감마 행렬

In mathematical physics, the gamma matrices, ${\displaystyle \left\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right\}}$, also known as the Dirac matrices, are a set of conventional matrices with specific anticommutation relations that ensure they generate a matrix representation of the Clifforder Cl_1,3(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ ) 또한 고차원 감마 행렬을 정의할 수도 있다. 민코프스키 공간에서 반향 벡터에 대한 직교 기준 벡터 세트의 작용 행렬로 해석될 때 행렬이 작용하는 기둥 벡터는 스피너의 공간이 되고, 그 위에 스페이스타임의 클리포드 대수학이 작용한다. 이것은 차례로 극소수의 공간 회전과 로렌츠 부스트를 나타내는 것을 가능하게 한다. 스피너는 일반적으로 스페이스타임 연산을 용이하게 하며, 특히 상대론적 스핀-1/2 입자에 대한 디락 방정식의 기본이다.

디락 표현에서 4개의 반대편 감마 행렬은

${\displaystyle{\begin{정렬}\gamma ^{0}&, ={\begin{pmatrix}1&, 0&, 0&, 0\\0&, 1&, 0&, 0\\0&, 0&, -1&, 0\\0&, 0&, 0&, -1\end{pmatrix}},&, \gamma ^{1}&, ={\begin{pmatrix}0&, 0&, 0&, 1\\0&, 0&, 1&, 0\\0&, -1&, 0&, 0\\-1&, 0&, 0&, 0\end{pmatrix}},\\\\\gamma ^{2}&, ={\begin{pmatrix}0&, 0&0.&-i\\0&, 0&, i&, 0\\0&, i&, 0&, 0\\-i&, 0&, 0&, 0\end{pmatrix}},&, \gamma ^{3}&, ={\begin{pmatrix}0&, 0&, 1&, 0\\0&, 0&, 0&, -1\\-1&, 0&, 0&, 0\\0&, 1&, 0&, 0\end{pmatrix}.\end{aigned}}}$

${\displaystyle {\gamma }^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$는 시간과 같은 은둔의 행렬이다. 나머지 3개는 우주와 같은 반헤르미티아 행렬이다. More compactly, ${\displaystyle \gamma ^{0}=\sigma ^{3}\otimes I}$, and ${\displaystyle \gamma ^{j}=i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{j}}$, where ${\displaystyle \otimes }$ denotes the Kronecker product and the ${\displaystyle \sigma ^{j}}$ (for j = 1, 2, 3) denote the Pauli 행렬.

감마 행렬은 어떤 차원에서든 메트릭의 서명에 대해 그룹의 모든 행렬 표현에 의해 공유되는 그룹 구조인 감마 그룹을 가지고 있다. 예를 들어, Pauli 행렬은 유클리드 서명(3, 0)의 미터법을 가진 치수 3의 "감마" 행렬 집합이다. 5개의 시간 간격 치수에서, 위에 있는 4개의 감마(감마)와 아래에 제시된 5번째 감마(감마) 매트릭스는 클리포드 대수를 생성한다.

수학적 구조

클리포드 대수 생성을 위한 감마 행렬의 정의 속성은 반공관계다.

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu }}}\gamma ^{\nu }\nu }+\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu \i_{\nu }}}}}}, {\nu \nu \nu \nu }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서${\displaystyle }${${\displaystyle }$, } ${\displaystyle \{,\}}$은(는) 안티코무터,$$ {\$displaystyle \eta ^{\mu \nu}}}}$은(는) 시그니처(+ - - - - -), $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 4 ID 매트릭스이다.

이 정의 속성은 감마 행렬의 특정 표현에 사용되는 숫자 값보다 더 근본적이다. 공변량 감마 행렬은 다음을 통해 정의된다.

${\displaystyle \cHB_{\mu }=\eta _{\mu \nu }\nu }}=\nu }\{0}},-\nu ^{0},-\nu ^{1},-\nu ^{3}\right\},},}$

그리고 아인슈타인 표기법을 가정한다.

메트릭에 대한 다른 기호 규칙(- + + + +)에는 다음 정의 방정식의 변경이 필요하다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu }}\gamma ^{\nu }}\right\}=-2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}}}}}}$

$또는{\displaystyle }$ i ${\displaystyle i}$이(가) 모든 감마 행렬의 곱하기$.$ 이 값은 물론 아래에 자세히 설명되어 있는 은둔성 특성을 변경한다. 메트릭에 대한 대체 기호 규칙에 따라 공변량 감마 행렬은 다음으로 정의된다.

${\displaystyle \property \data _{\mu \nu }\nu }\nu }}=\nu }}{0},+\nu ^{0},+\nump ^{1},+\nump ^{3}\right\}.}$

물리적 구조

그 클리퍼드 대수 Cl1,3(R{\displaystyle \mathbb{R}})수 있게 V에 실선형 사업자의 V에서 그 자신에게 세트 End(V), 또는 더 일반적으로 말해서, 때 Cl1,3(R{\displaystyle \mathbb{R}})C로 complexified{\displaystyle \mathbb{C}}로, 선형 사업자의 4차원 com에서 집합으로 간주될 수 있다.자체에 Plex 벡터 공간. 보다 간단히 말해, V에 대한 근거를 제시하면, Cl_1,3(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$_{${\displaystyle \mathbb {C} }$} )은 4×4 복잡한 행렬의 집합에 불과하지만 클리포드 대수 구조를 지니고 있다. 스페이스타임은 밍코프스키 측정기준 η으로_μν 부여된 것으로 가정한다. 또한 로렌츠 그룹의 비스파이너 표현으로 부여된 스페이스타임의 모든 지점에서 비스파이너 공간 U도_x 가정한다. Spacetime의 임의 지점 x에서 평가된 Dirac 방정식의 비스파이너 필드 Ⅱ는 U의_x 요소들이다(아래 참조). 클리포드 대수학은 U에도_x 작용하는 것으로 가정한다(모든 x에 대해 컬럼 벡터 Ⅱ(x)를_x U로 하는 행렬 곱셈에 의해서). 이것은 이 섹션의 Cl_1,3(${\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {R}$ $\}$_{${\displaystyle \mathbb {C} }$} ) 요소에 대한 기본 뷰가 될 것이다.

U의_x 각 선형 변환 S에 대해, Cl_1,3(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$_{${\displaystyle \mathbb {C} }$})에서_x E에 대해 SES가⁻¹ 부여한 End(U_x)의 변환이 있다. S가 로렌츠 그룹의 표현에 속하는 경우, 유도 작용 E ↦ SES도⁻¹ 로렌츠 그룹의 표현에 속하게 된다. 자세한 내용은 로렌츠 그룹의 표현 이론을 참조하십시오.

S(S)가 V에 작용하는 표준(4벡터) 표현에서 임의 로렌츠 변환 λ의 U에_x 작용하는 비스피너 표현인 경우, End(U_x) = Cl_1,3(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$_{${\displaystyle \mathbb {C} }$} )에 방정식으로 주어진 해당 연산자가 있다.

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\psi \mapsto S(\Lambda )\gamma ^{\mu }S(\Lambda )^{-1}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }\gamma ^{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }\gamma ^{\nu },}$

γ의^μ 양이 클리포드 대수학 안에 앉아 있는 로렌츠 그룹의 4 벡터 표현 공간의 기초로서 볼 수 있다는 것을 보여준다. 마지막 ID는 identity ${\displaystyle {orth}^{}}$ T belonging =${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$,${\displaystyle \eta \Lambda ^{\t}\eta =\Lambda ^{1},$ 색인 표기법으로 작성된 비한정$$ 직교 그룹에 속하는 행렬에 대한 정의 관계로 인식할 수 있다. 이는 양식의 양이

$A\!\!\!/\equiv a_{\mu }\mu ^{\mu }}}$

조작 시 4개의 벡터로 취급되어야 한다. 또한 어떤 4 벡터처럼 미터법 η을_μν 사용하여 γ에서 지수를 올리고 내릴 수 있다는 것을 의미한다. 이 표기법은 파인만슬래시 표기법이라고 불린다. 슬래시 연산은 V의 기본 e_μ 또는 4차원 벡터 공간을 기본 벡터 γ에_μ 매핑한다. 삭감된 수량에 대한 변환 규칙은 단순하다.

$디스플레이 스타일 (a\paystyle)!\!/}^{\mu }\mapsto {\lambda ^{\\mu }{\nu }{a\!\!\!/}^{\nu }}$

이는 현재 (고정)근거 벡터로 취급되고 있는 γ에^μ 대한 변환 규칙과는 다르다는 점에 유의해야 한다. 4투플( found) = (γ^μ0, γ¹, γ², γ³, literature)을 문헌에서 가끔 발견되는 4벡터로 지정하는 것은 따라서 약간 틀린 말이다. 후자의 변환은 기초 γ의^μ 관점에서 절삭된 수량의 구성요소의 능동적 변환에 해당하며, 전자는 기초 γ^μ 자체의 수동적 변환에 해당한다.

원소 σ^μν = γγ^μν - γγ는^νμ 로렌츠 그룹의 Lie 대수학을 나타낸다. 이것은 스핀 표현이다. 이들 행렬과 이들 행렬의 선형 결합을 지수화할 때 로렌츠 그룹의 비스파이너 표현이다. 예를 들어 위의 S(S)는 이 형식이다. dimensional경간^μν 6차원 공간은 로렌츠 그룹의 텐서 표현 공간이다. 일반적으로 클리포드 대수학의 상위 순서 요소와 그 변환 규칙에 대해서는 Dirac 대수 기사를 참조한다. 로렌츠 그룹의 스핀 표현은 스핀 그룹 스핀(1, 3) (실제 충전되지 않은 스핀)과 충전된(디락) 스핀을 위한 복합 스핀 그룹 스핀(1, 3)으로 암호화된다.

디락 방정식 표현

자연 단위에서는 Dirac 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \left(i\reft ^{\mu }\properties _{\mu }-m\right)\property =0}$

여기서 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$은(는) Dirac 스피너입니다.

파인만 표기법으로 전환하면 디락 방정식은

$(i{\displaystyle (i{\reason \!\!)\!/}-m)\cHB =0}$

다섯 번째 "감마" 행렬은 γ⁵

4개의 감마 행렬의 곱을 γ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}_{}}$ I ${\displaystyle \gamma ^{5}=\sigma _{1}\otimes$ I$}$로 정의하면 유용하다$.$

는 디랙 basi에 γ 5≡ 나는 γ 0γ 1γ 2γ 3)(0010000110000100){\displaystyle \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&, 0&, 1&, 0\\0&, 0&, 0&, 1\\1&, 0&, 0&, 0\\0&, 1&, 0&, 0\end{pmatrix}}\qquad}.s).

$\gamma {\displaystyle {}^{}}$ ${\$가 문자 감마를 사용하지만$$, Cl_1,3(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 감마 행렬 중 하나가 아니다.$$ 숫자 5는 옛 표기법의 유물로서, ${\displaystyle {in\mathrm{}}^{}}$ 0 ${\$을 " " ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$라고 불렀다$$.$$

${\displaystyle {\gamma }^{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$ ${\$도 다른 형식을 가지고$$ 있다.

${\displaystyle \property ^{5}={\frac {i}{4!}}}\varepsilon ^{\mu \nu \nu \nu \nu \nu \nu }\nu _{\nu }\reason _{\nu }\reason _{\reason _{\nu }}}}}}}}}"$

$\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0123}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0123}=1$}$$또는

${\displaystyle \cHB ^{5}=-{\frac {i}{4!}}}\varepsilon ^{\mu \nu \nu \nu \nu \nu \nu }\nu _{\nu }\reason _{\nu }\reason _{\reason _{\nu }}}}}}}}}"$

$\epsilon {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0123}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{0123}=1}$라는 규칙을 사용하는 경우$.$ 증명:

이는 4개의 감마 매트릭스가 모두 반공산이라는 사실을 이용함으로써 알 수 있다.

${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{[0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3]}={\frac {1}{4!$$}}}\cHB_{\mu \nu \varchhe \barche$\cHIFF{$0123}\cHIFF{\mu }\barche$}\cHIFF${\barchheal$

여기서 $\Delta {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}^{}}$ ${\${\mu \$nu \varchheal \sigma }^{\alpha \beta \$delta \$delta }}}}}}}}}}}}}}$은 완전한 대칭에서 크론커 델타 일반화된 유형이다$$. If ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \dots \beta }}$ denotes the Levi-Civita symbol in n dimensions, we can use the identity ${\displaystyle \delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }=\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon _{\mu \nu$$\varchhe \sigma$ $\}\}\}.$ 그러면 ${\displaystyle \mathrm{우리}}$는 $convention{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0123}^{}}$= 1 ${\displaystyle \varepsilon ^{0123}=1$

${\displaystyle \cHB ^{5}=i\buffer ^{0}\buffer ^{1}\buffer ^{3}={\frac {i}{4!}}}\varepsilon ^{0123}\varepsilon _{\mu \barchheal \barchheal \}\barchheal ^{\nu }\barchheal ^{\barchheal ^}={\frac {i}{4!}}}\varepsilon _{\mu \nu \varchhe \dech \dech \dech \dech \dech }{\barchheal }{\barchheal }}}\barchhema }=-{\frac {i}{4!}}}\varechilon ^{\mu \nu \varche \chyche \}\barche \cHB_{\barchheal }\cHB_{\barchheal }}}}}{\barchema }}}}}}}}}}}}}}"$

이 매트릭스는 양자역학 치어리더에 대한 논의에 유용하다. 예를 들어 Dirac 필드는 다음과 같이 왼손 및 오른손 구성 요소에 투영할 수 있다.

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi ,\qquad \psi _{\rm {R}}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}\psi }$.

일부 속성은 다음과 같다.

• 에르미트어:

  ${\displaystyle \left(\displaystyle \left \ft(\put ^{5}\right)^{\put }}}$

• 고유값은 다음과 같은 이유로 ±1이다.

  ${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\오른쪽)^{2}=I_{4}}$

• 네 개의 감마 행렬과 반공칭:

  ${\displaystyle \left\{\reft ^5},\reft ^{\mu }\right\}=\reft ^{\mu }+\reft ^{5}=0.}$

실제로 $\psi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ ${\$과(와) ${\displaystyle {\psi \mathrm{}}_{}}$ R ${\$은(는) 이후 $since$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 고유 벡터들이다$$.

${\displaystyle \gamma ^{5}\psi _{\rm {L}}={\frac {\gamma ^{5}-\left(\gamma ^{5}\right)^{2}}{2}}\psi =-\psi _{\rm {L}}}$, and ${\displaystyle \gamma ^{5}\psi _{\rm {R}}={\frac {\gamma ^{5}+\l$$eft(\gamma ^{5}\오른쪽)^{2}}:{2}}\psi =\psi _{\rm {R}}}$

5차원

홀수 치수의 클리포드 대수학은 1차원 적은 클리포드 대수학의 두 사본, 왼쪽 사본과 오른쪽 사본과 같이 작용한다.^[1] 따라서 iγ를⁵ 5차원의 클리포드 대수학의 발전기 중 하나로 용도 변경하는 약간의 수법을 채용할 수 있다. 이 경우, 따라서 마지막 두 속성(i¹²² - -1)과 구 감마마의 속성(i⁰ - -1)에 의해 집합 {,, ,, }, i³}}이⁵(가)는 미터법 서명(1,4)에 대한 5 spacetime 차원의 클리포드 대수학의 기초를 형성한다.^[2] 미터법 서명(4,1)에서는 집합 {γ⁰, γ¹, γ², γ³, γ⁵}이(가) 사용되는데, 여기서 γ은^μ (3,1) 서명에 적합한 것이다.^[3] 이 패턴은 스페이스타임 치수 2n에 대해 짝수이고 다음 홀수 치수 2n + 1은 모든 n ≥ 1에 대해 반복된다.^[4] 자세한 내용은 고차원 감마 행렬을 참조하십시오.

정체성

다음의 신분은 기본적인 반공관계에서 따르기 때문에 어떠한 근거로도 유지된다(마지막 신분은 $\gamma {\displaystyle {}^{}}$ ${\$

잡다한 정체성

추적 신원

감마 행렬은 다음과 같은 추적 식별을 준수한다.

위와 같은 것을 증명하는 것은 추적 연산자의 세 가지 주요 특성을 이용하는 것과 관련된다.

• tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
• tr(rA) = r tr(A)
• tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)

0 증명:

감마 행렬의 정의에 따르면

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\mu \eta ^{\mu \nu }I}$

우리는 얻는다.

$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }=\eta ^{\mu \mu \mu }I}$

또는 동등하게

${\displaystyle {\frac {\frac}{\mu }\mu }\mu }}{\mu \eta ^{\mu \mu }}}=I}$

${\displaystyle {\mathrm{여기}}^{}}$서 $㎕㎕[\$은 숫자로, ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$㎕[\displaystyle$μ$] {\$mu \}\mu }}}}}}$은 행렬이다$$.

${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })={\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu })}$ (inserting the identity and using tr(rA) = r tr(A))

${\displaystyle =-{\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })}$ (from anti-commutation relation, and given that we are free to select ${\displaystyle \mu \neq \nu }$)

${\displaystyle =-{\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu })}$ (using tr(ABC) = tr(BCA))

${\displaystyle =}$ -${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle {\gamma }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ )$${\$displaystyle =--\filename {tr}(\filename ^{\nu }})$ ($$ID 확인)

이것은 ${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\nu }^{}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {tr}(\gamma ^{\nu }}}=0})$을 암시한다.

증명 1:

보여주려고

${\displaystyle \vmsname {tr}({\text{number of }\reason )=0}$

첫 번째 주의할 점은

${\displaystyle \propertname {tr} \left(\reft(\reft)(\ft ^{\mu }\오른쪽)=}$

또한 다섯 번째 감마 행렬 ${\displaystyle {facts\mathrm{}}^{}}$ 5 {\$displaystyle \gamma ^{5}}$에 대한 두 가지 사실을 사용할 것이다.

${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\오른쪽)^{2}=I_{4}\quad \mathrm {and}\quad \quad \gamma ^{\mu ^{5}=-\gamma ^{5}\5}\ma ^{\ma }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

따라서 이 두 가지 사실을 사용하여 첫 번째 비독점 사례에 대해 이 정체성을 증명하자: 세 개의 감마 행렬의 흔적. 1단계는 $\gamma {\displaystyle {}^{}}$ $({\$^{$5$s)의 한 쌍을 원래 ${\displaystyle$$$\$gamma$}s 앞에 넣고, 2단계는 트레이스의 주기성을 ${\displaystyle {사용}^{}}$한 후 {$$5({\$displaystystyle$\gamma ^{$5})$ 매트릭스를$$ 원래 위치로 다시 교환하는 것이다.

${\displaystyle \chostname {tr} \left(\displaystyle \reft(\displaysty \reft) \left(\display ^\mu }\remu }\re$	${\displaystyle =\displayname {tr} \left(\reft)(\reft(\reft ^{5}\reft ^{5}\reft ^{\rho }\right)}$
	${\displaystyle =-\displayname {tr} \left(\reft)(\reft(\reft ^{5}\reft ^{\mu }\}\reft ^{\rho }\reftend ^{5}\right)}}$
	${\displaystyle =-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)}$ (using tr(ABC) = tr(BCA))
	${\displaystyle =-\displayname {tr} \left(\reft)(\reft(\reft ^{\mu }}\reft ^{\rho }\right)}$

이것은 오직 다음과 같은 경우에만 충족될 수 있다.

${\displaystyle \tr} \left(\put ^{\mu }\put ^{\nu }\put ^{\rho }\오른쪽)=0}$

2n + 1 (n 정수) 감마 매트릭스로의 확장은 (예를 들어) 추적에 2n번째 감마 매트릭스 뒤에 2개의 감마-5s를 배치하고, 하나는 오른쪽으로 통근하고(마이너스 기호를 부여하며), 다른 감마-5 2n은 왼쪽으로 통근함으로써 발견된다[표지 변화(-1)^2n = 1]. 그리고 나서 우리는 주기적인 정체성을 이용하여 두 감마-5를 합치게 되고, 따라서 그것들은 정체성에 정사각형을 이루며, 우리에게 마이너스 그 자체를 나타내는 추적, 즉 0을 남긴다.

증명 2:

만일 ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$ 5${\$^{$5}$ 뒤에 추적에 홀수 수의 감마 행렬이 나타난다면$,$ 우리의 목표는 $\gamma {\displaystyle {}^{}}$ ${\$를 오른쪽에서$$ 왼쪽으로 이동하는 것이다. 이것은 순환 속성에 의해 추적의 불변성을 남길 것이다. 이 동작을 하기 위해서, 우리는 다른 모든 감마 매트릭스와 그것을 해독해야 한다. 이것은 우리가 그것을 홀수 횟수로 제한하고 마이너스 표시를 한다는 것을 의미한다. 그 자체의 음과 동일한 추적은 0이어야 한다.

증명 3:

보여주려고

${\displaystyle \tr} \left(\displaystyle \cHB{\mu }\nu }\right)=4\eta ^{\mu \nu }}}}}}$

먼저,

${\displaystyle \propertname {tr}(\put ^{\mu }\properties ^{\nu }})$	${\displaystyle ={\frac {1}{1}{2}}\좌(\tr) \left(\lift(\mu }\nu }\오른쪽) \좌(\reft)(\reft) \좌(\mu }{\mu }\right)\우)}$
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}\right)}$
	${\displaystyle ={\frac{1}:{2}}:\eta ^{\mu \nu }\operatorname {tr}(I_{4})=4\eta ^{\mu \nu }}}}}}}}$

증명서 4:

${\displaystyle \tr} \left(\displaystyle \chostname {tr} \reft(\reft) \reft(\reft)({\reho }\rema }\right)}$	${\displaystyle =\rhostname {tr} \left(\reft(\deplaystyle ^{\mu }\\nu }\left(2\reta ^\rho \-}-\reftendma ^{\rho }\right)}}}$
	${\displaystyle =2\eta ^{\rho \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (1)}$

오른쪽의 용어는 ${\$을(를) 왼쪽의 이웃과$$ 함께 스와핑하는 패턴을 이어나가겠다.

${\displaystyle \chostname {tr} \left(\displaystyle \reft(\displaystyle \lima }{\rho }\right) \left(왼쪽)({\reho }\right)}$	${\displaystyle =\rho } \left(\displayname {tr} \reft(왼쪽)(2\nu \mu }-\eta }-{\nu }-\reftma ^{\nu }\right)\reput ^{\rho }}}}$
	${\displaystyle =2\eta ^{\nu \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (2)}$

다시 말하지만, ${\displaystyle {오른쪽}^{}}$ 스왑 $\{\$^{\$sigma$}}}}의 용어는, 옆쪽이 왼쪽에 있는$$ 경우,

${\displaystyle \chostname {tr} \left(\displaystyle \reft(\displaystyle \lima }}\reftma }\cho }\right)} }\rho }\right)}$	${\displaystyle =\reho } \left (2\eta ^{\mu \ \ma }-\recipal ^{\mu }\recipal ^{\rho }\right)\recomputer ^{\nu }\rho }}}}\riputerght)}}}}}}}}}}}}$
	${\displaystyle =2\eta ^{\mu \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (3)}$

Eq(3)는 eq(2)의 오른쪽에 있는 용어, eq(2)는 eq(1)의 오른쪽에 있는 용어다. 또한 ID 번호 3을 사용하여 다음과 같은 용어를 단순화하십시오.

${\displaystyle 2\eta ^{\rho \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=2\eta ^{\rho \sigma }\left(4\eta ^{\mu \nu }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }.}$

마지막으로 Eq(1)에 이 모든 정보를 연결하면

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-8\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+8\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }}$

$\displaystyle -\ \displayname {tr} \left(\reft(\reft) \reft(\reft) \reft({\reho \}\right) \reftending \refteght)\reft \refteput \reftended \reput \reput \refto \refto$

트레이스 안에 있는 용어들은 사이클이 가능하기 때문에

${\displaystyle \propertname {tr} \left(\cHB ^{\bma }\put ^{\rho }\right)=\reftname {tr} \reft(\mu ^{\rho }\nu ^{\rho }\ma }\}\rigma }\rigma }\rigma }\rigma }\rigma \rigma }\right)\}$

그래서 정말 (4)은

${\displaystyle 2\ \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-8\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+8\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }}$

또는

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)}$

증거 5:

보여주려고

${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \displayname$ {tr}$\left(\reft ^{5}\right)=0$

로부터 시작하다

${\displaystyle \propertname {tr} \left(\reft(\reft)(\reft(\ft$	${\displaystyle =\displayname {tr} \left(\reft(\reft)(\reft ^{0}\reft ^{0}\reft ^{5}\right$	($\gamma {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$
	${\displaystyle =-\displayname {tr} \left(\reft)(\reft(\reft ^0}\reft ^5}\reft ^{0}\right)}$	( ( ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$ ${\$을(를$)$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ {\$displaystyle \cHB ^{0})$으로 반선호화한다$.$
	${\displaystyle =-\displayname {tr} \left(\reft)(\reft(\reft ^0}\reft ^0}\reft ^{5}\right)}$	(추적 내 용어 포함)
	${\displaystyle =-\displayname {tr} \left(\reft(\reft ^{5}\right)}$	($remove{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$s$)$

위의 양쪽에$$ ${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$) ${\$를 추가하여 확인하십시오.

${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle {}^{}{\gamma \mathrm{}}^{}}$ 5 )${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle 2\propername$ {tr$} \left(\put$^{$5}\right)=0}$.

자, 이 패턴은 또한

${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle {\mu }^{}}$ μ μ ${\displaystyle {\nu }^{}}$ γ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ 5${\displaystyle {}^{}{5\mathrm{}}^{}5}$ ) =$$0 {\$displaystyle \ {name {tr$} \left$(\reft ^{\mu }}\reft ^{\nu }\reput ^{5}\right)=0}$.

${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$의 두 인자를 단순히$$$\alpha {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\$$alpha }$과(와) $\mu {\displaystyle }$ {\$displaystyle$ \$mu$ $}$과($와{\displaystyle }$) ${\displaystystystyle$\nu$$$$}과(와)가 다른 두 인자를 추가하면 된다$.$ 한 번 대신 3개의 마이너스 부호를 선택하고 트레이스의 순환한다.

그렇게

${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle {\mu }^{}}$ μ μ ${\displaystyle {\nu }^{}}$ γ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ 5${\displaystyle {}^{}{5\mathrm{}}^{}5}$ ) =$$0 {\$displaystyle \ {name {tr$} \left$(\reft ^{\mu }}\reft ^{\nu }\reput ^{5}\right)=0}$.

증명서 6:

신원 증명 6의 경우$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ν ${\displaystyle \rho }$) ${\$\rigma \rigma \rigma \rigma rigma \rigma \$righ)}$의 순열이 (0123)가 아니면$$ 동일한 수법이 여전히 작용하여 4개의 감마들이 모두 나타난다. The anticommutation rules imply that interchanging two of the indices changes the sign of the trace, so ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)}$ must be proportional to ${\displaystyle \epsi$$lon ^{\mu \nu \rho \sigma }}$ ${\displaystyle \left(\epsilon ^{0123}=\eta ^{0\mu }\eta ^{1\nu }\eta ^{2\rho }\eta ^{3\sigma }\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }=\eta ^{00}\eta ^{11}\eta ^{22}\eta ^{33}\epsilon _{0123}$$=-1\오른쪽$ . 비례 상수는 $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 4i$ 플러그를 꽂으면 확인할 수 있듯이 $({\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ν ${\displaystyle \rho \sigma }$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle 0123)}$ ${\displaystyle (\mu \rho \sigma )=($0123$)$이고$,$ ${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}^{}}$ 5${\$을 작성하고$,$ ID의 흔적은 4임을 기억한다.

증명서 7:

Denote the product of ${\displaystyle n}$ gamma matrices by ${\displaystyle \Gamma =\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{\mu 2}\dots \gamma ^{\mu n}.}$ Consider the Hermitian conjugate of ${\displaystyle \Gamma }$:

${\displaystyle \Gamma ^{\daugger }}$	${\displaystyle =\cHB ^{\mu n\buff }\buff \buff ^{\mu 1\buff }{\mu \buff}}}}}$
	${\displaystyle =\mu 1}\mu n}\mu ^{0}\mu \mu ^{0}\mu ②}\mu ^{0}\mu ^{0}\mu 1}\mu ^{0}\mu ^{0}\mu ^{0}\mu}\mu ^0}}}$	(감마 행렬을 $\gamma {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$로 결합하면 아래에 설명된 대로 은둔자의 결합이 생성됨$$)
	${\displaystyle =\filename ^{0}\filename ^{\mu n}\filename \filename \filename ^{\mu 1}\filename ^{0}}}}}$	(첫 번째 및 마지막 드롭아웃을 제외한 모든 $\gamma {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$)

Conjugating with ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ one more time to get rid of the two ${\displaystyle \gamma ^{0}}$s that are there, we see that ${\displaystyle \gamma ^{0}\Gamma ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ is the reverse of ${\displaystyle \Gamma }$. Now,

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\Gamma ^{0}\오른쪽)}$	${\displaystyle =\operatorname {tr} \left(\Gamma ^{\doger }\오른쪽)}$	(유사성 변환에서는 추적이 불변하므로)
	${\displaystyle =\operatorname {tr} \좌측(\Gamma ^{*}\우측)}$	(트랜스페이스는 전이 시 불변하므로)
	${\displaystyle =\operatorname {tr} \왼쪽(\Gamma \오른쪽)}$	(감마 매트릭스 산물의 추적이 실제적이므로)

정규화

그러나 감마 행렬은 위의 항소통 관계에 의해 제한되는 추가적인 은둔성 조건과 함께 선택할 수 있다. 우리는 부과할 수 있다.

${\displaystyle {(}^{}}$$$${\displaystyle {{0\mathrm{}}^{}}^{}}$0 )${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ 0$${\$displaystyle \left(\gamma$^{$0$$}\$$right$$)^{\dager }}}=\$$gamma ^{$0}}{$0$$}}}}}}},$ ( ${\displaystyle {{0\mathrm{}}^{}}^{}}$0 )${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ = $I 4${\$displaystystyleftylefte$\ique \ique $\ique$\iquestypreat \iquestyprotemptionalong.

기타 감마 행렬(k = 1, 2, 3)에 대해

${\displaystyle {(}^{}}$ ${\displaystyle {{\gamma k}^{}}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$= -${\displaystyle {\gamma }^{}}$ k ${\$$gamma ^{k}}},$(${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {k^{}}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$- I ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$. ${\displaystystylept \leftep.{2}=-I_{4}$

사람들은 즉시 이러한 은둔적 관계가 디라크의 대표성을 유지하는지 확인한다.

위의 조건은 관계에서 결합할 수 있다.

${\displaystyle \left(\displaystyle \left(\displaystyle \lift(\displaysty \put \{\mu }}\right)^{\mu }}$

The hermiticity conditions are not invariant under the action ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\to S(\Lambda )\gamma ^{\mu }{S(\Lambda )}^{-1}}$ of a Lorentz transformation ${\displaystyle \Lambda }$ because ${\displaystyle S(\Lambda )}$ is not necessarily a unitary transformation 로렌츠 그룹의 비비교성 때문에.

전하결합

충전 결합 연산자는 어떤 기준으로든 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle C\gamma _{\mu }C^{-1}=-(\gamma _{\mu }^{\textsf{T}}}}}}}}$

여기서 (${\displaystyle {}^{}\cdot }$ ) ${\displaystyle T^{}}$ ${\$는 전치 행렬을 나타낸다. $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) 취하는$$ 명시적 형식은 감마 행렬에 대해 선택한 특정 표현에 따라 달라진다(감마 행렬의 곱으로 표현되는 형태는 독립 표현이지만 감마 행렬 자체는 다른 표현으로 표현된다). 전하 결합은 감마군의 자동형이지만 (집단의) 내적 자동형이 아니기 때문이다. 결합 행렬은 찾을 수 있지만 표현에 의존한다.

표현에 독립적인 정체성에는 다음이 포함된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}C\gamma _{5}C^{-1}&=+(\gamma _{5})^{\textsf {T}}\\C\sigma _{\mu \nu }C^{-1}&=-(\sigma _{\mu \nu })^{\textsf {T}}\\C\gamma _{5}\gamma _{\mu }C^{-1}&=+(\gamma _{5}\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}\\\end{aligned}}}$

또한 아래에 제시된 네 가지 표현 모두(Dirac, Majorana 및 두 가지 키랄 변종)에 대해, 한 가지는 다음과 같다.

${\displaystyle C^{-1}=C^{\doger }=C^{\textsf{T}=-C.}$

양자장 이론에 사용되는 파인만 슬래시 표기법

파인만 슬래시 표기법은 다음에 의해 정의된다.

$디스플레이 스타일 (a\paystyle)!\!/}\equiv \iquiv ^{\mu }a_{\mu }}}}}$

4시 15분 전까진 말이야

여기 위의 것과 유사한 몇 가지 정체성이 있지만, 슬래시 표기법을 포함한다.

• $디스플레이 스타일 (a\paystyle)!\!/}{b\!\!\!/}=a\cdot b-ia_{\mu }\mu ^{\mu \b_{\nu }}}}}$
• $디스플레이 스타일 (a\paystyle)!\!/}{a\!\!\!/}}=a^{\mu }a^{\nu }\properties _{\mu }}{\nu }}={\frac {1}{2}}a^{\mu }\nu _{\mu }\nu }+{\nu }\nu _{}오른쪽)=\eta _{\mu \nu \}a^{\mu }a^{}\nu }=a^{2}}$
• $\displaystyle \protname {tr} \leftlefta\!\!\!/}{b\!\!\!/}\오른쪽)=4(a\cdot b)}$
• $\displaystyle \protname {tr} \leftlefta\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\오른쪽)=4\왼쪽[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)-(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]}}}$
• ${\displaystyle \propertname {tr} \left(\reft(\reft)({5}{a\!\!)!\!/}{b\!\!\!/}\오른쪽)=0}$
• ${\displaystyle \propertname {tr} \left(\reft(\reft)({5}{a\!\!)!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\오른쪽)=-4i\epsilon _{\mu \nu \rho \rho \rho \a^{}a^{}\mu }b^{}nu }c^{}rho }d^{\d^{\ma }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
• $\displaystyle \do_{\mu}{a\!\!\!/}\cHB ^{\mu }=-2{a\!\!\!/}}$
• $\displaystyle \do_{\mu}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\cdot ^{\mu }=4(a\cdot b)}$
• $\displaystyle \do_{\mu}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\cHB ^{\mu }=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}}$

  where ${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }}$ is the Levi-Civita symbol and ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right].$$}$ ${\displaystyle \gamma}$ 홀수 제품의 실제 추적은$$ 0이므로$$

• $\displaystyle \protname {tr} \leftlefta\!\!\!/}\오른쪽)=\이름 {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\오른쪽)=\이름 {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}{e\!\!\!/}\오른쪽)=0~}$^[5]

기타 표현

행렬은 2×2 아이덴티티 매트릭스 $I{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle I_{2$ 그리고 2×2 아이덴티티 매트릭스를 사용하여 작성되기도 한다.

${\displaystyle \pmatrix ^{k}={\pmatrix}0&\pma ^{k}\\-\pma ^{k}&#0\end{pmatrix}}}}}$

여기서 k는 1에서 3까지 달리고 σ은^k Pauli 행렬이다.

디락 기준

우리가 지금까지 작성한 감마 매트릭스는 디락 기준으로 작성된 디락 스피너에 따라 행동하는 데 적합하다. 사실 디락 매트릭스는 이러한 매트릭스에 의해 정의된다. 요약하면 Dirac 기준으로 다음과 같다.

${\displaystyle \filename ^{0}={\pmatrix}I_{2}&0\\\0&-I_{2}\end{pmatrix},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\-\sigma ^{k}&#pmatrix},\quad \gamma ^5}={begin{pmatrix}I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.}$

Dirac 기준에서 충전 결합 연산자는^[6]

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\i\i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}}}.}$

바일(치랄) 기준

또 다른 일반적인 선택은 Weyl 또는 Chiral 기준으로, ${\displaystyle {in}^{}}$ k ${\$k}는 $그대로$유지되지만$$ ${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}^{}}$ 0 ${\$ $\$$gamma ^{0}}$은 다르며, 따라서 $\gamma {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$ ${\$ \$gamma$^{5$}$도 서로 다르며$$, 대각선이다.

${\displaystyle \cHB ^{0}={\pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix},}$

또는 보다 간결한 표기법:

${\displaystyle \gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\overline {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}},\quad \sigma ^{\mu }\equiv (1,\sigma ^{i}),\quad {\overline {\sigma }}^{\mu }\equiv \left(1,-\sigma ^{i}\right).}$

Weyl 기초는 그것의 키랄 돌출부가 단순한 형태를 갖는다는 장점을 가지고 있다.

${\displaystyle \psi _{\rm {L}={\frac {1}:{1}{1}}\왼쪽(1-\gamma ^{5}\오른쪽)\psi ={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\\0&0\end{pmatrix}\psi}\\quad \psi _{\rm {R}={\1}{1}:{1}{{1}}}\좌측(1+\gamma ^{5}\오른쪽)\psi ={\begin{pmatrix}0\0\0&#0&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#I_{2}\end{pmatrix}\psi .}$

키랄 돌출부의 특이점은 명백하다.

기호를 약간 남용하고 기호 ${\displaystyle {l\mathrm{}}_{}}$ L${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle {R\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle \psi$ _${\rm {L/R}$을(를) 재사용함으로써 우리는$$ 그 다음에 식별할 수 있다.

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}\\\psi _{\rm {R}\end{pmatrix},}$

여기서 $\psi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ ${\$ {$L$$}$과(${\displaystyle {와}_{}}$) $\$ R {\$displaystyle \psi$_{\$rm$ {R$}}$은(는$$) 왼손과 오른손의 두 가지 구성 요소인 Weyl spiner이다.

이 기준에서 충전 결합 연산자는 다음과 같다.

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}}$

Dirac 기반은 Weyl 기반에서 다음과 같이 얻을 수 있다.

${\displaystyle \gamma _{\rm {W}^{\mu {D}^{\rm {D}^{\dager }}\quad \psi _{\rm{W}=U\psi _{\rm {D}}}}}}}$

단일 변형을 통해.

${\displaystyle U={\begin{pmatrix {1}{\sqrt{2}}:\좌측(1+\gamma^{5}\gamma^{0}\우측)={\frac {1}{\sqrt{2\},}{\begin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}\I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.}$

바일(치랄) 기반(대체 형태)

Weyl based의 또 다른 가능한 선택은^[6][7]

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}.}$

키랄 돌출부는 다른 와일 선택과는 약간 다른 형태를 취하지만

${\displaystyle \psi _{\rm {R}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}\psi}\\quad \psi _{\rm {L}={\begin{pmatrix}0&#0\0&#0&#&#&#&#&#&###########################I_{2}\end{pmatrix}\psi .}$

바꾸어 말하면, 환언하면

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {R}\\\psi _{\rm {L}\end{pmatrix},}$

여기서 $\psi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ ${\$과(${\displaystyle {와\mathrm{}}_{}}$) $\$ R {\$displaystyle \psi _{\rm$ {R$}}$은 전과 같이 왼손잡이 및 오른손잡이 두 가지 구성 요소인 Weyl Spiner이다.

이 기준에서 충전 결합 연산자는 다음과 같다.

${\displaystyle C=-i\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{2}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}}}}}}$

This basis can be obtained from the Dirac basis above as ${\displaystyle \gamma _{\rm {W}}^{\mu }=U\gamma _{\rm {D}}^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\rm {W}}=U\psi _{\rm {D}}}$ via the unitary transform

${\displaystyle U={\begin{pmatrix {1}{\sqrt{2}}:\좌측(1-\gamma^{5}\gamma^{0}\우측)={\frac {1}{\sqrt{2\},}{\begin{pmatrix}I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}.}$

메이저나 베이시스

또한 Majorana 기반도 있는데, 디락 행렬은 모두 가상이며, 스피너와 디락 방정식은 실제적인 것이다. Pauli 매트릭스에 관해서는, 그 근거를 다음과 같이^[6] 쓸 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\gamma ^{0}&, ={\begin{pmatrix}0&, \sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&, 0\end{pmatrix}},&, \gamma ^{1}&, ={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&, 0\\0&, i\sigma ^{3}\end{pmatrix}},&, \gamma ^{2}&, ={\begin{pmatrix}0&, -\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&, 0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{3}&, ={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0.\\0&, -i\sigma ^{1}\end{pmatrix}},&, \gamma ^{5}&^{\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&#0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix},&c&={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{2}\i\i\sigma ^{2&0\end},\pmatrix},\ed}}}}}$

여기서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은 위에서 정의한 충전 결합 행렬이다.

(모든 감마 행렬을 가상으로 만드는 이유는 제곱 질량이 양의 값인 입자물리 측정지표(+, -, -)를 얻기 위해서일 뿐이다. 그러나 Majorana의 표현은 현실이다. 하나는 4개의 성분 실제 스피너와 실제 감마 매트릭스로 다른 표현을 얻기 위해 i를 고려할 수 있다. $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$을(를) 제거하면 실제 감마 매트릭스를 가진 유일한 메트릭이 (-, +, +, +, +)인 것이다$$.

The Majorana basis can be obtained from the Dirac basis above as ${\displaystyle \gamma _{\rm {M}}^{\mu }=U\gamma _{\rm {D}}^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\rm {M}}=U\psi _{\rm {D}}}$ via the unitary transform

${\displaystyle U=U^{\doger }={\frac {1}{\sqrt {2\,}}{\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&-I_{2}\end{pmatrix}}.}$

Cl_1,3(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$) 및 Cl_1,3$($${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$

디락 대수학은 공간 시간 대수라고_1,3 불리는 실제 ${\displaystyle \mathbb{}}$ Cl(R ${\$ )의 복합화라고 볼 수 있다.$$

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathb {R})\otimes \mathb {C}}}}$

Cl_1,3()은 Cl_1,3(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$} }):$$ Cl_1,3(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$)의 경우 감마 행렬과 해당 제품의 실제 선형 결합만 허용된다.

두 가지를 지적할 만하다. Clifford Algebras, Cl_1,3$($${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 및 Cl₄(${\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathbb {C$은 이형성이므로 Clipord Algebras의 분류를 참조한다. 그 이유는 스페이스타임 메트릭의 기본 서명이 복합화에 전달되면 서명(1,3)이 손실되기 때문이다. 그러나 모든 물리학은 로렌츠 대칭에 단단하게 짜여져 있고 그것을 발현시키는 것이 바람직하기 때문에 이선형 형태를 복잡한 표준형식으로 가져오는 데 필요한 변환은 로렌츠 변환이 아니므로 "허용 가능한"(최소한 비실용적)이 아니다.

기하 대수학의 지지자들은 그것이 가능한 곳이라면 어디서든 진짜 알제브라와 함께 일하기 위해 노력한다. 그들은 물리 방정식에서 상상 단위의 존재를 확인하는 것이 일반적으로 가능하다고 주장한다(그리고 대개는 계몽적이다). 그러한 단위는 정사각형인 실제 클리포드 대수에서 -1까지 많은 수량 중 하나에서 발생하며, 이것들은 대수의 특성과 다양한 서브스페이스의 상호작용 때문에 기하학적 의미를 갖는다. 이러한 지지자들 중 일부는 디락 방정식의 맥락에서 상상의 단위를 추가로 도입하는 것이 필요한지 또는 심지어 유용한지에 대해서도 의문을 제기한다.^[8]

리만 기하학의 수학에서는 임의의 치수 p,q에 대해 클리포드 대수 Cl_p,q(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ )을 정의하는 것이 통설이다.; 웨일 스피너스의 반 커뮤테이션은 클리포드 대수에서 자연적으로 나타난다.^[9] Weyl 스피너는 스핀 그룹 $S{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle \mathrm{in}}$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \mathrmat {Spin}$ ($n)}$의 작업으로 변환된다$.$ The complexification of the spin group, called the spinc group ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)}$, is a product ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$ of the spin group with the circle ${\displaystyle S$$^{1}\cong U(1).$$}$ The product ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ just a notational device to identify ${\displaystyle (a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}}$ with ${\displaystyle (-a,-u).$$}}$ 이것의$$ 기하학적 요점은 로렌츠 변환에 따른 공변량인 $실제{\displaystyle }$ 스피너를 U${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ U$(1)$성분으로부터$$ 분리하여 전자파 $상호작용$의 U${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {U}(1$) 섬유로$$ 식별할 수 있다는 것이다. $\times {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Z{\mathbb{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$는 Dirac 입자/반입자 상태(Weyl basis의 치랄 상태)와 관련하여 적합한 방식으로 패리티와 전하 결합을 방해하고 있다$$. 비스파이너는 선형적으로 독립적인 좌우 구성요소를 갖는 한 전자기장과 상호작용할 수 있다. 이는 Majorana Spinter와 ELKO Spinter가 (즉, 그것들은 전기적으로 중립적이므로) 할 수 없는 것과 대조적인데, 복합화에서 ${\displaystyle {오는\mathrm{}}^{}}$ S 1 ${\$부분과$$ 상호 작용하지 않도록 스피너를 명시적으로 구속하기 때문이다.

전하와 패리티의 제시가 기존의 양자장 이론 교과서에서 혼란스러운 주제가 될 수 있는 한, 일반적인 기하학적 설정에서 이러한 주제들을 보다 세심하게 해부할수록 해명될 수 있다. 클리포드 대수학의 표준 엑스포는 첫 번째 원리로부터 Weyl 스피너들을 구성한다; 그들이 "자동으로" 안티 커뮤트는 이 구조의 우아한 기하학적 부산물이며, Pauli 배제 원칙(또는 Greasmann 변수가 도입되었다는 때때로 흔한 감각)에 호소하는 모든 주장을 완전히 우회한다.임시 변론을 통해 에드를 작성한다.)

그러나, 현대 물리학에서, 시공간 대수보다는 디락 대수학은 디락 방정식의 스핀들이 "살아있는" 표준 환경으로 계속된다.

유클리드 디락 행렬

양자장 이론에서 Wick은 시간 축을 회전시켜 Minkowski 공간에서 유클리드 우주로 이동할 수 있다. 이것은 격자 게이지 이론뿐만 아니라 일부 중성화 절차에서도 특히 유용하다. 유클리드 공간에는 디락 행렬의 두 가지 일반적인 표현이 있다.

키랄 표현

${\displaystyle \pmatrix}{1,2,3}={\\pmatrix}0&i\nma ^{1,2,3}\-i\i\ma ^{pmatrix}},\cHB \nd{4}={pmatrix}0>>>I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}}$

$공간{\displaystyle }$ 감마 행렬에 {\$displaystyle i}$의 인자가 삽입되어$$ 유클리드 클리포드 대수학

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu }}\gamma ^{\\nu }\right\}=2\delta ^{\mu \nu }I_{4}}}}}}}}$

나타날 것이다. 또한 키랄을 사용하는 격자 QCD 코드와 같이 매트릭스 중 하나에$$ ${\displaystyle -i}$을(를) 대신 삽입하는 변형이 있다는 점도 주목할 필요가 있다.

유클리드 우주에서는

${\displaystyle \gamma _{\rm {M}}^{5}=i\left(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\rm {M}}={\frac {1}{i^{2}}}\left(\gamma ^{4}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\rm {E}}=\left(\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{4}\right)_{\rm {E}}=\gamma _{\rm {E}}^{5}.}$

안티 커뮤터(anti-commutator)를 사용하고 유클리드 공간$({\displaystyle {}^{}}$ ( ${\displaystyle {{\mu }^{}}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$= = ${\displaystyle {\mu }^{}}$ μ =$$\$displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dager }=\gamma ^{\ma$ $\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

${\displaystyle \left(\displaystyle \left ^{5}\right)^{\put }=\put ^{5}$

유클리드 공간에 있는 치랄 단위로 보면

${\displaystyle \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0>>I_{2}\end{pmatrix},}$

민코프스키 버전과 달라지지 않은.

비관계적 표현

${\displaystyle \pmatrix}{1,2,3}={\\pmatrix}0&-i\nma ^{1,2,3}\i\i\i\ma ^{pmatrix},\nd{pmatrix \nd{4}={\matrix}}I_{2}&0\\\0&-I_{2}\end{pmatrix},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\-I_{2}&0\end{pmatrix}}}}}}}}}$

참고 항목

• 파울리 행렬
• 겔만 행렬
• 고차원 감마 행렬
• 피에르즈 정체성

참조

• Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2.
• A. Zee, Quantum 필드 이론 in a Commodes, Princeton University Press: Princeton, New Jersey. ISBN 0-691-01019-6. II.1장을 참조하십시오.
• M. 페스킨, D. 슈뢰더, 양자장 이론 소개 (Westview Press, 1995) ISBN 0-201-50397-2 3.2장 참조
• W. Pauli (1936). "Contributions mathématiques à la théorie des matrices de Dirac". Annales de l'Institut Henri Poincaré. 6: 109.
• Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields, vol. 1, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55001-7
• Tong, David (2007). "Quantum Field Theory". David Tong at University of Cambridge. p. 93. Retrieved 2015-03-07.
• de Wit, B.; Smith, J. (1986). Field Theory in Particle Physics. North-Holland Personal Library. Vol. 1. North-Holland. ISBN 978-0444869999.부록 E
• J. Keller와 Z.의 David Hestenes, Real Dirac 이론. Oziewicz (Eds.), Theory of the Electronics, UNAM, Compadd de Estudios Superiores, Cuautitlan, 멕시코 (1996), 페이지 1–50.

외부 링크

• 그룹 속성을 포함한 수학계의 Dirac 행렬
• GroupNames에서 추상 그룹으로서의 Dirac 행렬
• "Dirac matrices", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]