p-adic 수

수학에서, 소수 p에 대한 p-adic 숫자 체계는 합리적 숫자 체계의 확장과 실제적이고 복잡한 숫자 체계로 다른 방식으로 합리적 숫자의 일반적인 산수를 확장한다. 그 확장은 "투명성" 또는 절대값의 개념에 대한 대체적인 해석에 의해 달성된다. 특히 p-adic 수 2개는 p의 높은 힘에 의해 차이가 분할될 때 근접한 것으로 간주되는데, 즉 힘이 높을수록 근접한 값이다. 이 속성은 p-adic 숫자들이 숫자 이론에서 강력한 응용을 갖는 것으로 판명되는 방식으로 결합 정보를 인코딩할 수 있게 한다. 예를 들어, 앤드류 와일즈의 페르마의 마지막 정리라는 유명한 증거에서 그렇다.^[1]

이 숫자들은 1897년 커트 헨젤에 의해 처음 설명되었지만,^[2] 뒤늦게나마 에른스트 쿠메르의 초기 작품들 중 일부는 p-adic 숫자를 암묵적으로 사용하는 것으로 해석될 수 있다.^{[note 1]} p-adic 숫자들은 주로 파워 시리즈 방법의 아이디어와 기술을 숫자 이론으로 끌어들이려는 시도에 의해 동기 부여되었다. 그들의 영향력은 이제 이것을 훨씬 넘어선다. 예를 들어, p-adic 분석 분야는 본질적으로 미적분학의 대체 형태를 제공한다.

대수구조 → 링 이론 링 이론
기본개념 반지. • 서브링 • 이상적 • 지수 링 • 분수 이상 • 분수의 총 링 • 제품 링 • 연관성 있는 알헤브라의 자유 제품 • 알헤브라의 텐서 제품 링 동형성 • 커널 • 내적 자동형성 • 프로베니우스 내형성 대수구조 • 모듈 • 연관 대수 • 그라데이션 링 • 비자발적 고리 • 링의 범주 • 초기 $링{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$ • 단자 링 $0{\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 0$=\mathb {Z} _{1$} 관련 구조물 • 현장 • 유한장 • 비 연상 고리 • 리 링 • 조던 링 • 의미 부여 • 세미필드
정류대수학 정류 링 • 통합 도메인 • 통합적으로 닫힌 도메인 • GCD 도메인 • 고유한 요인화 영역 • 주요 이상 영역 • 유클리드 영역 • 현장 • 유한장 • 컴포지션 링 • 다항 링 • 공식 파워 시리즈 링 대수적 수 이론 • 대수적 수 필드 • 정수 링 • 대수적 독립성 • 초월수 이론 • 초월도 p-adic 수 이론과 소수점 • 직접 한계/반복 한계 • 제로 링 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$} • Integers modulo pn $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle p{}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbb{}}$ ${\$ • Prüfer p-링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle \mathb {Z}(p^{\inflt })}$ • Base-p circle ring $T{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ • 기본-p $정수{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$} • p-adic $rationals{\displaystyle \mathbb{}}$ Z${\displaystyle }$[ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p}$] ${\displaystyle \mathb {Z} [1/p]}$ • Base-p $실수{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$ • p-adic 정수 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ • p-adic number $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ • p-adic 솔레노이드 $T{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 대수 기하학 • 아핀 버라이어티
비계산 대수 비커밋 링 • 디비전 링 • 반비례 반지 • 심플 링 • 정류자 비계산 대수 기하학 자유대수학 클리포드 대수 • 기하 대수학 연산자 대수
v t

보다 공식적으로, 주어진 prime p의 경우 p-adic 숫자의 필드 Q는_p 합리적인 숫자의 완성이다. 필드_p Q는 또한 미터법에서 파생된 위상으로서, 그 자체는 합리적인 숫자에 대한 대안적 평가인 p-adic 순서로부터 파생된다. 이 미터법 공간은 모든 Cauchy 시퀀스가 Q의_p 한 점으로 수렴한다는 의미에서 완전하다. 이것이_p Q에 미적분학의 발전을 가능하게 하는 것이며, p-adic 숫자 시스템에 힘과 효용을 부여하는 것은 이 분석적 구조와 대수적 구조의 상호작용이다.

"p-adic"의 p는 변수로서 prime(예: "2-adic number") 또는 prime 숫자를 나타내는 다른 표현으로 대체될 수 있다. "p-adic"의 "adic"은 dynadic 또는 triadic과 같은 단어들에서 발견되는 결말에서 유래한다.

합리적 수의 p-adic 확장

양수 이성수 r의 십진수 확장은 그 연속성을 나타낸다.

${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infit }a_{i}10^{-i}}}$

여기서 각 ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 < ${\displaystyle 0\leq a_{i}<10.}$ 분자에 의한 분자의 긴 분할에 의해 계산될 수 있으며, 이 팽창은 그 자체로서 다음과 같은 정리에 기초한다. 만약 r)nd{\displaystyle r={\tfrac{n}{d}}}은 이성적인 번호 10k≤ r<>10k+1,{\displaystyle 10^{k}\leq r<, 10^{k+1},}가 정수가 있는 것처럼 0<,<>10,{0<, a< 10분\displaystyle,}과 r-1s10k+s,{\displaystyle r=a\,10^{k}+s,}<>10k .{\displaystyle$s<10^{k}}}$ 10진수 확장은 이 결과를 나머지 s에 반복적으로 적용하여 얻으며, 반복에서 원래의 합리적 수 r의 역할을 가정한다.

합리적인 숫자의 p-adic 확장은 유사하게 정의되지만, 다른 분할 단계로 정의된다. 더$$ 정확히 말하면, 고정된 소수 p를 주어진다면$,$ $모든{\displaystyle }$ 0이 아닌 합리적 $숫자$ r ${\displaystyle$ r =${\displaystyle }$p ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{},}$ ${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac{n}{d}}}},$ 여기서 k는 (음수) 정수이고 n과 d는 p와의 동시적 정수다. 정수$$ k는 ${\displaystyle r_{}}$의 p-adic 평가로, v $p{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}r}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle v_{p}(r),},$ ${\displaystyle p^{}}$- k ${\$ p$^{-k}$는 p-adic 절대값으로, ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ r $_{p}}}($평가가 클 때 절대값이 작다). 분할 단계는 글로 구성된다.

${\displaystyle r=a\,p^{k}+s}$

여기서 a는 ${\displaystyle 0\leq$ a$,}$ 및 s가 0인 정수 또는 < p- ${\$ s $_{p^{-k}}($, (s )> ${\displaysty v_{p}k}$k}})와 같은 합리적인 숫자다.

r의 p-adic 확장은 공식 파워 시리즈다.

${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infit }a_{i}p^{i}}}}}$

연이은 잔여물에 대한 분할 단계를 무한정 반복하여 획득한다. p-adic 확장에서 모든 ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 < $.$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}<p$.$}$

$r{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ n ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\$1}{$1}}$이(가) 0인 상태에서$$ 결국 프로세스가 중지된다. 이 경우, 영상 시리즈는 0 계수로 항을 추적하여 완료되며, 기준 p에서 r을 나타낸다.

합리적인 수의 p-adic 확장의 존재와 계산은 다음과 같은 방법으로 베주트의 정체성을 산출한다. 위와 같이 $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{},}$ ${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},$ d 및 p가 동일하다면 ${\displaystyle t}$ +${\displaystyle u}$=${\displaystyle 1}$. ${\displaysty td+up=1$과 같은 정수 t와 u가 존재한다$.$$}$그래서$$

${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}}{d}}}=p^{k}nt+p^{k+1}{\frac {un}{d}}}}.}$

그 후, nt by p의 유클리드 분할이 주어진다.

${\displaystyle nt=qp+a,}$

< ${\displaystyle 0\leq$ a$<p.}$과(와) 함께 이것은 다음과 같은 분할 단계를 제공한다.

${\displaystyle {\displaysty}{lcl}r&=&p^{k}(qp+a)+p^{k+1}{\frac {un}{d}\\&ap^{k}+p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d},\\end{array}}}}}}}}$

그래서 계속.

${\displaystyle s=p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}}}}$

새로운 이성적인 숫자야

The uniqueness of the division step and of the whole p-adic expansion is easy: if ${\displaystyle p^{k}a+p^{k+1}s=p^{k}a'+p^{k+1}s',}$ one has ${\displaystyle a-a'=p(s'-s).$$}$ p가 ${\displaystyle {}^{}}$를 -${\displaystyle {\prime }^{}}$. ${\displaystyle a-a'$로 나눈다는 뜻이다$$.${}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle$ $0$$\leq a<p$$}$ 0 a < ${\displaystyle$0$\leq$ a$},$ $<p.}$이(가) 참이어야 한다. $따라서$p가${\displaystyle }a$를${\displaystyle {}^{}}$ 때문에$a{\displaystyle }$=${\displaystyle {}^{}}$를 $증명$한다$.$$}$

합리적인 수의 p-adic 확장은 p-adic 절대값과 함께 convergent series의 정의를 적용하면, 합리적인 숫자로 수렴되는 시리즈다. 표준 p-adic 표기법에서 자릿수는 표준 base-p 시스템에서와 같은 순서로, 즉 베이스의 힘이 왼쪽으로 증가하는 순서로 표기된다. 이것은 숫자의 생산이 역전되어 왼손에 한도가 발생한다는 것을 의미한다.

합리적인 수의 p-adic 확장은 결국 주기적이다. 반대로, 나는 정도는 시리즈 ∑ k∞ 나는 p 나는,{\textstyle \sum_{i=k}^{\infty}a_{나는}p^{나는},}과 0≤ 나는 <, p{\displaystyle 0\leq a_{나는}<, p}전진(그p-adic 절대 값에 대한)에 유리수 만일 그것은 결국 주기적인;이 상황에서는, 시리즈는p-adic 확장의 합리적인 numbe.r 그 증거는 십진법 반복에 대한 유사한 결과와 유사하다.

예

1 ${\displaystyle \frac{3}{}}$. ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$에 대한 5-adic 확장을 계산해 봅시다. 5에 대한 베주트의$$ ID는 $2{\displaystyle \mathrm{}}$⋅ ${\displaystyle 3}$+${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 5}$= 1 ${\displaystyle 2\cdot 3+(-1)\cdodot$ 5$=1}($더 큰 예에서는 확장된 유클리드 알고리즘으로 계산할 수 있다. 그러므로

${\displaystyle {\frac {1}{1}{3}=2-{\frac {5}{3}}.}$

다음 단계에서는 1 / 3 ${\$디스플레이$/3}$을(를) "분할"해야 한다($$분수 분자의 5 인자는 p-adic 평가의 "변위"로 보아야 하므로 "분할"에는 관여하지 않는다). Bézout의 ID에 -${\displaystyle 1}$을 곱하면$$- {\$displaystyle -1$}이$($가) 제공

${\displaystyle -{\frac {1}{1}{3}}=-2+{\frac {5}{3}}.}$

"integer part"${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle -2$}이$($가) 올바른 간격에 있지$$ 않음 따라서$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{사람들}}$은 - 2 =${\displaystyle 3}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 5}$,${\displaystyle -2=3-1\cdot 5,}$을(를) 얻기 위해$$ $5{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 5}$을(를) 사용해야 한다.

${\displaystyle -{\frac{1}{3}}=3-5+{\frac {5}{3}}}=3-{\frac {10}{3},}$

그리고

${\displaystyle {\frac{1}{3}=2+3\cdot 5+{\frac {-2}{3}\cdot 5^{2}.}$

비슷하게, 사람은 가지고 있다.

${\displaystyle -{\frac {2}{3}=1-{\frac {5}{3}},}$

그리고

${\displaystyle {\frac{1}{3}=2+3\cdot 5+1\cdot 5^{2}+{\frac {-1}{3}\cdot 5^{3}.}$

"제거자"${\displaystyle }$-$$ 3 ${\$ -${\tfrac$ {1$}{3}}$이(가) 이미$$ 발견되었으므로 쉽게 프로세스를 계속할 수 있으며, 5의 홀수 전력에$$ 대해서는 $계수{\displaystyle \mathrm{}}$ 3 ${\displaystyle 3},$ 짝수 전력에 대해서는$$ $계수{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle 1}$을 부여한다. 또는 표준 5자 표기법에서

${\displaystyle {\frac {1}{3}=\ldots 1313132_{5}}$

$왼쪽$ 측면에 줄임표와 $함께.$

p-adic 계열

이 글에서 p-adic 시리즈는 prime number p로 주어지는 형식적인 연속이다.

${\displaystyle \sum _{i=k}^{\infit }a_{i}p^{i}}}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 매 nonzero a ${\$은(는) ${\displaystyle {합리적}_{}}$인 숫자 $a{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle n\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{i_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{d_{}}{}}$ i${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\$$displaystyle$ $a_{i}={\tfrac{$$n_{d_$${i}}}}}}}$은(는$)$$$n i {\$displaystystyle$d_{$i}$와 p로 구분되지 않는다$$.

모든 합리적인 숫자는 $p{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{},}$ ${\displaystyle$ p$^{k}{\tfrac{n}{d}},}$ 형식의$$ 인자화로 구성되며, p와 n 및 d 모두 합친 p-adic 시리즈로 볼 수 있다.

p-adic 시리즈는 각$$ {\$displaystyle a_{i}$가 $간격$의 정수일 경우 정규화된다$[{\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle p}$- ${\displaystyle 1].}$ ${\displaystyle [0,p-1].$$}}$ 그러므로$$ 합리적인 수의 p-adic 확장은 정상화된 p-adic 시리즈라고 할 수 있다.

0이 아닌 p-adic 평가 또는 p-adic 순서는 ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle a_{i}\neq$ 0$.}$ 영 시리즈의 순서는$$ 무한도 ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle \inft.}}$이다.

두 개의 p-adic 시리즈가 동일한 순서 k를 갖는 경우, 그리고 모든 정수 n ≥ k에 대해 부분 합계 간의 차이를 갖는 경우 등가한다.

${\displaystyle \sum \sum_{i=k}^{n}-}-\sum_{i=b_{i}p^{i}=\sum _{i=k}^{n}}}(a_{i}-b_{i}p^{i}}}}}p^{i}}}}}}}}}}}}}}:{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

n보다 큰 주문을 가지고 있다( > n$,$ {\$displaystyle$$p$$^{$k$}{\tfrac${$a$$}{b$$}},$ 그리고 a 및 b 둘 다 p와 함께 있는$$ 합리적인 수이다${\displaystyle .}$

모든 p-adic 영상 $시리즈{\displaystyle }$ S$${\$displaystyle$S$\}$에 $대해{\displaystyle }$ S$${\$displaystyle$S}과(와) N$${\$displaystyle$N}이$$(가) 동등하도록 고유한 정규화된 영상 시리즈 $N{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ N$}$이(가) 있다. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$은 $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle S}$의 정규화다. 그 증거는$$ 합리적인 수의 p-adic 확장에 대한 존재 증거와 유사하다. 특히 모든 합리적 숫자는 0이 아닌 하나의 항을 가진 p-adic 시리즈로 간주할 수 있으며, 이 시리즈의 정상화는 정확히 합리적 수의 합리적인 표현이다.

즉, p-adic 계열의 동등성은 동등성 관계이며, 각 동등성 등급은 정확히 하나의 정규화된 p-adic 계열을 포함한다.

일반적으로 직렬(추가, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)의 연산에서는 p-adic 계열을 p-adic 계열에 매핑하며, p-adic 계열의 동등성과 호환된다. 즉, S, T, U가 0이 아닌 p-adic 시리즈인 경우 $S{\displaystyle }$~ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle S\sim$ T$,}$과 같은 값을 나타낸다.

${\displaystyle {\reasoned}S\pm U&\sim T&\pm U,\SU&\sim TU,\1/S&\sim 1/T.\end{정렬}}}$

더구나 S와 T는 순서가 같고, 초선이 같다.

위치 표기법

base p에서 숫자를 나타내는 데 사용되는 것과 유사한 위치 표기법을 사용할 수 있다.

$\sum \underset{}{\overset{}{}}$ $\underset{}{\overset{}{i}}$= $\underset{\mathrm{}}{\overset{}{k}}{p}^{}$ $\underset{}{\overset{}{}}{}_{}$ $i_{}$ p i ${\$ }$a_{i}p$^{i$}}}}}$은 정규화된 p-adic 시리즈로${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {즉}_{}}$$,$ $각{\displaystyle {}_{}}$ a$${\$displaysty$ ${i$는 ${\displaystyle \mathrm{간격}}$의 $정수다.$$}$ < k> $≤$ i < > 0 ${\displaystyle a_$${i$$}=0}$을(를$)$에 대해 i${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ a_{i}=0}을(를) 설정하고 결과 영항을 시리즈에 추가하면$$ k ${\displaystyle \le }$ 0 ${\displaystystylek k}$을$(으$)$한다고$ 가정할$$ 수 있다.

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle k\geq 0,}$ 위치$$ 표기법은 i ${\displaystyle {값}_{}}$을 감소시켜 연속적으로$$ i ${\$를 $쓰는{\displaystyle {}_{}}$ 것으로 구성되며, 종종 오른쪽에 p가 인덱스로 나타난다.

${\displaystyle \ldots a_{n}\ldots a_{1}{a_{0}_{p}}}$

따라서 위의 예제를 계산해 보면

${\displaystyle {\frac {1}{3}=\ldots 1313132_{5}}$

그리고

${\displaystyle {\frac {25}{3}=\ldots 131313200_{5}.}$

< 0, ${\displaystyle k<0,}$이(가) 음의 색인으로 숫자 앞에 분리 점이 추가되고, 인덱스 p가 있으면 분리점 바로 뒤에 나타난다. 예를 들어,

${\displaystyle {\frac {1}{15}=\ldots 3131313._{5}2,}$

그리고

${\displaystyle {\frac {1}{75}=\ldots 1313131._{5}32.}$

p-adic 표현이 왼쪽에 ${\displaystyle \mathrm{유한}}$한 경우(즉, i의 큰 값에$$ 대해 i${\displaystyle {}_{}}$=$$0 {\$displaystyle a_{i}=$0}), $n{\displaystyle }$, {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $np$$^{v}$ 정수를 가진$$ n$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle v^{}}$ ${\displaystyle$ n$,v}$ 형식의 비음의 합리적 숫자의 값을 갖는다. 이러한 이성적 숫자는 정확히 베이스 p에서 유한한 표현을 갖는 비부정적 이성적 숫자들이다. 이러한 합리적인 숫자에 대해 두 가지 표현은 동일하다.

정의

p-adic 숫자에 대한 몇 가지 동등한 정의가 있다. 여기서 주어지는 것은 앞의 절에서 소개된 수학적 개념과는 다른 어떤 수학 개념도 포함하지 않기 때문에 상대적으로 초보적인 것이다. 다른 동등한 정의는 이산적 가치평가 링(§ p-adic 정수 참조), 미터법 공간의 완성(§ 위상학적 속성 참조) 또는 역한계(§ 모듈러 속성 참조)를 사용한다.

p-adic 번호는 정규화된 p-adic 시리즈로 정의할 수 있다. 흔히 사용되는 다른 등가 정의도 있기 때문에 p-adic 시리즈는 p-adic 숫자라고 말하는 대신 p-adic 숫자를 나타내는 경우가 많다고 한다.

또한 모든 p-adic 시리즈는 고유한 정규화된 p-adic 시리즈와 동일하기 때문에 p-adic 시리즈는 p-adic 숫자를 나타낸다고 말할 수 있다. 이는 p-adic 숫자의 연산(추가, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)을 정의하는 데 유용하다. 이러한 연산 결과는 해당 연산 결과를 직렬로 정상화함으로써 얻는다. 이는 직렬 연산이 p-adic 계열의 동등성과 호환되기 때문에 p-adic 번호에 대한 연산을 잘 정의한다.

이러한 연산을 통해 p-adic number는 p-adic number의 필드를 호출하는 필드(수학)를 ${\displaystyle {}_{}}$하고$$Q p {\$displaystyle$ \$mathb{Q} _{$$p$} ${\displaystyle {}_{}}$ Q$.$ {\$displaystyle \mathbf {Q}$$_{p$}.$}}$ 합리적인 수에서 p-adic 수까지의 고유한 필드 동형성이 있는데$$, 이것은 p-adic 확장에 대한 합리적인 수를 매핑한다. 이 동형성의 이미지는 일반적으로 합리적인 수의 분야와 동일시된다. 이를 통해 p-adic 숫자를 합리적인 숫자의 확장 영역으로 간주하고, 합리적인 숫자를 p-adic 숫자의 하위 영역으로 고려할 수 있다.

The valuation of a nonzero p-adic number x, commonly denoted ${\displaystyle v_{p}(x),}$ is the exponent of p in the first nonzero term of every p-adic series that represents x. By convention, ${\displaystyle v_{p}(0)=\infty ;}$ that is, the valuation of zero, is ${\displaystyle \infty .}$ T그의 평가는 별개의 평가다. 합리적인 숫자에 대한 이 평가의 제한은 Q${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathb {Q$${\displaystyle {}^{}}$의 p-adic 평가, 즉 p와 n 및 d coprime을 모두 가진$$ ${\dfrac$ {n$}{d}{d}$p^{$v}}.$

p-adic 정수

p-adic 정수는 부정 평가가 아닌 p-adic 숫자다.

모든 정수는 p-adic 정수( < ${\displaystyle 0<\infuly }$ 이후 0을 포함)이다. p와 $k$가 ${\displaystyle \mathrm{있는}}$ d${\displaystyle }$coprime이 있는$$ $n\frac{}{}$ $\frac{d}{}$ $p{}^{}$ $k^{}$ ${\$$textstyle {\tfrac$ {$n}{d}}$p$^{k}}}$ 형식의 합리적인 숫자도 p-adic 정수다$$.

p-adic 정수는 다음과 같은 특성을 가진$$ ${\displaystyle {}_{}}$ p ${\$ 또는$$ $Z{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$로 표시된 정류 링을 형성한다.

• 필드의 서브링이기 때문에, 또는 0이 아닌 p-adic 시리즈 2개의 제품 시리즈 표현 중 첫 번째 항이 첫 번째 항만의 산물이기 때문에, 그것은 불가결한 영역이다.
• $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 단위(수치 불가능한 요소)는$$ 평가 0의 p-adic 수이다.
• 그것은 각각의 이상이 p의 힘에 의해 생성되는 것과 같은 주요한 이상적인 영역이다.
• 그것은 크롤 차원 1의 국부적인 고리인데, 그것의 유일한 주요한 이상은 p에 의해 생성된 제로 이상이고, 유일한 최대 이상이기 때문이다.
• 이것은 앞선 속성에서 비롯되기 때문에 별개의 가치평가 고리다.
• It is the completion of the local ring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\{{\tfrac {n}{d}}\mid n\in \mathbb {Z} ,d\in \mathbb {Z} ,d\not \in p\mathbb {Z} \},}$ which is the localization of ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ at the prime ideal ${\displaystyle p$$\mathb {Z} .}$

마지막 속성은 위의 것과 동등한 p-adic 숫자의 정의를 제공한다: p-adic 숫자의 필드는 p-adic 숫자의 국산화 완료의 분수 영역이다.

위상학적 특성

p-adic 평가에서는 p-adic 숫자의 절대값을 정의할 수 있다: nonzero p-adic number x의 p-adic 절대값은 다음과 같다.

${\displaystyle x _{p}=p^{-v_{p}(x)}}$

여기서 v ${\displaystyle p_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle v_{p}(x)}$은(는) x의 p-adic 평가값이다$$. p-adic 절대값 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 0$}$은(는${\displaystyle {}_{}}$ 0${\displaystyle \mathrm{}}$p =$$0. {\$displaystyle$0 $_{p}=0$.} 이는$$ 모든 x와 y에 대해 강력한 삼각 불평등을 만족하는 절대값이다.

• ${\displaystyle }$$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$x$_{p}=0}($x$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0;}$ ${\displaystyle$ x$=0;})$인 경우에만
• ${\displaystyle x _{p}\cdot y _{p}=xy _{p}}}$
• ${\displaystyle x+y _{p}\leq \max(x_{p}, y _{p})\leq x _{p}+ y _{p}.}$

더욱이 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle$x$_{p}\neq$ y $_{p}},$ 1은$$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 최대}$ (${\displaystyle }$x ${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$) .${\displaystyle x+y _{p}=\max(x _{p},$ y $_{p}).$$}$

이렇게 하면 p-adic 번호는 미터법 공간, 심지어 초경량 공간까지 만들 수 있는데, d ${\displaystyle p_{}}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle y{}_{}}$ . ${\displaystyle d_{p}(x,y)= x-y _{p}.$$}$

미터법 공간으로서 p-adic 번호는 p-adic 절대값을 갖춘 합리적인 숫자의 완성을 형성한다. 이것은 p-adic 숫자를 정의하는 또 다른 방법을 제공한다. 그러나, 측정지표는 개별적인 가치평가에 의해 정의되기 때문에, 이 경우 일반적인 완료구조는 단순화될 수 있다(요컨대, 모든 Cauchy 시퀀스에서 연속된 두 항 사이의 차이가 절대값을 엄격히 감소시키는 부분들을 추출할 수 있다). 그러한 부분구조는 parti의 순서다.p-adic 시리즈의 합계와 따라서 고유 정규화된 p-adic 시리즈는 Cauchy 시퀀스의 모든 동등성 등급과 연관될 수 있다. 따라서, 완성을 위해, Cauchy 시퀀스의 동등성 등급 대신 정규화된 p-adic 시리즈를 고려하는 것으로 충분하다.)

계량법은 이산적 가치평가에서 정의되기 때문에 모든 열린 공도 폐쇄된다. 좀 더 정밀하게, 개방된 공 Br())){y∣ d, p(), y)<>r}{\displaystyle B_{r}())=\ᆲ(x, y)<, r\}}은 폐쇄된 공 Bp− v[)]여기서 v는 최소 정수){y∣ dp(), y)≤ p− v},{\displaystyle B_{p^{-v}}[)]=\ᆵ(x, y)\leq p^{-v}\},}가 p− V각이다 <>r.${\displaystyle p^{-v}<r.}$ 비슷하게 B ${\displaystyle r_{}}$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$= B ${\displaystyle {p{}^{}}_{}}$- ${\displaystyle {w^{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle B_{r}[x]=$$B_{p^{-w}(x),$ 여기서$$ w는 - > r. ${\displaystyle p^{-w}>r$과 같은 최대 정수다$.$$}$

이는 p-adic 숫자가 국소적으로 콤팩트한 공간을 형성하고 p-adic 정수 즉, ${\displaystyle \mathrm{볼}}$ B ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$[ 0 ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle B_{1}[0]=$를 형성한다는 것을 의미한다.$B_{p}(0)$ $—$ 콤팩트한 공간을 형성한다.

모듈형 특성

The quotient ring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ may be identified with the ring ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ of the integers modulo ${\displaystyle p^{n}.$$}$ This can be shown by remarking that every p-adic integer, represented by its normalized p-adic series, is congruent modulo ${\displaystyle p^{n}}$ with its partial sum ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},}$ whose value is an integer in the interval ${\displaysty$$르 [0,p-1]$$}}$ 간단한$$ 확인 결과, $이것$은 Z${\displaystyle {}_{}}$ / ${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle N{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에서${\displaystyle }$Z /${\displaystyle p^{}{}^{}\mathbb{}}$ Z까지 {$p}$ $\displaystyle \mathb {Z}/p^{n}\mathb {Z}.}}$의 링 이형태를 정의하고 있다.

The inverse limit of the rings ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ is defined as the ring formed by the sequences ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$ such that ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} ,}$ and $a_{}$ i ${}_{}$ ${}_1$ a${}_{}$+ 1 ( ${mod}^{}$p$$i$$ ) , ${\textstyle a_${i$}\equiv a_{i+$1}{\$pmod{p^{i}}}}}.$

정규화된 p-adic 시리즈를 부분 합계의 순서에 매핑하는 매핑은 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에서 ${\displaystyle {}_{}}$p / p ${\displaystyle N^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}${\$displaysty \mathb {Z} _{p}{p}\mathb${Z} _${Z}$의 역한계에 이르는 링 이형성이다.$}$ 이는$$ p-adic 정수(이형성까지)를 정의하는 또 다른 방법을 제공한다.

이러한 p-adic 정수의 정의는 연속적인 근사치에 의한 p-adic 정수를 구축할 수 있기 때문에 실제 계산에 특히 유용하다.

예를 들어 정수의 p-adic(복제) 역행 계산에는 역모듈로 $p^{}$부터 뉴턴의 방법을 사용할 수 있다$.$ 그런 다음, 각 뉴턴 스텝은$$ ${역모듈}^{}$로 p . .${\textstyle$ p$^{$n}에서 역모듈로 $p2{}^{}${$n$$^{$$n}}$를 계산한다.$}$

2차 잔류물 모듈로 p-adic 제곱근을 계산하는 데도 같은 방법을 사용할 수 있다. ${이것}^{}$은 큰 정수가 정사각형인지 여부를 시험하는 가장 빠른 방법인 것 $같다{}^{}$: 주어진 정수가${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathbb{}}_{}}$ / ${\displaystyle p{}^{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$ p , ${\displaystyle \mathb {Z} _{p}/p^{$n$$$}\$ {$Z}$$_{p$$$$}}}$에 있는 값의 제곱인지 시험하는 것으로 충분하다.게르를 뜨다

헨젤리프팅은 n의 큰 값에 대해$$ 정수 계수가 있는 다항식의 인자화 모듈로 p를 인자화 ${모듈}^{}$로 ${\$ p$^{n}$에 "들어올릴" 수 있는 유사한 방법이다. 이것은 다항식 인자화 알고리즘에 의해 일반적으로 사용된다.

표기법

p-adic 확장을 쓰기 위한 몇 가지 다른 규칙이 있다. 지금까지 이 글은 p의 힘이 오른쪽에서 왼쪽으로 증가하는 p-adic 확장에 표기법을 사용해 왔다. 이 좌우 표기법으로 의 3-adic 확장법 예를 들어, 1⁄5는 다음과 같이 쓰여 있다.

${\dfrac {1}{5}=\cHB 121012102_{3}.}$

이 표기법으로 산수를 할 때는 숫자가 왼쪽으로 이동한다. p-adic 확장도 쓸 수 있어 p의 힘이 왼쪽에서 오른쪽으로 높아지고, 자릿수가 오른쪽으로 이동된다. 이 좌우 표기법으로 ½의 3차원 팽창은

${\dfrac{1}{5}=2.01210121\properties _{3}{\mbox{또는 }{\dfrac{1}{15}=20.1210121\properties _{3}.}$

p-adic 확장은 {0, 1, ..., p - 1} 대신 다른 숫자 세트로 작성할 수 있다. 예를 들어 ₅/의 3자리 확장은 균형 잡힌 3자리 숫자{1,0,1}를 사용하여 작성할 수 있다.

${\dplaystyle {\dfrac {1}{5}=\underline {1}11{\underline {11}11{\underline{11}{1}11}{1}1}{\ext}}}}.}$

실제로 구별되는 잔류물 등급 모듈로 p 정수의 집합은 p-adic 숫자로 사용될 수 있다. 수 이론에서, 테이크뮐러 대표자는 때때로 숫자로 사용된다.^[3]

인용 표기법은 에릭 헤너와 나이젤 호스풀에 의해 1979년에 컴퓨터에 (정확한) 산수를 구현하기 위해 제안된 합리적 숫자의 p-adic 표현의 변형이다.^[4]

카디널리티

$Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 및$$ $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 모두 계산할 수 없으며$$ 연속체의 카디널리티를 가지고 있다.^[5] For ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$ this results from the p-adic representation, which defines a bijection of ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ on the power set ${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}^{\mathbb {N} }.}$ For ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ this res$Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle \mathb {Z} _{p}}$의 복사본이 무한하게 결합되어 있다는 표현에서 나온 울트 수

${\displaystyle \mathb {Q} _{p}=\빅컵 _{i=0}^{\inflt }{\frac {1}{p^{i}}}\mathb {Z} _{p}.}$

대수적 폐쇄

Q는_p Q를 포함하고 있으며 특성 0의 분야다.

0은 제곱합으로 쓸 수 있기 때문에 Q는_p 순서가 정해진 필드로 바꿀 수 없다.^[6]

R은 단 하나의 적절한 대수적 확장만 가지고 있다. C; 다시 말해서, 이 2차 확장은 이미 대수적으로 닫혀 있다. 이와는 대조적으로 $Q$의_p 대수적 폐쇄는 Q${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$의${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\overline {\mathbf {Q} _{p}}}}}$의 정도가 무한대,^[7] 즉 Q는_p 불평등 대수적 확장을 무한히 많이 가지고$$ 있다. 또한, p-adic 평가의 고유한 확장이 Q${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$의 ,${\displaystyle {\overline {\mathbf {Q} _{p}}}}$에 있지만$$, 실수의 경우는 대조적이다.^[8][9] 그것의 (금속) 완성은 C 또는_p Ω이라고_p 불린다.^[9][10] 여기서_p C는 대수학적으로 닫혀있기 때문에 끝이 난다.^[9][11] 그러나 C와 달리 이 분야는 국소적으로 좁지 않다.^[10]

C와_p C는 고리처럼 이형성이기 때문에 우리는 C를_p 이국적인 미터법을 가진 C로 간주할 수 있다. 그러한 분야 이형주의 존재의 증명은 선택의 공리에 의존하며, 그러한 이형주의(즉, 건설적이지 않다)의 명시적인 예를 제시하지 않는다.

K가 Q의_p 유한한 갈루아 그룹 ${\displaystyle \text{갈}(K}$/ ${\displaystyle {}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$) ${\$을 해결할 수 있다. 따라서 갈루아 그룹 $){\$ {$Q} _{p}/\mathbf {$Q$} _{p}\right})$을(를) 확인할 수 있다$$.

승수군

Q는_p n p - 1인 경우에만 n번째 사이클로토믹 필드(n > 2)를 포함한다.^[12] 예를 들어, n번째 사이클로토믹 필드는 n = 1, 2, 3, 4, 6 또는 12인 경우에만 Q의₁₃ 하위 필드다. 특히 p > 2일 경우 Q에_p 승법 p-torsion이 없다. 또한₂ Q의 유일한 비경쟁적 비틀림 요소인 -1이다.

자연수 k를 부여하면 $Q{\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의_p Q 비제로 원소의 k번째 힘의 승수집단의 지수는 유한하다$$.

요인 왕복선의 합으로 정의되는 숫자 e는 어떤 p-adic 필드의 구성원이 아니라^p e q_p Q (p ≠ 2)이다. p = 2의 경우 최소한 네 번째 전원을 사용해야 한다.(^[13]e와 유사한 속성, 즉 e의^p p-th 루트를 가진 숫자는 모든 p에 대해$$ $Q{\displaystyle \stackrel{}{{\mathbf{}}_{}}}$ ${\$

지역-글로벌 원칙

헬무트 하세의 지역-지구적 원리는 그것이 모든 프라임 p의 실제 숫자와 p-adic 숫자에 걸쳐 해결될 수 있는 경우에만 합리적인 숫자에 걸쳐 해결될 수 있다면 방정식을 고수한다고 한다. 예를 들어, 이 원리는 2차 형태에 의해 주어진 방정식에 대해 유지하지만, 몇 개의 독립체에서 더 높은 다항식의 경우 실패한다.

헨젤 리프팅으로 합리적 산술

일반화 및 관련 개념

실수와 p-adic 숫자는 이성들의 보완점이다; 다른 분야, 예를 들어 일반 대수적 수 필드를 유사하게 완성하는 것도 가능하다. 이것은 지금 설명될 것이다.

D가 데데킨드 도메인이고 E가 분수 분야라고 가정하자. 0이 아닌 D의 이상적인 P를 선택하십시오. 만약 x가 E의 0이 아닌 요소라면, xD는 분수적인 이상이며 D의 0이 아닌 프라임 이상에 대한 긍정적이고 부정적인 힘의 산물로 독특하게 고려될 수 있다. 이 인자화에서 P의 지수에 대해 순서_P(x)를 작성하고, 1보다 큰 숫자 c의 어떤 선택에 대해서도 우리는 설정할 수 있다.

${\displaystyle x _{P}=c^{-\operatorname {ord} _{P}(x)}.}$

이 절대값과 관련하여 완료하면 이 설정에 대한 p-adic 숫자 영역의 적절한 일반화인 필드 E가_P 나온다. c의 선택은 완성을 변경하지 않는다(다른 선택은 동일한 개념의 카우치 수열을 산출하므로 동일한 완료). 잔류장 D/P가 유한할 때 D/P의 크기를 c로 하는 것이 편리하다.

때는 E번호 필드 예를 들어, Ostrowski의 정리 일부로 E의 모든은non-Archimedean 절대 값 발생한다. P. 말한다E의 또는 복잡한 실제 숫자로 다른 embeddings에서 E의 나머지는 절대 가치가 있습니다.(사실,non-Archimedean 절대 값은 단순히 differe로 여겨질 수 있다.따라서_p 숫자 필드의 모든 비종교 절대값의 설명을 공통 기반 위에 배치한다.)

흔히 E가 숫자 필드(또는 더 일반적으로 글로벌 필드)일 때 위에 언급된 모든 보완사항을 동시에 추적할 필요가 있는데, 이는 "로컬" 정보를 인코딩하는 것으로 보인다. 이것은 아델 반지와 이상향 그룹에 의해 이루어진다.

p-adic 정수는 p-adic 솔레노이드 $T{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$까지 확장할 수 있다$.$ There's a map from ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ to the circle group whose fibers are the p-adic integers ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, in analogy to how there's a map from ${\displaystyle \mathbb {R} }$ to the circle whose fibers are ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

참고 항목

각주

메모들

인용구

참조

추가 읽기

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 P-adic 번호와 관련된 미디어가 있다.

• Weisstein, Eric W. "p-adic Number". MathWorld.
• Springer Online 수학 백과사전 p-adic 번호
• 대수학 폐쇄 완료 – 브라이언 콘래드(Brian Conrad
• 2007년 Andrew Baker의 p-adic 번호와 p-adic 분석 - 온라인 강의 노트 소개
• 효율적인 p-adic 산술(슬라이드)
• p-adic 번호 소개
• Houston-Edwards, Kelsey (October 19, 2020), An Infinite Universe of Number Systems, Quanta Magazine