음과 같이 된다.CH는 HC와 같습니다.HB(즉, a/h = h/b)는 h = ab, 그리고 $마지막$으로 h $=$ ${\displaystyle a\sqrt{}}$ {$displaystyle\frac{}{}$ h =$abrt {ab$ 선분 AB의 중간점 O를 표시하고 길이(a + b)/2)의 반경 OC를 그릴 때, OC > 2$\frac{+}{\mathrm{}}$, a를² 교차 곱하여 결론을 내린다.$}}\geq$(a $=$ b인 경우에만 동일함),$$ 두 변수에 대한 산술적 평균 부등식이며 위에서 설명한 바와 같이 고대 그리스가 "헤론의 방법"을 이해하는 기초가 된다.

직각삼각형과 인덕션을 사용하는 또 다른 기하학적 구성 방법: $($스타일 {$1})$을 구성할 수 있으며 x$($$디스플레이$스타일 {$x})$가 $구성$되면 x${\displaystyle \sqrt{(}}$디스플레이 스타일 {x})와 x($디스플레이$ 스타일 {x$})$의 직각삼각형의 빗변은$$x+$1(디스플레이$ 스타일 {$})$입니다.$1$ 이렇게 연속된 제곱근을 만들면 위에서 설명한 테오도로스의 나선형이 생성됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 아포토메(수학)
• 입방근
• 함수 제곱근
• 정수 제곱근
• 내포근
• N번째 루트
• 단결의 근원
• 연속 분수로 2차 방정식 풀기
• 제곱근 원리
• 양자 게이트 square NOT 게이트의 제곱근(notNOT)

메모들

레퍼런스

• Dauben, Joseph W. (2007). "Chinese Mathematics I". In Katz, Victor J. (ed.). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
• Gel'fand, Izrael M.; Shen, Alexander (1993). Algebra (3rd ed.). Birkhäuser. p. 120. ISBN 0-8176-3677-3.
• Joseph, George (2000). The Crest of the Peacock. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8.
• Smith, David (1958). History of Mathematics. Vol. 2. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-20430-7.
• 를 클릭합니다Selin, Helaine (2008), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer, Bibcode:2008ehst.book.....S, ISBN 978-1-4020-4559-2.

외부 링크

• 알고리즘, 구현 등– Paul Hsieh의 스퀘어 루트 웹 페이지
• 제곱근을 수동으로 찾는 방법
• AMS 특집 칼럼, 토니 필립스의 갈릴레오 산술 – 갈릴레오가 어떻게 제곱근을 찾았는지에 대한 섹션이 포함되어 있습니다.