바스카라 1세의 사인 근사식

수학에서, 바스카라 1세의 사인 근사 공식()은 7세기 인도 ^[1]수학자 바스카라 1세(c. 600–c. 680)가 발견한 삼각형 사인의 근사값을 계산하기 위한 하나의 변수의 합리적인 표현입니다.이 공식은 마하바스카리야라는 제목의 그의 논문에 나와 있습니다.바스카라 1세가 어떻게 그의 근사 공식에 도달했는지는 알려지지 않았습니다.하지만, 몇몇 수학 역사학자들은 바스카라가 그의 공식에 도달하기 위해 사용했을 수 있는 방법에 대해 다른 가설을 제시했습니다.공식은 우아하고 단순하며 ^[2]기하학을 사용하지 않고 삼각형 사인의 합리적으로 정확한 값을 계산할 수 있습니다.

근사식

공식은 바스카라 1세의 마하바스카리야 7장 17-19절에 나와 있습니다.이 시들의 번역은 ^[3]아래와 같습니다.

(이제) Rsine-difference 225 등을 사용하지 않고 (부자팔라와 코티팔라 등을 찾기 위한) 규칙을 간략하게 설명합니다.반원(즉, 180도)의 정도에서 부자(또는 코티)의 정도를 뺍니다.그런 다음 나머지를 부자 또는 코티의 정도로 곱하고 결과를 두 위치에 놓습니다.한 곳에서 40500에서 결과를 뺍니다.나머지(따라서 얻은)의 4분의 1로 다른 위치의 결과를 안티아팔라(즉, 에피사이클릭 반지름)에 곱한 값으로 나눕니다.따라서 태양, 달 또는 별 행성에 대한 전체 바후팔라(또는 코티팔라)를 얻습니다.또한 직접 및 역 Rsine도 얻을 수 있습니다.

("Rsine-differences 225" 참조는 아리아바타의 사인 테이블에 대한 암시입니다.)

현대 수학적 표기법에서, 각도 x에 대해, 이 공식은^[3] 다음과 같습니다.

displaystyle \sin x^{\displaystyle \frac {4x(180-x)}{40500-x(180-x)}}

공식의 동등한 형태

바스카라 I의 사인 근사 공식은 각도의 라디안 측도를 사용하여 ^[1]다음과 같이 표현할 수 있습니다.

displaystyle \sin x\based {frac {16x(\pi-x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi-x)}.

양의 정수 n에 대해서는 다음과 같은 ^[4]형식을 취합니다.

디스플레이 스타일 \sin({frac}{n}}\frac{16(n-1)}{5n^{2}-4n+4}}.

공식은 사인이 아닌 코사인으로 표현될 때 훨씬 더 간단한 형태를 얻습니다.- ${\frac {\pi }{2}}$ $-{\frac {\pi }{2}}$ 2 \ displaystyle $-$ {\ $frac$ ${\frac {\pi }{2}}$ \ $pi$ }{ $2$ $}}$ 에서 $-{\frac {\pi }{2}}$ ${\frac {\pi }{2}}$ ${\frac {\pi }{2}}$ $x={\tfrac {1}{2}}\pi +y$ 2 \ $displaystyle {\pi }{2}}$ 까지의 각도에 라디안 측정을 $x={\tfrac {1}{2}}\pi +y$ 하고 x $=$ $x={\tfrac {1}{2}}\pi +y$ + y {\ $displaystyle$ x = $displaytfrac {1}{2}\pi$ + $x={\tfrac {1}{2}}\pi +y$ y를 $x={\tfrac {1}{2}}\pi +y$ 하면 다음과 같습니다.

{\displaystyle \cosy \cosy \frac {\pi ^{2}-4y ^{2}}{\pi ^{2}+y ^{2}}}을(를) 표시합니다.

상수 $τ$ 2 $\tau =2\pi ,$ π $,$ {\ $displaystyle$ \displaystyle = $2\pi,}$ 을 $\tau =2\pi ,$ 사용하여 이전 공식을 표현할 수 있습니다.

{\displaystyle \cosy\cisco 1-{\frac {20y^{2}}{4y^{2}+\displaysty ^{2}}}.

인도의 거의 모든 후속 천문학자들과 수학자들은 바스카라 1의 공식과 동등한 형태의 공식을 제공해 왔습니다.예를 들어, 브라흐마굽타 (598–668 CE)의 브르마-슈후타-싯단타 (23–24장,^[3] 14장)는 다음과 같은 형식으로 공식을 제공합니다.

{\displaystyle R\sin x^{\circ}\approx {Rx(180-x)}{10125-{\frac {1}{4}}x(180-x)}}.

또한, 바스카라 2세 (1114–1185 CE)는 그의 릴라바티 (Kshetra-vyavahara, 48번 소카)에서 이 공식을 다음과 같은 형태로 제시했습니다.

표시 스타일 2R\sin x^{\circ}\approx{frac{4\times 2R\times 2Rx\times (360R-2Rx)}{{\frac{1}}\times 5\times (360R)^{2}-2Rx\times (360R-2Rx)}.

공식의 정확도

이 공식은 0° ~ 180° 범위의 x° 값에 적용할 수 있습니다.그 공식은 이 범위에서 매우 정확합니다.sinx의 그래프와 근사 공식은 시각적으로 구분할 수 없으며 거의 동일합니다.첨부된 그림 중 하나는 오류 함수의 그래프, 즉 함수를 제공합니다.

displaystyle \sin x^{\delay}\frac {4x(180-x)}{40500-x(180-x)}}}

공식을 사용할 때.공식을 사용할 때의 최대 절대 오차는 약 0.0016임을 나타냅니다.절대 오차의 백분율 값 그림에서 최대 상대 오차가 1.8% 미만임이 분명합니다.따라서 근사 공식은 대부분의 실용적인 목적을 위해 충분히 정확한 사인 값을 제공합니다.하지만, 천문학의 더 정확한 계산 요구 사항에는 충분하지 않았습니다.인도 천문학자들에 의한 더 정확한 공식의 탐구는 결국 케랄라 천문학과 수학 학교의 설립자인 상암 그라마의 마드하바 (c. 1350–c. 1425)에 의해 6과 우주의 거듭제곱 급수 확장을 발견하게 되었습니다.

공식의 파생

바스카라는 자신의 공식에 도달하는 방법을 밝히지 않았습니다.역사학자들은 다양한 가능성에 대해 추측해 왔습니다.아직 확정적인 답변을 얻지 못했습니다.이 공식은 고대 인도 천문학자들의 수학적 업적의 주요한 예라는 역사적 중요성을 넘어, 현대적 관점에서도 중요합니다.수학자들은 현대의 개념과 도구를 사용하여 규칙을 도출하려고 시도했습니다.약 6가지 방법이 제안되었으며, 각각은 별도의 전제 ^[2]^[3]세트를 기반으로 합니다.이러한 파생은 대부분 기본 개념만 사용합니다.

기초 기하학에 기초한 도출

원의 둘레를 도 단위로 측정하고 원의 반지름 R도 도 단위로 측정합니다.원에서 고정 직경 AB와 임의의 점 P를 선택하고 수직 PM을 AB로 떨어뜨리면 삼각형 APB의 면적을 두 가지 방법으로 계산할 수 있습니다.(1/2) AB × PM = (1/2) AP × BP를 얻는 영역에 대해 두 식을 동일하게 합니다.이것이 주는

표시({style}{frac{1})PM}}=nbfrac {AB}{AP\times BP}}.

x를 아크 AP의 길이라고 하면 아크 BP의 길이는 180 - x입니다.이 호들은 각각의 화음보다 훨씬 큽니다.그러므로 사람은.

표시({style}{frac{1})PM}}>{\frac {2R}{x(180-x)}}}.}

이제 하나는 다음과 같은 두 상수 α와 β를 구합니다.

표시({style}{frac{1})PM}}=\alpha{frac{2R}{x(180-x)}+\beta.}

실제로 그러한 상수를 얻는 것은 불가능합니다.그러나 위 식이 아크 길이 x의 두 선택된 값에 대해 유효하도록 α와 β의 값을 선택할 수 있습니다. 이 값으로 30°와 90°를 선택하여 방정식을 풀면 즉시 바스카라 I의 사인 근사 공식을 얻을 ^[2]^[3]수 있습니다.

일반적인 합리적인 표현으로 시작하는 파생

x가 라디안이라고 가정하면 다음과 같은 형태로 sinx에 대한 근사치를 구할 수 있습니다.

\sin x\displaystyle {frac {a+bx+cx^{2}}{p+qx+display^{2}}

a, b, c, p, q 및 r 상수(그 중 5개만이 독립적임)는 x = 0, π/6, π/2, π일 때 공식이 정확하게 유효해야 한다고 가정하고, 나아가 sin(x) = sin(σ ^[2]^[3]- x)이라는 특성을 만족시켜야 한다고 가정하여 결정할 수 있습니다.이 절차에서는 각도의 라디안 측정을 사용하여 표현된 공식을 생성합니다.

기본적인 주장

*포물선* x(180 - x)/8100 및 x(180 - x)/9000의 그래프와 x(x 도)의 그래프 비교

0° ~ 180° 범위의 sinx 그래프의 부분은 점 (0, 0) 및 (180, 0)을 통과하는 포물선의 "부분처럼" 보입니다.그런 포물선은 일반적으로

kx(180-x)

(90, 1)을 통과하는 포물선(90° = 1)은 다음과 같습니다.

{\style {x(180-x)}{90\times 90}=timesfrac {x(180-x)}{8100} 표시

(30, 1/2) (30°) (sin(30°) = 1/2의 값에 해당하는 점)을 통과하는 포물선은

{\style{frac {x(180-x)}{2\times 30\times 150}=timesfrac {x(180-x)}{9000}을(를) 표시합니다.

이러한 표현식은 x = 90일 때 90 × 90, x = 30일 때 2 × 30 × 150을 취하는 다양한 분모를 나타냅니다.이 표현식이 또한 선 x에 대해 대칭이어야 한다는 것은 x = 90에서 선형 표현식을 선택할 가능성을 배제합니다. x(180 - x)를 포함하는 계산은 표현식이 즉시 형태일 수 있음을 시사할 수 있습니다.

{\displaystyle 8100a+bx(180-x)} 표시

약간의 실험(또는 a와 b에서 두 개의 선형 방정식을 설정하고 풀어서)을 수행하면 a = 5/4, b = -1/4 값이 산출됩니다.이것들은 바스카라 I의 사인 근사 ^[4]공식을 제공합니다.

참고 항목

레퍼런스

^ ^a ^b J J O'Connor and E F Robertson (November 2000). "Bhāskara I". School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Archived from the original on 23 March 2010. Retrieved 22 April 2010.
^ ^a ^b ^c ^d Glen Van Brummelen (2009). The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12973-0. (페이지 104)
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f R.C. Gupta (1967). "Bhāskara I's approximation to sine" (PDF). Indian Journal of History of Science. 2 (2). Archived from the original (PDF) on 16 March 2012. Retrieved 20 April 2010.
^ ^a ^b George Gheverghese Joseph (2009). A passage to infinity : Medieval Indian mathematics from Kerala and its impact. New Delhi: SAGE Publications India Pvt. Ltd. ISBN 978-81-321-0168-0. (페이지 60)

추가 참조

R.C. 굽타, 사인에 대한 바스카라 I의 공식 도출에 따르면, 가니타 바라티 8 (1-4) (1986), 39–41.
T. 하야시, 바스카라 1세의 사인에 대한 합리적인 근사에 대한 노트, Historia Sci.42호 (1991), 45-48.
K. Stroethoff, 사인에 대한 바스카라의 근사치, 수학 애호가, Vol. 11, No. 3 (2014), 485–492.

[mcs-1] J J O'Connor and E F Robertson (November 2000). "Bhāskara I". School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Archived from the original on 23 March 2010. Retrieved 22 April 2010.

[Brummelen-2] Glen Van Brummelen (2009). The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12973-0. (페이지 104)

[Gupta-3] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f R.C. Gupta (1967). "Bhāskara I's approximation to sine" (PDF). Indian Journal of History of Science. 2 (2). Archived from the original (PDF) on 16 March 2012. Retrieved 20 April 2010.

[Joseph-4] George Gheverghese Joseph (2009). A passage to infinity : Medieval Indian mathematics from Kerala and its impact. New Delhi: SAGE Publications India Pvt. Ltd. ISBN 978-81-321-0168-0. (페이지 60)

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