마드하바의 사인표

마드하바의 사인표는 14세기 케랄라 수학자이자 천문학자인 상암아그라마의 마드하바(1340–1425)가 만든 삼각형 사인표입니다. 표는 3.75°에서 90°까지의 24개 각도의 자이야 또는 라인을 3.75°(직각의 1/24, 90°)의 단계로 나열합니다. Rsine은 사인에 선택된 반지름을 곱한 것일 뿐이고 정수로 주어집니다. 이 표에서 Aryabhata의 이전 표와 마찬가지로 R은 21600 ÷ 2 π ≈ 3437.75입니다.

표는 카타파야디 시스템을 사용하여 산스크리트 알파벳 문자로 인코딩되어 입력자에게 시 구절의 모양을 제공합니다.

마드하바의 표가 담긴 원본 작품은 발견되지 않았습니다. 이 표는 Nilakantha Somayji^[1] (1444–1544)의 Aryabhatiyabhashya와 Sankara Variar의 Tantrasamgraha의 Yuktidipika/Laghuvivrti 주석에도 재현되어 있습니다. 1500-1560).^{[2]: 114–123}

아래 구절들은 C.K.의 수학의 문화적 기반에서와 같이 제공됩니다. 라주.^{[2]: 114–123} 그것들은 P.K.에 의해 Karanapadhati의 Malayalam Commentary에도 주어졌습니다. 코루지만^[3] 조금 다릅니다.

테이블이.

구절은 다음과 같습니다.

첫 6절의 4분의 1은 3.75°에서 90°까지의 24개 각도에 대한 항목을 3.75°(첫 번째 열)의 단계로 나타냅니다. 두 번째 열에는 산스크리트어로 암호화된 Rsine 값이 포함되어 있습니다(데바나가리어). 세 번째 열은 ISO 15919 번역본에서 동일한 내용을 포함합니다. 네 번째 열에는 현대 숫자로 아크분, 아크초, 아크3초로 디코딩된 숫자가 포함되어 있습니다. 5번째 열에는 전통적인 "반지름"(21600 ÷ 2 π, π의 현대적 가치와 함께)에 의해 축척된 현대적 가치가 제시되어 있습니다.

각도 A, 도	마드하바가 준 린 A			현대의 sin A × (21600 ÷ π) 십진법으로
	데바나가리 스크립트에서	ISO 15919 번체	디코딩된 각도 분초 ″ 3분의 1
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
03.75	श्रेष्ठं नाम वरिष्ठानां	śreṣṭhaṁ nāma variṣṭhānāṁ	0224′50″22‴	0224′50″21.83‴
07.50	हिमाद्रिर्वेदभावनः	himādrirvēdabhāvanaḥ	0448′42″58‴	0448′42″57.58‴
11.25	तपनो भानुसूक्तज्ञो	tapanō bhānusūktajñō	0670′40″16‴	0670′40″16.05‴
15.00	मध्यमं विद्धि दोहनम्	madhyamaṁ viddhi dōhanam	0889′45″15‴	0889′45″15.61‴
18.75	धिगाज्यो नाशनं कष्टं	dhigājyō nāśanaṁ kaṣṭaṁ	1105′01″39‴	1105′01″38.94‴
22.50	छन्नभोगाशयाम्बिका	channabhōgāśayāmbikā	1315′34″07‴	1315′34″07.44‴
26.25	मृगाहारो नरेशोयं	mr̥gāhārō narēśōyaṁ	1520′28″35‴	1520′28″35.46‴
30.00	वीरो रणजयोत्सुकः	vīrō raṇajayōtsukaḥ	1718′52″24‴	1718′52″24.19‴
33.75	मूलं विशुद्धं नाळस्य	mūlaṁ viśuddhaṁ nāḷasya	1909′54″35‴	1909′54″35.19‴
37.50	गानेषु विरळा नराः	gāneṣu viraḷā narāḥ	2092′46″03‴	2092′46″03.49‴
41.25	अशुद्धिगुप्ता चोरश्रीः	aśuddhiguptā cōraśrīḥ	2266′39″50‴	2266′39″50.21‴
45.00	शङ्कुकर्णो नगेश्वरः	śaṅkukarṇō nageśvaraḥ	2430′51″15‴	2430′51″14.59‴
48.75	तनुजो गर्भजो मित्रं	tanujō garbhajō mitraṃ	2584′38″06‴	2584′38″05.53‴
52.50	श्रीमानत्र सुखी सखे	śrīmānatra sukhī sakhē	2727′20″52‴	2727′20″52.38‴
56.25	शशी रात्रौ हिमाहारौ	śaśī rātrou himāhārou	2858′22″55‴	2858′22″55.11‴
60.00	वेगज्ञः पथि सिन्धुरः	ē가짜나 ḥ병은 후라에 있습니다.	2977′10″34‴	2977′10″33.73‴
63.25	छाया लयो गजो नीलो	chāya layō gajō nīlō	3083′13″17‴	3083′13″16.94‴
67.50	निर्मलो नास्ति सत्कुले	nirmalō nāsti satkulē	3176′03″50‴	3176′03″49.97‴
71.25	रात्रौ दर्पणमभ्राङ्गं	rātrou darpaṇamabhrāṅgaṁ	3255′18″22‴	3255′18″21.58‴
75.00	नागस्तुङ्गनखो बली	nāgastuṅganakhō balī	3320′36″30‴	3320′36″30.20‴
78.75	धीरो युवा कथालोलः	dhīrō yuvā kathālōlaḥ	3371′41″29‴	3371′41″29.15‴
82.50	पूज्यो नारीजनैर्भगः	pūjyō nārījanairbhagaḥ	3408′20″11‴	3408′20″10.93‴
86.25	कन्यागारे नागवल्ली	kanyāgārē nāgavallī	3430′23″11‴	3430′23″10.65‴
90.00	देवो विश्वस्थली भृगुः	devo vi ī 바스탈 ̥ bhr ś구	3437′44″48‴	3437′44″48.37‴

마지막 구절은 다음과 같습니다. "이것들은 마드하바가 말한 호분, 초, 3분의 1로 구성된 위대한 R-신입니다. 앞의 각각의 것을 빼면 R-신-차이가 생길 것입니다."

비교를 통해 마드하바의 값은 Rsin(15°)을 제외하고 정확히 3분의 1의 정확도로 반올림되어 있으며, 대신 889'45 ″16 ‴까지 반올림했어야 한다고 생각합니다.

Katapayadi 시스템에서는 숫자가 역순으로 쓰여 있으므로, 예를 들어 15°에 해당하는 문자 그대로의 입력은 51549880이며, 이를 반대로 한 다음 0889'45 ″15 ‴로 읽습니다. 0은 값을 전달하지 않지만 시의 미터에만 사용됩니다.

표를 이해하는 간단한 방법

R = 21600 ÷ 2 π의 값이 선택된 이유 등에 대한 철학을 살펴보지 않고, 우리의 현대 사인 테이블 개념과 jya 테이블을 연관시키는 가장 간단한 방법은 다음과 같습니다.

오늘날에도 사인 테이블은 일정한 정밀도로 소수로 제공됩니다. sin(15°)이 0.1736으로 주어지면 유리한 1736 ÷ 10000이 실제 무한 정밀도 수의 좋은 근사치임을 의미합니다. 유일한 차이점은 초기에는 분수에 대한 소수값(또는 분모로서의 10의 거듭제곱)에 대해 표준화하지 않았다는 것입니다. 따라서 그들은 다른 고려 사항(여기서는 논의하지 않음)에 기반한 다른 분모를 사용했습니다.

따라서 표에 표시된 사인 값은 단순히 주어진 정수 값을 표에 대해 선택한 R로 나눈 값으로 근사화할 수 있습니다.

또 다른 혼란스러운 점은 R-신을 표현할 때 아크분 등과 같은 각도 측도를 사용하는 것입니다. 현대적인 정강이는 단위가 없는 비율입니다. Jya-s 또는 R-sine은 길이 또는 거리의 측정값을 곱한 것과 같습니다. 그러나 이 표들은 대부분 천문학에 사용되었고, 천구의 거리는 각도 측도로 표현되므로 이 값들도 마찬가지로 주어집니다. 그러나 그 값은 어쨌든 유리수의 일부로 사용될 것이고 그 단위는 취소될 것이기 때문에 단위는 실제로 중요하지 않으며 너무 심각하게 받아들일 필요가 없습니다.

그러나 이것은 또한 마드하바가 아랴바타의 초기 표를 다듬는 데 있어 60진법의 하위구분을 사용하도록 유도합니다. 더 큰 R을 고르는 대신, 그는 몇 초와 3분의 1을 사용하여 주어진 몇 분의 시간 위에 그가 결정한 추가 정밀도를 제공했습니다. 이전과 마찬가지로, 이것들은 단순히 분수를 표현하는 다른 방식으로 받아들여질 수 있고 반드시 각도 측정으로 받아들여질 필요는 없습니다.

가치를 이해하는 또 다른(더 어려운) 방법

측정값이 A인 각도를 생각해 보세요. 단위 반지름과 중심 O의 원을 생각해 보세요. 원의 호 PQ가 중심 O에서 각도 A를 향하도록 합니다. 수직 QR을 Q에서 OP로 떨어뜨린 다음 선분 RQ의 길이는 각도 A의 삼각 사인 값입니다. PS를 세그먼트 RQ의 길이와 동일한 원의 호라고 합니다. 다양한 각도 A에 대해 Madhava의 표는 $해당$ 각도 ∠ ${\displaystyle$ \angle } POS의 측정값을 아크 분, 아크 초 및 아크 초의 60분 단위로 제공합니다.

예를 들어 A를 측정값이 22.50°인 각도라고 합니다. Madhava의 표에서, 22.50°에 해당하는 엔트리는 각도의 아크분, 아크초 및 60분의 1의 각도로 측정되며, 그 값은 반지름의 값입니다. sin 22.50°, 0.3826834입니다.

0.3826834 라디안에 180/π을 곱하여 21.92614도로 변환합니다.

1315 아크분 34 아크초 07 아크초의 60분의 1, 약칭 13153407.

측도가 A인 각에 대하여,

${\displaystyle \angle POS = m{\text{ arcminuts, }}s{\text{ arcseconds, }t{\text{ arcseconds}}$

그러면.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(A)&=RQ\\&={\text{length of arc}}PS\\&=\angle POS{\text{in\ladians}}\\\end{aligned}}$

표에서 삼각형 사인의 유도

표의 각 행은 8자리를 지정합니다. 각도 A(왼쪽에서 오른쪽으로 읽음)에 해당하는 숫자는 다음과 같습니다.

${\displaystyle d_{1}\quad d_{2}\quad d_{3}\quad d_{4}\quad d_{5}\quad d_{6}\quad d_{7}\quad d_{8}}$

그리고 카타파야디 체계의 규칙에 따라 오른쪽에서 왼쪽으로 가져가야 하며 우리는 다음과 같은 것을 가지고 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=d_{8}\times 1000+d_{7}\times 100+d_{6}\times 10+d_{5}\\s&=d_{4}\times 10+d_{3}\\t&=d_{2}\times 10+d_{1}\end{aligned}}}$

${\displaystyle B=m^{\prime }s^{\prime \prime }t^{\prime \prime }={\frac {1^{\circ}}{60}\left(m+{\frac {s}{60}}+{\frac {t}{60\t}{60\t}\right)}$

라디안으로 표현된 위의 각도 B의 값은 A의 사인 값과 일치할 것입니다.

${\displaystyle \sin(A)={\frac {\pi}{180}}B}$

이는 앞서 언급한 바와 같이 인코딩된 값을 취한 R 값으로 나누는 것과 같습니다.

${\displaystyle \sin(A)={\frac {B}{\frac {21600^{\prime}}{2\pi}}}$

예

다음 표에는 각도 A = 45.00°에 해당하는 숫자가 나열되어 있습니다.

${\displaystyle 5\quad 1\quad 1\quad 5\quad 0\quad 3\quad 4\quad 2}$

측정 시 각도가 산출됩니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=2\times 1000+4\times 100+3\times 10+0{\text{ arcminutes}\\&=2430{\text{ arcminutes}\s&=5\times 10+1{\text{ arcseconds}\\t&=51{\text{ arcseconds}\t&=1\times 10+5{\text{sixtief of a arcseconds}\&=15{\text{sixtief of a arcseconds}\end{aligned}}}$

다음과 같은 이점이 있습니다.

${\displaystyle B={\frac {1^{\circ}}{60}\left(2430+{\frac {51}{60}}+{\frac {15}{60\times 60}\right)={\frac {116681}{2880}}}$

마드하바의 표에 주어진 A = 45.00°의 사인 값은 단지 B를 라디안으로 변환합니다.

${\displaystyle \sin 45^{\circ}={\frac {\pi}{180}}B={\frac {\pi}{180}\times {\frac {116681}{2880}}$

위의 내용을 보면, 45°의 sin은 0.70710681임을 알 수 있습니다. 소수점 이하 6자리까지 정확합니다.

마드하바의 계산법

사인표의 계산을 위해 그가 사용한 방법을 자세히 설명한 마드하바의 작품은 아직 남아 있지 않습니다. 그러나 Nilakantha Somayaji (Tantrasangraha)와 Jyeshtadeva (Yuktibhā ṣā)를 포함한 후대의 케랄라 수학자들의 저술에 의하면, Madhava는 sin x의 멱급수 전개를 사용하여 그의 사인표를 계산했다고 추측됩니다.

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

참고 항목

• 마드하바 시리즈
• 마드하바의 수정항
• 마드하바의 value의 가치
• Āryabhaṭa's sine table
• 프톨레마이오스의 화음표

참고문헌

추가참조사항

• Bag, A.K. (1976). "Madhava's sine and cosine series" (PDF). Indian Journal of History of Science. Indian National Academy of Science. 11 (1): 54–57. Archived from the original (PDF) on 5 July 2015. Retrieved 21 August 2016.
• 마드하바의 사인 테이블 계산에 대한 설명은 다음을 참조하십시오.
• Madhava의 사인표 계산에 대한 자세한 논의는 역사적 참고 문헌과 함께 다음과 같습니다.