국산화(계산 대수)

정류 대수학 및 대수 기하학에서 국산화란 주어진 고리나 모듈에 "거부자"를 도입하는 형식적인 방법이다.즉, 기존 링/모듈 R에서 새로운 링/모듈을 도입하여 분모 s가 R의 주어진 서브셋 S에 속하도록$$ 분모 m $s{\displaystyle \frac{}{}}$, ${\displaystyle {\frac{m}{s}}}}$로 구성된다. S가 적분 영역의 0이 아닌 원소 집합인 경우, 국산화란: 이 경우.$링{\displaystyle \mathbb{}}$ $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 합리적인 숫자로 구성된$$ 링 Q ${\$의 정수를 구성한다.

이 기술은 특히 대수 기하학에서 피복 이론과 자연적인 연계를 제공하므로 근본이 되었다.사실 국산화라는 용어는 대수 기하학 기하학에서 유래한 말로, R이 어떤 기하학적 물체(알지브라질 품종) V에 정의된 함수의 고리이고, 이 품종을 p점 근처에 "로컬하게" 연구하고자 한다면 p에서 0이 아닌 모든 함수의 집합 S를 고려하고 S에 관해서 R을 국소화한다.결과 링 $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ S$^{-1}R}$은 p에 가까운 V의 동작에 대한 정보를 포함하며$$, V 외부에 있는 기능의 0(c.f. 로컬 링에서 주어진 예)과 같이 "로컬"이 아닌 정보는 제외한다.

링의 국소화

승법적으로 닫힌 집합 S에 의한 정류 링 R의 국소화는 새로운 링 S${\displaystyle {}^{}}$- $1{\displaystyle {}^{}}$ (\$displaystyle$ S$^{-1}R)$이며, 요소는$$ R에 분자와 S에 분모가 있는 분수이다.

링이 필수 영역인 경우, 구조는 분수 영역, 특히 정수의 분수 영역으로서 합리적인 숫자의 영역을 일반화하고 밀접하게 따른다.디비저가 0인 고리의 경우 구조는 비슷하지만 더 많은 주의가 필요하다.

승수 집합

국산화란 일반적으로 링 R의 원소 중 승법적으로 닫힌 집합 S(승법 집합 또는 승법계라고도 함)에 관하여 행하며, 이는 곱셈으로 닫힌 R의 부분집합이며 1을 포함한다.

S가 반드시 승수 집합이어야 한다는 요건은 국산화에서 도입한 모든 분모가 S에 속함을 내포하고 있기 때문에 당연한 것이다.다중적으로 닫히지 않는 세트 U에 의한 국산화도 가능한 모든 U 원소의 제품을 분모로 하여 정의할 수 있다. 다만, 동일한 국산화도 U의 모든 원소의 곱셈적으로 닫힌 세트 S를 사용하여 얻는다. 이것이 종종 추론과 표기법을 단순화시키므로, 다음과 같은 표준관행이 된다.승수 집합에 의한 지역화만 고려한다.

예를 들어, 단일 요소에 의한 국산화에서는 $s{\displaystyle \frac{}{},}$ ${\displaystyle${\$tfrac {a}{$${\displaystyle {}^{}}$$}}},$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{그러나<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \{\backslash tfrac\; \{a\}\{s\}\},\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0f2becb58b6b4d3620a17b7dafb05db37af5d34f"\; style="vertical-align:\; -1.005ex;\; width:2.353ex;\; height:3.009ex;"\; papago-attr-id="70">}}{}}$${\displaystyle }$b s 2 . ${\displaystyle$${\displaystyle {}^{}}$$2}}}}}$과 ${\displaystyle {같은\mathrm{}}^{}}$ 분수의 곱셈 집합에 속하게 된다${\displaystyle .}$$$s의$$힘을$$ \\$displaystyle \{1,s,s^{$2},$s^{3$},\ldots $\}}.$따라서 일반적으로 '소자에 의한 국산화'보다는 '소자의 힘에 의한 국산화'를 이야기한다.

The localization of a ring R by a multiplicative set S is generally denoted ${\displaystyle S^{-1}R,}$ but other notations are commonly used in some special cases: if ${\displaystyle S=\{1,t,t^{2},\ldots \}}$ consists of the powers of a single element, ${\displaystyle S^{-1}R}$is often denoted ${\displaystyle R_{t};}$ if ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ is the complement of a prime ideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, then ${\displaystyle S^{-1}R}$ is denoted ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.$$}$

이 글의 나머지 부분에서는 승수 집합에 의한 국소화만 고려한다.

통합 도메인

링 R이 통합 도메인이고 S가 0을 포함하지 않는 경우 링 $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ $[\displaystyle$ S$^{-1}R}$은 R 분수 영역의 하위 링이다$$.

More precisely, it is the subring of the field of fractions of R, that consists of the fractions ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}}$ such that ${\displaystyle s\in S.}$ This is a subring since the sum ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}+{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {at+bs}{st$$}},}$ and the product ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}\,{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {ab}{st}}}$ of two elements of ${\displaystyle S^{-1}R}$ are in ${\displaystyle S^{-1}R.}$$$ This results from the defining property of a multiplicative set, which implies also that ${\displaystyle 1={\tfrac {1}{1}}\in S^{-1}R.}$ In this case, R is a subring of ${\displaystyle S^{-1}R.}$ It is shown below that this is no longer true in general, typically when S contains zero divisors.

예를 들어, 소수 분수는 10의 힘을 곱한 집합에 의한 정수 링의 국산화다.이 경우 $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ S$^{-1}R}$은(는) n ${\displaystyle \frac{{10}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{k^{}}{}}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{10^{k}}}}($으)로 쓸 수 있는 합리적인 숫자로 구성되며$$, 여기서$$ n은 정수, k는 음이 아닌 정수다.

일반건설

일반적인 경우, 구분점이 0인 경우 문제가 발생한다.S를 정류 링 R에 있는 승법 집합으로 하자.If ${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}}$ is the image in ${\displaystyle S^{-1}R}$ of ${\displaystyle a\in R,}$ and if as = 0 with ${\displaystyle s\in S,}$ then one must have ${\displaystyle {\tfrac {0}{s}}={\tfrac {as}{s}}={\tfrac {a}{1}},}$ a그리고 따라서 R의 일부 비제로 $요소$는${\displaystyle {}^{}}$S - 1 ${\displaystyle {}^{}.}$ ${\displaystyle$ S$^{-1}$에서 0이어야 한다$.$$$ 이어지는 공사는 이를 감안하여 설계되었다.

Given R and S as above, one considers the equivalence relation on ${\displaystyle R\times S}$ that is defined by ${\displaystyle (r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})}$ if there exists a ${\displaystyle t\in S}$ such that ${\displ$$aystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1}=0.$$}$

국산화 $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$S^{-1$}R}$은(는) 이 관계에 대한 동등성 등급 집합으로 정의된다$$.The class of (r, s) is denoted as ${\displaystyle {\frac {r}{s}},}$ ${\displaystyle r/s,}$ or ${\displaystyle s^{-1}r.}$ So, one has ${\displaystyle {\tfrac {r_{1}}{s_{1}}}={\tfrac {r_{2}}{s_{2}}}}$ if and only if there is a ${\displa$$ystyle t\in S$${\displaystyle {}_{}}$s$$ 1${\displaystyle }r{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ - ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}{}_{}}$1 ) = $.$ $displaystyle$ t$($$s_{1}r_{$2}-$s_{$2}$r_{1$}}=$0.$$}$

로컬리제이션 $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ S$^{-1}R}$은(는) 추가된 정류 링입니다$$.

${\displaystyle {\frac {r_{1}:{1}:{1}+{1}{{1}{1}{1}:{n2}}:}={\frac {r_{1}s_{2}+r_{1}s_{1}:{1}:{1}}}}}}},}$

곱하기

${\displaystyle {\frac{r_{1}:{1}:{1}\,{\frac {r_{2}}:}={\frac {r_{1}r_{2}}:{s_{1}s_{2}}:}},}$

가법 ID 0 ${\displaystyle \frac{1}{}}$,${\displaystyle {\tfrac {0}{1$}, 및$$ 승법 $ID{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$. ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}.$$}$

함수

${\displaystyle r\mapsto {\frac {r}{1}}$

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에서 $S{\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\displaystyle {}^{},}$ ${\displaystyle S^{-1}R$로 링 동형성을 정의하며, 이는$$ S가 0점수를 포함하지 않는 경우에만 주입된다.

$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle 0\in$ S$,}$인 경우 $S{\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$은 0을 고유한 요소로 갖는 제로 링이다.

S가 모든 R의 정규 원소(영점 분수가 아닌 원소)의 집합이라면, $S{\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$을(를) R의 분수 총 링이라고 한다.

보편적 재산

(정의된 위) 링 동형상 $j{\displaystyle }$: ${\displaystyle R}$→ ${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\displaystyle {}^{}}$ $(\displaystyle j\colon R\to$ S$^{-1}R}$는 아래에 설명된 범용 특성을 만족한다$$.$이것$은 S${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ S$^{-1}R}$을(를) 이형성까지 특징짓는다.따라서 지역화의 모든 속성은 구성된 방식과 독립적으로 보편적 속성에서 추론할 수 있다.더욱이, 국산화라는 많은 중요한 특성들은 보편적 특성의 일반적 특성에서 쉽게 추론되는 반면, 그들의 직접적인 증거는 기술적이고 직설적이며 지루할 수 있다.

The universal property satisfied by ${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$ is the following: if ${\displaystyle f\colon R\to T}$ is a ring homomorphism that maps every element of S to a unit (invertible element) in T, there exists a unique ring homomorphism ${\displaystyle g\colon$$S{\displaystyle }$$^{-1}$${\displaystyle R}$$\to T}($f$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \circ }$ j${\displaystyle }$. ${\displaystyle f=g\circle$ j$.})$와 같은 경우

카테고리 이론을 이용하여, 지역화는 망각적인 펑터에게 보조를 맞추는 펑터라고 말함으로써 이것을 표현할 수 있다.더 정확히 말하면, $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$과 D ${\$을(를) 각각 곱셈 세미그룹이나 링 단위 그룹의 하위노이드인 범주로 한다$$.이러한 범주의 형태는 첫 번째 물체의 서브모노이드와 두 번째 물체의 서브모노이드 사이를 매핑하는 고리 동형성이다.마지막으로 $F{\displaystyle \mathcal{}}$: ${\displaystyle D\mathcal{}}$→ C ${\$ {\$mathcal {C}}$을(를) 쌍의 두 번째 원소의 원소가 되돌릴 수 없다는 것을 잊어버리는 건망증이 심한 functor가 되게$$ 한다.

그런 다음 범용 속성의 $요인화$${\displaystyle }$f = ${\displaystyle g}${$$j {\$displaystyle f=g$\circle j$}$이(가) 편차를 정의한다.

${\displaystyle \hom_{\mathcal {C}(R,S),{\mathcal {F}(T,U)\to \hom_{\mathcal {D}(S^{-1}R,j(S), (T,U))}}$

이것은 보편적인 속성을 표현하는 다소 까다로운 방법처럼 보일 수도 있지만, 좌뇌와 부교감 두 명의 구성이 좌뇌 부교감이라는 사실을 이용하여 쉽게 많은 속성을 보여주는 데 유용하다.

예

• If ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ is the ring of integers, and ${\displaystyle S=\mathbb {Z} \setminus \{0\},}$ then ${\displaystyle S^{-1}R}$ is the field ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ of the rational numbers.
• R이 통합 도메인이고,${\displaystyle }S{\displaystyle }$ = ${\displaystyle R\{}$ { ${\displaystyle 0\},}${\$displaystyle$S=$R\setminus$\{$0\}},$${\displaystyle {\mathrm{S}}^{}}$ - 1 R ${\displaystyle S^{-1}R}$이(가) R의 분수 영역이다.앞의 예는 이 경우의 특수한 경우다.
• R이 정류 링이고 S가 0점수가 아닌 원소의 부분 집합이라면,${\displaystyle {}^{}}S{\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\디스플레이 스타일$ S$^{-1}R}$은 R 분수의 총 링이다.이 경우 S는 $동형상{\displaystyle }$ R${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{R}}^{}}$ ${\displaystyle$ R$\to S^{-1}R}$가 주입될$$ 정도로 가장 큰 승법 집합이다.앞의 예는 이 경우의 특수한 경우다.
• If x is an element of a commutative ring R and ${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},\ldots \},}$ then ${\displaystyle S^{-1}R}$ can be identified (is canonically isomorphic to) ${\displaystyle R[x^{-1}]=R[s]/(xs-1).$$}}($증거는 이 링이 위의 보편적 특성을 만족한다는 것을 보여주는 것으로 구성된다.)이러한 종류의 지역화는 우호적인 계획의 정의에 근본적인 역할을 한다.
• $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) 정류 링 R의 프라임 이상이라면, R에 있는$$ $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle$ $S=R=setminus${\$mathfrak{p}}$의 $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \setminus }$ p = ${\displaystyle R\mathfrak{}}$=R$\mathfak{p$}}}}을 보완하는 집합은 승법이다.링 $S{\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$은(는) 일반적으로 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$, ${\displaystyle R_{\mathfrak{p}}}$로 표기되는 로컬 링이며, $p$. ${\displaystyle {\mathfak {p}$에서 R의 로컬 링이라고 불린다.$$ 이러한 종류의 국소화는 역학대수학에서 기본이다. 왜냐하면 역학반지의 많은 특성들은 국소 링에서 읽을 수 있기 때문이다.그런 재산을 흔히 지방재산이라고 부른다.예를 들어, 링은 모든 지역 링이 규칙적인 경우에만 규칙적이다.

링 속성

국산화란 유용한 속성이 많은 풍부한 건축물이다.이 절에서는 링과 단일 국산화 관련 속성만 고려한다.이상, 모듈 또는 몇 개의 승법 집합에 관한 특성은 다른 절에서 고려된다.

• ${\displaystyle {}^{}}$S$$${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ S$^{-1}R=0}($S에 0이 포함된 경우)
• 링 동형성 $R{\displaystyle }$→ S${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ R ${\displaystyle R\to S^{-1}R}$은 S가 0점수를 포함하지 않는 경우에만 주입된다$$.
• 링 동형성 $R{\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{R}}^{}}$ ${\displaystyle R\to S^{-1}R}$은 링의 범주에 있는 에피모형성으로, 일반적으로$$ 굴절적이지 않다.
• 링 $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$은(는) 플랫 R-모듈이다(자세한 내용은 § 모듈의 국산화 참조).
• If ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ is the complement of a prime ideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, then ${\displaystyle S^{-1}R,}$ denoted ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$ is a local ring; that is, it has only one maximal ideal.

다른 섹션에서 이동할 속성

• 국산화란 유한 금액, 제품, 교차점 및 급진성의 형태로 통용된다.^[1] 예를 들어, $I{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\${\$sqrt{I}}$이(가) R에서 이상 I의 급진성을 나타내는$$ 경우, 그 다음

${\displaystyle {\sqrt{I}\cdot S^{-1}R={\sqrt {I\cdot S^{-1}R}\,.}$

특히 R은 전체 분율 링이 감소할 경우에만 감소한다.^[2]

• R은 분수 K의 필드와 일체형 영역이 되게 하라.그런 다음 프라임 $이상적{\displaystyle \mathfrak{}}$ p ${\$에서 국산화 ${\displaystyle {R\mathfrak{}}_{}}$ p${\$ {\mathfrak{p$}}}}$을(를) K의 서브링으로$$ 볼 수 있다.게다가

${\displaystyle R=\bigcap_{\mathfrak{p}R_{\mathfrak{p}}\bigcap_{\mathfrak{m}}}$

첫 번째 교차점이 모든 주요 이상 위에 있고 두 번째 교차점이 최대 이상 위에 있다.^[3]

• SR의⁻¹ 프라임 이상 집합과 S를 교차하지 않는 R의 프라임 이상 집합 사이에는 편견이 있다.이러한 편향은 주어진 동형상 R → SR에 ⁻¹ 의해 유도된다.

승수 집합의 포화도

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S\subseteq R}$을(를) 승수 집합으로$$ 한다.$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 포화 $S{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$이(가) 설정됨$$

${\displaystyle {\hat{S}=\{r\in R\colon \exists s\in R,rs\in S\}.}$

곱셈 집합 S는 포화도가 같을 경우, 즉 $S{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$= S ${\displaystyle {\s}=S}$ 또는$$동등하게 r ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle rs\in S}$이(가) r과 s에 있음을 의미할$$ 경우 포화 상태가 된다.

If S is not saturated, and ${\displaystyle rs\in S,}$ then ${\displaystyle {\frac {s}{rs}}}$ is a multiplicative inverse of the image of r in ${\displaystyle S^{-1}R.}$ So, the images of the elements of ${\displaystyle {\hat {S}}}$ are all invertible in ${\disp$$레이스타일 S^{-1}$${\displaystyle {}^{}}$$,}$ 및$$ 범용 속성은 $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ R ${\displaystyle S^{-1}R}$과 $S{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ -${\displaystyle {}^{}{}^{}}$1 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\\s}}{\hat{}^{}^{-1}$R$$}은 시론적으로 이형성이며, 즉 R 원소의 이미지를 수정하는 고유한 이형성이 있음을 암시한다.

If S and T are two multiplicative sets, then ${\displaystyle S^{-1}R}$ and ${\displaystyle T^{-1}R}$ are isomorphic if and only if they have the same saturation, or, equivalently, if s belongs to one of the multiplicative set, then there exists ${\displaystyle t\in R}$ such that st belongs to the other

포화 승법 세트는 포화 상태인지 확인하려면 링의 모든 단위를 알아야 하기 때문에, 포화 승법 세트는 널리 사용되지 않는다.

문맥으로 설명되는 용어

국산화라는 용어는 기하학적, 위상학적 사물을 국소적으로 연구하려는 현대 수학의 일반적인 경향에서 유래한다. 그것은 각각의 지점 주변의 그들의 행동에 관한 것이다.이러한 경향의 예로는 다지관, 세균, 피복 등의 기본개념이 있다.대수 기하학에서 아핀 대수학 집합은 다항식 링의 인용 고리로 식별할 수 있으며, 대수 집합의 지점이 링의 최대 이상에 해당된다(힐버트의 Nullstellensatz이다).이 대응은 대화형 링의 주요 이상을 자리스키 위상이 장착된 위상학적 공간으로 만들기 위해 일반화되었다. 위상학적 공간을 링의 스펙트럼이라고 부른다.

이러한 맥락에서, 승법 집합에 의한 국산화(localization)는 승법 집합과 교차하지 않는 원시 이상(점으로 보기)의 하위 공간에 대한 링의 스펙트럼의 제한으로 볼 수 있다.

두 가지 유형의 지역화가 더 일반적으로 고려된다.

• 곱셈 집합은 링 R의 프라임 $이상적{\displaystyle \mathfrak{}}$ p ${\${\$mathfrak{p}}$의 보완물이다.이 경우 $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ 또는 "point에서의 현지화"를 말한다.$R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {p\mathfrak{}}_{}}$ ${\$로 표시된 결과 링은 국소 링이며, 세균 링의 대수적 유사성이다.
• 승법 집합은 R 링의 원소 t의 모든 힘으로 구성된다.결과 링은 일반적으로 ${\displaystyle R_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle R_{t}}$로 표시되며$$, 그 스펙트럼은 t를 포함하지 않는 주요 이상들의 Zariski 열린 집합이다.따라서 국산화란 한 지점 부근에 대한 위상학적 공간의 제한(모든 주요 이상은 이러한 형태의 자리스키 오픈 세트로 구성된 인접 기반을 가지고 있다)을 비유한 것이다.

숫자 이론과 대수적 위상에서, 정수의 $링{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$에 대해 작업할 때, 고려되는 국산화 여부에 따라 n에서 참 또는 n에서 떨어진 속성으로 정수 n에 상대적인 속성을 가리킨다."Away from n"은 n의 힘에 의해 국산화 후 그 속성을 고려한다는 뜻이고, p가 prime number인 경우 p에서 p는 prime 이상 ${\displaystyle p\mathbb{}}$ Z$[\$에서 국산화 후 그 속성을 고려한다는 뜻$.$ p가 p가 prime이면 lo의 non primprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimef$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$칼리징은 싱글톤 집합 {p}이거나 소수점 집합의 보완물이다.

이상에 대한 국산화 및 포화

S를 정류 링 R에 있는 승수 집합으로 하고, $j{\displaystyle }$: R${\displaystyle }$→ ${\displaystyle S{}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ R ${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$은 표준 링 동형상이다.R에서 이상적인 I이 주어진 경우, $분자$가 I인 S$$ -${\displaystyle {}^{}}$1 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ S$^{-1}I$에 있는 $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ R ${\displaystyle$ S$^{-1}R}$의 분수 세트를$$허용한다.이것은 $J{\displaystyle {}^{}}$(I)가 생성하여 I by S의 국산화라고 하는 S${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle$ S$^{-1}R$의 이상이다.

The saturation of I by S is ${\displaystyle j^{-1}(S^{-1}I);}$ it is an ideal of R, which can also defined as the set of the elements ${\displaystyle r\in R}$ such that there exists ${\displaystyle s\in S}$ with ${\displaystyle sr\in I.}$

이상의 많은 성질은 포화상태와 국산화상태로 보존되거나 국산화, 포화상태의 단순한 성질로 특징지어질 수 있다.In what follows, S is a multiplicative set in a ring R, and I and J are ideals of R; the saturation of an ideal I by a multiplicative set S is denoted ${\displaystyle \operatorname {sat} _{S}(I),}$ or, when the multiplicative set S is clear from the context, ${\displaystyle \operatorname {sat} (I).$$}$

• ${\displaystyle 1\in S^{-1}I\quad \iff \quad 1\in \operatorname {sat}(I)\quad \quad S\cap I\neq \emptysset }}$
• ${\displaystyle I\subseteq J\quad \implies \quadies \squad \subseteq S^{-1}I\subseteq S^{1}J\quad \\\\text{and}\quad \operatorname {sat}\seteq \sat}(J)}}$
  (엄격한 포함의 경우 항상 해당되지 않음)
• ${\displaystyle S^{-1}(I\cap J)=S^{-1}I\cap S^{-1}J,\qquad \,\operatorname {sat}(I\cap J)=\cap \operatorname {sat}(J)}$
• ${\displaystyle S^{-1}(I+J)=S^{-1}I+S^{-1J,\qquad \operatorname {sat}(I+J)=\operatorname {sat}(I)+\operatorname {sat}(J)}$
• ${\displaystyle S^{-1}(I\cdot J)=S^{-1}I\cdot S^{-1}J,\qqqad \quad \quad \operatorname {sat}=\cdot \operatorname {sat}(I)\cdot \operatorname {sat}(J)}(J)}}}$
• If ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ is a prime ideal such that ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset ,}$ then ${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}}$ is a prime ideal and ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})}$; if the in테르섹션이 비어 있지 않은 $경우{\displaystyle {}^{}{}^{}}$ - ${\displaystyle {}^{}\mathfrak{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= S${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ R ${\displaystyle$ S$^{-1}{\mathfrak{p}{p$}}{\mathfrak {{$p}}}}}$ 및 sat(p )$$=${\displaystyle R.}$ ${\displaysty \operatorname {sat}({\mathfrak {p)=R$)=R)=R$$$).$$}$

모듈의 국산화

R을 정류 링으로 하고, S를 R로 하는 승수 세트로 하고, M을 R-모듈로 한다.SM으로⁻¹ 표기된 M by S 모듈의 국산화(localization)는 분수의 숫자가 M에 속하는 것을 제외하고 R의 국산화(localization)로 정확히 구성된 SR모듈이다⁻¹.That is, as a set, it consists of equivalence classes, denoted ${\displaystyle {\frac {m}{s}}}$, of pairs (m, s), where ${\displaystyle m\in M}$ and ${\displaystyle s\in S,}$ and two pairs (m, s) and (n, t) are equivalent if there is an element u in S such that

$u(sn-tm)=0.}$

덧셈과 스칼라 곱셈은 통상적인 분수에 대해 정의된다($다음{\displaystyle }$ 공식에서, r${\displaystyle }$r ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle$ r$\in$ R$,}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle s,t\in$ $S$$,},$ $m$ , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle$ m$,n\in$}).$$

${\displaystyle {\frac {m}{s}}+{\frac {n}{t}}={\frac {tm+sn}{st}},}$

${\displaystyle {\frac {r}{s}}{\frac {m}{t}={\frac {rm}{st}}}}.}$

게다가 SM은⁻¹ 또한 스칼라 곱셈이 있는 R모듈이다.

${\displaystyle r\,{\frac {m}{s}}={\frac {r}{1}{1}:{\frac {m}}={\frac {rm}{s}}}.}$

이러한 운영이 잘 정의되어 있는지, 즉 분수의 대표자 선택에 따라 동일한 결과를 제공하는지 확인하는 것은 간단하다.

모듈의 국산화 방법은 텐서 제품을 사용하여 동등하게 정의할 수 있다.

${\displaystyle S^{-1}M=S^{-1}R\otimes _{R}M.}$

등가성 증명(규범적 이형성까지)은 두 정의가 동일한 보편적 특성을 만족한다는 것을 보여줌으로써 할 수 있다.

모듈 속성

If M is a submodule of an R-module N, and S is a multiplicative set in R, one has ${\displaystyle S^{-1}M\subseteq S^{-1}N.}$ This implies that, if ${\displaystyle f\colon M\to N}$ is an injective module homomorphism, then

${\displaystyle S^{-1}R\otimes _{R}f:\quad S^{-1}R\otimes _{R}M\to S^{-1}R\otime _{R}N}$

주입식 동형질이기도 하다.

텐서 제품은 정확한 functor이므로, 이는 S에 의한 국산화에서는 정확한 R-module 시퀀스를 $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ $[\displaystyle S^{-1}R}$ - module의$$ 정확한 시퀀스에 매핑한다는 것을 의미한다.${\displaystyle {}^{}}$ 국산화란 정확한 functor이며, $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ R ${\displaystyle$ S$^{-1}R}$은 평판 R-모듈이다.

이러한 평면성과 국산화에서 보편적 특성이 해결된다는 사실은 국산화에서 모듈이나 링의 많은 속성을 보존하고 있으며, 다른 보편적 특성의 솔루션과도 호환된다는 것을 의미한다.예를 들어, 자연도

${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)\to S^{S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$

이소모르프다.$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 정밀하게 표시된 모듈이면 자연도

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Hom} _{R}(M,N)\to \operatorname {Hom} _{S^{-1}R}(S^{-1}M,S^{-1}N)}$

또한 이소모르프다.^[4]

모듈 M이 R에서 정밀하게 생성되면

${\displaystyle S^{-1}(\operatorname {Ann} _{R}(M)=\operatorname {Ann} _{S^{1}R}(S^{-1}M),}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{Ann}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ann}은($는) 모듈의 모든 요소를 0으로 매핑하는 링의 요소 중 이상적 요소를 의미한다$$.^[5]특히.

${\displaystyle S^{-1}M=0\quad \iff \quad S\cap \operatorname {Ann} _{R}(M)\neq \emptyset ,}$

${\displaystyle 즉}$, 일부 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ S${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ $tM=0}$에 대해$$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ t. {\displaystyle $t.\in$ S$.}$인 경우

현지화 시간(Premimes)

프라임 이상형의 정의는 R에 ${\displaystyle 있는\mathfrak{}}$$$ 프라임 $이상형{\displaystyle \mathfrak{}}$ p ${\displaystyle$ $S=R\setminus {\$$mathfrak{p}}$의 보완형 $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \setminus }$ p ${\$ S=R\setminus {\$mathfrak{p}}}}}$이 곱셈형 집합임을 즉시 암시한다.이 경우 로컬리제이션 $S{\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$은(는) 일반적으로 ${\displaystyle {R\mathfrak{}}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}($으)로 표시된다.$$ 링 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {p\mathfrak{}}_{}}$ ${\$은(는) 로컬 링으로$$, $.$ {\$displaystyle${\$mathfrak {p}}$에서 R의 로컬 링이라고 한다.$$ 즉, $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle R_{}}$= ${\displaystyle p\mathfrak{}}$ ${\displaystyle \otimes {}_{}}$ ${\displaystyle {R\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\$은 링 ${\displaystyle {R\mathfrak{}}_{}}$.${\displaystystyle R_{p}$$의 고유$한 최대 이상이다.$}$

그러한 국소화는 여러 가지 이유로 정류 대수학 및 대수 기하학에서 기본이다.하나는 특히 나카야마 보조마 때문에 국소고리가 일반 교감반지보다 공부하기 쉬운 경우가 많다는 점이다.그러나, 주된 이유는 많은 특성들이 반지의 모든 지역적 반지에 대해 사실일 경우에만 사실이기 때문이다.예를 들어, 링은 모든 해당 지역 링이 일반 로컬 링인 경우에만 일반 링이다.

국소고리에 특징지을 수 있는 고리의 성질을 국소적 성질이라고 하며, 흔히 대수적 품종의 기하학적 국소적 특성의 대수적 상대물로서, 각 품종의 작은 근방에 대한 제한에 의해 연구할 수 있는 성질이다.(국소적 특성의 개념은 다른 개념으로 되어 있다.Zariski 오픈 세트로 로컬리제이션(localization to Zariski open set)에 대한 fer. 아래 § Localization to Zariski 오픈 세트 참조)

많은 지역적 특성은 모듈이

${\displaystyle \bigoplus _{\mathfrak{p}R_{\mathfrak {p}}$

모든 주요 이상(또는 R의 모든 최대 이상)을 직접 합한 경우 충실하게 평평한 모듈이다.또한 충실하게 평평한 하강을 참조하십시오.

로컬 속성의 예

R-모듈 M의 속성 P는 다음과 같은 조건이 동일하다면 국부적 속성이다.

• P는 M을 붙들고 있다.
• $P$는 ${\displaystyle {모든}_{}}$M p$$, {\$displaystyle$M_{\$mathfrak{p},}$에 대해 유지되며, $여기$서 p ${\$은(는) R의 주요 이상이다$$.
• $P$는 ${\displaystyle {모든}_{}}$M$$, {\$displaystyle$M_{\$mathfrak{m},}$에 대해 유지되며, $여기$서 m ${\$mathfrak{$m}}$은 R의 최대 이상이다$$.

다음은 로컬 속성:

• M은 0이다.
• M은 비틀림이 없다(R이 역행 영역인 경우).
• M은 평평한 모듈이다.
• M은 변위할 수 있는 모듈이다(R이 정류 영역인 경우, M은 R의 분수 영역의 하위 모듈이다).
• ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f\colon M\to$ N$}$은 주입성(resp. exjective)이며$$ 여기서 N은 또 다른 R-모듈이다.

반면 일부 속성은 국부 속성이 아니다.예를 들어, 필드의 무한 직접 생산물은 일체형 도메인이나 노메트리안 링이 아니며, 반면 모든 로컬 링은 필드, 따라서 노메트리안 일체형 도메인이다.

Zariski 오픈 세트로 현지화

이 구간은 비어 있다.덧셈으로 도움도 된다(2021년 4월)

비확정 사례

비상품적 고리의 현지화는 더 어렵다.국산화 기능은 잠재 단위의 모든 S 세트에 대해 존재하지만 위에서 설명한 것과 다른 형태를 취할 수 있다.현지화가 잘 이루어지도록 보장하는 한 가지 조건은 Ore 조건이다.

지역화가 명확한 관심을 갖는 비상품적 링의 한 가지 사례는 차등 운영자의 링에 관한 것이다.예를 들어, 분화 연산자 D에 대해 형식 역 D를⁻¹ 결합한다는 해석이 있다.이것은 미분 방정식의 방법에서 많은 맥락에서 행해진다.현재 그것에 관한 큰 수학 이론이 있는데, 마이크로 국소화라는 이름으로, 다른 수많은 가지들과 연결된다.마이크로 태그는 특히 푸리에 이론과의 연결과 관련이 있다.

참고 항목

• 국부분석
• 범주의 지역화
• 위상학적 공간의 국산화

참조

외부 링크

• MathWorld의 지역화.