복합화

수학에서, 벡터 공간 V의 실제 수 영역("실제 벡터 공간")에 대한 복잡화는 벡터 공간^C V를 복잡한 수 영역에 걸쳐 산출하는데, 벡터의 스케일링을 실제 숫자에 의한 스케일링("증배")을 포함하도록 공식적으로 확장함으로써 얻어진 것이다.V에 대한 모든 근거(실수보다 큰 공간)는 복잡한 숫자에 대한^C V의 기초가 될 수도 있다.

형식 정의

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) 실제 벡터 공간이 되도록$$ 하십시오.V의 복잡화는 $복잡한{\displaystyle }$ 숫자로$$ V ${\displaystyle V}$의 텐서 제품을 취함으로써 정의된다(실제 위의 2차원 벡터 공간으로 간주됨).

${\displaystyle V^{\mathb {C} }=V\otimes _{\mathb {R} }\mathb {C} \,.}$

텐서 제품의 첨자인 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$은(V {\$displaystyle V}$이($)$ 실제 벡터 공간이기 때문에 어차피 유일하게 합리적인 옵션이므로 첨자는 생략할 수 있다).그대로 V ${\displaystyle {C\mathbb{}}^{}}$ ${\$은(는) 실제 벡터 공간일 뿐이다$$.그러나 다음과 같이 복잡한 곱셈을 정의함으로써 ${\displaystyle {V\mathbb{}}^{}}$ C ${\$ V$^{\mathb{C}}}}}}$을(를) 복잡한 벡터 공간으로$$ 만들 수 있다.

${\displaystyle \alpha (v\otimes \beta )=v\otimes (\alpha \beta )\qquad{\mbox{}}}{{\v\in\mbox{}}}}}}$

보다 일반적으로, 복잡화는 스칼라의 확장의 한 예로서, 즉 여기서 실제 숫자에서 복잡한 숫자로 스칼라를 확장하는 것이다. 스칼라는 어떤 필드 확장에 대해서도, 또는 실제로 어떤 링의 형태주의에 대해서도 수행할 수 있다.

형식적으로, 복합화는 실제 벡터 공간의 범주에서 복합 벡터 공간의 범주에 이르는 펑터 벡트_R → 벡트다_C.이것은 복잡한 구조를 망각하는 망각적인 펑터 벡트_C → 벡트에게_R, 특히 왼쪽 조정자 이다.

이렇게 복잡한 벡터 $공간{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$의 복잡한 구조를 잊어버리는 것을 분해$$(또는 때로는 "실현"이라고도 한다.베이스 $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$$${\$displaystyle e_{\mu }}$을(를) ${\displaystyle {}_{}}$ 복합 벡터 $공간{\displaystyle }$ V ${\$$displaystyle$ $V}$의 분해는 스칼라의 복잡한 곱셈 가능성을 제거하여$,{\displaystyle }$ 따라서 실제 벡터 공간 W ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$$displaystyle W_{\\}{\$${\displaystyle {mathb}_{}\{{}_{}}$을 기준의 두 배의$$ 치수를 산출한다$.$$플레이스타일 \{e_{\mu }},ie_{\mu }\}.$$}$^[1]

기본 속성

텐서 제품의 성격에 따라^C V의 모든 벡터 V는 그 형태로 고유하게 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle v=v_{1}\time 1+v_{2}\time i}$

여기서 v와₁ v는₂ V의 벡터다.텐서 제품 기호를 떨어뜨리고 그냥 쓰는 것이 일반적이다.

${\displaystyle v=v_{1}+iv_{2}.\,}$

복잡한 숫자 a + i b에 의한 곱셈은 일반적인 규칙에 의해 주어진다.

${\displaystyle (a+ib)(v_{1}+iv_{2}=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2})=(v_{1}+av_{2}).\,}$

그러면 우리는 V를^C V의 두 복사본의 직접적인 합으로 간주할 수 있다.

${\displaystyle V^{\mathb {C}}\cong V\oplus iV}$

위의 복잡한 숫자에 의한 곱셈 규칙으로.

V에^C 자연적으로 내장되어 있다.

$v\mapsto v\otimes 1.$

벡터 공간 V는 V의^C 실제 하위 공간으로 간주될 수 있다.V에 기초가 { e_i }(필드 R 위에) 있는 경우, 해당 V의^C 기초는 필드 C에 걸쳐 { e ⊗ 1 }이_i(가) 제공된다.따라서 V의^C 복잡한 치수는 V의 실제 치수와 동일하다.

${\displaystyle \dim _{\mathb {C}{}V^{\mathb {C} }=\dim _{\mathb {R}V.}$

또는 텐서 제품을 사용하는 대신 다음과 같은 직접 합을 복합화의 정의로 사용할 수 있다.

${\displaystyle V^{\mathb {C} }:=V\oplus V,}$

여기서 V ${\displaystyle {C\mathbb{}}^{}}$ ${\$ V$^{\mathb {C}}}}$은(는) $J{\displaystyle (}$v${\displaystyle }$) :${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle w}$ )${\displaystyle }$:${\displaystyle }$( - w ) ,${\displaysty J(v,w):=(-w,v)$로 정의된 연산자에 의해 선형 복합 구조가 주어지며, 여기서$$$$ J는 "display by i"의 작동을 인코딩한다.행렬 형식에서 J는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}.}$

이는 공간을 다르게 구성하지만, 선형 복합 구조를 가진 실제 벡터 공간은 복잡한 벡터 공간과 동일한 데이터인 동일한 공간을 산출한다.따라서 $V{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {C\mathbb{}}^{}}$ ${\$}}은(는) $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle J}$ V ${\displaystyle V\oplus JV}$ 또는$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle V}$, ${\displaysty V\oplus iV}$로 작성될 수 있으며$$, V는 첫 번째 직접 요약으로 식별된다$$.이 접근법은 보다 구체적이며, 기술적으로 관련된 텐서 제품의 사용을 피할 수 있는 장점이 있지만, 특별하다.

예

• 실제 좌표 공간 R의ⁿ 복잡화는 복잡한 좌표 공간 C이다ⁿ.
• 마찬가지로 V가 실제 항목이 포함된 m×n 행렬로 구성된 경우, V는^C 복잡한 항목이 포함된 m×n 행렬로 구성될 것이다.

딕슨 더블링

R에서 C로 이동함으로써 복잡해지는 과정은 레오나드 딕슨을 비롯한 20세기 수학자들에 의해 추상화되었다.하나는 R에 대한 사소한 비자발성으로 신원 매핑 x* = x를 사용하는 것으로 시작한다.다음 R 사본 2부를 사용하여 z = (a , b)를 형성하고 복합적 결합을 비자발적 z* = (a, -b)로 도입한다.두 개의 집합에서 w와 z의 두 원소가 곱하기

$[\displaystyle wz=(a,b)\ba(c,d)=(ac\ -\ d^{*b,\ da\ +\ bc^{*})]}$

마지막으로, 이중 집합에는 N(z) = z* z가 주어진다.ID가 비자발적인 상태에서 R에서 시작할 때, 이중 세트는 C이고, 표준² a + b이다².C를 두 배로 늘리고 결합(a,b)* = (a*, –b)를 사용하면 시공에서 분기점이 발생한다.다시 더블링하면 케일리 숫자라고도 불리는 옥톤이 생성된다.1919년 딕슨이 대수학적 구조를 밝혀내는 데 기여한 것은 바로 이 시점이었다.

이 과정은 또한 C와 사소한 비자발 z* = z로 시작할 수 있다.R을 두 배로 증가시켜 C를 발생시키는 것과는 달리 생산되는 규범은 단순히 z이다².이 C가 두 배로 증가하면 바이컴플렉스 수치가 두 배로 증가하고, 두 배로 증가하면 생체역전이 발생한다.염기대수가 연관되어 있을 때, 이 케이리 딕슨 건설에 의해 생산되는 대수학을 구성대수라고 하는데, 그 성질을 가지고 있음을 보여줄 수 있기 때문이다.

$[\displaystyle N(p\,q)=N(p)\,N(q)\,}$

콤플렉스 결합

복잡한 벡터 공간 V는^C 일반적인 복잡한 벡터 공간보다 더 많은 구조를 가지고 있다.표준 복합 결합 지도와 함께 제공된다.

${\displaystyle \chi :V^{\mathb {C}}\to {\overline {V^{\mathb{C}}}}}}}}}}}}}}}}에 대해$

에 의해 정의된.

$\displaystyle \chi(v\otimes z)=v\otimes {\bar {z}.}$

χ 지도는 V에서^C 그 자체로 결합선형 지도 또는 V에서^C 그것의 복잡한 $결합선형$ V${\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}}$까지 복합 선형 이형성으로 간주할 수 있다${{{V^{\mathb{C$

반대로 복합적 결합 χ이 있는 복합 벡터 공간 W를 감안할 때 W는 실제 서브 공간의 복합화 V에^C 대한 복합 벡터 공간으로서 이형성이 있다.

${\displaystyle V=\{w\in W:\chi(w)=w\}}$

즉, 복잡한 결합을 가진 모든 복잡한 벡터 공간은 실제 벡터 공간의 복합화다.

예를 들어 W = Cⁿ, 표준 복합 결합의 경우

${\displaystyle \chi(z_{1},\ldots ,z_{n}}=({\bar {z}_{1},\ldots, {\bar {z}_{n})}$

불변 아공간 V는 진짜 아공간 R일 뿐이다ⁿ.

선형 변환

두 실제 벡터 공간 사이에 실제 선형 변환 f : V → W가 주어지면 자연 복합 선형 변환이 일어난다.

${\displaystyle f^{\mathb {C} }:V^{\mathb {C}}\to W^{\mathb {C}}}}}}}}}}}}$

에 의해 주어지는.

${\displaystyle f^{\mathb {C}}}(v\otimes z)=f(v)\otimes z.}$

지도 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {C\mathbb{}}^{}}$ ${\$을(를) f의 복잡화라고 한다$$.선형 변환의 복잡화는 다음과 같은 특성을 만족시킨다.

• ${\displaystyle(\mathrm {id} _{V}^{\mathb {C} }=\mathrm {id} _{V^{\mathb {C}}}}}}}}}$
• ${\displaystyle (f\circle g)^{\mathb {C}}=f^{\mathb {C}}\circle g^{\mathb {C}}}}}}}}}}}$
• ${\displaystyle (f+g)^{\mathb {C}}=f^{\mathb {C}}+g^{\mathb {C}}}}}}}$
• ${\displaystyle (af)^{\mathb {C}}=af^{\mathb {C}}\quad \all a\in \mathb {R}}}}$

범주 이론의 언어에서, 복합화는 실제 벡터 공간의 범주에서 복합 벡터 공간의 범주에 이르는 (가법적) 펑터를 정의한다고 말한다.

지도 f는^C 결합과 통근하므로 V의^C 실제 하위 공간을 W의^C 실제 하위 공간(지도 f를 통해)에 매핑한다.더욱이 복잡한 선형 지도 g : V^C → W는^C 실제 선형 지도가 결합과 통용되는 경우에만 복잡한 것이다.

예를 들어, m×n 행렬로 생각되는ⁿ R에서^m R로의 선형 변환을 고려한다.그 변환의 복잡화는 정확히 같은 행렬이지만, 지금은 C에서ⁿ C로^m 가는 선형 지도로 생각되고 있다.

이중 공간 및 텐서 제품

실제 벡터 공간 V의 이중은 V에서 R까지의 모든 실제 선형 맵의 공간 V*이다.V*의 복잡화는 당연히 V에서 C까지(Hom_R(V,C)로 표기된)의 모든 실제 선형 지도의 공간이라고 생각할 수 있다.그것은

${\displaystyle (V^{*})^{\mathb {C}}}=V^{*}\otimes \mathb {C}\cong \mathrm {Hom} _{\mathb {R} }(V,\mathb {C}) \c}.}$

이형성은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle(\varphi _{1}\otimes 1+\varphi _{2}\otimes i)\좌우타로우 \varphi _{1}+i\varphi _{2}$

여기서 φ과₁ φ은₂ V*의 요소다. 복잡한 결합은 통상적인 조작에 의해 이루어진다.

${\displaystyle {\varphi _{1}+i\varphi _{2}}=\varphi _{1}-i\varphi _{2}}:$

실제 선형 지도 φ : V → C를 주어진다면 우리는 선형성에 의해 확장되어 복잡한 선형 지도를 얻을 수 있다 : : V → C^C. 즉,

$\displaystyle \varphi(v\otimes z)=z\varphi(v)}$

이 확장은 Hom_R(V,C)에서 Hom_C(V^C,C)까지 이형성을 제공한다.후자는 V에^C 대한 복잡한 이중 공간일 뿐이므로 우리는 자연 이형성을 가지고 있다.

${\displaystyle (V^{*})^{\mathb {C}}\cong(V^{\mathb {C}}}^{*}}}}}}$

보다 일반적으로 실제 벡터 공간인 V와 W에 자연 이형성이 있다.

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathb {R}^{{}(V,W)^{\mathb {C}{\mathb {Hom} _{\mathb {C}}}}}}}}$

복합화는 또한 텐서 제품, 외부 전력 및 대칭 전력의 운용에도 통용된다.예를 들어 V와 W가 실제 벡터 공간이라면 자연 이형성이 있다.

${\displaystyle(V\otimes _{\mathb {R}}{}W)^{\mathb {C}{}\cong V^{\mathb {C}}\otimes _{\mathb {W^{}{}\mathb {C}}}\, }\, .}$

왼쪽 텐서 제품은 리얼을, 오른쪽 텐서 제품은 콤플렉스를 각각 차지한다는 점에 유의하십시오.대체로 같은 패턴이 적용된다.예를 들어, 사람들은

${\displaystyle(\Lambda _{\mathb {R}{}^{k}V)^{\mathb {C}}^{\mathb {C}}^{\mathb {C}}}}}}}^{\mathb {C}}}}}}}}}^.}$

모든 경우에 있어서, 이형성은 "불확실한" 것이다.

참고 항목

• 스칼라 확장 – 일반 프로세스
• 선형복합구조
• 베이커-캠프벨-하우스도르프 공식

참조

• Halmos, Paul (1974) [1958]. Finite-Dimensional Vector Spaces. Springer. p 41 and §77 Complexification, pp 150–153. ISBN 0-387-90093-4.
• Shaw, Ronald (1982). Linear Algebra and Group Representations. Vol. I: Linear Algebra and Introduction to Group Representations. Academic Press. p. 196. ISBN 0-12-639201-3.
• Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 135 (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 0-387-24766-1.