Āryabhaṭa's sine table

아리아바타의 사인표는 5세기 인도의 수학자이자 천문학자인 아리아바타(476–550 CE)가 원의 특정 호의 반음계를 계산하기 위해 쓴 천문학 논문인 아리아바티야에 주어진 24개의 숫자의 집합입니다. 아랴바티야 1장 다사기티카 12절에 숫자의 집합이 나옵니다.^[1] 현대적인 의미의 수학표가 아니라, 즉 행과 열로 배열된 숫자의 집합이 아닙니다.^[2] 아리아바 ṭ라의 표는 일반적인 의미에서 삼각형 사인 함수의 값들의 집합이 아닙니다. 이것은 아크분으로 표현된 삼각형 사인 값들의 첫 번째 차이의 표이며, 따라서 이 표는 아리아바 ṭ라의 사인 차이의 표라고도 합니다.

아리아바 ṭ라의 표는 수학 역사상 최초로 만들어진 사인표였습니다. 지금은 잃어버린 히파르코스 (c. 190 BC – 120 BC)와 메넬라오스 (c. 70–140 CE), 프톨레마이오스 (c. AD 90–c. 168)의 표는 모두 화음표였고 반 화음표가 아니었습니다.^[7] 랴바 ṭ라의 식탁은 고대 인도의 표준 사인 테이블로 남아 있었습니다. 이 표의 정확도를 향상시키기 위한 지속적인 시도가 있었습니다. 이러한 노력은 궁극적으로 케랄라 천문학 및 수학 학교의 설립자인 상암아그라마의 마드하바(1350–1425)에 의한 사인과 코사인 함수의 멱급수 전개의 발견과 마드하바에 의한 사인 테이블의 값이 소수점 7자리 또는 8자리까지 정확한 표의 계산으로 절정에 이르렀습니다.

일부 수학 역사학자들은 아리아바 ṭ야에 주어진 사인표가 고대 그리스의 수학자들과 천문학자들에 의해 만들어진 초기의 그런 표들을 각색한 것이라고 주장했습니다. 고대에 정확한 과학에 대한 미국의 가장 중요한 역사학자 중 한 명인 데이비드 핑리는 그러한 견해의 대표자였습니다. 이 가설을 전제로, G.J. 투머는^[9]^[10]^[11] "그리스 천문학 모형이 인도에 가장 일찍 도착했다는 것이나 그 모형들이 어떻게 보였을지에 대한 문서는 거의 존재하지 않습니다. 그래서 우리에게 전해진 것이 전달된 지식을 어느 정도까지 나타내는지, 그리고 인도 과학자들에게 무엇이 독창적인지를 확인하는 것은 매우 어렵습니다. 진실은 아마도 두 가지가 뒤엉킨 혼합물일 것입니다."^[12]

테이블이.

현대식 표기법에서는

아리아바 ṭ라의 산스크리트어 구절에 암호화된 값은 아리아바 ṭī야에 설명된 수치 체계를 사용하여 해독할 수 있으며, 해독된 숫자는 아래 표에 나열되어 있습니다. 표에서 아리아바 ṭ라의 사인 테이블과 관련된 각도 측정값이 두 번째 열에 나열되어 있습니다. 세 번째 열에는 데바나가리 문자로 위에 주어진 산스크리트어 구절에 포함된 숫자 목록이 포함되어 있습니다. 사용자가 데바나가리를 읽을 수 없는 편의를 위해 ISO 15919 번체의 네 번째 열에 이러한 단어-숫자가 재현됩니다. 다음 열에는 힌두 아라비아 숫자로 된 이 숫자들이 포함되어 있습니다. 아리아바 ṭ라의 수는 첫 번째로 사인 값의 차이입니다. 해당되는 사인(또는 보다 정확하게는 jya의 사인) 값은 그 차이까지의 차이를 합산하여 얻을 수 있습니다. 따라서 18° 45'에 해당하는 jya의 값은 합 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105입니다. 랴바 ṭ라의 계산의 정확성을 평가하기 위해, 현대의 자스 값은 표의 마지막 열에 제시되어 있습니다.

인도 수학의 전통에서, 각의 사인(또는 jya)은 숫자의 비율이 아닙니다. 특정 선분의 길이, 특정 반음계입니다. 기본 원의 반지름은 이러한 표를 구성하기 위한 기본 매개변수입니다. 과거에는 이 모수에 대해 다른 값을 사용하여 여러 표를 구성했습니다. 랴바 ṭ라는 자신의 사인 값을 계산하기 위해 기본 원의 반지름 값으로 숫자 3438을 선택했습니다. 이 매개변수를 선택한 이유는 원의 둘레를 각도 측정으로 측정한다는 아이디어입니다. 천문학 계산에서 거리는 도, 분, 초 등으로 측정됩니다. 이 측정에서 원의 원둘레는 360° = (60 × 360)분 = 21600분입니다. 원의 반지름은 21600분이며, 원의 둘레는 21600분/2 π분입니다. Aryabhata에게 알려진 π = 3.1416 값을 사용하여 계산하면 원의 반지름은 약 3438분입니다. 랴바 ṭ라의 사인 테이블은 기본 원의 반지름에 대한 이 값을 기반으로 합니다. 기준 반지름에 이 값을 처음 사용한 사람이 누구인지는 아직 확인되지 않았습니다. 그러나 아리야바티야는 이 기본 상수에 대한 언급을 포함하는 현존하는 가장 초기의 텍스트입니다.^[13]

Sl. No	각도( A ) (도 단위로) arcminutes)	아리아바 ṭ라의 수치 표기법에서의 값 (데바나가리어)	아리아바 ṭ라의 수치 표기법에서의 값 (ISO 15919 번역본에서)	가치 힌두 아라비아 숫자	아리아바 ṭ라의 의 값어치 jya (A)	현대가치 jya(A)의 (3438x죄(A))
1	03° 45′	मखि	마키	225	225′	224.8560
2	07° 30′	भखि	박히	224	449′	448.7490
3	11° 15′	फखि	파키	222	671′	670.7205
4	15° 00′	धखि	다키	219	890′	889.8199
5	18° 45′	णखि	ṇ키	215	1105′	1105.1089
6	22° 30′	ञखि	냐키	210	1315′	1315.6656
7	26° 15′	ङखि	ṅ키	205	1520′	1520.5885
8	30° 00′	हस्झ	hasjha	199	1719′	1719.0000
9	33° 45′	स्ककि	스카키	191	1910′	1910.0505
10	37° 30′	किष्ग	키 ṣ가	183	2093′	2092.9218
11	41° 15′	श्घकि	ś가키	174	2267′	2266.8309
12	45° 00′	किघ्व	키그바	164	2431′	2431.0331
13	48° 45′	घ्लकि	글라키	154	2585′	2584.8253
14	52° 30′	किग्र	키그라	143	2728′	2727.5488
15	56° 15′	हक्य	하카야	131	2859′	2858.5925
16	60° 00′	धकि	다키	119	2978′	2977.3953
17	63° 45′	किच	키카	106	3084′	3083.4485
18	67° 30′	स्ग	스가	93	3177′	3176.2978
19	71° 15′	झश	자 ś라	79	3256′	3255.5458
20	75° 00′	ङ्व	ṅ바	65	3321′	3320.8530
21	78° 45′	क्ल	kla	51	3372′	3371.9398
22	82° 30′	प्त	빠따	37	3409′	3408.5874
23	86° 15′	फ	파아	22	3431′	3430.6390
24	90° 00′	छ	차	7	3438′	3438.0000

랴바 ṭ라의 계산법

Aryabha ṭiya의 Ganitapād라는 제목의 두 번째 섹션에는 사인 테이블의 계산 방법을 나타내는 스탠자가 포함되어 있습니다. 이 구절의 의미를 올바르게 해석하는 데에는 몇 가지 모호한 점이 있습니다. 예를 들어, 다음은 Katz가 제시한 구절을 번역한 것인데, 각괄호 안의 단어는 번역기의 삽입이며, 구절의 텍스트 번역은 아닙니다.^[13]

"분할된 후반부[코드]가 [대략적으로 대응하는] 호에 해당하는 첫 번째 반음보다 일정한 양만큼 적을 때, 나머지 [사인 차이]는 각각 그 양을 첫 번째 반음보로 나눈 양만큼 적습니다."

이는 사인 함수의 2차 도함수가 사인 함수의 음과 같다는 사실을 의미할 수 있습니다.

참고 항목

참고문헌

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