삼각형 해법

삼각형 용액(라틴어: solutio triangulorum)은 삼각형의 특성을 찾는 삼각형(측면의 angle과 길이)의 주요 삼각형 문제다. 삼각형은 평면이나 구면에 위치할 수 있다. 삼각형 해결책이 필요한 애플리케이션에는 지리학, 천문학, 건설, 항법 등이 포함된다.

평면 삼각형 해결

일반적인 형태 삼각형은 6가지 주요 특성을 가지고 있다(그림 참조): 3개의 선형(측면 길이 a, b, c)과 3개의 각(α, β, γ)이다. 고전적인 평면 삼각법 문제는 여섯 가지 특성 중 세 가지를 명시하고 나머지 세 가지를 결정하는 것이다. 삼각형은 다음과 같은 경우 이러한 의미에서 고유하게 결정될 수 있다.^[1][2]

• 삼면(SSS)
• 양면 및 포함된 각도(SAS)
• 각도에 인접한 측면 길이가 다른 측면 길이보다 짧은 경우, 두 측면과 그 사이에 포함되지 않은 각도(SSA)
• 측면과 그에 인접한 두 각도(ASA)
• 측면, 반대쪽 각도 및 인접 각도(AAS)

평면의 모든 경우에 대해, 적어도 측면 길이 중 하나 이상을 지정해야 한다. 만약 각만 주어진다면, 어떤 유사한 삼각형이 해결책이기 때문에, 옆면 길이를 결정할 수 없다.

삼각 관계

그 문제를 해결하는 표준적인 방법은 근본적인 관계를 이용하는 것이다.

코사인 법칙

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \cos \i1}$

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \cos \cos \}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \cos \cops \}$

시인의 법칙

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \}}}}={\frac {b}{\sin \sin \c}}}}$

각도의 합

${\displaystyle \cHB +\cHB +\cHB =180^{\cHB }}}$

접선의 법칙

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}={\frac {\tan[{1}{1}{1}{1}(\frac -\flac )]}{\tan[{1}{1}{1}{1}{1}{1}(\frac +\b )}}}}}}}}}}}}.}$

다른 (때로는 실질적으로 유용한) 보편적 관계가 있다: 코탕트의 법칙과 몰웨이드의 공식이다.

메모들

1. 알 수 없는 각도를 찾으려면 코사인 법칙이 씨네 법칙보다 안전하다. 그 이유는 삼각형의 각도에 대한 사인 값이 이 각도를 고유하게 결정하지 않기 때문이다. 예를 들어 sin β = 0.5인 경우 β 각도는 30° 또는 150°일 수 있다. 코사인 법칙을 사용하면 이러한 문제를 피할 수 있다. 코사인 값은 0°에서 180° 사이의 간격 내에서 모호하지 않게 각도를 결정한다. 반면 각도가 작거나 180°에 가까우면 호-코사인 함수는 1(또는 -1)에서 상이한 파생상품을 가지기 때문에 코사인보다 사인에서 결정하는 것이 수적으로 더 강하다.
2. 특정 특성의 상대적 위치가 알려져 있다고 가정한다. 그렇지 않다면 삼각형의 거울 반사도 해결책이 될 것이다. 예를 들어, 세 개의 측면 길이는 삼각형이나 그 반사를 고유하게 정의한다.

3면 부여(SSS)

측면 길이 a, b, c 세 개를 지정한다. 각도 α, β를 찾기 위해 코사인 법칙을 사용할 수 있다.^[3]

${\displaystyle {\a^{2}\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}}:{2bc}\[4pt]\\a^{2}+c^{2}=arccos {\frac {\a^{a^{2}-b^{2}}}}}}}}.\end{정렬}}}$

그런 다음 각도 γ = 180° - α - β.

일부 출처는 sine의 법칙으로부터 각도 β를 찾을 것을 권고하지만 (위의 상태 참고 1과 같이) 급성 각도 값을 둔각 값과 혼동할 위험이 있다.

알려진 측면에서 각도를 계산하는 또 다른 방법은 동전의 법칙을 적용하는 것이다.

양면 및 포함된 각도(SAS)

여기서 옆면 a, b, 이들 옆면 사이의 각도 γ의 길이를 알 수 있다. 제3자는 코사인 법칙으로 결정할 수 있다.^[4]

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \cos \caps }}.}$

이제 우리는 코사인 법칙을 사용하여 두 번째 각도를 찾는다.

${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}:{2bc}}.}$

마지막으로 β = 180° - α - -.

양측 및 비포함각 제공(SSA)

이 경우는 모든 경우에 해결할 수 있는 것은 아니다. 각도에 인접한 옆면 길이가 다른 쪽 길이보다 짧은 경우에만 고유한 해결책이 보장된다. 양면 b, c 및 각도 β가 알려져 있다고 가정한다. γ 각도에 대한 방정식은 sine의 법칙에서 암시할 수 있다.^[5]

${\displaystyle \sin \csin ={\frac {c}{b}\sin \sin \sin .}$

우리는){추가적인 D.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den를 의미한다.Border-top:1px}고체.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}c/b 죄 β(그 방정식의 오른쪽). 4가지 가능한 경우가 있다.

1. D > 1인 경우, 측면 b가 선 BC에 도달하지 않기 때문에 그러한 삼각형이 존재하지 않는다. 동일한 이유로 β ≥ 90° 및 b ≤ c 각도인 경우에는 용액이 존재하지 않는다.
2. D = 1일 경우 γ = 90°, 즉 삼각형을 직각으로 하는 고유한 솔루션이 존재한다.
3. 만약 D < 1 두 가지 대안이 가능하다.
   1. b ≥ c일 경우, β ≥ ≥ γ (큰 쪽이 큰 각도에 해당) 어떤 삼각형도 두 개의 둔각을 가질 수 없기 때문에 γ은 급각이며 용액 γ = 아크신 D는 독특하다.
   2. b < c일 경우, γ 각도는 급성일 수 있다: γ = 아크신 D 또는 둔탁: - - = 180° - γ. 오른쪽 그림에는 첫 번째 해법으로 C점, 측면 b점, 각도 γ이 표시되며, 두 번째 해법으로 C점, 측면 b점, 각도 γ′이 표시된다.

γ을 얻으면 세 번째 각도 α = 180° - β - γ.

그러면 제3면은 씨네 법칙에서 찾을 수 있다.

${\displaystyle a=b\\\\\\frac {\sin \sin \pair }{\sin \pair }}$

또는 코사인 법칙에서 다음과 같이 한다.

${\displaystyle a=c\cos \pm {\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\csin }}}$

주어진 측면과 두 개의 인접각(ASA)

알려진 특성은 측면 c와 각도 α, β이다. 세 번째 각도 γ = 180° - α - β.

알 수 없는 두 개의 변은 씨네 법칙에서 계산할 수 있다.^[6]

${\displaystyle a=c\ {\frac \\sin \\sin \c}{\sin \c\};\sin b\\c\{\sin \c}}.}$

또는

${\displaystyle a=c{\frac {\sin \sin \csin \csin \coses \coses \coses }}{\sin \coses \}}$

${\displaystyle b=c{\frac {\sin \sin \frac \}{\sin \coses \coses \cos \}}}$

측면, 인접각 하나, 반대각 하나(AAS)

AAS 삼각형을 푸는 절차는 ASA 삼각형의 경우와 동일하다. 먼저 삼각형의 앵글섬 특성을 이용하여 세 번째 각도를 찾은 다음, 씨네 법칙을 이용하여 다른 두 면을 찾는다.

기타 주어진 길이

많은 경우, 삼각형은 세 가지 정보를 제공받을 수 있는데, 그 중 일부는 삼각형의 중위수, 고도 또는 각도 이등분자의 길이다. Posamentier와 Lehmann은^[7] 95개의 개별적인 사례 각각에 대해 제곱근 이하(즉, 구성성)를 사용하여 해결성 문제에 대한 결과를 열거한다. 이 중 63개는 구성 가능하다.

구면 삼각형 해결

일반적인 구면 삼각형은 그 여섯 가지 특성 중 세 가지 특성(3면 3각 3각)에 의해 완전히 결정된다. 구면 삼각형의 면 a, b, c의 길이는 중심각으로, 선형 단위가 아닌 각도 단위로 측정한다.(단위 구에서, 구 주변의 각도(라디안)와 길이는 수치로 동일하다. 다른 구에서는 각(라디안 단위)이 구 주위의 길이와 반경으로 나눈 값과 같다.)

구면 기하학은 평면 유클리드 기하학과는 다르기 때문에 구면 삼각형의 해법은 서로 다른 규칙으로 구축된다. 예를 들어, 3각 α + β + +의 합은 삼각형의 크기에 따라 달라진다. 또, 유사한 삼각형은 불평등할 수 없기 때문에, 특정 3각으로 삼각형을 구성하는 문제에는 독특한 해법이 있다. 문제를 해결하는 데 사용되는 기본 관계는 평면적인 경우와 유사하다: 코사인의 구형 법칙과 씨인의 구형 법칙을 참조하라.

유용할 수 있는 다른 관계들로는 반쪽 공식과 네이피어의 유사점이 있다.^[8]

• ${\displaystyle \tan {\frac {c}{2}}:코스 {\frac {\frac {\b}{2}}=\tan {\frac {a+b}{2}}}}}\cos{\frac {\frac{\reas +\reas }{2}}}$
• ${\displaystyle \tan{\frac {c}{2}}:\frac {\b}{2}}:\tan {\frac {a-b}{2}}:\prac {\frac +}{2}}:}$
• ${\displaystyle \frac {\\b}{2}}:cos {\frac {a-b}{2}}:\tan {\frac {\property +\property }{2}}:cos {\frac {a+b}{2}}}}$
• ${\displaystyle \frac {\b}{2}}\sin {\frac {a-b}{2}}=\tan {\frac {\fract -\propers }{2}}\sin {\frac {a+b}{2}}}}.}$

3면 부여(구형 SSS)

알려져 있음: 측면 a, b, c(각 단위) 삼각형의 각도는 코사인(cosines)의 구형 법칙을 사용하여 계산한다.

$\displaystyle \cHB =\arccos \left\frac {\cos a-\cos b\\\cos c}{\sin b\}\cos c}$

$\displaystyle \cHB\frac {\cos b-\cos c\\cos a}{\sin c\\}\cos a}{\sin a}\오른쪽),}$

$\displaystyle \cHB =\arccos \left\frac {\cos c-\cos a\\cos b}{\sin a\\cos b}{\sin a}\cos b}\cos b}오른쪽).}$

양면 및 포함된 각도(구형 SAS)

알려져 있음: 옆면 a, b 및 그 사이의 각도 γ. 측면 c는 코사인 구형 법칙에서 찾을 수 있다.

$\displaystyle c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \cos \cos \right).}$

각도 α, β는 위와 같이 계산하거나 Napier의 유사성을 이용하여 계산할 수 있다.

${\displaystyle \chin =\frac {2\sin a}{\tan({\frac {}{{2}})\sin(b+a)+\sin(b-a)},}$

${\displaystyle \cHB =\arctan \{\frac {2\sin b}{\tan\\frac {\party{2}})\sin(a+b)+\sin(a-b)}.}$

이 문제는 위도와 경도로 지정된 지구 상의 두 지점 사이의 큰 원을 찾는 항해 문제에서 발생한다. 이 응용 프로그램에서는 반올림 오차에 영향을 받지 않는 공식을 사용하는 것이 중요하다. 이를 위해 다음과 같은 공식(벡터 대수학을 사용하여 도출할 수 있다)을 사용할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}c&,=\arctan{\frac{\sqrt{(\sin a\cos b-\cos b\cos a\sin \gamma)^{2}(\sin b\sin \gamma)^{2}}}{\cos a\cosa\sin b\cos b+\sin \gamma}},\\\alpha&=\arctan{\frac{\sin a\sin \gamma}{\sin b\cos a-\cosb\sin a\cos \gamma}},\\\beta&=\arctan{\frac{\sin b\sin \gamma}{\sin a\cos b-\cos b\cos \gamma a\sin. }},\end{alig네드}}$

여기서 이러한 표현에서 분자와 분모의 부호를 사용하여 아크탄젠트의 사분면을 결정해야 한다.

양면 및 비포함 각도가 주어짐(구형 SSA)

이 문제는 모든 경우에 해결할 수 있는 것은 아니다. 각도에 인접한 측면 길이가 다른 측면 길이보다 짧은 경우에만 해결책이 고유하다고 보장한다. 알려져 있음: 면 b, c 및 면 사이의 각도 β. 다음과 같은 조건이 유지된다면 해결책이 존재한다.

$\displaystyle b>\arcsin(\sin c\,\sin \sin \sin \sin.}$

γ 각도는 sine의 구형 법칙에서 찾을 수 있다.

${\displaystyle \csin \왼쪽 \frac {\sin c\,\sin \}{\sin b}\오른쪽).}$

평면 케이스와 관련하여, b < c일 경우 solutions과 180° - γ의 두 가지 용액이 있다.

우리는 네이피어의 유사점을 통해 다른 특징들을 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\regated}a&=2\arctan \left[\tan \leftleft\tfrac {1}{1}{1}{{{1}\sin \refrac {1}{1}(\reflict +\reght)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right)}}\right],\\[4pt]\alpha &=2\operatorname {arccot} \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(b+c)\right)}}{\sin \왼쪽 \tfrac {1}{1}{2}}(b-c)\오른쪽)}}\오른쪽]\end{정렬}}}$

주어진 측면과 두 개의 인접각(구형 ASA)

알려진: 측면 c와 각도 α, β. 먼저 코사인 구형 법칙을 사용하여 각도 γ을 결정한다.

$\displaystyle \cso(\sin \sin \sin \sin \coses \coses \cos \cos \cos \cos \cos \cos \$

코사인 구형 법칙(계산된 각도 γ 사용)에서 알 수 없는 두 면을 찾을 수 있다.

${\displaystyle a=\arccos \left\frac \\cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \coses }{\sin \$

${\displaystyle b=\arccos \left\frac \\cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \coses }{\sin \$

또는 Napier의 유사점을 사용하여:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arctan \left[{\frac {2\sin \alpha }{\cot({\frac {c}{2}})\sin(\beta +\alpha )+\tan({\frac {c}{2}})\sin(\beta -\alpha )}}\right],\\[4pt]b&=\arctan \left[{\frac {2\sin \beta }{\cot({\frac {c}{2}})\sin(\alpha +\beta )+\tan({\frac {c}{2}})\sin(\alpha -\beta )}}\right].\end{정렬}}}$

측면, 하나의 인접각 및 주어진 반대각(구형 AAS)

알려져 있음: 측면 a 및 각도 α, β. b측면은 sine의 구형 법칙에서 찾을 수 있다.

${\displaystyle b=\arcsin \left \frac \\\sin a\,\sin \}{\sin \}{\sin \}\right).}$

측면 a의 각도가 급성이고 α > β인 경우, 또 다른 용액이 존재한다.

$\displaystyle b=\pi -\arcsin \left \frac {\sin a\,\sin \sin \}{\sin \}{\sin \}\right).}$

우리는 네이피어의 유사점을 통해 다른 특징들을 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\required}c&=2\arctan \left[\tan \left({\tfrac {1}{1}{{1}\prac {1}(a-b)\오른쪽)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}}\right],\\[4pt]\gamma &=2\operatorname {arccot} \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(a+b)\right)}}{\sin \왼쪽 \frac {1}{1}:{2}}(a-b)\오른쪽)}}\오른쪽].\end{정렬}}}$

주어진 세 각(구형 AAA)

알려진: 각도 α, β, γ. 코사인 구형 법칙으로부터 우리는 다음과 같이 추론한다.

${\displaystyle a=\arccos \left\frac \\cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \coses }{\sin \$

${\displaystyle b=\arccos \left\frac \\cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \coses }{\sin \$

${\displaystyle c=\arccos \left\frac {\cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \}{\}$

직각 구면 삼각형 해결

위의 알고리즘은 삼각형의 각도 중 하나(예: 각도 C)가 직각이면 훨씬 단순해진다. 그러한 구면 삼각형은 그 두 요소에 의해 완전히 정의되며, 나머지 세 가지는 네이피어의 펜타곤이나 다음과 같은 관계를 이용하여 계산할 수 있다.

${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$= ${\displaystyle \sin }$ c${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \sin }$ sin${\displaystyle }$\ A$${\$displaystyle \sin$ a$=\sin$ c$\cdot \sin$ A$}$ (sine의 구형 법칙에서)$$

$\displaystyle \tan a=\sin b\cdot \tan A}$

${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ a ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \cos }$ a cos ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b}$ $$(cosines의 구형 법칙에서)

$\displaystyle \tan b=\tan c\cdot \cos A}$

${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \cos$ a$=\cos a\cdot \sin$ B$}($cosaine의 구형 법칙에서도)

$\displaystyle \cos c=\cot A\cdot \cot B}$

일부 응용 프로그램

삼각측량

삼각측량을 통해 해안에서 원격 선박까지의 거리를 측정하고자 할 경우 해안가에 1개의 표시가 있고, 그 사이에 알려진 거리 l가 있는 2개의 지점(기준선)에 표시된다. α, β를 기준선과 선박 방향 사이의 각도로 한다.

위의 공식(ASA 사례, 평면 형상을 가정)에서 거리를 삼각형 높이로 계산할 수 있다.

${\displaystyle d={\frac {\sin \cHB\,\sin \cHB +\cHB )}\el ={\prac {\tan \cHB\}{\tan \cHB +\tan \}\el .}$

구형 케이스의 경우 먼저 ASA 공식을 통해 α 지점부터 배(즉, β 반대쪽)까지의 측면 길이를 계산할 수 있다.

${\displaystyle \tan b={\frac {2\sin \}}{\reason(l/2)\sin(\tan)(l/2)+\tan(\fl/2)\sin(\frages -\sin )},},}$

그리고 이것을 각도 α와 옆면 b와 d를 포함하는 오른쪽 하위 각도에 대한 AAS 공식에 삽입한다.

${\displaystyle \sin d=\sin b\sin \sin \prac {\tan b}{1+\tan ^{2}b}\sin \sin .}$

(평면도 공식은 실제로 l의 힘으로 구형용액의 d를 테일러 팽창시킨 첫 번째 용어)

이 방법은 카보타지(cabotage)에서 사용된다. 각도 α, β는 배에서 익숙한 랜드마크를 관찰하여 정의된다.

또 다른 예로서, 산이나 높은 건물의 높이 h를 측정하고자 하는 경우, 두 지점에서 꼭대기까지의 각도 α, β를 명시한다. 이 지점들 사이의 거리가 되도록 하자. 동일한 ASA 사례 공식에서 다음 사항을 확인하십시오.

${\displaystyle h={\frac {\sin \alpha\,\sin \beta\}{\sin(\alpha -\alpha )}\ell ={\frac {\tan \ \\beta\}{\tan \\ -\tan \el .}$

지구상의 두 지점 사이의 거리

지구상의 두 점 사이의 거리를 계산하려면

점 A: 위도 λ_A, 경도_A L 및

점 B: 위도 λ_B, 경도_B L

우리는 C가 북극인 구형 삼각형 ABC를 고려한다. 몇 가지 특징은 다음과 같다.

${\displaystyle a=90^{\mathrm {o}}-\lambda _{\mathrm {B},\,}$

${\displaystyle b=90^{\mathrm {o}}-\lambda _{\mathrm {A},\,}$

${\displaystyle \gamma =L_{\mathrm {A}}-L_{\mathrm {B} }\,}$

만약 두 면과 포함된 각도가 주어진다면, 우리는 공식으로부터 얻는다.

${\displaystyle \mathrm {AB} =R\arccos \left[\sin \lambda _{\mathrm {A} }\,\sin \lambda _{\mathrm {B} }+\cos \lambda _{\mathrm {A} }\,\cos \lambda _{\mathrm {B} }\,\cos \left(L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\right)\right].}$

여기 R은 지구의 반지름이다.

참고 항목

• 조화
• 한센의 문제
• 힌지 정리
• 레나르트 구
• 스넬리우스-포테노트 문제

참조

• Euclid (1956) [1925]. Sir Thomas Heath (ed.). The Thirteen Books of the Elements. Volume I. Translated with introduction and commentary. Dover. ISBN 0-486-60088-2.

외부 링크

• 1998년 프린스턴 대학 출판부의 일라이 모어(Eli Maor)가 쓴 삼각형 딜라이트. ebook 버전, PDF 형식으로 전체 텍스트가 제공됨.
• 알프레드 먼로 케니언과 루이 잉골드의 삼각법, 1914년. 영상에서 전체 텍스트가 표시됨. 구글북.
• 수학 세계의 구면 삼각법.
• 구면 트라이에 대한 소개. Napier 서클 및 Napier의 규칙에 대한 토론 포함
• 구면 삼각법 - 내가 대학과 학교를 사용하기 위한 것이다. 코넬 대학교 도서관이 게재한 M.A., F.R.S. 역사 수학 모노그래프.
• 삼각측량기 – 삼각측량기. 최소 입력 데이터로 평면 삼각형 문제를 해결하십시오. 해결된 삼각형의 그리기.
• TriSph – 구면 삼각형을 풀 수 있는 무료 소프트웨어로, 다양한 실제 애플리케이션에서 구성 가능하며, Gnomonic용으로 구성됨.
• 구형 삼각형 계산기 – 구형 삼각형 해결
• TrianCal – Jesus S에 의한 삼각형 해결사.