소각 근사치

x

→

0

에 대한 일부(트리거계) 함수의 대략적인 동일 동작

문제의 각도가 작고 라디안으로 측정되는 경우, 소각 근사치를 주 삼각함수의 값 근사치에 사용할 수 있다.

{\regated}\sin \theta &\cos \theta \cos \cos \theta \1-{2}}:\1\\tan \theta \ended}}}}}

이 근사치들은 기계학, 전자학, 광학, 지도학, 천문학, 컴퓨터 과학을 포함한 물리학과 공학 분야의 광범위한 용도를 가지고 있다.^[1]^[2] 그 이유 중 하나는 절대 정밀하게 대답할 필요가 없는 미분방정식을 크게 단순화할 수 있기 때문이다.

소각 근사치의 타당성을 입증하는 방법에는 여러 가지가 있다. 가장 직접적인 방법은 각 삼각함수에 대해 매클라우린 시리즈를 잘라내는 것이다. 근사치 $\textstyle \cos \theta$ 에 따라 $\textstyle \cos \theta$ cos $\textstyle \cos \theta$ {\ $displaystyle$ \ $textstyle \cos \theta}$ 은(는)1 {\ $displaystyle$ 1 $1$ } ${\textstyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ 1 - ${\textstyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ ${\textstyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ 2 {\ $textstyle$ 1-{\ $frac {\ta ^{2}}}}}}}$ 의 근사치가 된다 $\textstyle \cos \theta$ ${\textstyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ ^[3]

정당화

그래픽

근사치의 정확도는 아래 그림 1과 그림 2에서 확인할 수 있다. 각도의 측정이 0에 가까워지면 근사치와 원래 함수 사이의 차이도 0에 가까워진다.

그림 1. 기본 홀수 삼각함수와 $θ$ 의 비교. 각도가 0에 가까워질수록 근사치가 좋아지는 것으로 보인다.
그림 2. cosθ의 1− .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{에 대한 비교이다.border-top:1px}고체.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}θ2/2. 각도가 0에 가까워질수록 근사치가 좋아지는 것으로 보인다.

기하학

오른쪽의 빨간색 부분 $d$ 는 하이포텐use의 길이인 $H$ 와 인접한 면인 $A$ 의 차이다. 표시된 것처럼 $H$ 와 $A$ 의 길이는 거의 비슷하여, $θ$ 은 1에 $가깝고 2$ $// 2$ 는 붉은색을 다듬는 데 도움이 된다는 뜻이다.

\cos{\theta }\precan 1-{{{{{2}}:}

반대쪽 $다리$ 인 O는 대략 파란색 원호의 길이 $s$ 와 같다. 기하학에서 $사실$ 을 수집하는 s = $Aθ$ , 삼각법에서, 죄 $θ$ = $O / H$ , $황갈$ $θ$ = O $/ A$ , $그림$ 에서 $O$ ≈ $s$ 와 H ≈ $A$ 는 다음과 같이 이어진다.

\sin \theta ={\frac {O}{H}}}\약 {\frac {O}}=\tan \tan \theta ={\frac {O}{A}}\약 {\frac {s}{s}}{\frac {s}}}}}{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}A}}}={\frac {A\theta}{A}}=\theta .

나뭇잎 단순화,

\displaystyle \sin \theta \tan \theta \to.}

미적분학.

Using the squeeze theorem,^[4] we can prove that ${\textstyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,}$ which is a formal restatement of the approximation $\sin(\theta )\approx \theta$ for small values of θ.

A more careful application of the squeeze theorem proves that ${\textstyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,}$ from which we conclude that $\tan(\theta )\approx \theta$ for small values of θ.

Finally, L'Hôpital's rule tells us that ${\textstyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},}$ which rearranges to ${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ θ의 작은 값에 대한 ${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ ${\textstyle \cos(\theta )\$ 약 $1-{{{\frac$ {\ $theta$ ^{ $2}}:}}$ Alternatively, we can use the double angle formula $\cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A$ . By letting $\theta =2A$ , we get that ${\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{$ $2}}{2}}}$ .

대수학

사인 함수의 작은 각도 근사치.

관련 삼각함수의 Maclaurin 확장(Taylor 확장 약 0)은^[5]

{\signified}\sin \theta &=\sum _{n=0}^{\flac{(-1)^{n}}{{n}{n+1)!}}}\theta ^{2n+1}\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3}}}{3!}}}+{\frac {\theta ^{5}{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}{7}}{7!}}}+\cdots \end{aigned}

여기서 $θ$ 은 라디안 단위의 각이다. 더 명확한 표현으로,

\sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}+{6}}{\frac {\5}}}{120}-{\fracta ^{7}}}{5040}}}+\cdots}}}}

두 번째 가장 유의한(3차 순서) 항이 첫 번째 항의 정육면체로서 떨어져 나가는 것을 쉽게 알 수 있다. 따라서 0.01과 같이 작지 않은 논거에서도 두 번째 유의어의 값은 첫 번째 항의 0.000001 또는 1/10000의 순서에 있다. 따라서 안전하게 근사치를 구할 수 있다.

\displaystyle \sin \theta \cHBFFF \theta

연장선상으로는 작은 각도의 코사인(cosine)이 매우 1에 가깝고, 접선은 사인(sine)이 코사인(cosine)으로 나눈 값이기 때문에,

\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta

\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta

\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta

\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta

\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta

\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta

{ { { {

{ display

\

displaystyle

\tan \tan

\tan

\

theta

약

\sin \theta \closed

\?

근사 오차

그림 3. 작은 각도 근사치의 상대적 오차를 나타내는 그래프.

그림 3은 작은 각도 근사치의 상대적 오류를 보여준다. 상대 오차가 1%를 초과하는 각도는 다음과 같다.

$cos$ $θ$ ≈ ≈ 약 0.1408 라디안 (8.07°)에서 $1$
0.1730 라디안(9.91°) 정도에서 $tan$ $tan$ θ.
약 0.2441 라디안 (13.99°)에서 $sin$ $θ$ ≈ $θ$ .
$cos$ $θ 1$ - $θ 2 / 2$ 약 0.6620 라디안(37.93°)

각도 합계 및 차이

각도 덧셈과 뺄셈의 이론은 각 중 하나가 작을 때(β raction 0) 다음과 같이 감소한다.

cos(α + β)	≈ cos(α), β sin(α),
cos(α − β)	≈ cos(α) + β sin(α),
sin(α + β)	≈ sin(α), + β cos(α),
sin(α − β)	≈ sin(α) − β cos(α).

특정 용도

천문학

천문학에서 먼 물체의 영상에 의해 감응되는 각도 크기나 각도는 종종 몇 아크초밖에 되지 않기 때문에 작은 각도 근사치에 잘 맞는다.^[6] 선형 크기( $D$ )는 각 크기( $X$ ) 및 관찰자( $d$ )와의 거리(d)와 단순한 공식에 의해 관련된다.

D=X{\frac {d}{206\,265}

여기서 $X$ 는 아크초 단위로 측정된다.

숫자 206265는 원 안의 아크초 수(1296000)와 거의 같으며, 2㎛로 나눈 값이다.

정확한 공식은

D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\000}\오른쪽)

그리고 위의 근사치는 $황갈색$ $X$ 가 $X$ 로 대체될 때 뒤따른다.

진자의 움직임

2차 코사인 근사치는 특히 진자의 잠재적 에너지를 계산하는 데 유용하며, 이는 라그랑지안과 함께 적용되어 운동의 간접(에너지) 방정식을 찾을 수 있다.

단순 진자의 기간을 계산할 때 사인 소각 근사치를 사용하여 단순 고조파 운동을 기술하는 미분방정식과 비교하여 결과 미분방정식을 쉽게 해결할 수 있다.

광학

광학에서 소각 근사치는 근사치의 기초를 형성한다.

파장 간섭

사인 및 접선 소각 근사치는 방정식을 단순화하기 위한 이중 슬릿 실험이나 회절 격자 실험과 관련하여 사용된다. 예: '프링 간격' = '파장' × '슬릿에서 스크린까지의 거리' ÷ '슬릿 분리'^[7]

구조역학

또한 소각 근사치는 구조 역학, 특히 안정성 및 분기 분석(주로 좌굴이 가능한 축방향으로 적재된 기둥)에서도 나타난다. 이것은 비록 정확성과 참된 행동에 대한 통찰력에는 비용이 들지만 상당한 단순화로 이어진다.

파일럿팅

항공 항법에서 사용되는 60분의 1의 규칙은 작은 각도 근사치에 그 기초를 두고 있으며, 게다가 한 개의 라디안이 대략 60도라는 사실을 가지고 있다.

보간법

작은 각도와 관련된 덧셈과 뺄셈에 대한 공식은 삼각 테이블 값 사이의 보간 작업에 사용할 수 있다.

예: sin(0.755)

죄(0.755)	= sin(0.75 + 0.005)
	≈ 죄(0.75) + (0.005) cos(0.75)
	≈ (0.6816) + (0.005)(0.7317)	[삼각계 표에서 확인된 죄(0.75) 및 cos(0.75) 값]
	≈ 0.6853.

참고 항목

참조

^ Holbrow, Charles H.; et al. (2010), Modern Introductory Physics (2nd ed.), Springer Science & Business Media, pp. 30–32, ISBN 978-0387790794.
^ Plesha, Michael; et al. (2012), Engineering Mechanics: Statics and Dynamics (2nd ed.), McGraw-Hill Higher Education, p. 12, ISBN 978-0077570613.
^ "Small-Angle Approximation Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2020-07-22.
^ Larson, Ron; et al. (2006), Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (4th ed.), Cengage Learning, p. 85, ISBN 0618606254.
^ Boas, Mary L. (2006). Mathematical Methods in the Physical Sciences. Wiley. p. 26. ISBN 978-0-471-19826-0.
^ Green, Robin M. (1985), Spherical Astronomy, Cambridge University Press, p. 19, ISBN 0521317797.
^ "Slit Interference".

[Holbrow2010-1] Holbrow, Charles H.; et al. (2010), Modern Introductory Physics (2nd ed.), Springer Science & Business Media, pp. 30–32, ISBN 978-0387790794.

[Plesha2012-2] Plesha, Michael; et al. (2012), Engineering Mechanics: Statics and Dynamics (2nd ed.), McGraw-Hill Higher Education, p. 12, ISBN 978-0077570613.

[3] "Small-Angle Approximation Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2020-07-22.

[Larson2006-4] Larson, Ron; et al. (2006), Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (4th ed.), Cengage Learning, p. 85, ISBN 0618606254.

[5] Boas, Mary L. (2006). Mathematical Methods in the Physical Sciences. Wiley. p. 26. ISBN 978-0-471-19826-0.

[Green1985-6] Green, Robin M. (1985), Spherical Astronomy, Cambridge University Press, p. 19, ISBN 0521317797.

[7] "Slit Interference".

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