베이커 정리

수학적 학문인 초월수 이론에서 베이커의 정리는 대수적 숫자들의 로그들의 선형 조합들의 절대값에 대한 하한을 제공합니다. Alan Baker(1966, 1967a, 1967b)에 의해 증명된 결과는 초월수 이론의 많은 초기 결과를 포함하고 거의 15년 전 Alexander Gelfond가 제기한 문제를 해결했습니다.^[1] 베이커는 이를 이용하여 많은 수의 초월성을 증명하고, 일부 디오판토스 방정식의 해에 대한 효과적인 경계를 도출하고, 모든 가상의 이차장을 클래스 1로 찾는 클래스 넘버 문제를 해결했습니다.

역사

표기를 단순화하기 위해, $L{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathbb {L$} $}$을 0이 아닌 대수적 수의 기본 e에 대한 로그의 집합, 즉

여기서 $C$ ${\displaystyle \mathbb {C}$는 복소수의 집합을 $나타내고$ Q$$¯ ${\displaystyle {\overline {\mathbb${Q}}}은 대수적 숫자($$Q ${\displaystyle \mathbb$ {Q}의 대수적 폐쇄)를 나타냅니다. 이 표기법을 사용하면 초월수 이론에서 몇 가지 결과를 진술하기가 훨씬 쉬워집니다. 예를 들어, 에르미트-린데만 정리는 L ${\$의 0이 아닌 원소는 초월적이라는$$ 문장이 됩니다.

1934년 알렉산더 겔폰드와 테오도르 슈나이더는 각각 독립적으로 겔폰드-슈나이더 정리를 증명했습니다. 이 결과는 일반적으로 ${\displaystyle$ a$}$가 대수적이고 0 또는 1과 같지 않으며, $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ b$}$가 대수적이고 비합리적이면 ${\displaystyle b^{}}$ ${\$ a$^{b}}$는 초월적입니다$$. 지수 함수는 복소 지수에 대해 다중 값이며, 이 값은 모든 값에 적용되며, 대부분의 경우 무한히 많은 수를 구성합니다. 그러나 동등하게, 만약${\displaystyle {}_{}}$λ${\displaystyle {}_{}}$1,${\displaystyle }$λ 2 ∈ L {\$displaystyle \lambda$_{1$},\lambda$ _{2}\in \mathbb {L}에서 $유리수$에 대해 선형적으로 독립적이라면, 그들은 대수수에 대해 선형적으로 독립적이라고 말합니다. 따라서${\displaystyle {}_{}}$λ${\displaystyle {}_{}}$1,${\displaystyle }$λ 2 ∈ L {\$displaystyle \lambda$_{$1},\lambda$ _{$2$}\${\displaystyle {in}_{}}$\$mathbb$ {L}, λ 2 {\displaystyle \$lambda$ _{2}}가 0이 아닌 경우, 몫 λ 1 / λ 2 {\displaystyle \lambda _{1}/\lambda _{2}}는 유리수 또는 초월수입니다. $2{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$과 같은 대수적 무리수가 될 수 없습니다$.$

$L{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 두 요소에 대한 "합리적 선형 독립성은 대수적 선형 독립을 의미한다"는 이 결과를 증명하는 것이$$ 그와 슈나이더의 결과에 충분했지만, 겔폰드는 이 결과를 $L{\displaystyle \mathbb{}.}$ ${\displaystyle \mathbb {L}$의 임의의 많은 요소로 확장하는 것이 중요하다고 느꼈습니다$.$ 실제로$$, Gel'ford(1960, 페이지 177):

…초월적 수론에서 가장 시급한 문제는 대수적 수들의 유한 집합들의 초월성 측정에 대한 조사라고 가정할 수 있습니다.

이 문제는 앨런 베이커에 의해 14년 후에 해결되었고, 그 이후로 초월론뿐만 아니라 대수적 수론과 디오판토스 방정식 연구에도 수많은 응용이 있었습니다. 베이커는 1970년에 이 연구와 디오판토스 방정식에 적용한 공로로 필즈상을 받았습니다.

진술

위의 표기법으로 베이커 정리는 겔폰드-슈나이더 정리의 비균질 일반화입니다. 구체적으로 다음과 같습니다.

겔폰드-슈나이더 정리가 a^b 형식의 수들의 초월성에 관한 진술과 동등한 것처럼, 베이커 정리도 a 형식의 수들의 초월성을 의미합니다.

${\displaystyle a_{1}^{b_{1}}\cdots a_{n}^{b_{n}},}$

여기서 b는_i 모두 대수적, 무리수적이고, 1, b₁, …, b는_n 유리수에 대해 선형 독립적이고, a는_i 모두 대수적이고 0이나 1이 아닙니다.

Baker(1977)는 또한 명시적인 상수를 가진 여러 버전을 제공했습니다. 예를 들어 ${\displaystyle {exp}_{}}$⁡(λ j${\displaystyle {}_{}}$ = α j {\$displaystyle$ \$exp$(\lambda _{j}) =\alpha _{j}}의 $높이가 최대$ A j ≥ 4 {\displaystyle A_{j}\geq 4$}$이고 모든 숫자 β j {\displaystyle \beta _{j}의 높이가 최대 B ≥ 4 {\displaystyle B\geq 4}인 경우 선형 형식입니다.

${\displaystyle \Lambda =\beta _{0}+\beta _{1}\lambda _{1}+\cdots +\beta _{n}\lambda _{n}}$

0이거나 만족합니다.

${\displaystyle \log \Lambda >(16일)^{200n}\Omega \left(\log \Omega -\log \log A_{n}\right)(\log B+\log \Omega )}$

어디에

${\displaystyle \Omega =\log A_{1}\log A_{2}\cdots \log A_{n}}$

유리수 위의 ${\displaystyle {\alpha i}_{}}$ ${\displaystyle \alpha_{i}$와 ${\displaystyle {\beta i}_{}}$ ${\displaystyle$\beta_{i}가 생성한 필드는 최대 d 정도입니다. β = 0이고 모든 ${\displaystyle {\beta }_{}}$ j ${\displaystyle$ \$$beta$_{$j}가 유리수일 경우 가장 오른쪽에 있는 log ω를 삭제할 수 있습니다.

Baker와 Wüstholz가 정수 계수를 갖는 선형 형태 λ에 대한 명시적인 결과는 형태의 하한을 산출합니다.

${\displaystyle \log \Lambda > - Ch(\alpha_{1})h(\alpha_{2})\cdots h(\alpha_{n})\log \left(\max \left\{ \beta_{1},\ldots, \beta_{n} \right\},}$

어디에

${\displaystyle C=18(n+1)!n^{n+1}(32d)^{n+2}\log(2nd),}$

그리고 d는${\displaystyle {}_{}{\alpha i}_{}}$가 생성한 숫자 필드의 $정도$입니다. {\displaystyle $\alpha_{i}}.$

베이커의 방법

Baker의 정리 증명은 Gel'fond(1960, 3장 4절)가 제시한 논증의 연장선상에 있습니다. 증명의 주요 아이디어는 Serre(1971)에 의해 기술된 Baker(1966) 정리의 다음과 같은 정성적 버전의 증명으로 설명됩니다.

숫자 $2가{\displaystyle }$π${\displaystyle }$i, log ⁡ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$, …, $log$ ⁡ a ${\displaystyle$ 2$\pii,\log$a_{1},\ldots,\log a_{n}}인 경우${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$이 $아닌{\displaystyle {대수적}_{}}$숫자 a 1, $…,$n, ${\displaystyle$ a_{1},\ldots, a_{n}인 경우, 대수적 숫자에 대해 선형적으로 독립적입니다.

베이커 이론의 정확한 정량적 버전은 증명 전반에 걸쳐 사물이 충분히 작다는 조건으로 사물이 0이라는 조건을 대체함으로써 증명될 수 있습니다.

Baker의 증명의 주요 아이디어는 ${\displaystyle {보조}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$함수$$φ (${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {1,}_{}}$ …,$$z$$ - 1)${\displaystyle$$\Phi$ ($z_$1$},\ldots,$ z_{n-1})}를 z 1 = ⋯ = z n - 1 = l${\displaystyle {}_{}}$ {\displaystyle z_{1} =\cdots = z_{n-1} = l,$}$그런$$ 다음 이 양식의 더 많은 지점에서 더 낮은 순서로 사라짐을 반복적으로 보여줍니다. 마지막으로 이 형식의 충분한 점에서 (순서 1로) 사라진다는 사실은 숫자_i a 사이에 곱셈적 관계가 있다는 것을 반데르몽 행렬식을 사용하는 것을 의미합니다.

보조기능 구축

관계가 있다고 가정합니다.

${\displaystyle \beta_{1}\log \alpha_{1}+\cdots +\beta _{n-1}\log \alpha_{n-1}=\log \alpha_{n}}$

대수적 수 α₁, …, α_n, β₁, …, β에_n−1 대하여. φ 함수는 다음과 같은 형태입니다.

${\displaystyle \Phi(z_{1},\ldots,z_{n-1})=\sum_{\lambda_{1}=0}^{L}\cdots \sum _{\lambda _{n}=0}^{L}p(\lambda _{1},\ldots,\lambda _{n})\alpha _{1}^{(\lambda _{1}+\lambda _{n}\beta _{1})z_{1}}\cdots \alpha _{n-1}^{(\lambda _{n-1}+\lambda _{n}\beta _{n-1})z_{n-1}}}$

정수 계수 p는 일부 상수 h에 대해 0 ≤ l ≤ h {\displaystyle l}인 정수 l {\displaystyle l}에 대해 z ${\displaystyle 1_{}}$ = ⋯ = z n${\displaystyle }$-${\displaystyle }$1 = $l$, {\displaystyle z_{1} =\cdots = $z_{n-1$} = l,}에서 ${\displaystyle {모두}_{}}$ 0이 되지 않도록 선택됩니다. 이러한 조건은 계수 p의 동차 선형 방정식이며, 미지 변수 p의 수가 방정식의 수보다 클 경우 0이 아닌 해를 갖기 때문에 가능합니다. 만족해야 하는 선형 방정식의 수를 줄이려면 α의 로그 사이의 선형 관계가 필요합니다. 또한 시겔의 보조정리를 사용하여 계수 p의 크기가 너무 크지 않도록 선택할 수 있습니다. 상수 L, h, M은 증명의 다음 부분이 작동하도록 주의 깊게 조정해야 하며, 다음과 같은 몇 가지 제약 조건이 적용됩니다.

• 일 아래의 추가 0에 대한 논쟁을 하려면 L이 M보다 다소 작아야 합니다.
• 증명 작업의 마지막 단계를 수행하려면 h의 작은 거듭제곱이 L보다 커야 합니다.
• 계수 p에 대한 해를 구할 수 있으려면 L이ⁿ 약 Mh보다ⁿ⁻¹ 커야 합니다.

제약 조건은 충분히 커야 하고, M은 h의 어떤 고정된 거듭제곱, L은 약간 작은 h의 거듭제곱을 취함으로써 만족될 수 있습니다. 베이커는 M을 약 h², L을 약 h로^2−1/2n 잡았습니다.

α의 로그 사이의 선형 관계는 L을 약간 줄이는 데 사용됩니다. 대략적으로 말하면, L이ⁿ 없으면 L이ⁿ 약 Mh보다ⁿ⁻¹ 커야 하는데, 이는 L이ⁿ M보다 다소 작다는 조건과 양립할 수 없습니다.

보조함수의 0

다음 단계는 정수 l에 대해 z ${\displaystyle 1_{}}$ = ⋯ = z${\displaystyle {}_{}}$n - ${\displaystyle 1}$= l${\displaystyle$ z_{1} =\cdots = z_{n-1} = l} ${\displaystyle {형태}_{}}$의 더 많은 점에서 φ가 약간 작은 순서로 사라짐을 보여주는 것입니다. 이 아이디어는 베이커의 핵심적인 혁신이었습니다: 이 문제에 대한 이전 연구는 점의 수를 고정한 채 사라지는 도함수의 수를 증가시키는 것을 포함했고, 이것은 다변수의 경우에는 효과가 없는 것으로 보입니다. 이것은 두 가지 아이디어를 결합함으로써 이루어지는데, 첫 번째는 φ의 많은 도함수가 가까운 많은 지점에서 사라진다는 사실을 이용함으로써 이 지점들의 도함수가 매우 작다는 것을 보여줍니다. 다음은 이 시점에서 φ φ의 도함수가 대수적 정수배 알려진 상수에 의해 주어진다는 것을 보여줍니다. 대수적 정수가 모든 켤레를 알려진 상수로 제한한다면 0이 아니면 너무 작을 수 없습니다. 0이 아닌 대수적 정수의 모든 켤레의 곱은 절대값에서 적어도 1이기 때문입니다. 이 두 아이디어를 결합하면 φ가 더 ${\displaystyle {많은}_{}}$ 점 z ${\displaystyle 1_{}}$ = ⋯ = z${\displaystyle {}_{}}$n - ${\displaystyle 1}$= l . ${\displaystyle$ z_{1} =\cdots = $z_${n-1} = l.}에서 약간 작은 순서로 사라짐을 의미합니다.$$ 이 부분은 φ이 너무 빠르게 증가하지 않도록 요구합니다. φ의 성장은 L의 크기에 따라 달라지므로 L의 크기에 대한 제한이 필요하며, 이는 대략 L이 M보다 약간 작아야 합니다. 좀 더 정확히 말하면, 베이커는 φ가 h에서 연속적인 정수 M/2 순서로 사라지기 때문에 h에서 연속적인 정수 1, 2, 3, …에서 M/2 순서로 사라짐을 보여주었습니다. 이 논법을 J번 반복하면, h가 충분히 크고 L이 M/2보다 다소 작다면, φ는 h에서 M/2 순서로 사라짐을 보여줍니다.

그러면 J는 다음과 같이 충분히 커집니다.

${\displaystyle h^{1+{\frac {J}{8n}}}>(L+1)^{n}.}$

(약² 16n보다 큰 J는 h > L이면 됩니다) 다음을 수행합니다.

${\displaystyle \left\{1,2,\ldots, (L+1)^{n}\right\}:\qquad \Phi (l,\ldots,l)=0.}$

증명완료

정의에 따라${\displaystyle }$φ${\displaystyle (l,}$ …, l) = 0${\displaystyle$\Phi(l,\ldots, l) = 0}은(는) 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \sum_{\lambda _{1}=0}^{L}\cdots \sum _{\lambda _{n}=0}^{L}p(\lambda _{1},\ldots,\lambda _{n})\alpha _{1}^{\lambda _{1}l}\cdots \alpha _{n}^{\lambda _{n}l}=0.}$

따라서 l이 변하면 (L + 1)ⁿ 미지수에서 (L + 1)ⁿ 균질한 선형 방정식 시스템이 있으며, 가정에 의해 0이 아닌 해가 있으며, 이는 결국 계수 행렬의 행렬식이 사라져야 함을 의미합니다. 그러나 이 행렬은 반데르몽 행렬이며 이러한 행렬의 행렬식에 대한 공식은 두 값 사이에 동일성을 부여합니다.

${\displaystyle \alpha_{1}^{\lambda_{1}}\cdots \alpha_{n}^{\lambda_{n}}$

${\displaystyle {}_{}}$ α ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$는 다중 종속입니다$$. 로그를 취하면 $2개$의${\displaystyle }$π${\displaystyle }$i, 로그 ⁡ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, …, 로그 ⁡ α n${\displaystyle$2\$pi,\log$ \$alpha_{1},\$ldots,\log \alpha_{n}}가 유리수에 선형적으로 종속되어 있음을 알 수 있습니다.

확장 및 일반화

Baker(1966)는 실제로 이 정리의 정량적 버전을 제공하여 로그로 선형 형태에 대한 효과적인 하한을 제공했습니다. 이것은 0이라는 것에 대한 문장이 그것에 대한 작은 상한을 제공하는 문장 등으로 대체되는 것을 제외하고는 비슷한 논법으로 수행됩니다.

Baker(1967a)는 정리에서 약 2 πi에 대한 가정을 제거하는 방법을 보여주었습니다. 이를 위해서는 증명의 마지막 단계를 수정해야 합니다. 하나는 위와 유사한 인수에 의해 함수${\displaystyle }$ϕ (z) =$$φ (z, …, z) {\$displaystyle$ \phi (z) =\Phi (z,\ldots, z)}의 많은 도함수가 z = 0에서 사라짐을 보여줍니다. 그러나 첫 번째 (L+1) 도함수에 대한 이러한 방정식은 계수 p에 대한 선형 방정식의 동질 집합을 다시 제공하므로 행렬식은 0이고, 이번에는 숫자 λ 로그 α + ⋯ + λ 로그 α에 대해 다시 반데르몽 행렬식입니다. 따라서 이 두 표현식은 동일해야 합니다. 이는 log α₁,…,log α가_n 유리수에 대해 선형적으로 종속적임을 보여줍니다.

Baker(1967b)는 동차 버전의 정리를 제공하여 다음과 같이 나타냈습니다.

${\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n}\log \alpha _{n}}$

0이 아닌 대수적 수 β₀, …, β_n, α₁, …, α에_n 대해서는 0이 아니며, 더욱이 이에 대한 효과적인 하한을 제공합니다. 이 증명은 동질적인 경우와 유사합니다. 다음과 같이 가정할 수 있습니다.

${\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n-1}\log \alpha _{n-1}=\log \alpha _{n}}$

그리고 하나는 다음과 같이 추가 변수 z를 φ에 삽입합니다.

${\displaystyle \Phi(z_{0},\ldots,z_{n-1})=\sum_{\lambda_{0}=0}^{L}\cdots \sum _{\lambda _{n}=0}^{L}p(\lambda _{0},\ldots,\lambda _{n})z_{0}^{\lambda _{\n}}e^{\beta _{n}\lambda _{0}z_{0}}\alpha _{1}^{(\lambda _{1}+\beta _{n}\lambda _{1}z_{1}}\cdots \alpha _{n-1}+\lambda _{n}\beta _{n-1}}\cdots _{(\lambda _{n-1}}+\beta _{n-1})z_{n-1}}}$

코럴리

위에서 언급한 바와 같이, 이 정리에는 에르미트-린데만 정리와 겔폰드-슈나이더 정리와 같은 지수 함수에 관한 수많은 초기 초월 결과가 포함됩니다. 그것은 여전히 증명되지 않은 Schanuel의 추측만큼 포괄적이지 않으며, 6개의 지수 정리나 분명히 여전히 열린 4개의 지수 추측을 의미하지 않습니다.

겔폰드가 그의 결과의 확장을 원하는 주된 이유는 단지 수많은 새로운 초월수 때문이 아니었습니다. 1935년 그는 겔폰드-슈나이더 정리를 증명하기 위해 개발한 도구를 사용하여 양의 하한을 구했습니다.

${\displaystyle \beta _{1}\lambda _{1}+\beta _{2}\lambda _{2}}$

여기서 β와 β는 대수적이고 λ와$$λ는 L${\displaystyle$ $\backslash$mathbb {L}입니다. 베이커의 증명은 위와 같은 양이지만 임의로 많은 항을 가진 양에 대한 하한을 제공했으며, 그는 이러한 한계를 디오판토스 방정식을 다루는 효과적인 방법을 개발하고 가우스의 클래스 번호 문제를 해결하는 데 사용할 수 있었습니다.

확장

베이커의 정리는 대수적 숫자의 대수적 숫자에 대한 선형 독립성을 우리에게 부여합니다. 이것은 그들의 대수적 독립성을 증명하는 것보다 약합니다. 지금까지 이 문제에 대한 진전은 전혀 없었습니다. 만약 λ, …, λ가 유리수 위에서 선형 독립적인 L ${\displaystyle$ \mathbb {L}의$원소$라면, 이들도 대수적으로 독립적이라고 추측되었습니다. 이것은 Schanuel의 추측의 특별한 경우이지만, 아직까지는 로그가 대수적으로 독립적인 두 대수적 숫자까지 존재한다는 것이 증명되어야 합니다. 실제로 Baker의 정리는 대수적 숫자에 대한 사소한 이유가 없는 한 대수적 숫자 사이의 선형 관계를 배제합니다. 다음으로 가장 간단한 경우, 균질한 2차 관계를 배제하는 경우는 여전히 열린 4 지수 추론입니다.

마찬가지로, 결과를 대수적 독립성으로 확장하지만 p-adic 설정에서 확장하고 p-adic 로그 함수를 사용하는 것은 여전히 미해결 문제로 남아 있습니다. 대수적 p-adic 숫자의 선형 독립적인 p-adic 로그의 대수적 독립성을 증명하는 것은 정수장의 p-adic 단위 순위에 대한 레오폴드의 추측을 증명할 것으로 알려져 있습니다.

참고 항목

• 분석 부분군 정리

메모들

참고문헌