점근균류

해석 기하학에서, 곡선의 점근법(/æssmmptott/)은 x 또는 y 좌표 중 하나 또는 둘 다 무한대로의 경향이 있으므로 곡선과 선 사이의 거리가 0에 가까워지는 선이다. 투영 기하학 및 관련 맥락에서, 곡선의 점근은 무한대의 한 점에서 곡선에 접하는 선입니다.^[1][2]

The word asymptote is derived from the Greek ἀσύμπτωτος (asumptōtos) which means "not falling together", from ἀ priv. + σύν "together" + πτωτ-ός "fallen".^[3] 이 용어는 페르가의 아폴로니우스가 원뿔형 단면에 관한 저작에서 소개한 것이지만, 현대적인 의미와는 대조적으로 주어진 곡선을 교차하지 않는 어떤 선(線)^[4]을 의미하는 데 사용하였다.

점증상에는 수평, 수직, 사선의 세 종류가 있다. 함수 y = ƒ(x) 그래프에 의해 주어진 곡선의 경우 수평 점증상은 함수의 그래프가 x가 +점수 또는 -점수 경향이 있어 접근하는 수평선이다. 수직 점근은 기능이 구속되지 않고 성장하는 수직선이다. 사선 점근법은 0은 아니지만 유한한 경사를 가지고 있어 함수의 그래프가 x가 +점근 또는 -점근하는 경향이 있다.

보다 일반적으로 두 곡선 사이의 거리가 무한대에 가까워질수록 0이 되는 경향이 있는 경우(선형 무증상과는 반대로) 하나의 곡선은 다른 곡선의 곡선 무증상이다. 단, 무증상이라는 용어는 일반적으로 선형 무증상이라는 용어에 대해 유보된다.

점근법은 큰 부분의 곡선의 거동에 관한 정보를 전달하며, 함수의 점근법을 결정하는 것은 그 그래프를 스케치하는데 중요한 단계다.^[5] 넓은 의미로 해석되는 함수의 점증상 연구는 점증적 분석 대상의 한 부분을 형성한다.

소개

곡선이 실제로 동일해지지 않고 임의로 선에 근접할 수 있다는 생각은 일상적인 경험에 반하는 것처럼 보일 수도 있다. 선과 곡선을 종이 위에 표시하거나 컴퓨터 화면의 픽셀에 표시한 것은 양의 폭을 가지고 있다. 그래서 만약 그들이 충분히 연장된다면 그들은 적어도 눈이 분간할 수 있는 한 합쳐지는 것처럼 보일 것이다. 그러나 이것들은 해당 수학 실체의 물리적 표현이다. 선과 곡선은 폭이 0인 이상화된 개념이다(선 참조). 따라서 무증상 사상의 이해에는 경험보다는 이성의 노력이 필요하다.

이 섹션에 표시된$$ $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\$의 그래프를 생각해 보십시오. 곡선에 있는 점의 좌표는 형식$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle x}$) ${\$ {$1}{x}}\right)$이며 여기서 x는 0이 아닌 숫자다. 예를 들어 그래프에는 점(1, 1), 점(2, 0.5), 점(5, 0.2), 점(10, 0.1), ...이 포함된다. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 값이 점점$$ 더 커짐에 따라, 예를 들어 100, 1,000, 10,000 ...과 같이 그림의 오른쪽에 놓이면, $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y$ .01, .001, .0001의 해당 값은 표시된 척도에 비례하여 최소값이 된다. 그러나 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 아무리 커지더라도$$ $상호{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 1 x ${\$은(는) 0이 아니므로$$ 곡선은 실제로 x축에 닿지 않는다. 마찬가지로, $x{\displaystyle }${\$displaystyle x$}의 값이 점점 작아질수록$$, 예를 들어 .01, .001, .0001, ...와 같이 표시된 척도에 비해 최소가 되도록 하여 y ${\displaysty$ y$\},$ 100, 1,000, 10,000 ...의 해당 $값$은 점점 커진다. 그래서 곡선은 Y축에 점점 가까워질수록 점점 위쪽으로 확장된다. 따라서 x축과 y축 모두 곡선의 점근이다. 이러한 사상은 수학의 한계 개념의 일부분이며, 이러한 연관성은 아래에서 보다 충분히 설명된다.^[6]

함수의 점근

미적분학 연구에서 가장 흔히 볼 수 있는 점근법은 y = ƒ(x) 형태의 곡선이다. 이것들은 한계를 이용하여 계산할 수 있으며, 방향성에 따라 수평, 수직, 사선 점수로 분류된다. 수평 점근은 x가 +점근 또는 -점근하는 경향이 있어 함수의 그래프가 접근하는 수평선이다. 이름이 X축과 평행하다는 것을 나타내듯이. 수직 점근은 함수가 경계 없이 자라는 수직선(x축에 수직)이다. 비스듬한 점근은 x가 +점근 또는 -점근의 경향이 있기 때문에 곡선과 선의 차이가 0에 가까워지는 대각선이다.

수직 점근법

x = a 선은 다음 문장 중 하나 이상이 참일 경우 y = ƒ(x)함수의 그래프를 나타내는 수직 점증법이다.

1. ${\displaystyle \lim_{x\to a^{-}f(x)=\pm \inft ,}$
2. ${\displaystyle \lim_{x\to a^{+}f(x)=\pm \inft ,}$

여기서 ${\displaystyle \underset{}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→${\displaystyle \underset{}{{}^{}}}$- ${\$ a$^-}}$은(는) x가 왼쪽(더 작은 값에서) a 값에 근접할 때의 한계이고$$, ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→${\displaystyle \underset{}{{}^{}}}$+ ${\$^{+}}}}은(는) x가 오른쪽에서 a에 근접할 때의 한계값이다.

예를 들어 ƒ(x) = x/(x–1)일 경우 분자는 1에 접근하고 분모는 x가 1에 접근함에 따라 0에 접근한다. 그렇게

${\displaystyle \lim_{x\to 1^{+}{\frac {x}{x-1}=+\flotty }$

${\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}{\frac {x}{x-1}=-\inflat }$

그리고 곡선은 수직 점근상 x = 1이다.

함수 ((x)는 a에서 정의되거나 정의되지 않을 수 있으며, x = a 지점에서의 정확한 값은 점근에 영향을 주지 않는다. 예를 들어, 함수의 경우

${\displaystyle f(x)={\preas}{1}{x}&{\text{{{}x}0,\\5&{\text{}}{{}text{}}}}}}}}}}}}}{x\leq 0.\end{case}}}$

x → 0으로⁺ +∞의 한계를 가지며, ƒ(x)는 ƒ(0) = 5임에도 불구하고 x = 0의 수직 점근법을 가진다. 이 함수의 그래프는 (0, 5)에서 수직 점근과 한 번 교차한다. 함수의 그래프가 한 점 이상에서 수직 점근(또는 일반적으로 수직선)을 교차하는 것은 불가능하다. 더욱이 함수가 정의된 각 지점에서 연속적인 경우, 함수의 그래프가 어떤 수직 점근과 교차하는 것은 불가능하다.

수직 점근의 일반적인 예로는 점 x에서 분모가 0이고 분자가 0이 아닌 합리적인 함수의 경우를 들 수 있다.

함수에 수직 점근법이 있는 경우, 함수의 파생상품이 동일한 위치에 수직 점근법이 있다는 것은 반드시 사실이 아니다. 예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle }$${\displaystyle f}$${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}\frac{x}{}}$ x ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle \frac{1}{}}$ x${\displaystyle }$) ${\$1}{1$}{x}}}\caps$}}\$caps$at$$ x${\displaystyle }$=$0$

이 함수는 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle x=0,}$에 수직 점증상이 있으며, 그 이유는$$

${\displaystyle \lim_{x\to 0^(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\{x}}\prefrac {1}{x}}\prefrac {1}\iptfrac {1}\right)=+\infline,}$

그리고

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=\lim _{x\to 0^{-}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=-\infty }$.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 파생 모델이 함수임$$

${\displaystyle {}^{}f}$ ${\displaystyle \prime }$(${\displaystyle }$x ) =${\displaystyle \frac{}{}}$-${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{\cos }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{\frac{1}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$+ 1${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\${1$}{x}+1)}{x^{2$

점 순서의 경우

${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n_{}}$=${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{}{}}$- 1${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{n^{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{\mathrm{2n}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$) ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\$n}}{{n}}}}{{($2n+1)\pi }}}}},$${\displaystyle \mathrm{n}}$ = ${\displaystyle 0,}$ 1, 2, …${\displaystysty \=0,1,2,\dots}$

왼쪽과 오른쪽 모두에서$$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}${\$displaystyle$ x$=0}$에 접근하는 경우 $f{\displaystyle {}^{}}$′${\displaystyle }$( ${\displaystyle x_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle f'(x_{n})$ 값은 지속적으로 0 ${\displaystyle$ 0$}$이다$.$ 따라서 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0$$}$에서 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$의 단측 한계 모두 +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle +\put$ } 또는 - ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ -$\$$put }$일$$ 수 $없으며$$,$ $따라서$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \prime }$ ${\displaystyle (x)}$에는$$0 = {\$displaystytype$ x$=\}$에 수직$$ 점증상이 없다$.$

수평점수

수평 점근은 함수의 그래프가 x → ±3각으로 접근하는 수평선이다. 수평선 y = c는 함수 y = ƒ(x)의 수평 점증상이다.

${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ -${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \lim _{x\오른쪽$ 화살표 -$\infit \f(x)=c}$ 또는$$ ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ +${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}(x}$)${\displaystyle }$= c ${\displaystyle \lim \{x\오른쪽$ 화살표 $+\inf(x)=c$

첫 번째 경우 ƒ(x)는 x가 - - 경향이 있을 때 y = c를 점근법으로 하고, 두 번째 ƒ(x)에서는 x가 +∞ 경향이 있을 때 점근법으로 y = c를 점근법으로 한다.

예를 들어 아크탄젠트 함수가 충족됨

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }\arctan(x)=-{\frac {\pi }{2}}}$ and ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }\arctan(x)={\frac {\pi }{2}}.$$}$

따라서 y = –162/2 선은 x가 –192 경향이 있을 때 아크탄젠트에 대한 수평 점증상이고, y = π/2는 x가 +19 경향이 있을 때 아크탄젠트에 대한 수평 점증상이다.

함수는 어느 쪽이나 양쪽에 수평 점점이 없거나 양쪽 방향에서 동일한 수평 점 점점이 하나 있을 수 있다. 예를 들어, ((x) = 1/(x²+1) 함수는 x가 각각 -message와 +message를 둘 다 하는 경향이 있을 때 y = 0으로 수평 점증하지 않는 점을 가진다.

${\displaystyle \lim _{x\to -\inflat }{1}{x^{2}+1}=\lim _{x\to +\inflit }{1}{x^{2}+1}=0.}$

하나 또는 두 개의 수평 무증상 함수가 있는 다른 일반적인 함수로는 x ↦ 1/x(그래프처럼 하이퍼볼라가 있음), 가우스 $함수{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}),}$ ${\displaysty x\mapsto \exp(-x^{2$}), 오류 함수$,$ 로지스틱 함수가 있다.

사선점수

선형 점근법이 x축이나 y축과 평행하지 않을 때는 사선 점근법 또는 경사 점근법이라고 한다. 함수 ƒ(x)는 직선 y = mx + n (m ≠ 0)에 점증하지 않는다.

${\displaystyle \lim _{x\to +\inflt }\왼쪽[f(x)-(mx+n)\right]=0\,{\mbox{ 또는 }}}\lim_{x\to -\infty }\f(x+n)\ft=0.}$

첫 번째 경우 y = mx + n 선은 x가 +∞ 경향이 있을 때 ƒ(x)의 사선 점증법이고, 두 번째 경우 y = mx + n은 x가 -∞ 경향이 있을 때 ƒ(x)의 사선 점증법이다.

예를 들면 in(x) = x + 1/x로, 한계에서 볼 수 있듯이 사선 점증법 y = x(m = 1, n = 0)가 있다.

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infit }\왼쪽[f(x)-x\오른쪽]}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \pm \inflt }\왼쪽[\x+{\frac{1}{x}\오른쪽)-x\오른쪽]}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \pm \inflt }{\frac {1}{x}=0.}$

점증상 식별을 위한 기본 방법

많은 기본 함수의 점증상들은 한도를 명시적으로 사용하지 않고도 찾을 수 있다(그런 방법의 파생은 일반적으로 한도를 사용한다).

함수에 대한 사선 점근 계산

함수 f(x)에 대한 사선 점증법은 y = mx + n 등식으로 주어진다. m의 값은 먼저 계산되고 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle m\;{\stackrel {\text{def}}{=}\,\lim _{x\오른쪽 화살표 a}f(x)/x}$

여기서 a는 연구 중인 사례에 따라$$ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ -$\infit$} 또는$$ $+{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle +\infit$} 중 하나이다. 두 사건을 따로 처리하는 것이 좋은 관행이다. 만약 이 한계가 존재하지 않는다면 그 방향에는 비스듬한 점근법이 없다.

m을 갖는 것은 n에 대한 값을 계산할 수 있다.

${\displaystyle n\;{\stackrel {\def}{=}\,\lim _{x\오른쪽 화살표 a}(f(x)-mx)}$

여기서 a는 이전에 사용한 것과 동일한 값이어야 한다. 만약 이 한계가 존재하지 않는다면, m을 정의하는 한계가 존재하더라도, 그 방향에는 사선 점근법이 없다. 그렇지 않으면 y = mx + n은 x가 a의 경향이 있는 ƒ(x)의 사선 점증법이다.

예를 들어 ƒ(x) = (2x² + 3x + 1)/x 함수는

${\displaystyle m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {2x^{2}+3x+1}{x^{2}}}=2}$ and then

${\displaystyle n=\lim _{x\오른쪽 화살표 +}(f(x)-mx)=\lim _{x\오른쪽 화살표 +}\{x\오른쪽 화살표 +}\{x\x\frac {2x^{2}+3x+1}{x}-2x\right}=3}=3}$

그래서 y=2x+3은 asymptote의 ƒ()) 때 x는 경향이 있는 +∞.

이 함수 ƒ()))ln x다.

M)lim)→+∞ f())/x)lim x →+∞ ln ⁡ x)=0{\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow +\infty}())/x=\lim _{x\rightarrow +\infty}{\frac{\ln)}{)}}=0} 다음.

N)lim)→+∞(f())− m))= lim x →+∞ ln ⁡ x{\displaystyle n=\lim_{x\rightarrow +\infty}(f())-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty}\ln x}, 하기 없다.

때 x+∞는 경향이 있그래서 y)ln를 asymptote 가지고 있지 않다.

합리적인 함수에 대한 점근법

합리적인 기능 최대 한개 수평 asymptote이나 경사(슬랜트)asymptote고, 아마 많은 수직 asymptotes었다.

분모의 분자이고, 학위의 학위 있었는지, 없거나 경사 수평 asymptotes 주는 것이다. 은 분자의 deg(분자)은 학위와 분모의 deg(분모)정도를 그 사례들 아래 표로 만들어져 있다.

수직 점근은 분모가 0일 때만 발생한다(분자와 분모가 모두 0일 경우, 0의 승수를 비교한다). 예를 들어, 다음 함수는 x = 0, x = 1에 수직 점증상이 있지만 x = 2에는 없다.

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-5x+6}{x^{3}-3x^{2}x}={\frac {(x-2)(x-3)}{x(x-1)}{x-1(x-2}})}}}}}$

합리적인 함수의 사선 점근

합리적인 함수의 분자가 분모보다 정확히 1도 더 큰 정도를 갖는 경우 함수에는 사선(경사) 점증상이 있다. 점근법은 분자와 분모를 나눈 후의 다항식 용어다. 이 현상은 분수를 나눌 때 선형 항이 있고, 나머지 항이 있기 때문에 발생한다. 예를 들어, 함수를 고려하십시오.

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x+1}{x+1}{x+1}=x+{\frac {1}{x+1}}}$

우측으로 표시 x의 값이 증가하면 f는 점근증 y = x에 접근한다. 다른 용어인 1/(x+1)이 0에 근접하기 때문이다.

분자의 정도가 분모의 정도보다 1 이상 크고 분모가 분자를 나누지 않으면, x가 증가하면 0이 되는 0이 아닌 잔차가 생기지만, 그 몫은 선형이 되지 않고, 함수에 사선 무증분법이 없다.

알려진 함수의 변환

알려진 함수에 점근(예: f(x)=e^x)의 경우 y=0)이 있는 경우, 함수의 번역에도 점근법이 있다.

• x=a가 f(x)의 수직 점증인 경우 x=a+h는 f(x-h)의 수직 점증인 것이다.
• y=c가 f(x)의 수평 점증상이라면 y=c+k는 f(x)+k의 수평 점증상이다.

알려진 함수에 점근법이 있는 경우 함수의 스케일링에도 점근법이 있다.

• y=ax+b가 f(x)의 점증상이라면 y=cax+cb는 cf(x)의 점증상이다.

예를 들어 f(x)=e^x-1+2에는 수평 점근상 y=0+2=2가 있고 수직 또는 비스듬한 점근상(surprintote)이 없다.

일반적 정의

A² : (a,b) → R을 좌표 A(t) = (x(t),y(t)로 모수 평면 곡선으로 한다. 곡선이 무한대 경향이 있다고 가정해 보자.

${\displaystyle \lim _{t\오른쪽 화살표 b}(x^{2}(t)+y^{2}(t)=\nothy .}$

선 ℓ은 점 A(t)에서 ℓ까지의 거리가 t → b로 0이 되는 경향이 있는 경우 A의 점증상이다.^[7] 정의에서, 일부 무한 분기가 있는 열린 곡선만이 점근법을 가질 수 있다. 어떤 닫힌 곡선도 점근증을 가질 수 없다.

예를 들어, y = 1/x 곡선의 오른쪽 상단 분기는 x = t, y = 1/t(여기서 t > 0)로 모수적으로 정의할 수 있다. 첫째, x → t → ∞이며, 곡선에서 x축까지의 거리는 1/t로 t → ∞로 0에 접근한다. 따라서 x축은 곡선의 점근상이다. 또한 y → t → 0으로 오른쪽에서 y → ∞으로, 원곡선과 y축의 거리가 t → 0으로 0에 근접하는 t이므로 y축도 무증상이다. 비슷한 논거로 곡선의 왼쪽 하단 가지에도 점근과 같은 두 선이 있음을 알 수 있다.

여기서의 정의는 곡선의 매개변수화를 사용하지만, 점근법의 개념은 매개변수화에 의존하지 않는다. 실제로 ${\displaystyle 선}$의 방정식이 $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle c}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ax+by+c=0}$인 경우 점 A(t) = (x(t),y(t)에서 선까지의 거리는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {x(t)+by(t)+c }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}}$

γ(t)이 매개변수화의 변경인 경우, 거리는 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\frac {x(\fract (t)+by(\by)(\by)(\by)(\by)(t)+c)}{}{\sqrt {a^{a^{2}+b^{2}}}}}}$

이전 표현과 동시에 영(0)을 나타내는 경향이 있다.

중요한 경우는 곡선이 실제 함수(하나의 실제 변수와 반환되는 실제 값의 함수)의 그래프인 경우다. 함수 y = ƒ(x)의 그래프는 좌표가 있는 평면의 점 집합이다(x, ƒ(x)). 이를 위해 매개변수화는

$[\displaystyle t\mapsto (t,f(t)).}$

이 매개변수화는 개방 간격(a,b)에 걸쳐 고려되어야 하며, 여기서 a는 -message이고 b는 +mess일 수 있다.

점근은 수직적이거나 비수직적일 수 있다(비수직적이거나 수평적이다. 첫 번째 경우, 그 방정식은 일부 실제 숫자 c에 대해 x = c이다. 비수직 케이스에는 등식 y = mx + n이 있으며 여기서 m과 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은(는) 실제 숫자다. 세 가지 유형의 무증상 모두 특정 예에 동시에 존재할 수 있다. 함수의 그래프인 곡선에 대한 점근법과 달리 일반 곡선은 세 개 이상의 비수직 점근들을 가질 수 있으며, 수직 점근들을 두 번 이상 교차할 수 있다.

곡선점수

A : (a,b) → R은² 모수 평면 곡선으로, 좌표 A(t) = (x(t),y(t) 및 B는 다른 (비모수) 곡선으로 한다. 이전과 같이 A 곡선이 무한대 경향이 있다고 가정해 보자. 곡선 B는 A(t)점에서 B의 점까지의 최단 거리가 t → b로 0이 되는 경향이 있는 경우 A의 곡선 무증분법이다. 때로는 B를 단순히 A의 점증분법이라고 부르기도 하는데, 선형 무증분법과 혼동의 위험이 없는 경우 A의 점증분법이라고 한다.^[8]

예를 들어, 함수

${\displaystyle y={\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{x}}}$

곡선 무증점 y = x² + 2x + 3을 가지는데, 직선이 아닌 포물선이기 때문에 포물선 무증점이라고 한다.^[9]

점근법 및 원곡선 스케치

점근법은 곡선 스케치 절차에 사용된다. 점근은 무한을 향한 곡선의 동작을 보여주는 안내선 역할을 한다.^[10] 곡선의 근사치를 더 잘 얻기 위해 점근곡선이라는 용어가 선호되는 것 같기는 하지만 곡선 점근법도 사용되었다.^[12]

대수 곡선

아핀 평면에 있는 대수곡선의 점근은 무한대의 한 점을 통해 투영된 곡선에 접하는 선이다.^[13] 예를 들어, 이러한 방법으로 유닛 하이퍼볼라(hypervola)에 대한 점증법을 식별할 수 있다. 점근법은 종종 실제 곡선에 대해서만 고려되지만 임의의 필드 위에 있는 곡선에 대해서도 이 방법으로 정의하면 타당하다.^[14][15]

도 n의 평면 곡선은 베주트의 정리에 의해 n-2의 다른 지점들에서 그것의 점근과 교차하는데, 무한대의 교차점은 최소한 두 개의 다중성이기 때문이다. 원뿔의 경우, 어떤 복잡한 지점에서 원뿔을 교차하지 않는 선 쌍이 있다: 원뿔의 두 점근이다.

평면 대수곡선은 P(x,y) = 0 형식의 방정식으로 정의된다. 여기서 P는 도 n의 다항식이다.

$P(x,y)=P_{n}(x,y)+P_{n-1}(x,y)+\cdots +P_{1}(x,y)++P_{0}}$

여기서 P는_k 도 k의 동종이다. 최고도 용어 P의_n 선형 인자가 사라지면 Q = P, 만약_n P_n(x, y) = (ax - by) Q_n−1(x, y)를 설정하고, 그 다음 선을 정의한다.

${\displaystyle Q'_{x}(b,a)x+Q'_{y}(b,a)y+P_{n-1}(b,a)=0}$

$Q{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle x_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle b}$,${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ Q$'_{x}(b,a)}$ 및$$ ${\displaystyle Q_{}^{}}$ $y{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle (b}$ ${\displaystyle ,a}$ ) ${\displaystyle Q'_{y}(b,a)}$이(가) 모두 0이$$ 아닐 경우 점근법이다. Q ${\displaystyle x_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle (b}$, ${\displaystyle a}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle y_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle (b}$,${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ Q$'_{x}(b,a)=$$Q'_{y}(b,a)=0}$과($와{\displaystyle {}_{}}$) P ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$- 1${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle b}$, )${\displaystyle \ne }$ 0 ${\displaystyle P_{n-1}(b,a)\neq$ 0$\},$ 증상은 없지만 곡선은 포물선의 가지처럼 보이는 가지를 가지고 있다. 이런 가지를 포물선 가지라고 하는데, 곡선이 없는 포물선이 있어도 포물선 가지라고 한다. $Q{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle x_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle (b}$, a ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle Q_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ,}$a${\displaystyle }$) = ${\displaystyle {}_n}$ -${\displaystyle {}_{}1}$ (${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle )}$= 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle Q'_{x}(b,a)=$인 경우$Q'_{y}(b,a)=$$P_{n-1}(b,a)=0,}$ 곡선은$$ 무한대에 단수점을 가지며, 여러 개의 점증상 또는 포물선 가지를 가질 수 있다.

복잡한 숫자에 걸쳐 P는_n 각각 점근(또는 여러 인자에 대한 여러 개의 점근)을 정의하는 선형 인자로 분할된다. 실제에 걸쳐, P는 선형 또는 2차 요인인 요인에서 P는_n 선형 또는 2차 요인이다. 선형 요인만 곡선의 무한(실제) 분기에 해당하지만, 선형 요인이 1개보다 큰 다중성을 갖는 경우 곡선에 여러 개의 점증상 또는 포물선 분기가 있을 수 있다. 또한 그러한 다중 선형 인자는 두 개의 복잡한 결합 분기에 해당하며, 실제 곡선의 무한 분기에 해당하지 않는 경우도 발생할 수 있다. 예를 들어, 곡선⁴² x + y - 1 = 0은 제곱 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ 1${\displaystyle }$, ${\displaystyle y1}$ 1 ${\displaystyle$ x $\leq 1$, y $\leq$ 1$\}$ 밖에 실제 $점$이 없지만, 가장 높은 순서의 항은 다중성 4로 선형 인자 x를 주어 고유한 무증점 x=0으로 이어진다.

점근원추

쌍곡선

${\displaystyle {\frac{x^{2}}-{\frac{y^{2}}:{b^{2}}=1}$

두 개의 증상이 없다.

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}x.}$

이 두 선의 결합 방정식은

${\displaystyle {\frac{x^{2}}-{\frac{y^{2}}:{b^{2}}:}=0.}$

마찬가지로 하이퍼볼로이드도

${\displaystyle {\frac{x^{2}}-{\frac {y^{2}}:{b^{2}}-{b^{2}}-{\frac {z^{2}}:{c^{2}}}{c^}}$

점근성 원뿔이^[16][17] 있다고 한다.

${\displaystyle {{\frac{x^{2}}-{\frac{y^{2}}:{b^{2}}-{b^{2}}-{\frac{z^{2}}:{c^{2}}}}=0.}$

하이퍼볼로이드와 원뿔 사이의 거리는 원점으로부터의 거리가 무한대에 가까워짐에 따라 0에 접근한다.

More generally, consider a surface that has an implicit equation ${\displaystyle P_{d}(x,y,z)+P_{d-2}(x,y,z)+\cdots P_{0}=0,}$ where the ${\displaystyle P_{i}}$ are homogeneous polynomials of degree ${\displaystyle i}$ and ${\display$$스타일 P_{d-1}=0}$. 그런 다음 ${\displaystyle P_{}}$ d${\displaystyle {}_{}x}$ ,${\displaystyle y}$ ,${\displaystyle z}$) = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle P_{d}(x,y,z)=0}$ 등식이 원점을 중심으로 하는 원뿔을 정의한다$$. 표면의 한 점의 원뿔까지의 거리가 표면의 점이 무한대로 기울면 0이 되기 때문에 점근 원뿔이라고 한다.

참고 항목

• 빅 O 표기법

참조

일반참조

• Kuptsov, L.P. (2001) [1994], "Asymptote", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

특정 참조

외부 링크

• PlanetMath의 점근법.
• 하이퍼볼로이드 및 점근 원추형 원추형, 끈 표면 모델, 1872년 과학 박물관에서 출품