베르사네

버신 또는 조숙한 사인(Versine)은 초기(Vedic Ariabhatia I) 삼각함수 중 일부에서 찾을 수 있는 삼각함수다. 각도의 버진은 코사인을 1에서 뺀 값이다.

몇 가지 관련 기능이 있는데, 특히 커버라인과 해버신이 가장 눈에 띈다. 후자는 절반의 버사인이며 항법의 haversine 공식에서 특히 중요하다.

개요

버신^[2]^[3]^[4]^[5]^[6] 또는 조숙한 사인^[7]^[8]^[9]^[10]^[11](sin)은 초기 삼각함수 중 일부에 이미 나타난 삼각함수다. versin((), sinver(θ), ^[12]^[13]vers(θ), ver(() 또는 siv(θ)^[14]로 쓰여 있다.^[15]^[16] 라틴어로 부비동 대 (flipped sine), 베르시누스 대 또는 궁수(화살표)로 알려져 있다.^[17]

반면 더 일반적으로 사용되는 "수직" 사인(시너스 직사각형) 및 코사인(코시너스 직사각형) 함수의 관점에서 표현하면, 버신은 다음과 같다.

${\textrm {versin}(\theta )=1-\cos(\theta )=2\sin ^{2}\leftime\frac{}}{2}}\오른쪽)$

버사인에 해당하는 몇 가지 관련 기능이 있다.

숙련된 코사인(^[18]^{[nb 1]}또는 Vercosine), 문서화된 Vercosin(vercosin)(vercosin), vercosin(vercosin) 또는 VCS(vocal)
커버된 사인, 커버라인,^[19] 코지누스 대 또는 커버리누스, 서면 커버린(^[20]커버진), 커버(^[21]^[22]^[23]커버진), 코지브(코지브) 또는 CV(커버진)^[24]
커버 코사인 또는^[25] 커버코사인, 서면 커버코신(covercosin) 또는 커버코사(covercosin) 또는 cvc(cvc)

위에서 언급한 네 가지 기능과 완전히 유사하게 네 가지 "반값" 기능의 다른 집합도 존재한다.

haversed sine,^[26] haversine 또는 semiversus,^[27]^[28] 서면 haversin(θ), semiversin(θ), semiversinus(θ), haversinus(θ), hav(θ),^[29]^[30] hvs(^{[nb 2]}θ), sem(θ) 또는 hv(θ)로 ^[31]항법에서 역사적으로 사용된 haversine 공식에서 가장 유명하다.
Haversed cosine^[32] 또는 havercosine, 서면 havercosin(havercosin), havercosin(havercosin), hac(hauc) 또는 hvc(havc)
hacoversine^[20] 또는 cohaversine이라고도 하며, hacoversin(semicoversin), semicoversin(semicoversin), hacov(sv)^[33] 또는 hcv(sv)라고도 한다.
하코버 코사인(^[34]Hacovercosine) 또는 코하버코사인(cohavercosine)이라고도 하며, 글로 쓰여진 하코버코신(hacovercosin) 또는 hcc(hcc)라고도 한다.

기록 및 응용 프로그램

버진 및 커버린

1 각도의 사인, 코사인 및 버진(Versine)은 O를 중심으로 반경 1의 단위 원 단위로 표시된다. 이 그림은 또한 왜 버사인이 때때로 화살표로 라틴어로 궁수, 궁수라고 불렸는지를 보여준다.^[17]^[35] 2각 Δ = 2θ의 호 ADB를 "보우"로 보고 화음을 표시할 경우AB의 "스트링"으로서 버진 CD는 분명히 "화살구 축"이다.

sin 및 cos와 비교한 과거 삼각함수의 그래프 - SVG 파일에서 마우스를 가리키거나 그래프를 클릭하여 강조 표시

보통 사인 함수(원어에 대한 참고 참조)는 때때로 역사적으로 정맥동 직사각형("직선 사인")이라고 불렸으며, 이를 정맥 사인(sinus 대 sinus)과 대조한다.^[36] 이러한 용어의 의미는 단위의 정의에 대해 원래의 맥락에서 함수를 살펴보면 명백하다.

단위 원의 수직 현 AB의 경우, 각도 θ의 사인(하위 각도 Δ의 절반을 나타냄)은 거리 AC(현재의 절반)이다. 반면 θ의 조예로운 사인( sine sine)은 화음의 중심에서 호의 중심까지의 거리 CD이다. 따라서 cos(cos)(line OC의 길이와 같음)와 versin(versin)(line CD의 길이와 같음)의 합은 반지름 OD(길이 1)이다. 이런 식으로 설명하면, 사인(Sine)은 수직(직선, 문자 그대로 "직선")인 반면, 버진은 수평(대면, 문자 그대로 "뒤집고, 뒤집고, 바깥쪽으로")인 반면, 둘 다 C에서 원까지의 거리인 것이다.

이 그림은 또한 같은 의미의 아랍어 용법에서^[37] 베르사인이 때때로 화살의 라틴어인 궁수(sagitta)라고 불리던 이유를 잘 보여준다.^[17]^[35] 이 자체가 'utkrama-jya'를 가리키는 말로 통용되던 인도어 'sara'(화살표)^{[citation needed]}에서 유래한 것이다. 만일 이중각 Δ = 2㎛의 원호 ADB를 "보우"로, 현 AB를 "끈"으로 본다면, 버진 CD는 분명히 "화살축"이다.

사인(signal)을 "수직"으로, 조예가 깊은 사인(signal)을 "수평"으로 해석하면, 사지타는 또한 압시사(그래프의 수평축)^[35]와 구식 동의어다.

1821년, 코시치는 부비동 대 코시누스 대 커버린 대 (cosiv)라는 용어를 사용했다.^[15]^[16]^{[nb 1]}

삼각함수는 O를 중심으로 한 단위 원 단위로 기하학적으로 구성할 수 있다.

역사적으로 조예로운 사인(sine)은 가장 중요한 삼각함수 중 하나로 여겨졌다.^[11]^[36]^[37]

θ이 0으로 가듯이 versin(versin)은 거의 동일한 두 수량의 차이이므로, 코사인용 삼각형 표의 사용자만 치명적인 취소를 피하기 위해 versine을 얻기 위해서는 매우 높은 정확도가 필요할 것이며, 후자를 위한 별도의 표를 편리하게 만들 수 있다.^[11] 계산기나 컴퓨터를 사용해도 반올림 오차는 작은 θ에 대해² 죄 공식을 사용하는 것이 바람직하다.

버진의 또 다른 역사적 장점은 항상 음성이 아니므로 로그가 0인 단일 각도(θ = 0, 2 2, …)를 제외하고 모든 곳에 정의된다는 것이다. 즉, 버진을 포함하는 공식에서 승수를 위해 로그 표를 사용할 수 있다.

사실 기원전 3세기까지 거슬러 올라가는 인도의 수리아 싯다냐로부터 계산된 사인(반쪽 초르드) 값들의 초기의 생존 표는 (프톨레마이오스 및 다른 그리스 저자들이 표로 나타낸 화음과 대조적으로) 사인 및 조예 사인 값들의 표였다(0도에서 90°^[36]까지 3.75° 증가).

버진은 반각 공식 sin²(sin)의 적용에서 중간 단계로 나타난다.θ/2) = 프톨레마이오스가 도출한 1/2베르신(θ)으로, 이러한 테이블을 구성하는 데 사용되었다.

해버신

특히 해버신은 주어진 각도 위치(예: 경도 및 위도)에 주어진 천문학적인 스피로이드 (지구 반지름 대 구의 문제 참조)의 거리를 합리적으로 정확하게 계산하는 데 사용되는 해버신 공식에 나타나기 때문에 항법에서 중요했다. 또한² 죄(θ/2)를 직접 사용할 수도 있지만, 하버신 테이블을 만들면 사각형 및 사각형 뿌리를 계산할 필요가 없어졌다.^[11]

호세 드 멘도자 이 리오스의 후기 해버신이라고 불릴 만한 초기 활용은 1801년에 기록되어 있다.^[13]^[38]

Haversine 테이블과 동등한 것으로 알려진 최초의 영어는 1805년에 James Andrew에 의해 출판되었다.^[39]^[40]^[17]

1835년에 haversine이라는 용어(자연적으로 hav. 또는 logarithmically로 로그로 10 base-10으로 표기함). Haversine 또는 로그. havers.)는 제임스 인먼이^[13]^[42]^[43] 그의 저서 Navigation and Nautical Antomics의 3번째 판에서 만든^[41] 말이다. Use of British Seemen은 항법 응용에 구형 삼각법을 사용하여 지구 표면의 두 지점 사이의 거리 계산을 단순화한다.^[2]^[41] 인만은 또한 nat이라는 용어를 사용했다. 버신과 낫 버선용 ^[2]버선

해버신들의 다른 높은 평가를 받는 테이블들은^[39]^[44] 1856년 리처드 팔리와 1876년 존 콜필드 핸잉턴의 그것들이다.^[39]^[45]

Haversine은 항법 수술에 계속 사용되고 있으며, Bruce D에서와 같이 최근 수십 년 동안 새로운 응용 프로그램을 발견했다. 스타크가^[46]^[47] 1995년부터 가우스 로그(Gaussian logarithms)를 활용한 달 거리를 치우는 방법이나 2014년부터 시력 감소를 위한 보다 컴팩트한 방법.^[31]

현대 용법

버진, 커버린, 해버신의 사용과 그 역기능은 수세기 전으로 거슬러 올라갈 수 있지만, 다른 다섯 가지 기능들의 이름은 훨씬 더 어린 것으로 보인다.

는 20m현정시의 어느 기간(0<>θ<>π/2)이나, 0에서 한 haversi(에 때문에 부드럽(가치와 비탈의 연속)" 켜"좀 더 일반적으로 한 haversine(또는 havercosine)파형도 일반적으로 신호 처리 및 제어 이론에 쓰러져 맥박의 형태 또는 창 기능(Hann, Hann–Poisson과 터키 윈도우를 비롯하)로 사용된다.완벽한 카메라를다시 ^{[nb 2]}0으로 돌아가다 이러한 응용 프로그램에서는 Hann 함수 또는 상승 코사인 필터로 명명된다. 마찬가지로, 하버코사인은 확률 이론과 통계에서 상승-코사인 분포에 사용된다.

죄²(θ)의 형태로 양각 Δ의 haversine은 2005년 이후 노먼 존 와일드버거가 제안한 계량학적 평면과 고체 기하학의 개혁인 이성 삼각법에서 확산과 각도 사이의 관계를 설명한다.^[48]

수학적 정체성

정의들

${\textrm {versin}(\theta ):=2\sin ^{2}\!\lefts\frac {\theta }{2}}\오른쪽)=1-\cos(\theta )\,$ ^[3]
${\textrm {coversin}(\theta ):={\textrm {versin}\!\left\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin(\theta )\,$ ^[3]
${\textrm {vercosin}(\theta ):=2\cos ^{2}\!\lefts\frac {\theta }{2}}\오른쪽)=1+\cos(\theta )\,$ ^[18]
${\textrm {covercosin}(\theta ):={\textrm {vercosin}\!\left\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1+\sin(\theta )\,$ ^[25]
${\textrm {haversin}(\theta ):={\frac {{\textrm {versin}(\theta )}{2}}=\sin ^{2}\!\lefts\frac {\theta }{2}}\오른쪽)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,$ ^[3]
${\textrm {hacoversin}(\theta ):={\frac {{\textrm {coversin}(\theta )}{2}}={\frac {1-\sin(\theta )}{2}}\,$ ^[20]
${\textrm {havercosin}(\theta ):={\frac {{\textrm {vercosin}(\theta )}{2}}=\cos ^{2}\!\lefts\frac {\theta }{2}}\오른쪽)={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\,$ ^[32]
${\textrm {haovercosin}(\theta ):={\frac {{\textrm {covercosin}(\theta )}{2}}={\frac {1+\sin(\theta )}{2}}\,$ ^[34]

원형 회전

그 기능들은 서로 순환하는 것이다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\mathrm{versin}(\theta)&, =\mathrm{coversin}\left(\theta+{\frac{\pi}{2}}\right)=\mathrm{vercosin}\left(\theta +\pi \right)=\mathrm{covercosin}\left(\theta+{\frac{3\pi}{2}}\right)\\\mathrm{haversin}(\theta)&, =\mathrm{hacoversin}\left(\theta+{\frac{\pi}{2}}\right)=\mathrm{havercosin}\left(\.세타 +\pi \right)=\mathrm {haovercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\오른쪽)\ended{aigned}}}}

파생상품 및 통합

${\frac {\mathrm {d}{\mathrm {d} x}\mathrm {versin}(x)=\sin {x$ ^[49]	$\int \mathrm {versin}(x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C$ ^[3]^[49]
${\frac {\mathrm {d}{\mathrm {d}x}\mathrm {vercosin}(x)=-\sin {x$	$\int \mathrm {vercosin}(x)\,\mathrm {d}x+\sin {x}+C$
${\frac {\mathrm {d}{\mathrm {d}x}\mathrm {d}x}\mathrm {mathin}(x)=-\cos {x}$ ^[19]	$\int \mathrm {coversin}(x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C$ ^[19]
${\frac {\mathrm {d}{\mathrm {d}x}\mathrm {covercosin}(x)=\cos{x}$	$\int \mathrm {covercosin}(x)\,\mathrm {d}x-\cos {x}+C$
${\frac {\mathrm {d}{\mathrm {d}x}x}\mathrm {haversin}(x)={\frac {\x}{2}}:$ ^[26]	$\int \mathrm {haversin}(x)\\mathrm {d} x={\frac {x-\sin{x}}{2}}+C$ ^[26]
${\frac {\mathrm {d}{\mathrm {d}x}x}\mathrm {havercosin}(x)={\frac {-\sin}{2}}:$	$\int \mathrm {havercosin}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\sin{x}}:{2}}+C$
${\frac {\mathrm {d}{\mathrm {d} x}\mathrm {hacoversin}(x)={\frac {-\cos{x}{2}}$	$\int \mathrm {hacoversin}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\cos{x}}{2}}+C$
${\frac {\mathrm {d}{\mathrm {d} x}\mathrm {haovercosin}(x)={\frac {\cos}{2}}:$	$\int \mathrm {haovercosin}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\cos{x}}{2}}+C$

역함수

arcversine[33](arcversin, arcvers,[7][33]avers,[50][51]단언하다),arcvercosine(arcvercosin, arcvercos, avercos, avcs), arccoversine[33](arccoversin, arccovers,[7][33]acovers,[50][51]acvs),arccovercosine(arccovercosin, arccovercos, acovercos, acvc),archaversine(archaversin, archav,[33]haversin−1,[52]invhav,[33][53]는 경우 54처럼 역 기능을 가집니다.][55]ahvs, ahv, hav−1[56][57]),archavercosine(archavercosin, 아치 ahav,[33][50][51].avercos, ahvc), archacoversine(archacoversin, ahcv) 또는 archacovercosine(archacobovercosin, archacobovercosin, ahcc)도 존재한다.

$\propersin}(y)=\arccos \left(1-y\오른쪽)\,$ ^[33]^[50]^[51]
$\propercos}(y)=\arccos \left(y-1\right)\,$
$\coversin}(y)=\arcsin \left(1-y\오른쪽)\,$ ^[33]^[50]^[51]
$\covercos}(y)=\arcsin \left(y-1\right)\,$
$\propersin}(y)=2\arcsin \left\sqrt {y}\right)=\arccos \left(1-2y\right)\,$ ^[33]^[50]^[51]^[52]^[53]^[54]^[56]^[57]
$\computername {archavercos}(y)=2\arccos \left\sqrt {y}\right)=\arccos \left(2y-1\오른쪽)$
$\propersin}(y)=\arcsin \left(1-2y\right)\,$
$\covername {archacovercos}(y)=\arcsin \left(2y-1\right)\,$

기타 속성

이 기능들은 복잡한 평면으로 확장될 수 있다.^[49]^[19]^[26]

Maclaurin 시리즈:^[26]

{\regated}\bersin}(z)&=\sum _{k=1}^{k=1}{k-1}z^{2k}{{k(2k)!}}}\\\haversin} {haversin}(z)&=\sum _{k=1}^{k=1}{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}}\end{정렬}

\lim _{\to 0}{\frac {\bersin}(\theta )}{\theta }}

^[7]

{\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\operatorname{versin}(\theta)+\operatorname{coversin}(\theta)}}}-{\frac{{exsec\operatorname}(\theta)+\operatorname{excsc}(\theta)}(\theta)-\operatorname{excsc}(\theta)}}및{\operatorname{exsec}^{\frac{2\operatorname{vers(\theta)-\operatorname{coversin}(\theta){\operatorname{versin}.}에서 (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}\\[3pt][\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {exsec} (\theta )]\,[\operatorname {coversin} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )]&=\sin(\theta )\cos(\theta )\end{aligned}}}

^[7]

근사치

0 ~ 2π 범위의 각도에 대한 세 개의 근사치를 갖는 버진 함수와 비교

0 ~ π/2 범위의 각도에 대한 세 개의 근사치를 갖는 버진 함수와 비교

versine v가 r 반경에 비해 작을 경우, 공식으로 반치 길이 L(위 그림의 거리 AC)에서 근사치를 구할 수 있다.

v

v\approx {\frac {L^{2}}{2r}}

v\approx {\frac {L^{2}}{2r}}

v\approx {\frac {L^{2}}{2r}}

2

v\approx {\frac {L^{2}}{2r}}

{\

약

{\frac{{2}}:{2r

^[58] .

또는 버신이 작고 버진, 반지름 및 반음절 길이가 알려진 경우, 공식으로 호 길이 s(위 그림의 AD)를 추정하는 데 사용할 수 있다.

s\약간 L+{\frac {v^{2}}{r}

이 공식은 중국의 수학자 션궈에게 알려졌고, 궁수자리 역시 관련된 보다 정확한 공식은 2세기 후 궈수징에 의해 개발되었다.^[59]

공학에서^[60] 사용되는 보다 정확한 근사치는 다음과 같다.

v\ 약 {\frac {s^{\frac {3}{2}}L^{\frac {1}{1}{8r}}}

임의 곡선 및 화음

버진이라는 용어는 임의의 평면 곡선에서 직선으로부터의 편차를 설명하는 데 사용되기도 하는데, 이 중 위의 원은 특별한 경우다. 곡선의 두 점 사이에 화음이 주어지면 화음에서 곡선까지의 수직 거리 v(보통 화음 중간점에서)를 버신 측정이라고 한다. 직선의 경우, 어떤 화음의 버진(Versine)이 0이므로 이 측정은 곡선의 직선성을 특징으로 한다. 코드 길이 L이 0이 되면 한계에서 8v/L의² 비율은 순간 곡률에 도달한다. 이러한 용도는 철도 운송에서 특히 흔하며, 철도 선로의^[61] 직선성 측정을 기술하고 철도 측량을 위한 한라데 방식의 기초가 된다.

사지타(sagitta, 흔히 약칭 sag)라는 용어는 렌즈와 거울의 표면을 설명하기 위해 광학에서 비슷하게 사용된다.

참고 항목

메모들

^ Jump up to: ^a ^b 일부 영국 출처는 정통한 코사인(cosine)과 표지의 사인(sign)을 혼동한다. 역사적으로(예: 1821년, Cauchy에서), 축농 대 (versine)는 시브(siv) = 1-cos(cosin)로, 코시누스 대 (현재는 cosin)는 코시누스(cosiv) = 1-sin(cosin)으로, 베르코사인은 vcosine = 1+cos(cos)로 정의되었다. 그러나, 2009년 카우치 작품의 영문 번역에서 브래들리와 샌디퍼는 코시누스 대 (그리고 코지브)를 커버된 사인보다는 조예가 깊은 코사인 (현재는 베르코신이라고도 한다)과 연관시킨다. 마찬가지로 1968/2000년 작품에서 코른과 코른은 커버된 사인 대신 숙달된 코사인(cosine)과 커버(cover) 기능을 연관시킨다.
^ Jump up to: ^a ^b 신호 처리 및 필터링에서 haversine 함수에 사용되는 약어 hvs는 관련 없는 Hubiside step 함수에 사용되기도 한다.

참조

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추가 읽기

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외부 링크

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[hvs-32] Jump up to: ^a ^b 신호 처리 및 필터링에서 haversine 함수에 사용되는 약어 hvs는 관련 없는 Hubiside step 함수에 사용되기도 한다.

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무리	삼각법 사인 역삼각계 쌍곡선 역 쌍곡선
기타	베르사네 엑세컨트 야, 고티야, 우트크라마야 atan2

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