역삼각함수

삼각법
개요 역사 사용. 함수(역) 일반화 삼각법
언급
아이덴티티 정확한 상수 표 단위원
법칙과 정리
사인스 코사인스 접선 코탄젠츠 피타고라스 정리
미적분학.
삼각 치환 적분(역함수) 파생상품
v t

수학에서 역삼각형 함수(때로는 아르쿠스 함수,^{[1][2][3][4][5]} 항삼각형 함수^[6] 또는 사이클로메트릭 함수라고도^[7][8][9] 함)는 삼각형 함수의 역함수입니다.구체적으로 사인 함수, 코사인 함수, 접선 함수, 코탄젠트 함수, 시컨트 함수 및 코탄젠트 함수의 역수이며 ^[10]각도의 삼각법 비율에서 각도를 구하는 데 사용됩니다.역삼각형 함수는 공학, 내비게이션, 물리학, 기하학에서 널리 사용됩니다.

표기법

역삼각형 함수에 대한 몇 가지 표기법이 있습니다.가장 일반적인 규칙은 arc-prefix를 사용하여 역삼각형 함수의 이름을 짓는 것입니다: arcsin(x), arcos(x), arctan(x) 등. ^[6](이 규칙은 이 문서 전체에서 사용됩니다.)이 표기법은 다음과 같은 기하학적 관계에서 비롯됩니다. 라디안으로 측정할 때 θ 라디안의 각도는 길이가 r θ인 호에 해당하고, 여기서 r은 원의 반지름입니다.따라서 단위 원에서 "코사인이 x인 원호"는 "코사인이 x인 각도"와 같으며, 이는 원의 원호 길이가 라디안의 각도 측정과 같기 때문입니다.^[11]컴퓨터 프로그래밍 언어에서 역삼각형 함수는 종종 sin, acos, atan과 같은 축약된 형태로 불립니다.^[12]

1813년 존 허셜에 의해 소개된 sin⁻¹(x), cos⁻¹(x), tan⁻¹(x) 등의 표기법은 영어 소스에서도 종종 사용되는데,^[13][14][6] 이는 또한 성립된^[−1] sin(x), cos^[−1](x), tan^[−1](x)보다 훨씬 더 많습니다 – 각 역삼각형의 다중값 버전을 정의하는 데 유용한 (예를 들어) 역함수의 표기법과 일치하는 규약${\displaystyle {\tan }^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$ ⁡ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$= {${\displaystyle \arctan }$ ⁡${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) +${\displaystyle }$π ${\displaystyle k}$ ∈ ∣ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \}}$. ${\displaystyle \tan ^{-1}(x$)=\{\$arctan(x$) $+\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}~.}$ 그러나 이는 숫자 거듭제곱 라를 참조하는 sin(x)과 같은 표현에 대한 일반적인 의미론과 논리적으로 충돌하는 것처럼 보일 수 있습니다.함수 구성이 아닌 경우, 따라서 역수(multiplic 역수)와 역수 함수에 대한 표기법 사이에 혼동이 발생할 수 있습니다.

이러한 혼란은 각 역삼각함수가 (cos(x) = sec(x))와 같은 고유한 이름을 가지고 있기 때문에 다소 완화됩니다.그럼에도 불구하고 일부 저자들은 애매모호하기 때문에 사용하지 말 것을 권고하고 있습니다.^[6][16]소수의 저자들이 사용하는 또 다른 불안정한 관습은 "-1" 위첨자와 함께 대문자 첫 글자를 사용하는 것입니다: Sin⁻¹(x), Cos⁻¹(^[17]x), Tan⁻¹(x) 등.비록 이것이 sin⁻¹(x), cos⁻¹⁻¹(x) 등으로 표현되어야 하는 역수와 혼동을 피하기 위한 것이기는 하지만, 특히⁻¹ 많은 인기 있는 높은 수준의 프로그래밍 언어들(예를 들어, Mathematica, MAGMA)이 매우 동일한 대문자 표현을 사용하기 때문에, 이것은 다시 모호성의 또 다른 주요 원천을 만듭니다.표준 trig 함수의 경우 ns인 반면, 다른 함수들(Python, SymPy, NumPy, Matlab, MALE 등)은 소문자를 사용합니다.

따라서 2009년부터 ISO 80000-2 표준은 역함수에 대한 "arc" 접두사만을 지정했습니다.

기본개념

주값

6개의 삼각 함수 중 어느 것도 일대일이 아니기 때문에 역함수를 가지려면 이 함수들을 제한해야 합니다.따라서 역함수의 결과 범위는 원래 함수의 도메인의 적절한(즉, 엄격한) 부분 집합입니다.

예를 들어, 제곱근 함수 ${\displaystyle y}$ = x ${\displaystyle$y = {{\$sqrt {x}}}$를 y 2${\displaystyle }$= $,$ {\$displaystyle$y^{2}=$$x,} $함수$ y = ${\displaystyle \mathrm{아크신}}$ ⁡ $)$ {\$displaystyle$ y =\$arcsin(x)}$이(가) ${\displaystyle \sin }$ ⁡ ${\displaystyle (y)}$ = x${\displaystyle .}$ {\$displaystyle \sin(y$)= $x.}$ 주어진 실수 $x$에 대하여${\di$${\displaystyle -1}{\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ $splaystyle$ x,}, ${\$displaystyle $-1$$\$$leq x\leq 1,}$ ${\displaystyle 수}$ y ${\displaystyle$ y$}$가 여러 개 있습니다$.$ 예를 들어 ${\displaystyle \sin }$ $⁡$ (${\displaystyle 0)}$${\displaystyle }$$=$ ${\displaystyle 0}$$,$${\displaystyle \sin($$0$) $=$ $0,}$ 뿐만 아니라 ${\displaystyle \sin }$ $⁡$ ${\displaystyle (}$$π$${\displaystyle }$) $=$ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \sin(\pi$ )$=$ 0,} ${\displaystyle \sin }$ $⁡$ (${\displaystyle }$$π$${\displaystyle }$) $=$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle$ \sin(\pi ) $=$ $0,}$$yle \sin(2\pi)=0,}$ 등.하나의 값만 원하는 경우 함수는 주 분기로 제한될 수 있습니다.이 제한을 사용하면 도메인의 $각$x {\$displaystyle x}$에 대해${\displaystyle }$⁡${\displaystyle (x)}${\$displaystyle \arcsin(x)}$의 식 아크가 해당 주 값이라는 단일 값으로만 평가됩니다.이러한 속성은 모든 역삼각형 함수에 적용됩니다.

주요 역들은 다음 표에 나열되어 있습니다.

이름.	통상적인 표기법	정의.	$실제{\displaystyle }$ 결과에 대한$$ x ${\displaystyle x}$ 도메인	통상적인 원금의 범위 (레이디언즈)	통상적인 원금의 범위 (degrees)
아크신	${\displaystyle y=\arcsin(x)}$	x = sin(y)	${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$	${\displaystyle -{\frac {\pi}{2}}\leq \leq {\frac {\pi}{2}}$	${\displaystyle -90^{\circ}\leq y\leq 90^{\circ}}$
아크코신	${\displaystyle y=\arccos(x)}$	x = cos(y)	${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$	${\displaystyle 0\leq \leq \pi }$	${\displaystyle 0^{\circ}\leqy\leq 180^{\circ}}$
아크탄젠트	${\displaystyle y=\arctan(x)}$	x = tan(y)	모든 실수	${\displaystyle -{\frac {\pi}{2}}<y<\frac {\pi}{2}}}$	${\displaystyle -90^{\circ}<y<90^{\circ}}$
활강제의	${\displaystyle y=\operator name {arccot}(x)}$	x = cot(y)	모든 실수	${\displaystyle 0<y<\pi}$	${\displaystyle 0^{\circ}<y<180^{\circ}}$
호상의	${\displaystyle y=\operator name {arcsec}(x)}$	x = sec(y)	${\displaystyle {\left\vert x\right\vert}\geq 1}$	${\displaystyle 0\leqy<{\frac {\pi}{2}}{\text{또는 }}{\frac {\pi}{2}}<y\leq \pi }$	${\displaystyle 0^{\circ }\leq y<90^{\circ }{\text{ or }}}<y\leq 180^{\circ }}$
호각류의	${\displaystyle y=\operator name {arccsc}(x)}$	x = csc(y)	${\displaystyle {\left\vert x\right\vert}\geq 1}$	${\displaystyle -{\frac {\pi}{2}}\leqy<0{\text{또는 }}}0<y\leq{\frac {\pi}{2}}$	${\displaystyle -90^{\circ }\leq y<0^{\circ }{\text{ or }}{\circ }<y\leq 90^{\circ }$

참고: 접선 함수가 이 도메인에서 음이 아니기 때문에 일부 저자는 호의 범위를 y <π π ≤ y< π ${\$text $스타일 (0\leqy<{\frac {\pi}{2}}{\text${ 또는$}}\pi \leqy<\frac$ {3$\pi}{2})}$로 정의합니다이것은 몇몇 계산들을 더 일관성 있게 만듭니다.예를 들어, 이 범위를 사용하면 ${\displaystyle \tan }$⁡${\displaystyle (\mathrm{arcsec}}$ ⁡${\displaystyle }$( ${\displaystyle x))}$ = ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sqrt{2^{}}}$ -${\displaystyle \sqrt{{}^{}1},}$ ${\displaystyle \tan(\operator$ name ${arcsec}(x))$$=$${\displaystyle \{\backslash }$$sqrt {x^{2}-1}}$인 반면, 범위가 < $π$ $π$2< ≤$π$${\displaystyle )}$ ${\textstyle (0\leq y<{\frac${\$pi }{2}}{\$text{$또는$}}{\$frac${\$pi }{2}}<y\leq$\pi 인 $경우$ tan${\displaystyle }$$⁡$(${\displaystyle \mathrm{arcsec}}$ $⁡$ (${\displaystyle x}$) $=$ ± x$$2 -${\displaystyle \sqrt{{}^{}1}}$ , ${\displaystyle \tan(\operatorname${arcsec$x))$를 써야 ${\displaystyle \mathrm{합니다}}$.$접선$이 <$π$ 2{\$textstyle$ 0\$leq$ y$<{\pi}{2}},$ {\textstyle 0$\$leq y<{\$pi$ }{2}}, $π$2 < y≤$π$$.$ {\$textstyle {\frac$ {\pi$}{2}}<y\leq$ \pi $.}$ 비슷한 이유로 동일한 작성자가 호접선의 범위를(-$π$ < - $π$ 2{\$textstyle (-\pi < y\leq -{\frac${\$pi }{2}})$ 0 < $π$2)로 정의합니다.${\textstyle 0<y\leq {\frac {\pi}{2}}).$$}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 복소수일 수 있으면$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ y$}$의 범위가 해당 실제 부분에만 적용됩니다$$.

아래 표에는 역삼각형 함수의 이름과 도메인이 라디안 단위의 일반적인 주 값의 범위와 함께 표시됩니다.

이름.	기호.		도메인		이미지/범위	역 기능.		도메인		이미지 주요 가치
사인의	${\displaystyle \sin}$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R}}$	${\displaystyle \to}$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle \arcsin}$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle \to}$	${\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi}{2}},{\tfrac {\pi}{2}}\right]}$
코사인	${\displaystyle \cos}$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R}}$	${\displaystyle \to}$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle \arccos}$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle \to}$	${\displaystyle [0,\pi ]}$
접선의	${\displaystyle \tan}$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi}{2}}, {\tfrac {\pi}{2}}\right)}$	${\displaystyle \to}$	${\displaystyle \mathbb {R}}$	${\displaystyle \arctan}$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R}}$	${\displaystyle \to}$	${\displaystyle \left (-{\tfrac {\pi}{2}},{\tfrac {\pi}{2}}\right)}$
공태음의	${\displaystyle \cot}$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$	${\displaystyle \to}$	${\displaystyle \mathbb {R}}$	${\displaystyle \operator name {arccot}}$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R}}$	${\displaystyle \to}$	${\displaystyle (0,\pi )}$
부항의	${\displaystyle \sec}$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi}{2}}, {\tfrac {\pi}{2}}\right)}$	${\displaystyle \to}$	${\displaystyle \mathbb {R} \set마이너스(-1,1)}$	${\displaystyle \operator name {arcsec}}$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R} \set마이너스(-1,1)}$	${\displaystyle \to}$	${\displaystyle [\,0,\;\pi \,]\;\setminus \left\{\tfrac {\pi}{2}}\right\}}$
공변의	${\displaystyle \csc}$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$	${\displaystyle \to}$	${\displaystyle \mathbb {R} \set마이너스(-1,1)}$	${\displaystyle \operator name {arccsc}}$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R} \set마이너스(-1,1)}$	${\displaystyle \to}$	${\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi}{2}}, {\tfrac {\pi}{2}\right]\set마이너스 \{0\}$

기호 $R$ =${\displaystyle }$( -${\displaystyle \mathrm{}}$∞${\displaystyle \mathrm{,}}$∞${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbb {R}$ = (-\$infty,\infty )}$은(는) 모든 실수의 집합을 $나타내고$ Z =${\displaystyle }${ ${\displaystyle \dots ,}$-${\displaystyle 2,}$ - ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1,}$ 2$…}$ {\$displaystyle$ \$mathbb${Z} =\{\$ldots,\, -2, -1,\, 0,$1, $2,\,$ \n\$dots \}$은(는) 모든 정수의 집합을 나타냅니다.π ${\displaystyle$ \$pi$}의$$모든 정수 배수 집합은 다음과 같이 표시됩니다.

기호$$∖ {\$displaystyle$\,\$setminus \,}$는 예를 $들어$ R${\displaystyle }$∖${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1,}$ 1${\displaystyle )}$ = ( -${\displaystyle }$∞${\displaystyle ,}$ - ${\displaystyle 1}$ )${\displaystyle }$∪ [ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$∞$]$ {\$displaystyle$ \$mathbb${R} \$setminus$(-$1,$ 1) = (-\$infty, -1$]\$cup$[1,\$infty ]}$은 $R$ ${\displaystyle \mathbb {R}($즉${\displaystyle ,}$ 실수)의 구간에$$없는 점들의 집합입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle (-1$ ${\displaystyle 1)}$$,1).$$}$

민코프스키 합 표기법 π $Z$+$$( $0,$ π$)$ ${\$$textstyle$$\mathbb {Z}$ + $(0$$,\$$pi )},$ π Z${\displaystyle }$+${\displaystyle }$( -${\displaystyle }$π ${\displaystyle \frac{2}{}}$,${\displaystyle }$π ${\displaystyle \frac{2}{}}$) ${\displaystyle \mathbb {Z}$ + ${\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}},$ {\${\displaystyle \mathrm{tfrac}}$ ${\pi }{2}},$ {\$tfrac$ {\$pi$ }{2}}, {\$bigr$$}}}이(가$) 설명되었습니다$.$

cotangent ${\displaystyle \cot }$ ${\displaystyle \cot}$ 및 coscant ${\displaystyle \csc }$ ${\displaystyle \csc}$의 도메인 :$$${\displaystyle \cot }$ ${\$ 및 ${\displaystyle \csc }$ ${\$의 도메인은$$ 동일합니다.이들은 ${\displaystyle \sin }$ ⁡ θ ≠ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \sin \theta \neq 0,},$ 즉 일부 $정수$ n${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle n,}$에 대해 형태 π n$${\$displaystyle \pin}$이 아닌 모든 실수 θ ${\$displaystyle \$theta}$의 집합입니다.

${\displaystyle \mathrm{접선}}$ ${\displaystyle \tan}$ 및$$ ${\displaystyle \mathrm{접선}}$ ${\displaystyle \sec}$ 도메인 :$$${\displaystyle \mathrm{접선}}$ ${\$ \,}$$및 ${\displaystyle 초}$ ${\$ 도메인이$$ 동일합니다$$.⁡ θ ≠ $0$, ${\displaystyle$ \cos \$theta$ \$neq 0,}$의 모든 ${\displaystyle \mathrm{각도}}$$$θ ${\$displaystyle \$theta$} 집합입니다.

기본 삼각방정식의 해

각 삼각 함수는 인수의 실제 부분에서 주기적이며, ${\displaystyle 2}$ π의 $각$ 구간에서 모든 값을 두 번 실행합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle 2\pi :}$

• 사인과 코사인은 π $k$ -$$π $\frac{2}{}$ ${\textstyle$ 2$\pi-{\frac {\pi}{2}}($여기서 $k$ ${\displaystyle k}$는 정수)에서 주기를 시작하여 $2$π k +$$π$$2, {\$textstyle 2\pi k+{\frac {\pi$}{2$}}$에서 끝내고 π $k$ + π$$2 {\$textstyle 2\pi k+{\frac {\pi}{$$2$}}에서 2$$π $k$ + 3$$π $2$. $textstyle$ 2\$pi k+{\$frac {3$\pi}{2}}.$
• 코사인과 secant는 2 π k${\displaystyle ,}${\$displaystyle$ 2$\pik,}$에서 주기를 시작하여 $2$ π k +${\displaystyle }$π에서${\displaystyle }$마칩니다$.$ {\$displaystyle$2\$pik$$+\$$pi..}$에서 2 π ${\displaystyle k}$ +${\displaystyle }$π으로$$π ${\displaystyle k}$ + 2 π로 reverse합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle 2\pi+2\pi}$
• 탄젠트는 π $k$ -$$π $\frac{2}{},$ ${\textstyle 2\pi-{\$$frac$ ${\pi}{2}}$에서 주기를 시작하여 π $k$ +$$π $\frac{2}{},$ ${\textstyle 2\pi+{\frac {\pi}{2}},$ {\$textstyle 2\pi$k +$$π $\frac{2}{}$ ${\pi }{2}}$에서 2 π$$k + 3$$π $.$ {\$textstyle$2\$pi k$ + {\$frac {3$\pi$}{2}}$에서 완료합니다.
• 코탄젠트는 π ${\displaystyle k}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 2\pik}$에서 주기를 시작하여 π k +${\displaystyle }$π${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 2\pik+\pi}$에서 π ${\displaystyle k}$ +${\displaystyle }$π, ${\displaystyle 2\pik+\pi}$에서 π ${\displaystyle k}$ + 2 π으로 반복(앞으로)합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle 2\pik+2\pi}$

$이{\displaystyle }$ 주기성은 k ${\displaystyle k}$이(가) 정수인$$ 일반 역에 반영됩니다.

다음 표는 6개의 표준 삼각 함수를 포함하는 등호를 풀기 위해 역삼각 함수를 사용하는 방법을 보여줍니다.아래의 관련 식이 잘${\displaystyle }정의$되도록$$지정된 값 θ, ${\$${\displaystyle }$$\theta$,} r, ${\$$r$,} s, ${\$$displaystyle s$,} x, ${\$$x$,} 및 y {\displaystyle y$}$가 모두 적절한 범위에 있다고 가정합니다."일부 $k$의${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle Z}${\$displaystyle k\in \mathbb {Z$에 대해서는 "일부 $정수$ k${\displaystyle .}${\$displaystyle$ k$.}"$라는 또 다른 표현일 뿐입니다$.$

기호 ⟺ $displaystyle \,\iff \,}$은(는) 논리적으로 동일합니다."LHS ⟺ $displaystyle \,\iff \,}$ RHS"라는 표현은 (a) 왼손 측(즉, LHS)과 오른손 측(즉, RHS)이 모두 참이거나, 그렇지 않으면 (b) 왼손 측과 오른손 측이 모두 거짓임을 나타냅니다. 옵션 (c)은 없습니다. 예를 들어, LHS 문이 참일 수도 있고 RHS 문이 동시에 참일 수도 없습니다.false), 그렇지 않았다면 "LHS ⟺ $displaystyle \,\iff \,}$ RHS"가 기록되지 않았을 것이기 때문입니다(이 개념을 설명하는 예는 이 각주 참조).

등식	만일의 경우에만	해결책
${\displaystyle \sin \theta =y}$	${\displaystyle \iff}$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle (-1)^{k}$	${\displaystyle \arcsin(y)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pick}$	일부 $k$ ∈ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z}$에 대해
${\displaystyle \csc \theta =r}$	${\displaystyle \iff}$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle (-1)^{k}$	${\displaystyle \operator name {arccsc}(r)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pick}$	일부 $k$ ∈ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z}$에 대해
${\displaystyle \cos \theta = x}$	${\displaystyle \iff}$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle \pm \,}$	${\displaystyle \arccos(x)}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pick}$	일부 $k$ ∈ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z}$에 대해
${\displaystyle \sec \theta =r}$	${\displaystyle \iff}$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle \pm \,}$	${\displaystyle \operator name {arcsec}(r)}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pick}$	일부 $k$ ∈ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z}$에 대해
${\displaystyle \tan \theta = s}$	${\displaystyle \iff}$	${\displaystyle \theta =\,}$		${\displaystyle \arctan(들)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pick}$	일부 $k$ ∈ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z}$에 대해
${\displaystyle \cot \theta =r}$	${\displaystyle \iff}$	${\displaystyle \theta =\,}$		${\displaystyle \operator name {arccot}(r)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pick}$	일부 $k$ ∈ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z}$에 대해

여기서 처음 4가지 솔루션은 다음과 같이 확장된 형태로 작성할 수 있습니다.

등식	만일의 경우에만	해결책
${\displaystyle \sin \theta =y}$	${\displaystyle \iff}$	${\displaystyle \theta =\;\;\,\arcsin(y)+2\pih}$ 아니면 ${\displaystyle \theta =-\arcsin(y)+2\pi h+\pi }$	일부 $h$ ∈ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle h\in \mathbb {Z}}$의 경우
${\displaystyle \csc \theta =r}$	${\displaystyle \iff}$	${\displaystyle \theta =\;\;\,\operator name {arccsc}(y)+2\pih}$ 아니면 ${\displaystyle \theta =-\operator name {arccsc}(y)+2\pi h+\pi }$	일부 $h$ ∈ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle h\in \mathbb {Z}}$의 경우
${\displaystyle \cos \theta = x}$	${\displaystyle \iff}$	${\displaystyle \theta =\;\;\,\arccos(y)+2\pick}$ 아니면 ${\displaystyle \theta =-\arccos(y)+2\pick}$	일부 $k$ ∈ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z}$에 대해
${\displaystyle \sec \theta =r}$	${\displaystyle \iff}$	${\displaystyle \theta =\;\;\,\operator name {arcsec}(y)+2\pick}$ 아니면 ${\displaystyle \theta =-\operator name {arcsec}(y)+2\pick}$	일부 $k$ ∈ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z}$에 대해

예를 들어 ${\displaystyle \cos }$ ⁡ θ =${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \cos \theta$ = -1$}$인 경우 θ ${\displaystyle }$= π${\displaystyle }$+ 2 π ${\displaystyle k}$ = -${\displaystyle }$π${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$ π ${\displaystyle (1}$ + ${\displaystyle \theta$ =\$pi +2\pi$ k=-\$pi$ +2\pi k=$-\$pi +$2\$pi +2\$pi (1$+ k$)}$ 일부 $k$ ∈ ${\displaystyle Z}$에 대한 ${\displaystyle$ k$\in \mathbb {Z} .}$인 경우 ${\displaystyle \sin }$ =${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sin \theta$ =\$pm$ 1$}$인 경우 θ = π $\frac{2}{}$+ π $k$ = -$$π 2 +$$π$$($\mathrm{k}$+ 1$$) ${\textstyle \theta$ = {\$frac {\pi}{2}}+\pi k$입니다.$=$ - ${\displaystyle 일부}$ k $∈$ Z에 대한 ${\$$frac$ {\$pi}{2}}+\$pi($k+1)},$ {\$displaystyle$ k$\in \mathbb {Z},}$ 여기서 $k$ ${\displaystyle$ k$}$는 sin $=$${\displaystyle }$$1 {\displaystyle$$\sin$$\theta$$=$$$1$}$인 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ 짝수이고, sin $⁡ θ$ $=$ - ${\displaystyle \mathrm{1인}\mathrm{경우}}$ 홀수입니다. ${\displaystyle \sin$ \theta $=$$$$-1.}$ 식 ${\displaystyle \sec }$ $⁡ θ$ - ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ \$sec$\theta $=$$$$-1}$ 및 ${\displaystyle \csc }$ $⁡ θ$ $=$${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \csc \theta$ $=$\$pm$ 1$}$$$ ${\displaystyle c}$os ⁡ ${\displaystyle \theta }$ $=$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \cos \the$t$a$ = $-1}$ 및 ${\displaystyle s}$in ⁡ θ =${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle \sin \the$t$a$ =\$pm 1,}$과 같은 솔루션을 가집니다.방금 풀린 식(즉, ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \sin }$/ ${\displaystyle \csc }$ ⁡ θ =${\displaystyle }$± 1 ${\displaystyle$ \$csc \theta$=\$pm 1}$ 및 ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \cos$ =$$-${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sec \theta$ = $-1})$을 제외한 위의 모든 식에서 해의 공식에서 정수 $k$${\$$displaystyle$ k$}$는$$θ {\$displaystyle$ \$theta }($고정된 경우)에 의해 고유하게 결정됩니다.${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle r, s, x,}$ $및$ y ${\displaystyle y}).$

"플러스 또는 마이너스" 기호에 대한 자세한 예시 및 설명 ±

${\displaystyle \cos }$ ⁡ θ = ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cos \theta$ = x$}$ 및 ${\displaystyle sec}$ ⁡ θ = x ${\displaystyle \sec \theta$ = $x}$에 대한 솔루션에는 이제 의미가 명확해진 "플러스${\displaystyle }$또는 마이너스$"$ $기호$ ±, {\displaystyle $\,\pm,\,}$가 포함됩니다.${\displaystyle \sec }$ ⁡ θ = ${\displaystyle x}$ ${\$$displaystyle$$$\$cos \theta$ = $x}$에 대한 논의는 동일하므로 ${\displaystyle \cos }$ ⁡ θ = ${\displaystyle x}$ ${\$$displaystyle$ \$sec \theta$ = $x}$에 대한 해결책만 논의합니다.${\displaystyle \mathrm{우리}}$는${\displaystyle \mathrm{-1}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ $\le$1$${\$displaystyle x$$}$ $사이$에 x {\$displaystyle x}$가 주어지고, 어떤 구간에서는 ${\displaystyle \cos }$ ⁡ θ =$x$를 만족하는 각도 θ ${\displaystyle \theta}$가 있음을 알고 있습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \cos \theta$ = x$.}$ 이 θ을 찾고자 합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \theta .}$ 위의 표는 솔루션이 다음과 같음을 나타냅니다.

이것은 (적어도) 다음 문장 중 하나가 참이라는 속설입니다.

1. ${\displaystyle }{\displaystyle }$θ${\displaystyle \mathrm{일부}}$ ${\displaystyle \mathrm{정수}}$ k에 $=$$$$ar$${\displaystyle c}$$cos$ ⁡ x${\displaystyle }$+ 2 ${\displaystyle \mathrm{\pi }}$ k $displaystyle \,\t$ =\$arccos x+2\pik\,},$ {\displaystyle k$,}$
   아니면
2. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle =}$- 일부 정수 $k$에 대해${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{ar}c\cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 2\pi }$ k ${\displaystyle \,\t$ = -\$arccos$ x + $2\pik\,}.$ ${\displaystyle$ k$.}$

위에서 언급한 바와 같이 ${\displaystyle \arccos }$가 ${\displaystyle x}$ = π ${\displaystyle \,\arccos$x =\$pi \,}($정의상 $x$ = ${\displaystyle \cos }$ =${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle$ x =\$cos \pi$ = $-1}$일 때만 발생함$)$를 ⁡하면 두 문장(1)과 (2)가 모두 성립하지만 $정수$ k ${\displaystyle$ k$}$에 대한 값은 서로 다릅니다$.$ K ${\displaystyle$ K$}$가 문장(1)의 정수라면 = π ${\displaystyle +}$를 의미합니다.${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{\pi }}$ K ${\displaystyle \theta$ K$}$이(가) 유지된 경우 문장 (2)에 대한 $정수$ K$${\$displaystyle k}$는${\displaystyle }$K + ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ K$+1}$입니다(${\displaystyle \mathrm{\theta }}$ ${\displaystyle \mathrm{=}}$ -${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{\pi }}$${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{\pi }}$ ${\displaystyle (1}$+ ${\displaystyle K)}$ ${\displaystyle \theta$ ${\displaystyle \mathrm{=}}$ -\$pi +2\pi (1$+ K$)).$그러나 $x$ ≠${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x\neq -1}$인 경우 $정수$ k ${\displaystyle k}$는 $고유$하며 θ에 의해 완전히 결정됩니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \theta .}$ 만약 ${\displaystyle \arccos }$가 ${\displaystyle \mathrm{x}}$ = 0 ${\displaystyle \,\arccos$x=$0\,}($$정의상$ x = ${\displaystyle \cos }$ ⁡ ${\displaystyle 0}$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$x=\$cos$0=$1$인 경우에만 발생). 그러면 ±${\displaystyle \arccos }$ ⁡ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ = 0 ${,\pm \arccos$x=$0\,}($왜냐하면)se +${\displaystyle \arccos }$ ⁡ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ =${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 0}$ = 0 ${\displaystyle \,+\arccos$x = +0= 0$\,}$ 및 -${\displaystyle \arccos }$ ⁡ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ =${\displaystyle }$- ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \,-\arccos$x$$=$-0$= 0$\,}$이므로 두 경우 모두${\displaystyle }$±$$ ⁡ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,\pm$ \$arccos$x\,}는 0 {\displaystyle $0$과 같으므로 이 경우 문장 (1)과 문장 (2)이 일치합니다.${\displaystyle \arccos }$ ⁡${\displaystyle }$x =${\displaystyle }$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \,\arccos$ x = 0\,}$$및 ${\displaystyle \arccos }$ ⁡ ${\displaystyle x}$ =$$π${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \,\arccos$ x =\$pi,\,}$의 경우를 고려하여 이제 ${\displaystyle \arccos }$ ⁡ ${\displaystyle x}$ ≠ π 0 ${\displaystyle \,\arccos$ x$\$$neq$ 0$\,}$ 및$$ ⁡ ${\displaystyle x}$ ≠, {\$displaystyle \,\arccos$ x\$neq$\pi$,\,}$ 이제부터 이를 가정합니다.${\displaystyle \cos }$ ⁡ θ = x ${\displaystyle \cos \theta$ = $x}$에 대한 솔루션은 여전히 있습니다.

이전과 마찬가지로 (1)과 (2) 중 하나의 진술이 참이라고 말하는 축약어입니다.그러나 이번에는 ${\displaystyle \arccos }$ ⁡ ${\displaystyle x}$ ≠ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \,\arccos x\neq 0\,}$ 및 < ⁡ <π ${\displaystyle \,0<\arccos x<\pi,\,,}$ 문(1) 및 (2)이 서로 다르며, 더 나아가 두 등분 고정 중 하나(둘 다 아님)입니다.θ ${\displaystyle$ \$theta$}에$$대한 추가 정보가 필요합니다.예를 들어 $x$ = 0 ${\displaystyle$x = $0}$이고 θ$${\$displaystyle \theta}$에 대해 알려진 것은${\displaystyle }$- π ≤ θ ≤ π ${\displaystyle \,-\pi \leq \theta \leq \pi \,}($더 이상 알려진 것은 없습니다)뿐이라고 가정합니다.그리고나서그리고 이 특정한 경우 ${\displaystyle \mathrm{k}}$ = 0 ${\displaystyle$k = $0$${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle (+}${\$displaystyle \,+\,}$ 케이스와$$- {\$displaystyle \,-,}$ 케이스 모두에 대해),$즉$,$$θ {\$displaystyle$ \$theta$}은$($는) π${\displaystyle }$/ 2 ${\displaystyle \,\pi /2\,}$ 또는 -${\displaystyle }$π${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2일}$ 수 있습니다${\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle \,-\pi /2.}$ 추가 정보 없이는 θ ${\displaystyle \theta}$의 값을 확인할 수 없습니다.θ ${\displaystyle$ \$theta$}의$$값을 결정할 수 있는 몇 가지 추가 정보의 예는 $각도$가 x ${\displaystyle$ x} $축($이 경우 θ =$$π${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \theta$ =\$pi$/ 2$})$위에 있다는 것을 알고 있거나, 또는,$x$ ${\displaystyle x}$ - 축(이 경우 θ = -${\displaystyle }$π${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \theta$ = -\$pi$/ $2})$ 아래에 있음을 알고 있습니다.

방정식 변환

위의 방정식은 반사 및 이동 항등식을 사용하여 변환할 수 있습니다.^[18]

이동 및 반사에 의한 방정식 변환

인수: ${\displaystyle \underset{}{\_}}$ =${\displaystyle {\ 밑줄$ {\;~~\}}=}	${\displaystyle -\theta}$	${\displaystyle {\frac {\pi}{2}}\pm \theta }$	${\displaystyle \pi \pm \theta }$	${\displaystyle {\frac {3\pi}{2}}\pm \theta }$	${\displaystyle 2k\pi \pm \theta,}$ ${\displaystyle (k\in \mathbb {Z} )}$
${\display style \sin {\\ 밑줄 {\;~~~}}=}$	${\displaystyle -\sin \theta}$	${\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta}$	${\displaystyle \mp \sin \theta}$	${\displaystyle -\cos \theta}$	${\displaystyle \pm \sin \theta}$
${\display style \csc {\밑줄 {\;~~~~\"}=}$	${\displaystyle -\csc \theta }$	${\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta}$	${\displaystyle \mp \csc \theta }$	${\displaystyle -\sec \theta}$	${\displaystyle \pm \csc \theta }$
${\display style \cos {\ 밑줄 {\;~~~}}=}$	${\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta}$	${\displaystyle \mp \sin \theta}$	${\displaystyle -\cos \theta}$	${\displaystyle \pm \sin \theta}$	${\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta}$
${\display style \sec {\ 밑줄 {\;~~~}}=}$	${\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta}$	${\displaystyle \mp \csc \theta }$	${\displaystyle -\sec \theta}$	${\displaystyle \pm \csc \theta }$	${\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta}$
${\display style \tan {\밑줄 {\;~~~}}=}$	${\displaystyle -\tan \theta}$	${\displaystyle \mp \cot \theta }$	${\displaystyle \pm \tan \theta }$	${\displaystyle \mp \cot \theta }$	${\displaystyle \pm \tan \theta }$
${\display style \cot {\ 밑줄 {\;~~~}}=}$	${\displaystyle -\cot \theta}$	${\displaystyle \mp \tan \theta}$	${\displaystyle \pm \cot \theta }$	${\displaystyle \mp \tan \theta}$	${\displaystyle \pm \cot \theta }$

이러한 공식은 특히 다음과 같은 의미를 갖습니다.

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 sin${\displaystyle }$↔ ${\displaystyle \csc }$, {\$displaystyle$ \$sin \left$ right arrow $\csc ,}$ ${\displaystyle \mathrm{스와핑}}$cos${\displaystyle }$↔ ${\displaystyle \sec }$, {\$displaystyle$ \$cos$ \$left$ right arrow \$sec ,}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{스왑}}$tan ↔$$ {\$displaystyle$ \$tan$ \$left$ right $arrow$ \cot$}$은 ${\displaystyle \csc ,}$ ${\displaystyle \sec \text{및}}$ ${\displaystyle \cot ,}$ ${\displaystyle \csc ,\sec$ , ${\text{$및$}\cot ,}$에 대해 각각 유사한 방정식을 제공합니다.

따라서 예를 들어, ${\displaystyle sin}$ ⁡$$(π$$2 - θ$$)$$= $\cos$ ⁡ θ$,${\$textstyle \sin \left$ ({\$frac {\pi }{2}-\theta \right$)=\$cos \theta,}$ 방정식 ${\displaystyle \cos }$ ⁡ θ = ${\displaystyle x}${\$displaystyle \cos \theta$ = $x}$를 sin ⁡$$(π$$2 - θ$$) = $x,${\$textstyle \sin \left$ ({\$frac {\pi }{2}-\theta \right$) = $x},$ s의 해를 구할 수 있습니다.${\displaystyle \mathrm{\; \phi }}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \;\sin$ \$varphi$$$$x\;}($$여기$서 ${\displaystyle \phi }$ :${\displaystyle =}$$$${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2}$ -$$${\displaystyle \theta }$ ${\textstyle$ \$varphi :$${\displaystyle =}$${\frac {\pi$}{2$}}-\theta })$에서$$${\displaystyle \mathrm{사용}}$됩니다. 해당 솔루션은 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle }$${\displaystyle =}$ ( -${\displaystyle }$1${\displaystyle }$)${\displaystyle {}^{}\mathrm{일부}k개}$의 ${\displaystyle \in }$${\displaystyle Z}$에 대한 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle }$k${\displaystyle }$+$${\$displaystyle \varphi$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{(-}}$$1)^{k}\arcsin(x)+\pi$ k; ${\text{$일부 }}$k\in$ \$mathbb$ {Z$}$에서 다음과 같습니다.

여기서 (${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1{}^{}}$) ${\displaystyle k^{}}$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- k ${\displaystyle (-1)^{k$} = (-$1)^{-k}$를 $사용$하고 h := -${\displaystyle k}$ ${\displaystyle$h:=-$k}$로 대입하면 ${\displaystyle \cos }$ ⁡ θ = ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \;\cos \theta$ = $x\;}$에 대한 또 다른 솔루션이 다음과 같습니다.⁡${\displaystyle }$${\displaystyle x}$ =$$π 2 -${\displaystyle \mathrm{arcos}}$ ⁡ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \;\arcsin$x = {\$frac {\pi$}{2$}}-\arcos x\;}$는 위 수식의 오른쪽을 ⁡${\displaystyle }$${\displaystyle x}$ {\$displaystyle \;\arcos$ x$\;}$ 대신 ${\displaystyle \mathrm{arcos}}$ ⁡ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ \;\arcos x\;}로 표현할 수 있습니다. ${\displaystyle \;\arcsin$ x$.\;}$

동일한 삼각함수

아래 표는 θ ${\displaystyle \theta}$ 및 φ ${\displaystyle \varphi}$ 두 각도가 주어진 삼각 함수 하에서 값이 같거나 서로 음수일 경우 어떻게 연관되어야 하는지 보여줍니다.

등식	만일의 경우에만	솔루션(일부 $k$ ∈ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z})$의 경우$)$	또한 에 대한 해결책.
${\displaystyle {\phantom {-}}\sin \theta =\sin \varphi}$	${\displaystyle \iff}$	${\displaystyle \theta ={\phantom {\quad }}(-1)^{k}\varphi +{\phantom {2}}\pik{\phantom {+\pi}}$	${\displaystyle {\phantom {-}}\csc \theta =\csc \varphi }$
${\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta =\cos \varphi }$	${\displaystyle \iff}$	${\displaystyle \theta = {\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +2\pik{\phantom {+\pi}}$	${\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta =\sec \varphi }$
${\displaystyle {\phantom {-}}\tan \theta =\tan \varphi }$	${\displaystyle \iff}$	${\displaystyle \theta = {\phantom {(-1)^{k+1}}\varphi +{\phantom {2}}\pik{\phantom {+\pi}}$	${\display style {\phantom {-}}\cot \theta =\cot \varphi }$
${\displaystyle -\sin \theta =\sin \varphi }$	${\displaystyle \iff}$	${\displaystyle \theta = (-1)^{k+1}\varphi +{\phantom {2}}\pik{\phantom {+\pi}}$	${\displaystyle -\csc \theta =\csc \varphi }$
${\displaystyle -\cos \theta =\cos \varphi }$	${\displaystyle \iff}$	${\display style \theta = {\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +2\pi +\pi {\phantom {+\pi}}$	${\displaystyle -\sec \theta =\sec \varphi }$
${\displaystyle -\tan \theta =\tan \varphi }$	${\displaystyle \iff}$	${\displaystyle \theta = {\phantom {-1\quad }}-\varphi +{\phantom {2}}\pik{\phantom {+\pi}}$	${\displaystyle -\cot \theta =\cot \varphi }$
${\displaystyle {\begin{aligned}{\phantom{-}}\left \sin \theta \right &=\left \sin \varphi \right \{\phantom{-}}\left \cos \theta \right &=\left \cos \varphi \right \end{aligned}}$	${\displaystyle \iff}$	${\display style \theta = {\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +{\phantom {2}}\pik{\phantom {+\pi}}$	${\디스플레이 스타일 {\begin {aligned}{\phantom {-}}\left \tan \theta \right &=\left \tan \varphi \right \\\left \csc \teta \right &=\left \csc \varphi \right \\\left \sec \sec \theta \right &=\left \sec \varphi \right \right \end{align}}$

삼각함수와 역삼각함수의 관계

역삼각형 함수의 삼각형 함수는 아래 표와 같습니다.그들을 도출하는 빠른 방법은 길이 1의 한 변과 길이 $x$의 다른 변$,$ {\$displaystyle x}$의 직각 삼각형의 기하학을 고려한$$ 다음 피타고라스 정리와 삼각형 비율의 정의를 적용하는 것입니다.주의할 점은 호와 호의 경우, $다이어그램$은 x ${\displaystyle$ x$}$가 양수라고$$ 가정하므로 절대값 사용과 부호(sgn) 연산을 통해 결과를 수정해야 한다는 것입니다.

${\displaystyle \theta}$	${\displaystyle \sin(\theta )}$	${\displaystyle \cos(\theta )}$	${\displaystyle \tan(\theta )}$	도표
${\displaystyle \arcsin(x)}$	${\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x}$	${\displaystyle \cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle \tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \arccos(x)}$	${\displaystyle \sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle \cos(\arccos(x))=x}$	${\displaystyle \tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
${\displaystyle \arctan(x)}$	${\displaystyle \sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \tan(\arctan(x))=x}$
${\displaystyle \operator name {arccot}(x)}$	${\displaystyle \sin(\operator name {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cos(\operator name {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \tan(\operator name {arccot}(x))={\frac {1}{x}}$
${\displaystyle \operator name {arcsec}(x)}$	${\displaystyle \sin(\operator name {arcsec}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	${\displaystyle \cos(\operator name {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}$	${\displaystyle \tan(\operator name {arcsec}(x))=\operator name {sgn}(x){\sqrt {x^{2}-1}}$
${\displaystyle \operator name {arccsc}(x)}$	${\displaystyle \sin(\operator name {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}$	${\displaystyle \cos(\operator name {arccsc}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	${\displaystyle \tan(\operator name {arccsc}(x))={\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {x^{2}-1}}}}:$

역삼각함수 사이의 관계

상보각:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi}{2}}-\arcsin(x)\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi}{2}-\arctan(x)\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}$

부정적 인수:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin (-x)&=-\arcsin(x)\\\arccos (-x)&=\pi -\arccos(x)\\arctan (-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsc}(-x)&=-\operatorname {arcsc}(x)\end{aligned}}$

역수 인수:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos \left ({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)\\[0.3em]\arcsin \left ({\frac {1}{x}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)\[0.3em]\arctan \left ({\frac {1}{x}\right)&={\frac {2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x),{\text{if}}x>0\[0.3em]\arctan \left ({\frac {1}{x}\right)&=-{\frac {\pi}{2}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)-\pi \,{\text{if }}x<0\[0.3em]\operatorname {arccot}\left ({\frac {1}{x}\right)&={\frac {\pi}{2}-\operatorname {arccot}(x)=\arctan(x)\,{\text{if }x>0\[0.3em]\operatorname {arccot} \left ({\frac {1}{x}\right)&={\frac {3\pi}{2}-\operatorname {arccot}(x)=\pi +\arctan(x)\,{\text{if }}x<0\[0.3em]\operatorname {arccot}이름 {arcsec} \left ({\frac {1}{x}\right)&=\arccos(x)\\[0.3em]\operator name {arccsc} \left ({\frac {1}{x}\right)&=\arcsin(x)\end{aligned}}$

사인 테이블의 조각만 있는 경우 유용한 ID:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&=\arcsin \left ({\sqrt {1-x^{2}}\right),{\text{if}},0\leq x\leq 1{\text{, 여기서 }}\\arccos &\leq ({\frac {1-x^{2},{1+x^{2}}}\right)=\arcsin \left ({\frac {2x}{1+x^{2}}\right),{{\text{if}},0\leq x\leq 1\\\rft ({\sqrt {1-x^{2}}\right)={\frac {\pi}{2}}-\operatorname {sgn}(x)\arcsin(x)\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}\right)\rft(2x^{2}-,{\text{if}}},0\leq x\leq 1\\arcsin(x)&={\frac {1}{2}\right)\rft(1-2x^{2}\right)\rft(1-2x^{2}\right)\,,,{\text{if}}},0\leq x\leq 1\leqsin(x)&&{\frac {1}\right},\arcos \left(1-2x^{2}\right)\,,,{\text{if}}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\arctan \left ({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\\arccos(x)&=\arctan \left ({\frac {\sqrt {1-x^{2}}{x}\right)\\arcsin \left ({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}\right)\\arcsin \leq x(x)&=\arcsin \leq.}}}}\right)\"\\operator name {arccot}(x)&=\arccos \left ({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}$

복소수의 제곱근이 여기서 사용될 때마다 양의 실수 부분(또는 제곱이 음의 실수인 경우 양의 허수 부분)을 갖는 근을 선택합니다.

위의 표에서 바로 이어지는 유용한 형태는

$\arctan$$}}}}\right),{{\text{if}}}x\geq0$

${\displaystyle \cos }$ ⁡${\displaystyle }$( ${\displaystyle \arctan }$ ⁡${\displaystyle }$( ${\displaystyle x))}$= ${\displaystyle \sqrt{\frac{11}{}}}$+${\displaystyle \sqrt{\frac{}{}}\sqrt{\frac{{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{2^{}}{}}}$ = ${\displaystyle \cos }$ ⁡ (${\displaystyle \arccos }$ ⁡ ( ${\displaystyle \sqrt{\frac{{}^{}}{}}}$ + x 2${\displaystyle \sqrt{\frac{{}^{}}{}}))}${\$displaystyle \left$(\$arctan \left(x\right))\right$)={\$sqrt${\$frac {1}{1$+ $x^{2$$}}}}=\cos \left(\arccos \left ({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2$$}}}}\right)\right$

반각 공식에서 ${\displaystyle \tan }$⁡ ${\displaystyle (}$θ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{\sin }{}}$ ⁡${\displaystyle \frac{}{}}$(θ${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\cos }{}}$ ⁡${\displaystyle \frac{}{}}$(θ${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\display$ style $\tan \left$ ({\$tfrac {\theta}{2}\right$) = {\$tfrac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}},$ 다음을$$얻습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left ({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left ({\frac {\sqrt {1-x^{2}}{1+x}}\right),{\text{if }}-1<x\leq 1\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left ({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}\right)\,{\text{if }}-1<x\leq 1\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left ({\frac {x}{1+{x}}{1+x}{2}}\rft.}}}}}\right)\end{aligned}}$

아크탄젠트 덧셈 공식

${\displaystyle \arctan(u)\pm \arctan(v)=\arctan \left ({\frac {u\pm v}{1\mp uv}}\right){\pmod {\pi}},,,,\quad uv\neq 1\.}$

이는 접선 덧셈 공식에서 유도됩니다.

${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\tan(\beta )}}\,}$

허용함으로써

${\displaystyle \alpha =\arctan(u)\,,,\quad \beta =\arctan(v)\,}$

미적분학에서

역삼각함수의 도함수

본문: 삼각함수의 미분

복소수 z 값에 대한 도함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}\;&z&{}\neq -1,+1\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}\;&z&{}\neq -1,+1\{\frac {d}{dz}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}\frac {1}}}\;&z&{}\neq -i,+i\{\frac {d}{dz}}\operator name {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}\;&z&{}\neq -i,+i\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}}}}\;&z&{}}\neq -1,0,+1\{\frac {d}{ dz}\operatorname {arccsc}(z)&{{}=-{\frac {1}{z^{2}}}\;&z&{{}\frac {1}{z^{2}}}\;&z&{{}\neq -1,0,+1\end{align}}}\operatorname {arccsc}(z)&{z}=-{\frac {1}{z^{2}}}}}\;&z&{}\neq -1,0,+1\end{align}}}$

x의 실수 값에 대해서만:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsec}(x)&{}={\frac {1}{ x {\sqrt {x^{2}-1}}}\;& x >1\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{{}=-{\frac {1}{ x {\sqrt {x^{2}-1}}\;& x >1\end{aligned}}$

샘플 파생의 경우: ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle \theta$=$\arcsin(x)}$에서 θ = ${\displaystyle \mathrm{아크}}$가 발생하면 다음을 얻을 수 있습니다$.$

${\displaystyle {\frac {d\arcsin(x)) {dx}}={\frac {d\theta}{{d\sin(\theta)}}={\frac {d\theta}{\cos(\theta)\,d\theta}}={\frac {1}{\cos(\theta)}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta)}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}}{\frac {1}}$

수식을 정적분식

도함수를 적분하고 값을 한 점에 고정하면 역삼각형 함수에 대한 식을 정적분으로 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}\, dz\;,& x &{}\leq 1\\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}\, dz\;,& x &{}\\req 1\\int _0}^{x}=\int _{0}^{x}}{\frac {1}{z^{2}+1}}, dz\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _x}^{\infty}{\frac {1}{z^{2}+1}, dz\;,\operatorname {arcsec}(x)&{}=\in.t_{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}\, dz=\pi +\int _{-x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}\, dz\;,&x&{}\geq 1\\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _x}^{\infty}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}\, dz=\int _{-\infty}^{-x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}, dz;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}}$

x가 1일 때 도메인이 제한된 적분은 부적절한 적분이지만 여전히 잘 정의되어 있습니다.

무한급수

사인 함수 및 코사인 함수와 마찬가지로 역삼각형 함수도 다음과 같이 멱급수를 사용하여 계산할 수 있습니다.아크사인의 경우 급수는 도함수인 $\frac{\sqrt{11\mathrm{}}}{}$ -$\frac{\sqrt{{}^{}}}{}$ $\frac{\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}{}$ ${\$를$$이항급수로 확장하고 항 단위로 적분하여 유도할 수 있습니다(위와 같이 적분 정의를 사용).아크탄젠트에 대한 급수는 도함수 $\frac{11\mathrm{}}{}$+ $\frac{{}^{}}{}$ $\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}$ ${\$+ z$^{2}}}}$를 기하급수로 확장하고 위의 적분 정의를 적용함으로써 유사하게 유도할 수 있습니다(라이프니즈 급수 참조).

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left ({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}+\left ({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}\right){\frac {z^{5}}{5}+\left ({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right){\frac {z^{7}}+\cdot \[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(2n-1)!!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty}}{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad z \leq 1\end{aligned}}}$

${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}\,;\qquad z \leq 1\qquad z\neq i,-i}$

다른 역삼각형 함수에 대한 급수는 위에 주어진 관계에 따라 이들의 용어로 주어질 수 있습니다.${\displaystyle 예}$를 들어 ${\displaystyle \arccos }$ ⁡${\displaystyle }$( x )${\displaystyle }$= π /${\displaystyle 2}$ -${\displaystyle }$⁡ ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle \arccos(x$) =\$pi /2-\arcsin(x)},$${\displaystyle \mathrm{arccsc}}$ ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) = ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$/ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x$)=\$arcsin(1/x)}$ 등입니다$.$또 다른 시리즈는 다음과 같습니다.^[19]

${\displaystyle 2\left(\arcsin \left ({\frac {x}{2}}\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}}}}}$

레온하르트 오일러는 테일러 급수보다 더 빨리 수렴하는 아크탄젠트 급수를 발견했습니다.

${\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+z^{2}}\sum _{n=0}^{\infty}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2}}}}}$^[20]

(n = 0에 대한 합의 항은 빈 제품이므로 1도 마찬가지입니다.)

또는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle \arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}}{(2n+1)!}}}{\frac {z^{2n+1}}{{(1+z^{2})^{n+1}}}}}.$

아크탄젠트 함수에 대한 또 다른 시리즈는 다음과 같이 제공됩니다.

${\displaystyle \arctan(z)=i\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{2n-1}}\left ({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}\right}),}$

여기서 $i$ = -${\displaystyle \sqrt{1}}$ ${\displaystyle$i = {\$sqrt {-1}}$은(는) 허수 단위입니다.

아크탄젠트의 연속 분수

아크탄젠트의 멱급수에 대한 두 가지 대안은 다음과 같은 일반화된 연속 분수입니다.

${\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}}{{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}}}}}}{{\frac {1+{\cfrac {(2z)^{2}}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{(4z)^{9+\ddots}}}}}}}}}}}.$

이 중 두 번째는 절단된 복소 평면에서 유효합니다.-i에서 무한대에 있는 지점까지, 가상의 축을 따라 내려가는 두 개의 컷이 있고 i에서 무한대에 있는 지점까지, 같은 축을 따라 올라가는 두 개의 컷이 있습니다.-1에서 1 사이의 실수에 가장 적합합니다.부분 분모는 홀수 자연수이고, 부분 분자(첫 번째 이후)는 단지 (nz)이며,² 각 완벽한 제곱은 한 번 나타납니다.첫 번째는 레온하르트 오일러에 의해 개발되었고, 두 번째는 칼 프리드리히 가우스가 가우스 초기하학 시리즈를 사용하여 개발되었습니다.

역삼각함수의 부정적분

z의 실수 값과 복소수 값의 경우:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin(z)\, dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}+C\\\int \arccos(z)\, dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}+C\\int \arctan(z), dz&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operator name {arccot}(z)\, dz&{}=z\,\operator name {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\, dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\, dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}\right]+C\end{aligned}}$

real x ≥ 1의 경우:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\, dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\, dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}$

-1과 1사이가 아닌 모든 실수 x에 대해:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\, dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)\ln \left x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right +C\int \operatorname {arccsc}(x)\, dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left x+{\sqrt {x^{2}-1}\right +C\end{aligned}}}$

절대값은 호각함수와 호각함수의 음과 양의 값을 모두 보상하기 위해 필요합니다.기호 함수는 x의 양과 음의 값에 대한 두 개의 다른 해를 생성하는 두 함수의 도함수에서 절대값으로 인해 또한 필요합니다.역 쌍곡선 함수의 로그 정의를 사용하여 이를 더욱 단순화할 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\, dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)+C\int \operatorname {arcsc}(x)\, dx&{}=x\,\operatorname {arcsc}(x)+C\\end{aligned}}$

arcosh 함수의 인수에서 절대값은 그래프의 음의 반을 생성하여 위에 표시된 시그넘 로그 함수와 동일합니다.

이러한 모든 유도체는 위에 제시된 단순한 유도체 형태와 부품별 통합을 이용하여 유도할 수 있습니다.

예

∫${\displaystyle \mathrm{ud}}$ v =$$ - ∫ v ${\displaystyle \mathrm{du}}$ ${\displaystyle$ \$intu$\, dv=$uv-\int v\,du}($즉, 부품별 통합) 사용, 설정

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\arcsin(x)&dv&=dx\du&={\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&=x\end{aligned}}$

그리고나서

${\displaystyle \int \arcsin(x)\, dx= x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}\, dx,}$

$w$ = ${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{dw}}$ =${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$w=$1-x^{2},\dw$=-$2x\,$dx$}$로 간단한 치환으로 최종 결과를 산출합니다.

${\displaystyle \int \arcsin(x)\, dx= x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

복소평면으로 확장

역삼각형 함수는 분석 함수이므로 실수선에서 복소면까지 확장할 수 있습니다.이렇게 하면 여러 시트와 분기점이 있는 기능이 발생합니다.확장을 정의하는 한 가지 가능한 방법은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad z\neq -i,+i}$

여기서 가상 축에서 분기점(-i 및 +i) 사이에 엄격하게 놓여 있지 않은 부분은 주 시트와 다른 시트 사이의 분기 절단입니다.적분 경로는 분기 절단선과 교차하면 안 됩니다.분기 절단이 아닌 z의 경우 0에서 z로의 직선 경로가 이러한 경로입니다.분기 절단의 z의 경우 경로는 위쪽 분기 절단의 경우 Re[x] > 0에서, 아래쪽 분기 절단의 경우 Re[x] < 0에서 접근해야 합니다.

아크신 함수는 다음과 같이 정의될 수 있습니다.

${\displaystyle \arcsin(z)=\arctan \left ({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}\right)\quad z\neq -1,+1}$

여기서 (제곱근 함수는 음의 실수축을 따라 절단되고) -1과 +1 사이에 엄격하게 놓여 있지 않은 실수축의 부분은 아크신의 주판과 다른 판 사이에 절단된 가지입니다.

${\displaystyle \arccos(z)={\frac {\pi}{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1}$

아크신과 동일한 절단면을 갖는 것,

${\displaystyle \operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi}{2}}-\arctan(z)\quad z\neq -i,i}$

아크탄과 동일한 절단면을 갖는 것,

${\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left ({\frac {1}{z}\right)\quad z\neq -1,0,+1}$

-1과 +1 사이의 실제 축 부분이 아크초의 주 시트와 다른 시트 사이의 절단일 때,

${\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left ({\frac {1}{z}\right)\quad z\neq -1,0,+1}$

arcsec와 같은 컷을 가지고 있습니다.

로그 양식

이러한 함수는 복잡한 로그를 사용하여 나타낼 수도 있습니다.이것은 그들의 영역을 복잡한 평면까지 자연스러운 방식으로 확장합니다.함수의 주 값에 대한 다음의 식별 정보는 분기 컷(branch cut)에서도 정의된 모든 위치에 적용됩니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left ({\sqrt {1-z^{2}}+iz\right)=i\ln \left ({\sqrt {1-z^{2}}-iz\right)&{}=\operator name {arccsc} \left ({\frac {1}{z}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-z^{2}}}+z\right)={\frac {\pi}{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left ({\frac {1}{z}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left ({\frac {i-z}{i+z}\right)=-{\frac {i}{2}\ln \left ({\frac {1+iz}{1-iz}\right)&{}=\operator name {arccot} \left ({\frac {1}{z}\right)\\[10pt]\operator name {arccot}(z)&{}=-{\frac {i}{2}\ln \left ({\frac {z+i}{z-i}\right)=-{\frac {i}{2}\ln \left ({\frac {iz+1}{iz+1}\right)&{}=\arctan \left ({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}+{\frac {1}{z}\right)={\frac {\pi}{2}}-\operatorname {arcsc}(z)&{}=\arcccos \left ({\frac {1}{z}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left ({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}+{\frac {i}{z}}\right)=i\ln \left ({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {i}{z}\right)&{}=\arcsin \left ({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}$

일반화

모든 역삼각형 함수는 직각 삼각형의 각도를 출력하기 때문에 오일러 공식을 사용하여 복소 평면에서 직각 삼각형을 형성함으로써 일반화할 수 있습니다.대수학적으로, 이것은 우리에게 다음을 제공합니다.

${\displaystyle ce^{i\theta}=c\cos(\theta)+ic\sin(\theta)}$

아니면

${\displaystyle ce^{i\theta}=a+ib}$

여기서 ${\displaystyle a}$는 인접한 면, $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$는 반대 면, $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$는 빗변입니다.여기서 θ ${\displaystyle \theta}$을(를) 해결할 수 있습니다$.$

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln(c)+i\theta}&=a+ib\\ln c+i\theta &=\ln(a+ib)\\\theta &=\operator name {Im} \left(\ln(a+ib)\right)\end{aligned}}$

아니면

${\displaystyle \theta =-i\ln \left ({\frac {a+ib}{c}}\right)}$

단순히 허수 부분을 취하는 것은 실제 $값$의$$a {\$displaystyle a}$ $및{\displaystyle }$b {\$displaystyle b}$에 적용할 수 있지만$,$ ${\displaystyle a}$ 또는$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$가 복소 값의 경우 결과의 실제 부분이 배제되지 않도록 최종 방정식을 사용해야 합니다.빗변의 길이는 각도를 변경하지 않으므로 ${\displaystyle \ln }$ ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle \mathrm{bi})}$ ${\displaystyle \ln(a$+ $bi)}$의 실제 부분을 무시하면 $방정식$에서$$c {\$displaystyle c}$도 제거됩니다.최종 방정식에서, 우리는 복소 평면에서 삼각형의 각도는 각 변의 길이를 입력함으로써 구할 수 있음을 알 수 있습니다.세 변 중 하나를 1로, 나머지 한 변을 입력 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$로 설정하면 총 6개의 방정식에 대해 역트라이그 함수 중 하나에 대한 공식을 얻습니다$.$역삼각함수는 오직 하나의 입력만을 필요로 하기 때문에, 우리는 피타고라스 정리 관계를 이용하여 삼각형의 마지막 변을 다른 두 변의 항으로 넣어야 합니다.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

아래 표는 위의 식들에 값을 대입하고 단순화한 θ ${\displaystyle \theta}$에 대한 각 역트리그 함수에 대한 a, b, c의 값을 보여줍니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&a&b&c&-i\ln \left ({\frac {a+ib}{c}\right)&\theta &\theta _{a,b\in \mathbb {R} }\\\arcsin(z)\ \\{\sqrt {1-z^{2}}&&-i\ln \left ({\frac {\sqrt {1-z^{2}}+iz}{1}\right) &=-i\ln \left ({\sqrt {1-z^{2}}+iz\right)\left(\ln \left ({\sqrt {1-z^{2}}+iz\right)\right)\\\arccos(z)\ \\z&{\sqrt {1-z^{2}}}&1&-i\ln \left ({\frac {z+i{1-z^{2}}}\right) &=-i\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)&\operator name {Im} \left(\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)\\arctan(z)\\&z&{\sqrt {1+z^{2})}}&-i\ln\left ({\frac {1+iz}{\sqrt {1+z^{2}}})\right)&=-i\ln\left ({\frac {1+iz}{\sqrt {1+z^{2}}}\right)&\operator name {Im}\left(\ln \left(1+iz\right)\right)\"\\operatorname {arccot}(z)\ \\z&1&{\sqrt {z^{2}+1}}&-i\ln \left ({\frac {z+i}{\sqrt {z^{2}+1}}\right)&=-i\ln \left ({\frac {z+i}{\sqrt {z^{2}+1}}\right)&\left(\ln \left(z+i\right)\right)\right)\left(\ln \left(z+i\right)\right).\\operatorname {arcsec}(z)\ \&1&{\sqrt {z^{2}-1}}&z&-i\ln \left ({\frac {1+i{\sqrt {z^{2}-1}}{{z}}\right)&=-i\ln \left ({\frac {1}{z}+{\sqrt {1}{z^{2}-1}\right)\left(\ln \left ({\frac {1}{z}}+{\sqrt {1}{z^{2}}\right)\right)\\operatorname {arccsc}(z)\ \\{\sqrt {z^{2}-1}}&&&z&-i\ln \left ({\frac {\sqrt {z^{2}-1}}+i}{z}\right) &=-i\ln \left ({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {i}{z}\right) &\operatorname {Im} \left(\ln \left ({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}+{\frac {i}{z}\right)\\end{aligned}}$

자연로그 및 제곱근 함수의 주분점을 역삼각함수의 일반적인 주분점과 일치시키기 위해서는 단순화된 공식의 특정 형태가 중요합니다.맨 오른쪽 열 두 개에 주어진 공식은 ${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ⁡ ${\displaystyle (\ln }$ ⁡ ${\displaystyle z}$ )${\displaystyle }$∈ (${\displaystyle }$-${\displaystyle }$π,${\displaystyle }$π${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\ln$ z$\right)\in (-\pi,\pi ]}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{Re}}$ ⁡ ${\displaystyle (z)}$ ≥ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \left({\sqrt {z})\right)\geq 0}$을 가정합니다$.$ 주 분기와 일치하는 ${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle \ln }$ ⁡ ${\displaystyle z}$) ∈${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ π )${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\l$)$n z\right)\in[0,2\pi )}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{Im}}$$⁡$${\displaystyle (z)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\sqrt {z}\right)\geq 0}$을(를) 역트리그 함수의 일반적인 주 분기에$$$≥$합니다$.$ $⁡$$θ$> $π${\$displaystyle$\operatorname ${Re$}(\$theta$ )$>\$$pi$}을를) $θ$ {\$displaystyle$ \$operatorname$ {Re$}(\$theta )}.

이러한 의미에서 모든 역삼각함수는 복소값 로그함수의 특정한 경우로 간주될 수 있습니다.이러한 정의는 임의의 복소 $값{\displaystyle }$ z ${\displaystyle z}$에 대해 작동하므로$,$ 이 정의는 출력으로 쌍곡선 각도를 허용하고 역 쌍곡선 함수를 추가로 정의하는 데 사용할 수 있습니다.관계의 기본적인 증명은 삼각 함수의 지수 형태로 확장을 통해 진행될 수도 있습니다.

증명 예시

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\phi)&=z\\\phi &=\arcsin(z)\end{aligned}}$

사인의 지수 정의를 사용하고 ξ =$ei$ ϕ으로 설정하면${\displaystyle \xi$ = e$^{i\phi}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z&={\frac {e^{i\phi}}-e^{-i\phi}}{2i}}\[10mu]2iz&=\xi -{\frac {1}{\xi}}\[5mu]0&=\xi ^{2}-2iz\xi -1\[5mu]\xi &=iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\[5mu]\phi &=-i\ln \left(iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}\right)\end{aligned}}$

(양의 분기가 선택됨)

${\displaystyle \phi =\arcsin(z)=-i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}$

복소평면에서 역삼각함수의 색상환 그래프

${\displaystyle \arcsin(z)}$	${\displaystyle \arccos(z)}$	${\displaystyle \arctan(z)}$

${\displaystyle \operator name {arccsc}(z)}$	${\displaystyle \operator name {arcsec}(z)}$	${\displaystyle \operator name {arccot}(z)}$

적용들

직각 삼각형의 각도 찾기

역삼각형 함수는 삼각형의 변의 길이를 알 때 직각 삼각형의 나머지 두 개의 각도를 결정하는 데 유용합니다.사인과 코사인의 오른쪽 삼각형 정의를 떠올리면 다음과 같습니다.

${\displaystyle \theta =\arcsin \left ({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}\right)=\arcos \left ({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}\right)}$

피타고라스 정리: a ${\displaystyle 2^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ = h ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle a^{2}$ + $b^{2$}를 사용하여 아크신 또는 아크코신을 사용하기 전에 빗변을 계산해야 하는 경우가 많습니다.$= h^{2}}.$ $여기$서 h ${\displaystyle$ h$}$은(는) 빗변의 길이입니다.아크탄젠트는 이 상황에서 도움이 되는데, 이 경우에는 길이가 필요 없기 때문입니다.

${\displaystyle \theta =\arctan \left ({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}\right),}$

예를 들어 지붕이 20피트나 떨어져 8피트가 떨어진다고 가정합니다.지붕은 수평과 각도 θ을 이루며, 여기서 θ은 다음과 같이 계산될 수 있습니다.

${\displaystyle \theta =\arctan \left ({\frac {\text{opposite}}{\text{run}}\right)=\arctan \left ({\frac {\text{rise}}{\text{run}}\right)=\arctan \left ({\frac {8}{20}\right)\approx 21.8^{\circ}\",}$

컴퓨터과학과공학과에서

아크탄젠트의 두 논항 변형

2 함수의 2개 인수는 y와 x가 주어졌을 때 y / x의 아크탄젠트를 계산하지만 (- π, π)의 범위를 갖습니다.즉, atan2(y, x)는 평면의 양의 x축과 그 위의 점 (x, y) 사이의 각도이며, 반시계 방향 각도(상부 반평면, y > 0)는 양의 부호이고, 시계 방향 각도(하부 반평면, y < 0)는 음의 부호입니다.그것은 많은 컴퓨터 프로그래밍 언어로 처음 소개되었지만, 지금은 과학과 공학의 다른 분야에서도 흔히 볼 수 있습니다.

표준 아크탄 함수의 경우, 즉 (-)의 범위를 갖습니다.π/2, π/2)는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {atan2}(y,x)={\begin{case}\arctan \left ({\frac {y}{x}}\right)&\quad x>0\\\\arctan \left ({\frac {y}{x}\right)+\pi &\quad y\geq 0,\;x<0\\arctan \left ({\frac {y}{x}\right)-\pi &\quad y<0,\x<0\frac {\pi}{2}&\pi>0,\;x=0\{\frac {2}}&\{\pi}\quad y<0,\x=0\{\text{undefined}}&\x=0\end{case}}}\pi &amp;x=0\end}$

또한 복소수 x + iy의 인수의 주 값과 같습니다.

위 함수의 이 제한된 버전은 다음과 같이 접선 반각 공식을 사용하여 정의될 수도 있습니다.

${\displaystyle \operator name {atan2}(y,x)=2\arctan \left ({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}+x}}\right)}$

x > 0 또는 y ≠ 0인 경우.그러나 x ≤ 0이고 y = 0이 주어지면 실패하므로 식을 계산에 사용하기에 적합하지 않습니다.

위의 인수 순서 (y, x)가 가장 일반적인 것으로 보이며, 특히 C 프로그래밍 언어와 같은 ISO 표준에서 사용되지만, 몇몇 저자들은 반대의 규약 (x, y)을 사용할 수 있으므로 어느 정도 주의가 필요합니다.이러한 변형은 atan2에 자세히 설명되어 있습니다.

위치 매개변수가 있는 아크탄젠트 함수

많은 응용에서 방정식 $x$$$= ${\displaystyle \tan }$ ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle y)}$ ${\displaystyle$ y$}$의 해 $y$ {\displaystyle x =\$tan(y)}$는 주어진 값에 최대한 가깝습니다 -∞ <∞ ${\displaystyle$ -$\infty$ <\eta $<\infty$}. 적절한해는 매개 변수 수정 아크탄젠트 함수에 의해 생성됩니다.

${\displaystyle y=\arctan _{\eta}(x):=\arctan(x)+\pi \,\operatorname {rni} \left ({\frac {\eta -\arctan(x)}{\pi}}\right)\,}$

함수 ${\displaystyle \mathrm{rni}}$ ${\displaystyle \operatorname {rni}}은($는) 가장 가까운 정수로 반올림합니다$$.

수치정확도

0과 π에 가까운 각도의 경우 아크코신은 조건이 좋지 않으며, π/2와 π/2에 가까운 각도의 경우 아크신과 유사합니다.따라서 컴퓨터 응용 프로그램은 이러한 함수에 대한 입력의 안정성과 계산의 민감도를 고려하거나 대체 방법을 사용해야 합니다.^[23]

참고 항목

메모들

참고문헌

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Inverse Tangent". MathWorld.