비주사적 수치

비주사적 숫자는 모든 음이 아닌 정수를 유한한 자릿수를 사용하여 정확히 한 가지 방법으로 나타낼 수 있는 모든 숫자 체계입니다.이 이름은 음이 아닌 정수 집합과 유한한 기호 집합("자리")을 사용하는 유한 문자열 집합 사이에 존재하는 분사(즉, 일대일 대응)를 나타냅니다.

공통 십진법과 같은 대부분의 일반 숫자 시스템은 동일한 양의 정수를 나타낼 수 있기 때문에 바이젝티브하지 않습니다.특히 선행 0을 추가해도 표시된 값은 변경되지 않으므로 "1", "01" 및 "001"은 모두 숫자 1을 나타냅니다.비록 첫 번째 것만이 일반적이지만, 다른 것이 가능하다는 것은 십진법이 비사적이라는 것을 의미한다.단, 단수법은 단수가 1자리일 경우 비주사적입니다.

base-k의 base-k의 숫자는 bijectional 위치 표기법이다.이것은 세트 {1, 2, ..., k}(여기서 k 1 1)의 자릿수를 사용하여 각 양의 정수를 인코딩합니다. 문자열 내의 자릿수의 위치는 k의 거듭제곱의 배수로서 값을 정의합니다.Smullyan(1961)은 이 표기를 k-adic이라고 부르지만, p-adic 숫자와 혼동해서는 안 됩니다.bijective number는 일반적인 정수를 나타내는 시스템입니다.s는 0이 아닌 자릿수의 유한한 문자열에 의한 반면, p-adic 숫자는 정수를 부분 집합으로 포함하는 수학적 값의 시스템이며 모든 숫자 표현에서 무한한 자릿수 시퀀스가 필요할 수 있습니다.

정의.

base-k bijectionive numberation 시스템은 다음과 같이 숫자 집합 {1, 2, ..., k}(k 1 1)을 사용하여 음이 아닌 모든 정수를 고유하게 나타냅니다.

정수 0은 빈 문자열로 나타납니다.
빈 자리 문자열이 아닌 정수

aa n n -1 10 ... aa

이

a n k n + a n -1 k n -1 + ...

+ a 1 k 1 + a 0 k 0

.

정수 m >0을 나타내는 digit-string은 다음과 같습니다.

aa n n -1 10 ... aa

어디에

({displaystyle {displaystyle {aligned}a_{0}&=m-q_{0}k,&q_{0}\right)&\a_{1}&={1}-q_{1}k,&=m-q_0}{0}\right})&\&,,\vdots &,,\vdots &,\,\vdots \\a_{n}&=q_{n-1}-0k,=f\frack\frac {q_{n-1}{k}}\right}=0\end{aligned}}

그리고.

f(x)=\lceil x\rceil -1,

\lceil x\rceil

이상의 최소 정수

(

천장함수)가

displayx

⌉displayx （ \ displaystyle \

lceil

x

\lceil x\rceil

\

rceil

）

\lceil x\rceil

대조적으로, 표준 위치 표기법은 유사한 재귀 알고리즘으로 정의할 수 있습니다.

f(x)=\lfloor x\cloor,

정수로 확장

기지 k1{\displaystyle k> 1}내용은bijective base- k{k\displaystyle}기수 법 부정적인 정수에 표준 base- b{\displaystyle b}숫자 시스템과 마찬가지로 숫자 dk의 무한 수의 1{\displaystyle d_{k-1}− 사용}, f(dk− 1)=에 의해 연장될 수 있다.k1− $f(d_{k-1})=k-1$ {\ $displaystyle f(d_{$ k-1} $=k-1$ $\ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}$ 왼쪽 자리 숫자 순서로 표시됨... $\ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}$ k $\ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}$ - $\ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}$ $\ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}$ - $\ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}$ $\ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}$ $\ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}$ k - $\ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}$ {\{ $display$ style \ $ldots d_{k-1} d_{k-1}$ = $d_{k-1$ $。$ 이것은 오일러의 합계가

ggline {d_{k-1}}=\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=-{\frac {k-1}=-1

라는 뜻

ggline {d_{k-1}}d_{k}=f(d_{k})\sum _{i}=1+\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})=f(d_{k-1})\infty={i

그리고bijective 기수 숫자 표현 d{\displaystyle d}과 매주 양수 n{n\displaystyle}에 dk에 의해 − 1¯ dkd{\displaystyle{\overline{d_{k-1}}}d_{k}d}. 기지 k>;2{\displaystyle k>2}, 음수 개체의 스녀;− 1{\displaystyle n<^}repr이 표시됩니다.에 의해 esented ${\overline {d_{k-1}}}d_{i}d$ $d$ ${\overline {d_{k-1}}}d_{i}d$ - 1 ${\overline {d_{k-1}}}d_{i}d$ ${\overline {d_{k-1}}}d_{i}d$ d { $display$ $style$ ${\overline {d_{k-1}}}d_{i}d$ { $d$ _ { $k$ $i<k-1$ - $i<k-1$ $}$ $i<k-1$ ${\overline {d_{k-1}}}d_{i}d$ _ { $i$ ${\overline {d_{k-1}}}d_{i}d$ } $d$ _ { i } d ${\overline {d_{k-1}}}d_{i}d$ （ i $i<k-1$ 。한편, $k=2$ k ${\overline {d_{k}}}d$ $2$ 의 경우, $n<-1$ n $n<-1$ < - $n<-1$ { $display style n$ < - 1 }은 $n<-1$ $display style$ { kyle { $display }$ 로 ${\overline {d_{k}}}d$ 됩니다.이는 부호 있는 자리 표현에서 숫자 $표현$ d를 $가진$ 모든 $정수$ n(\ $displaystyle$ d $)$ 이 $n$ $d$ ${\overline {d_{0}}}d$ 0 ${\overline {d_{0}}}d$ 로 ${\overline {d_{0}}}d$ ${\overline {d_{0}}}d$ 되는 방법과 유사합니다. $f(d_{0})=0$ 서 $f(d_{0})=0$ f ( $f(d_{0})=0$ ) $f(d_{0})=0$ { $displaystyle$ f ( $d_{0$ } $= 0$ 이 표현은 전체로서 더 이상 양방향으로 표현되지 않습니다.왼쪽 자릿수 시퀀스의 세트는 k $\displaystyle$ k $}$ -adic $k$ $k$ 를 나타내기 위해 사용됩니다.이 정수는 서브셋에 불과합니다.

비사형 기본 k 숫자의 특성

소정의 $k\geq 2$ k ${\$ $k\geq 2$ 의 $경우$ (\ $style$ k $geq$ 2)

음이 아닌 정수 n을 나타내는 base-k 숫자의 자릿수는 다음과 같다.
$\lfloor \log _{k}((n+1)(k-1))\rfloor$ $\lceil \log _{k}(n+1)\rceil$ $\lceil \log _{k}(n+1)\rceil$ $\lfloor \log _{k}((n+1)(k-1))\rfloor$ $\lceil \log _{k}(n+1)\rceil$ $\lfloor \log _{k}((n+1)(k-1))\rfloor$ ( n $\lfloor \log _{k}((n+1)(k-1))\rfloor$ + $\lfloor \log _{k}((n+1)(k-1))\rfloor$ ) $\lfloor \log _{k}((n+1)(k-1))\rfloor$ ( k - 1 ) ${\$ {\ 、 \ $displaystyle$ \ $lfloor$ _ { k $\lfloor \log _{k}((n+1)(k-1))\rfloor$ $\lceil \log _{k}(n+1)\rceil$ ( ( $( n$ + 1) \ loor $\lfloor \log _{k}((n+1)(k-1))\rfloor$ ^[1] ( $\lceil \log _{k}(n+1)\rceil$ + 1 $\lceil \log _{k}(n+1)\rceil$ ) $\lceil \log _{k}(n+1)\rceil$ {\ \ $display style$ \ $lceil$ \ $log$ _ { $k$ } ( $n$ + 1) \ $rceil$ } ( n - k ) $\lceil \log _{k}(n+1)\rceil$ ） $\lfloor \log _{k}((n+1)(k-1))\rfloor$ ---- 。
k = 1(즉, 단항)이면 자릿수는 n자리이다.
$l\geq 0$ l $l\geq 0$ negative $l\geq 0$ { $displaystyle$ l \ $geq$ 0 $l\geq 0$ }의 bijectionive base-k 수치로 나타낼 수 있는 음이 아닌 최소 정수:
$min(l)={\frac {k^{l}-1}{k-1}}$ n $min(l)={\frac {k^{l}-1}{k-1}}$ ( $min(l)={\frac {k^{l}-1}{k-1}}$ ) $min(l)={\frac {k^{l}-1}{k-1}}$ $min(l)={\frac {k^{l}-1}{k-1}}$ - $min(l)={\frac {k^{l}-1}{k-1}}$ - $min(l)={\frac {k^{l}-1}{k-1}}$ ( { $displaystyle$ min ( l ) = $scap$ frac ${k^{l}-1}{k-1$ ;
$l\geq 0$ l $l\geq 0$ negative $l\geq 0$ { $displaystyle$ l \ $geq$ 0 $l\geq 0$ }의 bijectionive base-k 수치로 나타낼 수 있는 음이 아닌 최대 정수는 다음과 같습니다.
$m$ $max(l)={\frac {k^{l+1}-k}{k-1}}$ ( $max(l)={\frac {k^{l+1}-k}{k-1}}$ ) $max(l)={\frac {k^{l+1}-k}{k-1}}$ $max(l)={\frac {k^{l+1}-k}{k-1}}$ + $max(l)={\frac {k^{l+1}-k}{k-1}}$ - $max(l)={\frac {k^{l+1}-k}{k-1}}$ - $max(l)={\frac {k^{l+1}-k}{k-1}}$ { { $displaystyle max$ ( l ) $max(l)=k\times min(l)$ $max(l)=k\times min(l)$ × $max(l)=k\times min(l)$ n ( $max(l)=k\times min(l)$ ){ $k-1}$ 、 $max(l)=min(l+1)-1$ $max(l)=k\times min(l)$ $max(l)=min(l+1)-1$ mi n ( l ){ $displaystyle$ max ( l ) $max(l)=min(l+1)-1$ $k$ \ $times$ $max(l)=min(l+1)-1$ ( $l$ $max(l)=k\times min(l)$ $max(l)=min(l+1)-1$ $max(l)=min(l+1)-1$ l ( l ) $max(l)=min(l+1)-1$ $max(l)={\frac {k^{l+1}-k}{k-1}}$ ( $max(l)=min(l+1)-1$ l )
음이 아닌 정수 n에 대한 bijectionive base-k와 normal base-k 숫자는 일반 숫자가 숫자 0을 포함하지 않는 경우(또는 동등하게 bijectionive number가 빈 문자열도 숫자 k도 포함하지 않는 경우)에만 동일하다.

소정의 $k\geq 1$ k ${\$ $k\geq 1$ 의 $경우$ (\ $style$ k\ $geq$ 1 $)$

$l\geq 0$ l $l\geq 0$ 0 { \ $displaystyle$ l \ $geq$ ^[2]0 }의 k \ displaystyle k^ { $l$ }개의 $k^{l}$ bijectionive base-k 숫자가 $k^{l}$ 존재합니다.
표현된 정수의 자연적 순서에 따라 base-k 숫자의 목록이 자동으로 짧은 플렉스 순서(먼저 사전 편찬, 각 길이 이내)로 지정된다.따라서 빈 문자열을 나타내는 데 to를 사용하면 베이스 1, 2, 3, 8, 10, 12 및 16 숫자는 다음과 같습니다(일반 표현은 비교 대상으로 기재되어 있습니다).

bijectionive base 1:	`λ`	`1`	`11`	`111`	`1111`	`11111`	`111111`	`1111111`	`11111111`	`111111111`	`1111111111`	`11111111111`	`111111111111`	`1111111111111`	`11111111111111`	`111111111111111`	`1111111111111111`	`...`	(단일 숫자 체계)
바이젝티브 베이스 2:	`λ`	`1`	`2`	`11`	`12`	`21`	`22`	`111`	`112`	`121`	`122`	`211`	`212`	`221`	`222`	`1111`	`1112`	`...`
바이너리:	`0`	`1`	`10`	`11`	`100`	`101`	`110`	`111`	`1000`	`1001`	`1010`	`1011`	`1100`	`1101`	`1110`	`1111`	`10000`	`...`
바이젝티브 베이스 3:	`λ`	`1`	`2`	`3`	`11`	`12`	`13`	`21`	`22`	`23`	`31`	`32`	`33`	`111`	`112`	`113`	`121`	`...`
3진수:	`0`	`1`	`2`	`10`	`11`	`12`	`20`	`21`	`22`	`100`	`101`	`102`	`110`	`111`	`112`	`120`	`121`	`...`
바이젝티브 베이스 8:	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`17`	`18`	`...`
8진수:	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`10`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`17`	`20`	`...`
bijectionive base 10:	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`...`
10진수:	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`10`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`...`
bijective 기지 12시	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`C`	`11`	`12`	`13`	`14`	`...`
duodecimal:	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`10`	`11`	`12`	`13`	`14`	`...`
bijective 베이스 16:	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`C`	`D`	`E`	`F`	`G`	`...`
16진수:	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`C`	`D`	`E`	`F`	`10`	`...`

예

34152(bijective base-5에))3×54+4×53+1×52+5×51+2×1=2427(소수에).

119A("A" 자릿수 값 10을 대표하는bijective base-10에))1×103+1×102+9×101+10×1=1200(소수에).

26원소를 가진 전형적인 알파벳 목록, A, B, C...X, Y, Z, AA, AB, AC의 순서를 사용하여bijective은...ZX, ZY, ZZ, AAA, 육군 항공 기지, AAC...

bijectionive base-10 시스템

그bijective base-10 시스템 기반 0을 나타내는 데 숫자를 사용하지 않는다 10위치 숫자 시스템이다.그 대신에 10을 나타내는 데 A와 같은 숫자고 있

예로써 123은"100, 그리고 두 수만에 3을 더하면 단위이다."전통적인 소수와 마찬가지로 각 숫자 위치, 10의 힘을 상징한다.오로진 영이 아닌 자릿수와 재래식 소수(123 같은)에서 표현하는 모든 긍정적인 정수는 0이 없든 같은 대표.그 0을 사용하면, 10이 된 재래식 20이 되1A, 재래식 100이 되9A, 재래식 101이 A1, 재래식 302, 재래식 100099A게 되면2A2이 전통적인 1110년이 되AAA, 재래식 2010년이 되19AA 등입니다. 예를 들면 고쳐 써야 한다.

0이 없는 10진수에서의 덧셈과 곱셈은 기본적으로 기존 10진수와 동일하지만 위치가 9를 초과할 때가 아니라 10을 초과할 때 이항이 발생합니다.따라서 643 + 759를 계산하려면 12개의 단위(오른쪽에서 2를 쓰고 1을 10까지 옮김), 10개의 단위(A를 100까지 옮김), 13개의 100(쓰기 3을 쓰고 1을 수천까지 옮김) 및 1000개의 단위(쓰기 1)가 있어 기존의 1402가 아닌 13A2가 됩니다.

bijectionive base-26 시스템

bijectionive base-26 시스템에서는 1에서 26까지의 26자리 값을 나타내기 위해 라틴 알파벳 문자 "A"에서 "Z"를 사용할 수 있다. (A=1, B=2, C=3, ..., Z=26)

이 표기법을 선택하면 번호 시퀀스(1부터 시작)는 A, B, C, ..., X, Y, Z, AA, AB, AC, ..., AX, AY, AZ, BA, BB, BC, ...로 시작됩니다.

각 자릿수 위치는 26의 거듭제곱을 나타내므로, 예를 들어 숫자 ABC는 베이스 10의 값 1 × 26² + 2 × 26¹ + 3 × 26⁰ = 731을 나타냅니다.

Microsoft Excel을 포함한 많은 스프레드시트는 A, B, C, ..., Z, AA, AB, ..., AZ, BA, ..., ZZ, AAA 등 스프레드시트의 열에 라벨을 할당하기 위해 이 시스템을 사용합니다.예를 들어 Excel 2013에서는 A부터 ^[3]XFD까지 레이블이 지정된 최대 16384개의 열(이진 코드에서는 2개)이¹⁴ 있을 수 있습니다.이 시스템의 변형은 변광성의 이름을 ^[4]붙이는 데 사용됩니다.가능한 한 최단 문자열을 사용하면서 문자를 사용한 체계적인 이름이 필요한 문제에 적용할 수 있습니다.

이력 메모

음이 아닌 모든 정수가 base-k (k 1 1)에서 고유한 표현을 가지고 있다는 사실은 여러 번 재발견된 "포크 정리"이다.초기 예로는 케이스 k = 10의 경우 Foster(1980 ), 모든 k ≤ 1의 경우 Smullyan(1980)과 Böhm(1980)이 있습니다. Smullyan은 논리 시스템에서 기호 문자열의 Gödel 번호를 제공하기 위해 이 시스템을 사용합니다. Böhm은 이러한 표현을 프로그래밍 언어 Pblanguage에서 사용합니다.Knuth(1989)는 k = 10의 특수한 경우를 언급하고, Saloma(1989)는 사례 k 2 2. Forslund(1989)를 또 다른 재발견으로 나타내며, 고대 숫자 시스템이 이 체계에 대한 일반적인 생소함 때문에 고고학 문서에서와 같이 인식되지 않을 수 있다는 가설을 제시한다.

메모들

^ "How many digits are in the bijective base-k numeral for n?". Stackexchange. Retrieved 22 September 2018.
^ Forslund(1995).
^ 를 클릭합니다Harvey, Greg (2013), Excel 2013 For Dummies, John Wiley & Sons, ISBN 9781118550007.
^ 를 클릭합니다Hellier, Coel (2001), "Appendix D: Variable star nomenclature", Cataclysmic Variable Stars - How and Why They Vary, Praxis Books in Astronomy and Space, Springer, p. 197, ISBN 9781852332112.

레퍼런스

를 클릭합니다Böhm, C. (July 1964), "On a family of Turing machines and the related programming language", ICC Bulletin, 3: 191.
를 클릭합니다Forslund, Robert R. (1995), "A logical alternative to the existing positional number system", Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics, 1: 27–29, MR 1386376, S2CID 19010664.
를 클릭합니다Foster, J. E. (1947), "A number system without a zero symbol", Mathematics Magazine, 21 (1): 39–41, doi:10.2307/3029479, JSTOR 3029479.
Knuth, D. E. (1969), The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms (1st ed.), Addison-Wesley, Solution to Exercise 4.1-24, p. 195. (bijectionive base-10에 대해 설명합니다.)
Salomaa, A. (1973), Formal Languages, Academic Press, Note 9.1, pp. 90–91(모든 k 2 2의 base-k에 대해 설명합니다.)
를 클릭합니다Smullyan, R. (1961), "9. Lexicographical ordering; n-adic representation of integers", Theory of Formal Systems, Annals of Mathematics Studies, vol. 47, Princeton University Press, pp. 34–36.

[1] "How many digits are in the bijective base-k numeral for n?". Stackexchange. Retrieved 22 September 2018.

[FOOTNOTEForslund1995-2] Forslund(1995).

[3] 를 클릭합니다Harvey, Greg (2013), Excel 2013 For Dummies, John Wiley & Sons, ISBN 9781118550007.

[4] 를 클릭합니다Hellier, Coel (2001), "Appendix D: Variable star nomenclature", Cataclysmic Variable Stars - How and Why They Vary, Praxis Books in Astronomy and Space, Springer, p. 197, ISBN 9781852332112.

[1]

[2]

[3]

[4]

Search