1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

수학에서 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯는 항이 2의 연속 거듭제곱인 무한급수입니다. 기하급수로서 첫 번째 항인 1과 공통 비율인 2가 특징입니다. 실수의 급수로서 그것은 무한대로 발산하므로, 이 급수의 합은 무한대입니다.

그러나 수학적으로 흥미로운 여러 결과를 얻기 위해 조작할 수 있습니다. 예를 들어, 발산 급수에도 수치를 할당하기 위해 수학에서 많은 합산 방법이 사용됩니다. 예를 들어, 이 시리즈의 라마누잔 합계는 2-아딕 메트릭을 사용하는 시리즈의 한계인 -1입니다.

합산

$1$+ ${\displaystyle 2}$+ ${\displaystyle 4}$+ 8${\displaystyle }$+ ⋯ {\$displaystyle$1+2+4+8$+\$$cdots{\displaystyle \}}$의 부분 합계는 ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle }$7${\displaystyle ,}$15$,$ …; ${\displaystyle 1,$ 3, 7, 15$,\$ldots;}이므로 시리즈도 무한대로 발산됩니다.

∑${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ =$0$∞ 2 n {\$displaystyle$ \sum $_{n$=0$}^{\$infty}2^{n}}라고 적혀 있습니다.

따라서 모든 완전한 규칙적인 합법은 체사로 합과 아벨 합을 포함한 무한의 합을 제공합니다.^[1] $한편$ $1$ + 2${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 4}$+ ${\displaystyle 8}$+ ⋯ {\$displaystyle$1 + 2 + 4 + 8$$+\cdots}를 -1의 유한 값에 합산하는 일반적으로 유용한 방법이 하나 이상 있습니다. 관련 멱급수

수렴 반경이 ${\displaystyle \frac{12}{}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}$ 정도이므로 $x$ = ${\displaystyle 1.}$ {\displaystyle x = 1.$}$그럼에도 불구하고, 이렇게 정의된 함수 $f$ ${\displaystyle f}$는 $점$ x $=$ ${\$$displaystyle$ x $=$ {\$frac {1}{2$}}이 삭제된 복소 평면에 대한 고유한 분석 연속을 가지며, 이는 동일한 규칙 f(x) $=$ 11 -$$2 x . {\displaystyle f(x) $=$ {\frac {1}{1-2x}}로 주어집니다.$}$$f{\displaystyle (1)}$ $=$${\displaystyle }$- $,$ {\$displaystyle$ f(1) $=$ -1,} 원본 시리즈 1 + 2 + 4 + 8 + $⋯$ {\displaystyle 1 + 2 + 4 + 8 +\cdots } 이며, -1은 시리즈의 (E) 합이라고 합니다. (그 표기법은 Leonhard Euler의 발산 급수 접근법과 관련하여 G. H. Hardy에 의한 것입니다.)^[2]

거의 동일한 접근법(Euler 자신이 취한 접근법)은 계수가 모두 1인 멱급수를 고려하는 것입니다. 즉,

$그리고$ y = ${\displaystyle 2.}$ {\displaystyle y = 2.}를 연결합니다.$$ 이 두 급수는 치환 $y$ = ${\displaystyle 2}$ x$.$ {\displaystyle y = $2x$.}로 연관되어 있습니다.

(E) 합이 $1$+ ${\displaystyle 2}$+ ${\displaystyle 4}$+ 8${\displaystyle }$+ ⋯ {\$displaystyle$ 1 + 2 + 4 + 8$$+\cdots}에 유한 값을 할당한다는 사실은 일반적인 방법이 완전히 정규적이지 않다는 것을 보여줍니다. 한편, 안정성과 선형성을 포함한 다른 바람직한 합산 방법의 특성을 가지고 있습니다. 후자의 두 공리는 실제로 다음 조작을 유효하게 하기 때문에 합계가 -1이 되도록 강요합니다.

${\displaystyle {\begin{array}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+16+\cdots \\&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots)\\&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}$

In a useful sense, ${\displaystyle s=\infty }$ is a root of the equation ${\displaystyle s=1+2s.}$ (For example, ${\displaystyle \infty }$ is one of the two fixed points of the Möbius transformation ${\displaystyle z\mapsto 1+2z}$ on the Riemann sphere). $일부$ 합산 방법이$$∞이 아닌 {\$displaystyles$$}({\displaystyle$\infty,}에 대해 일반 숫자를 반환하는 것으로 알려져 있는 경우 쉽게 확인할 수 있습니다. 이 경우 방정식의 양쪽에서 ${\displaystyle$ s$}$을 $빼서$ 0 = 1${\displaystyle }$+$$, $displaystyle$ 0 = 1 + s,} s를 산출할 수 있습니다. {\displaystyle s = -1.}

위의 조작은 충분히 강력한 합산 절차의 맥락을 벗어나 -1을 생성하도록 요구될 수 있습니다. 기본 수렴 개념을 포함하여 가장 잘 알려져 있고 간단한 합 개념에 대해 일련의 양의 항이 음의 값을 가질 수 있다는 것은 터무니없는 일입니다. 발산 기하급수 $1$- 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle 1}$+ ⋯ {\$displaystyle$1-1+$1-1+\$cdots}(그랜디 급수)에서도 유사한 현상이 발생합니다. 여기서 일련의 정수들은 비-정수$$이 $12$인 것으로 보입니다. ${\displaystyle {\frac {$1}{2}}.$}$이러한$$ 예는 $반복$되는${\displaystyle \mathrm{}}$소수점${\displaystyle }$0$.$ … ${\display$0.111\$ldots}$ 및 $가장$ ${\displaystyle \mathrm{현저}}$하게${\displaystyle }$0$.999$ … ${\display$0.$999\$ldots}와 같은 반복되는 소수점에 의해 암시되는 유사한 인수를 시리즈에 적용할 수 있는 잠재적인 위험을 보여줍니다$.$ 인수는 궁극적으로 이러한 수렴 시리즈에 대해 정당화되며, 이는 0.${\displaystyle 111}$…을 의미합니다.${\displaystyle =\frac{19}{}}$ ${\displaystyle 0.111\ldots$= ${\frac {1}{9}}$ 및 0${\displaystyle .999}$…${\displaystyle }$= $,$ {\displaystyle 0.999\ldots${\displaystyle }$= 1,} 하지만 근본적인 증명은 끝없는 합의 해석에 대한 신중한 생각을 요구합니다.

이 급수는 실수와는 다른 수 체계, 즉 2-아딕 수에서 수렴하는 것으로 볼 수도 있습니다. 2-아딕 수열로서 이 수열은 분석적 연속에 의해 위에서 도출된 것과 같은 합인 -1로 수렴합니다.^[5]

참고 항목

• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯
• 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ (그란디 시리즈)
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
• -1을 1+2+4+ ⋯+2인 것처럼 표현하는 음수를 표현하기 위한 데이터 규칙.

메모들

참고문헌

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