나비효과

Butterfly effect
기타 용도는 나비 효과(동음이의)를 참조하십시오.
값 θ=28, θ=10, β=8/3에 대한 로렌츠의 이상한 유인체 그림.초기 조건에 대한 나비 효과 또는 민감한 의존성은 흡인기의 다양한 임의적으로 가까운 대체 초기 조건에서 시작하여 반복된 점이 서로 임의로 펼쳐지는 동적 시스템의 특성이다.
동일한 이중 진자의 서로 다른 기록을 사용한 나비 효과의 실험 시연.각 기록에서 진자는 거의 동일한 초기 조건으로 시작됩니다.시간이 지남에 따라 역동성의 차이는 거의 눈에 띄지 않는 것에서 극단적으로 커집니다.

카오스 이론에서 나비 효과는 결정론적 비선형 시스템의 한 상태에서 작은 변화가 나중에 큰 차이를 가져올 수 있는 초기 조건에 대한 민감한 의존성입니다.

이 용어는 수학자이자 기상학자 에드워드 노튼 로렌츠의 연구와 밀접하게 연관되어 있다.그는 나비 효과가 몇 주 전에 날개를 펄럭이는 먼 나비와 같은 사소한 섭동의 영향을 받는 토네이도의 세부 사항(정확한 형성 시간, 정확한 경로)의 은유적인 예에서 파생된다고 지적했다.로렌츠는 원래 폭풍을 일으키는 갈매기를 사용했지만 1972년까지 [1][2]나비와 토네이도를 사용하여 좀 더 시적으로 만들도록 설득되었다.로렌츠는 겉으로 보기에 중요하지 않은 방식으로 반올림된 초기 조건 데이터로 날씨 모델의 런을 관찰했을 때 그 효과를 발견했습니다.그는 날씨 모델이 반올림되지 않은 초기 조건 데이터로 런의 결과를 재현하지 못할 것이라고 언급했다.초기 조건의 아주 작은 변화가 상당히 다른 결과를 [3]만들어냈다.

작은 원인이 날씨에 큰 영향을 미칠 수 있다는 생각은 프랑스의 수학자이자 엔지니어인 앙리 푸앵카레가 일찍이 인정했습니다.미국의 수학자이자 철학자 노버트 위너도 이 이론에 기여했다.로렌츠의 연구는 지구 대기의 불안정성 개념을 양적 기반 위에 놓고 불안정성의 개념을 비선형 역학 및 결정론적 [4]혼돈을 겪고 있는 많은 종류의 동적 시스템의 특성과 연결시켰다.

나비 효과 개념은 작은 변화가 더 큰 결과의 원인이 되어야 하는 모든 상황에 대한 광범위한 용어로 기상과학의 맥락 밖에서 사용되어 왔다.

역사

요한 고틀리브 피히테는 인간의 직업 (1800년)에서 "측정할 수 없는 전체의 모든 부분에서 무언가를 바꾸지 않고는 모래 한 알도 그 자리에서 제거할 수 없다"고 말한다.

카오스 이론과 초기 조건에 대한 민감한 의존성은 많은 형태의 문헌에서 설명되었다.이것은 1890년 [5]푸앵카레의 삼체 문제 사례에서 증명된다.그는 나중에 그러한 현상이 예를 들어 기상학에서 [6]흔할 수 있다고 제안했다.

1898년, 자크 아다마르는 음의 곡률 공간에서 궤도의 일반적인 편차에 주목했다.Pierre Duhem은 [5]1908년에 이것의 가능한 일반적인 의미를 논의했다.

나비 한 마리의 죽음이 결국 이후의 역사적 사건에 광범위한 영향을 미칠 수 있다는 생각은 1952년 레이 브래드베리의 단편 소설인 "천둥이 치는 소리"에서 가장 먼저 나타났다."천둥 소리"는 시간 [7]여행을 특징으로 한다.

하지만 더 정확히 말하자면, 아주 작은 곤충의 날개가 전체 대기의 바람에 영향을 미친다는 거의 정확한 아이디어와 정확한 표현은 로렌츠가 출판하기 1년 전인 1962년에 매우 성공적이고 세계적으로 잘 알려지게 된 어린이 책에 출판되었습니다.

"...우리가 하는 일은 아주 사소한 방법으로도 모든 것과 다른 모든 사람들에게 영향을 미칩니다."왜 집파리가 날개를 퍼덕이면 미풍은 세상을 한 바퀴 돈다.

- 순수한 이성의 공주

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1961년 로렌츠는 수치 컴퓨터 모델을 실행하여 이전 주행의 중간부터의 일기 예보를 바로가기 위해 다시 실행하고 있었다.인쇄물에서 초기 조건 0.506을 입력한 대신 0.506을 입력했습니다.결과는 완전히 다른 날씨 [8]시나리오였다.

로렌츠는 다음과 같이 썼다.

어느 순간 무슨 일이 일어나고 있는지 자세히 알아보기 위해 몇 가지 계산을 반복하기로 했습니다.나는 컴퓨터를 멈추고 조금 전에 출력한 숫자를 한 줄 입력하고 다시 실행시켰다.나는 커피를 마시기 위해 복도를 따라갔다가 약 1시간 후에 돌아왔다. 이 시간 동안 컴퓨터는 약 두 달 동안의 날씨를 시뮬레이션했다.인쇄되고 있는 숫자들은 예전 숫자와는 전혀 달랐다.저는 즉시 진공관이 약하거나 다른 컴퓨터에 문제가 있는 것을 의심했습니다.그것은 드문 일이었지만, 수리를 요청하기 전에, 저는 이것이 수리 프로세스의 속도를 높일 수 있다는 것을 알고, 어디에서 실수가 발생했는지 확인하기로 결정했습니다.갑자기 끊기는 대신 처음에는 오래된 값을 반복했지만, 곧이어 마지막 [10진수]자리에서 하나, 그리고 마지막 [10진수]자리에서 몇 단위씩 차이가 나기 시작했고, 마지막 자리 옆과 그 이전 자리에서도 차이가 나기 시작했습니다.사실, 두 달째에는 원래의 생산량과 비슷한 부분이 없어질 때까지, 4일 마다 그 차이는 거의 2배로 증가했습니다.이것은 무슨 일이 일어났는지 알려주기에 충분했다: 내가 입력한 숫자는 정확한 원래 숫자가 아니라 원본 인쇄물에 나타난 반올림된 값이었다.초기 반올림 오류가 원인입니다. 솔루션을 지배할 때까지 꾸준히 증가했습니다.

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1963년 로렌츠는 결정론적 비주기적[3][10] 흐름이라는 매우 인용이 많은 논문을 통해 이 효과에 대한 이론적 연구를 발표했다. (계산은 로얄 맥비 LGP-30 [11][12]컴퓨터에서 수행되었다.)다른 곳에서 그는 다음과 같이 말했다.

한 기상학자는 만약 그 이론이 맞다면, 갈매기의 날개 한 번으로 날씨의 흐름을 영원히 바꿀 수 있을 것이라고 말했다.논란은 아직 해결되지 않았지만, 가장 최근의 증거는 [12]갈매기들에게 유리한 것으로 보인다.

동료들의 제안에 따라, 이후의 연설과 논문에서 로렌츠는 보다 시적인 나비를 사용했다.로렌츠에 따르면 1972년 미국과학진보협회 139차 회의에서 발표하기로 한 강연의 제목을 제시하지 못하자 필립 메릴레스는 브라질에서 나비의 날개깃이 텍사스에서 토네이도를 일으키는가라는 제목을 [1]지어냈다.비록 날개를 펄럭이는 나비가 이 개념의 표현에서 일정하게 유지되었지만, 나비의 위치, 결과, 그리고 결과의 위치는 [13]매우 다양했다.

이 문구는 나비의 날개가 궁극적으로 토네이도의 경로를 바꾸거나, 다른 장소에서 토네이도의 발생을 지연시키거나, 가속시키거나, 심지어 막을 수 있는 작은 변화를 만들 수 있다는 생각을 말한다.나비는 토네이도에 동력을 공급하거나 직접 토네이도를 발생시키지 않지만, 이 용어는 나비 날개의 플랩이 토네이도를 일으킬 수 있음을 암시하기 위한 것이다. 즉, 날개의 플랩이 상호 연결된 복잡한 거미줄의 초기 조건의 일부라는 점에서; 한 세트의 조건은 토네이도로 이어지고, 다른 일련의 조건은 토네이도로 이어진다.'t. 플랩핑 윙은 시스템의 초기 상태의 작은 변화를 나타내며, 이는 대규모 이벤트 변경으로 이어집니다(비교: Domino 효과).나비가 날개를 퍼덕이지 않았다면 시스템의 궤적은 크게 달랐을지도 모르지만, 나비가 날개를 퍼덕이지 않는 일련의 조건이 토네이도로 이어질 수도 있습니다.

나비 효과는 날씨와 같은 시스템의 초기 조건이 완전한 정확성을 결코 알 수 없기 때문에 예측에 명백한 도전이다.이 문제는 교란된 초기 [14]조건에서 다수의 예측을 하는 앙상블 예측의 개발에 동기를 부여했다.

일부 과학자들은 기상 시스템이 이전에 믿었던 [15]것처럼 초기 조건에 민감하지 않다고 주장해왔다.David Orrell은 일기예보 오류의 주요 원인이 모델 오류이며, 초기 조건에 대한 민감도는 상대적으로 작은 [16][17]역할을 한다고 주장한다.Stephen Wolfram은 또한 로렌츠 방정식이 매우 단순하고 점성 효과를 나타내는 항을 포함하지 않는다고 지적합니다; 그는 이러한 항들이 작은 [18]섭동을 감소시키는 경향이 있다고 믿습니다.추가적인 산란 항과 비선형성을 포함한 일반화 로렌츠 모델을 사용한 최근 연구는 [19]카오스 발생을 위해 더 큰 가열 매개변수가 필요하다는 것을 시사했다.

"나비효과"는 로렌츠가 1963년 발표한 논문 (그리고 이전에 푸앵카레가 관찰한)에서 설명한 종류의 초기 조건에 대한 민감한 의존과 동의어로 설명되는 경우가 많지만, 나비 은유는 원래 그가[1] 1969년에 발표한[20] 작품에 적용되어 아이디어를 한 단계 더 발전시켰다.로렌츠는 대기의 미세한 움직임이 어떻게 더 큰 시스템에 영향을 미치는지에 대한 수학적 모델을 제안했다.그는 이 모델의 시스템이 미래의 특정 지점까지만 예측될 수 있으며, 그 이상으로 초기 조건에서 오류를 줄이는 것은 예측 가능성을 증가시키지 않을 것이라는 것을 발견했다(오차가 0이 아닌 한).이것은 결정론적 시스템이 예측 가능성 측면에서 비결정론적 시스템과 "관찰적으로 구별할 수 없다"는 것을 보여주었다.이 논문의 최근 재조사는 우리의 우주가 양자 [21][22]물리학이 제공하는 도전과 비교할 수 있을 정도로 결정론적이라는 생각에 상당한 도전을 제공했음을 시사한다.

1993년에 [23]출판된 "혼돈의 본질"이라는 책에서 로렌츠는 나비 효과를 다음과 같이 정의했다: "역동적인 시스템 상태의 작은 변화가 이후의 상태를 변화 없이 뒤따르는 상태와 크게 다르게 만들 것이다."이 기능은 [3]의 초기조건(SDIC)에 대한 용액의 민감 의존성과 동일하며, 같은 책에서 로렌츠는 스키의 활동을 적용하여 초기 위치에 대한 시변 경로의 민감도를 드러내는 이상적인 스키 모델을 개발하였다.예측가능성의 지평선은 SDIC가 [24]시작되기 전에 결정된다.

일러스트

로렌츠 어트랙터의 나비효과
time 0 t t 30 30 (표준) z 좌표(표준)
TwoLorenzOrbits.jpg LorenzCoordinatesSmall.jpg
이 그림들은 x좌표에서 10개만 다른−5 두 개의 초기 지점에서 시작하는 로렌츠 유인기에서 동일한 기간 동안 두 궤적의 3차원 진화의 두 세그먼트를 보여준다.파란색과 노란색 궤적의 z 좌표 사이의 작은 차이에서 알 수 있듯이, 처음에는 두 궤적이 일치하는 것처럼 보이지만, t > 23의 경우 그 차이는 궤적의 값만큼 크다.원뿔의 최종 위치는 t = 30에서 두 궤적이 더 이상 일치하지 않음을 나타낸다.
로렌츠 어트랙터의 애니메이션은 연속적인 진화를 보여준다.

이론과 수학적 정의

초기 조건에 대한 민감한 의존성과 함께 초기 상태로의 시스템의 대략적인 복귀는 카오스 운동의 두 가지 주요 요소입니다.시작 대기 조건을 완전히 정확하게 측정하는 것은 불가능하기 때문에 날씨와 같은 복잡한 시스템을 특정 시간 범위(기상의 경우 약 1주일)를 지나 예측하기 어렵게 만드는 실질적인 결과가 있다.

동적 시스템은 임의로 근접한 점이 지수 속도로 시간이 지남에 따라 분리될 경우 초기 조건에 대한 민감한 의존성을 표시합니다.그 정의는 토폴로지적인 것이 아니라 본질적으로 운율적인 것이다.로렌츠는[23] 다음과 같이 민감 의존성을 정의했습니다.

어떤 지점에서 가까운 곳을 지나는 대부분의 다른 궤도가 시간이 경과함에 따라 궤도(즉, 해법)에 근접하지 않을 경우 궤도 특성.

M이 맵 {\ f의 상태 공간인 경우, {\ f는 초기 조건에 대한 의존도를 나타냅니다.M 내의 x 및 > 0에 대해 거리 d(. , . )가 존재하며, , < , 가 됩니다.

어떤 양의 파라미터 a에 대해서.정의에서는 베이스 포인트x에서 떨어진 네이버의 모든 점을 필요로 하는 것은 아니지만, 1개의 양의 Lyapunov 지수를 필요로 합니다.양의 랴푸노프 지수 외에, 유계성은 혼돈한 시스템의 [25]또 다른 주요 특징입니다.

초기 조건에 대한 민감한 의존성을 나타내는 가장 단순한 수학적 프레임워크는 로지스틱 맵의 특정 매개변수화에 의해 제공된다.

대부분의 혼돈 지도와 달리 폐쇄형 솔루션을 사용합니다.

여기서 초기 조건 매개 \}은 x의 유한 뒤에 sin - ( ( / 2) { 1 t {\} } \sin ^{-} {0}} } 으로 됩니다.c 시퀀스 거의 모든이 비이성적이며 비이성적인에 x은 반복되지 이 솔루션 방정식은 카오스의 두 가지 주요 특징인 스트레칭과 폴딩(접기)을n 명확히 보여준다. 인자 2는 스트레칭의 기하급수적인 성장을 나타내며, 초기 조건(나비 효과)에 민감하게 의존하며, 제곱 사인 함수는 x 을 [0, 1] 범위 내에서 .

물리 시스템의 경우

날씨에는

나비 효과는 날씨 측면에서 가장 친숙합니다. 예를 들어, 표준 날씨 예측 모델에서 쉽게 입증할 수 있습니다.기후학자 제임스 아난과 윌리엄 코놀리는 혼돈은 일기예보 방법의 개발에 중요하다고 설명한다; 모델들은 초기 조건에 민감하다.그들은 "물론 알려지지 않은 나비가 날개를 펄럭이는 것은 일기예보와 직접적인 관계가 없습니다. 왜냐하면 작은 동요가 상당한 크기로 커지기까지는 너무 오래 걸릴 것이고, 우리는 더 많은 즉각적인 불확실성을 가지고 있기 때문입니다.따라서 이 현상이 일기예보에 미치는 직접적인 영향은 다소 잘못된 [26]경우가 많습니다."초기 [3]조건에 대한 민감한 의존성과 먼 [1]거리에서 조직화된 순환을 만드는 작은 섭동의 능력을 포함한 두 종류의 나비 효과는 정확히 [27]동일하지 않다.두 종류의 나비[1][3] 효과와 세 번째 종류의 나비[20][21][22] 효과의 비교가 문서화되었습니다.[28]

로렌츠 모델 내에서 혼돈과 비혼돈의 인자가 공존한다는 것을 밝혀냄으로써, Shen과 그의 동료들은 "날씨가 혼돈과 질서를 가지고 있다"는 기존의 "날씨가 [29][30]혼돈스럽다"는 견해와는 대조적으로 수정된 견해를 제안했다.그 결과, 초기 조건(SDIC)에 대한 의존이 항상 나타나는 것은 아닙니다.즉, SDIC는 두 개의 궤도(즉, 솔루션)가 혼돈 유인체가 될 때 나타난다. 두 개의 궤도가 동일한 점 유인체 쪽으로 이동할 때는 나타나지 않는다.이중 진자 운동을 위한 위의 애니메이션은 유추를 제공한다.큰 흔들림의 각도에서 진자의 움직임은 종종 [31][32]혼란스럽다.그에 비해 흔들림의 각도가 작을 경우 움직임은 혼돈적이지 않다.

양자역학에서

초기 조건(나비 효과)에 대한 민감한 의존성의 잠재성은 강한 장에 있는 원자와 이방성 [33][34]케플러 문제를 포함한 반고전 및 양자 물리학에서 많은 경우에 연구되어 왔다.일부 저자는 초기 조건에 대한 극단적(지수적) 의존성이 순수한 양자 [35][36]치료에서는 기대되지 않는다고 주장했지만, 고전 운동에서 입증되는 초기 조건에 대한 민감한 의존성은 마틴 구츠윌러와[37] 존 B에 의해 개발된 반고전적 치료법에 포함되어 있다.델로스와 [38]동료들랜덤 매트릭스 이론과 양자 컴퓨터 시뮬레이션은 양자 역학에서 나비 효과의 일부 버전이 [39]존재하지 않는다는 것을 증명한다.

다른 저자들은 나비 효과가 양자 시스템에서 관찰될 수 있다고 제안한다.Zbiszek P. Karkuszewski 등은 약간 다른 해밀턴을 가진 양자 시스템의 시간 진화를 고찰한다.그들은 주어진 해밀턴의 [40]작은 변화에 대한 양자 시스템의 민감도 수준을 조사한다.데이비드 풀린 등은 충실도 붕괴를 측정하기 위한 양자 알고리즘을 제시했는데, 이 알고리즘은 "동일한 초기 상태가 약간 다른 역학에 노출되었을 때 갈라지는 속도를 측정한다"고 말했다.그들은 충실의 붕괴가 (순수히 고전적인) 나비 [41]효과와 가장 가까운 양자 유사하다고 생각한다.고전적인 나비 효과는 주어진 해밀턴 시스템에서 물체의 위치 및/또는 속도의 작은 변화의 효과를 고려하는 반면, 양자 나비 효과는 주어진 초기 위치와 속도로 [42][43]해밀턴 시스템의 작은 변화의 효과를 고려합니다.이 양자 나비 효과는 실험적으로 [44]증명되었다.초기 조건에 대한 시스템 민감도의 양자 및 반고전적 처리는 양자 [35][42]카오스라고 알려져 있습니다.

대중문화에서

주요 기사:대중문화의 나비효과

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ a b c d e "Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?" (PDF). Retrieved 23 December 2021.
  2. ^ "When Lorenz Discovered the Butterfly Effect". 22 May 2015. Retrieved 23 December 2021.
  3. ^ a b c d e Lorenz, Edward N. (March 1963). "Deterministic Nonperiodic Flow". Journal of the Atmospheric Sciences. 20 (2): 130–141. Bibcode:1963JAtS...20..130L. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:dnf>2.0.co;2.
  4. ^ Rouvas-Nicolis, Catherine; Nicolis, Gregoire (4 May 2009). "Butterfly effect". Scholarpedia. Vol. 4. p. 1720. doi:10.4249/scholarpedia.1720. Archived from the original on 2016-01-02. Retrieved 2016-01-02.
  5. ^ a b 일부 이력: 2006년 7월 19일 웨이백 머신에 보관된 혼돈 이론의 역사
  6. ^ Steves, Bonnie; Maciejewski, AJ (September 2001). The Restless Universe Applications of Gravitational N-Body Dynamics to Planetary Stellar and Galactic Systems. USA: CRC Press. ISBN 0750308222. Retrieved January 6, 2014.
  7. ^ Flam, Faye (2012-06-15). "The Physics of Ray Bradbury's "A Sound of Thunder"". The Philadelphia Inquirer. Archived from the original on 2015-09-24. Retrieved 2015-09-02.
  8. ^ Gleick, James (1987). Chaos: Making a New Science. Viking. p. 16. ISBN 0-8133-4085-3.
  9. ^ Motter, Adilson E.; Campbell, David K. (2013). "Chaos at fifty". Physics Today. 66 (5): 27–33. arXiv:1306.5777. Bibcode:2013PhT....66e..27M. doi:10.1063/PT.3.1977. S2CID 54005470.
  10. ^ Google Scholar 인용 레코드
  11. ^ "Part19". Cs.ualberta.ca. 1960-11-22. Archived from the original on 2009-07-17. Retrieved 2014-06-08.
  12. ^ a b Lorenz, Edward N. (1963). "The Predictability of Hydrodynamic Flow" (PDF). Transactions of the New York Academy of Sciences. 25 (4): 409–432. doi:10.1111/j.2164-0947.1963.tb01464.x. Archived (PDF) from the original on 10 October 2014. Retrieved 1 September 2014.
  13. ^ "The Butterfly Effects: Variations on a Meme". AP42 ...and everything. Archived from the original on 11 November 2011. Retrieved 3 August 2011.
  14. ^ Woods, Austin (2005). Medium-range weather prediction: The European approach; The story of the European Centre for Medium-Range Weather Forecasts. New York: Springer. p. 118. ISBN 978-0387269283.
  15. ^ Orrell, David; Smith, Leonard; Barkmeijer, Jan; Palmer, Tim (2001). "Model error in weather forecasting". Nonlinear Processes in Geophysics. 9 (6): 357–371. Bibcode:2001NPGeo...8..357O. doi:10.5194/npg-8-357-2001.
  16. ^ Orrell, David (2002). "Role of the metric in forecast error growth: How chaotic is the weather?". Tellus. 54A (4): 350–362. Bibcode:2002TellA..54..350O. doi:10.3402/tellusa.v54i4.12159.
  17. ^ Orrell, David (2012). Truth or Beauty: Science and the Quest for Order. New Haven: Yale University Press. p. 208. ISBN 978-0300186611.
  18. ^ Wolfram, Stephen (2002). A New Kind of Science. Wolfram Media. p. 998. ISBN 978-1579550080.
  19. ^ Shen, Bo-Wen (2019). "Aggregated Negative Feedback in a Generalized Lorenz Model". International Journal of Bifurcation and Chaos. 29 (3): 1950037. doi:10.1142/S0218127419500378. S2CID 132494234.
  20. ^ a b Lorenz, Edward N. (June 1969). "The predictability of a flow which possesses many scales of motion". Tellus. XXI (3): 289–297. Bibcode:1969Tell...21..289L. doi:10.1111/j.2153-3490.1969.tb00444.x.
  21. ^ a b Tim, Palmer (19 May 2017). "The Butterfly Effect – What Does It Really Signify?". Oxford U. Dept. of Mathematics Youtube Channel. Archived from the original on 2021-10-31. Retrieved 13 February 2019.
  22. ^ a b Emanuel, Kerry (26 March 2018). "Edward N. Lorenz and the End of the Cartesian Universe". MIT Department of Earth, Atmospheric, and Planetary Sciences Youtube channel. Archived from the original on 2021-10-31. Retrieved 13 February 2019.
  23. ^ a b Lorenz, Edward N. (1993). The essence of chaos. London: UCL Press. ISBN 0-203-21458-7. OCLC 56620850.
  24. ^ Shen, Bo-Wen; Pielke, Roger A.; Zeng, Xubin (2022-05-07). "One Saddle Point and Two Types of Sensitivities within the Lorenz 1963 and 1969 Models". Atmosphere. 13 (5): 753. doi:10.3390/atmos13050753. ISSN 2073-4433.
  25. ^ W., Jordan, Dominic (2011). Nonlinear ordinary differential equations: an introduction for scientists and engineers. Oxford Univ. Press. ISBN 978-0-19-920825-8. OCLC 772641393.
  26. ^ "Chaos and Climate". RealClimate. 4 November 2005. Archived from the original on 2014-07-02. Retrieved 2014-06-08.
  27. ^ Shen, Bo-Wen (2014-05-01). "Nonlinear Feedback in a Five-Dimensional Lorenz Model". Journal of the Atmospheric Sciences. 71 (5): 1701–1723. doi:10.1175/JAS-D-13-0223.1. ISSN 0022-4928.
  28. ^ Shen, Bo-Wen; Pielke, Roger A.; Zeng, Xubin; Cui, Jialin; Faghih-Naini, Sara; Paxson, Wei; Atlas, Robert (2022-07-04). "Three Kinds of Butterfly Effects within Lorenz Models". Encyclopedia. 2 (3): 1250–1259. doi:10.3390/encyclopedia2030084. ISSN 2673-8392.
  29. ^ Shen, Bo-Wen; Pielke, Roger A.; Zeng, Xubin; Baik, Jong-Jin; Faghih-Naini, Sara; Cui, Jialin; Atlas, Robert (2021-01-01). "Is Weather Chaotic?: Coexistence of Chaos and Order within a Generalized Lorenz Model". Bulletin of the American Meteorological Society. 102 (1): E148–E158. doi:10.1175/BAMS-D-19-0165.1. ISSN 0003-0007. S2CID 208369617.
  30. ^ Shen, Bo-Wen; Pielke Sr., R. A.; Zeng, X.; Baik, J.-J.; Faghih-Naini, S.; Cui, J.; Atlas, R.; Reyes, T. A. L. (2021). Skiadas, Christos H.; Dimotikalis, Yiannis (eds.). "Is Weather Chaotic? Coexisting Chaotic and Non-chaotic Attractors Within Lorenz Models". 13th Chaotic Modeling and Simulation International Conference. Springer Proceedings in Complexity. Cham: Springer International Publishing: 805–825. doi:10.1007/978-3-030-70795-8_57. ISBN 978-3-030-70795-8. S2CID 245197840.
  31. ^ Richter, P. H.; Scholz, H.-J. (1984), "Chaos in Classical Mechanics: The Double Pendulum", Stochastic Phenomena and Chaotic Behaviour in Complex Systems, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 86–97, doi:10.1007/978-3-642-69591-9_9, ISBN 978-3-642-69593-3, retrieved 2022-07-11
  32. ^ Shinbrot, Troy, Celso A Grebogi, Jack Wisdom, James A Yorke (1992). "Chaos in a double pendulum". American Journal of Physics. 60 (6): 491–499. doi:10.1119/1.16860.
  33. ^ Heller, E. J.; Tomsovic, S. (July 1993). "Postmodern Quantum Mechanics". Physics Today. 46 (7): 38–46. Bibcode:1993PhT....46g..38H. doi:10.1063/1.881358.
  34. ^ Gutzwiller, Martin C. (1990). Chaos in Classical and Quantum Mechanics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97173-4.
  35. ^ a b Rudnick, Ze'ev (January 2008). "What is... Quantum Chaos?" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. Archived (PDF) from the original on 2009-10-02.
  36. ^ Berry, Michael (1989). "Quantum chaology, not quantum chaos". Physica Scripta. 40 (3): 335–336. Bibcode:1989PhyS...40..335B. doi:10.1088/0031-8949/40/3/013. S2CID 250776260.
  37. ^ Gutzwiller, Martin C. (1971). "Periodic Orbits and Classical Quantization Conditions". Journal of Mathematical Physics. 12 (3): 343. Bibcode:1971JMP....12..343G. doi:10.1063/1.1665596.
  38. ^ Gao, J. & Delos, J. B. (1992). "Closed-orbit theory of oscillations in atomic photoabsorption cross sections in a strong electric field. II. Derivation of formulas". Physical Review A. 46 (3): 1455–1467. Bibcode:1992PhRvA..46.1455G. doi:10.1103/PhysRevA.46.1455. PMID 9908268. S2CID 7877923.
  39. ^ Yan, Bin; Sinitsyn, Nikolai A. (2020). "Recovery of Damaged Information and the Out-of-Time-Ordered Correlators". Physical Review Letters. 125 (4): 040605. arXiv:2003.07267. Bibcode:2020PhRvL.125d0605Y. doi:10.1103/PhysRevLett.125.040605. PMID 32794812. S2CID 212725801.
  40. ^ Karkuszewski, Zbyszek P.; Jarzynski, Christopher; Zurek, Wojciech H. (2002). "Quantum Chaotic Environments, the Butterfly Effect, and Decoherence". Physical Review Letters. 89 (17): 170405. arXiv:quant-ph/0111002. Bibcode:2002PhRvL..89q0405K. doi:10.1103/PhysRevLett.89.170405. PMID 12398653. S2CID 33363344.
  41. ^ Poulin, David; Blume-Kohout, Robin; Laflamme, Raymond & Ollivier, Harold (2004). "Exponential Speedup with a Single Bit of Quantum Information: Measuring the Average Fidelity Decay". Physical Review Letters. 92 (17): 177906. arXiv:quant-ph/0310038. Bibcode:2004PhRvL..92q7906P. doi:10.1103/PhysRevLett.92.177906. PMID 15169196. S2CID 6218604.
  42. ^ a b Poulin, David. "A Rough Guide to Quantum Chaos" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2010-11-04.
  43. ^ Peres, A. (1995). Quantum Theory: Concepts and Methods. Dordrecht: Kluwer Academic.
  44. ^ Lee, Jae-Seung & Khitrin, A. K. (2004). "Quantum amplifier: Measurement with entangled spins". Journal of Chemical Physics. 121 (9): 3949–51. Bibcode:2004JChPh.121.3949L. doi:10.1063/1.1788661. PMID 15332940.

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