케플러 문제

고전 역학에서 케플러 문제는 두 물체가 중심력 F에 의해 상호작용하는 두 물체 문제의 특별한 경우로, 두 물체 사이의 거리 r의 역제곱으로 변화합니다.그 힘은 매력적일 수도 있고 혐오스러울 수도 있다.문제는 질량과 위치, 속도를 감안할 때 시간에 따른 두 물체의 위치나 속도를 찾는 것이다.고전 역학을 사용하여, 해답은 6개의 궤도 요소를 사용하여 케플러 궤도로 표현될 수 있다.

케플러 문제는 케플러의 행성 운동 법칙을 제안하고 그 법칙을 따르는 궤도의 결과를 가져올 힘의 종류를 연구한 요하네스 ^[1]케플러의 이름을 따왔다.

반지름 궤도에 고유한 케플러 문제에 대한 설명은 반지름 궤적을 참조하십시오.일반상대성이론은 특히 강한 중력장에서 이체 문제에 대한 보다 정확한 해결책을 제공한다.

적용들

케플러 문제는 케플러 자신이 연구한 물리학을 넘어 많은 맥락에서 발생합니다.케플러 문제는 뉴턴의 중력이 역제곱 법칙에 따르기 때문에 천체역학에서 중요하다.예를 들어, 행성 주위를 움직이는 위성, 태양 주위를 도는 행성, 또는 서로 주위를 도는 두 개의 쌍성이 있다.쿨롱의 정전 법칙도 역제곱 법칙을 따르기 때문에 케플러 문제는 두 개의 하전 입자의 운동에서도 중요하다.예를 들어 수소 원자, 포지트로늄, 뮤오늄 등이 있는데, 이들은 모두 물리 이론을 테스트하고 자연의 ^{[citation needed]}상수를 측정하는 모델 시스템으로서 중요한 역할을 해왔다.

케플러 문제와 단순 조화 진동자 문제는 고전 역학의 가장 근본적인 두 가지 문제입니다.이들은 모든 가능한 초기 조건 집합에 대해 닫힌 궤도를 가진 유일한 문제이며, 즉 동일한 속도로 시작점으로 되돌아간다(베르트랑의 정리).케플러 문제는 라그랑주 역학, 해밀턴 역학, 해밀턴-야코비 방정식, 그리고 작용-각도 ^{[citation needed]}좌표와 같은 고전 역학에서 새로운 방법을 개발하기 위해 종종 사용되어 왔다.케플러 문제는 또한 라플라스-룽지-렌즈 벡터를 보존하며, 이후 다른 상호작용을 포함하는 것으로 일반화되었다.케플러 문제의 해답은 과학자들이 행성 운동이 전적으로 고전 역학과 뉴턴의 중력의 법칙에 의해 설명될 수 있다는 것을 보여줄 수 있게 해주었다; 행성 운동에 대한 과학적 설명은 계몽주의를 이끄는 데 중요한 역할을 했다.

수학적 정의

두 물체 사이의 중심력 F는 물체 간 거리 r의 역제곱에 따라 강도가 달라진다.

\mathbf {F} = flac {k} {r^{2}} \ mathbf {r}

여기서 k는 상수이고 $^$ { $displaystyle \mathbf {r}}$ 는 ^[2]둘 사이의 선을 따른 단위 벡터를 나타냅니다 $\mathbf {\hat {r}}$ .힘은 유인력(k<0) 또는 반발력(k>0)일 수 있다.대응하는 스칼라 가능성은 다음과 같습니다.

V(r)=black {k}{r}

케플러 문제의 해법

중심 $V(r)$ V $(r)$ 를 $V(r)$ 이동하는 $m$ $질량$ m $($ r) $r$ 의 반지름r(\ $displaystyle$ r $)$ 에 $r$ 대한 운동 방정식은 라그랑주 방정식에 의해 주어진다.

mbrac {d^{2}r}-mbr\opega ^{2}=mbr frac {d^{2}r}-{\frac {L^{2}}-{mr^{3}}=-{\frac {dV}{dr}}}-{\frclac {dr}}

\omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}

ω

\omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}

d

\omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}

d

\omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}

\ display

style

\

obega

\

equiv

{

frac

{ d\theta } {

dt}}

및

L=mr^{2}\omega

L =

L=mr^{2}\omega

L=mr^{2}\omega

2

ω

{

displaystyle L=mr^{2

} \

L=mr^{2}\omega

obega

L=mr^{2}\omega

}는

\omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}

\omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}

된다.그림에서 왼쪽의 첫 번째 항은 원형 궤도의 경우 0이며, 안쪽으로

{\frac {dV}{dr}}

{\frac {dV}{dr}}

d

{\frac {dV}{dr}}

d

(\displaystyle

{

dV}

{dr

})

는 예상대로 구심력

mr\omega ^{2}

mr\omega ^{2}

r

{\

2 (\

displaystyle mr\

obe

^2

과

{\frac {dV}{dr}}

같다.

L이 0이 아닐 경우 각운동량의 정의에 따라 독립 변수를 t $\displaystyle$ t에서 $\theta$ \ $displaystyle \theta$ 로 변경할 수 있습니다 $.$

{d} {dt} = flac {L} {mr^{2}} {\frac {d} {d\theta}

시간과 무관한 새로운 운동 방정식을 주는 것

{\frac {L}{r^{2}}{\frac {d\theta}}{mr^{2}}{\frac {dr}{d\theta}}-{\right}-{\frac {L^2}}=-{\frac {DRAC}}}{\frac {DRAC}}}}{DR}}}}}{{DR}}}}}}}}

첫 번째 학기의 확대는

{\frac {L}{r^{2}}{\frac {d\theta}}{mr^{2}}{\right}=-{\frac {2L^{2}}{\frac {dr}}}{\frac {drc}}{drc}}{\frac {drc}

$u\equiv {\frac {1}{r}}$ 방정식은 변수 u $u\equiv {\frac {1}{r}}$ 1 $u\equiv {\frac {1}{r}}$ { $displaystyle u$ \ $equiv$ { $frac$ ${$ { r $u\equiv {\frac {1}{r}}$ } and $u\equiv {\frac {1}{r}}$ 2 L 2 { $displaystyle$ { ${\frac {mr^{2}}{L^{2}}}$ ^ { $2}}$ } ${\frac {mr^{2}}{L^{2}}}$ making ilinilin ilin ilin ilin ilin ilin on on on on on on on on on on on on on on on on on on on on on on1 l 2 ${\frac {mr^{2}}{L^{2}}}$ ${\frac {mr^{2}}{L^{2}}}$ ${\frac {mr^{2}}{L^{2}}}$ 2

{du} {d\theta } = flac {-1} {r^{2}} {\frac {dr} {d\theta }

({displaystyle {d^{2}u}{d\theta ^{2}}=black{2}{r^{3}}}\left\frac{dr}{d\theta}}){2}-{\frac{1}{r^2}{d2}}{\ta}}}})

교체 및 재배치 후:

{\displaystyle {d^{2}u}{d\theta ^{2}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}{\frac {du}}V\left({\frac {1}{u}}\right})

중력이나 정전기 전위와 같은 역제곱 힘의 법칙에 대해 전위는 다음과 같이 쓸 수 있다.

V(\mathbf {r})=param frac {k}{r}=ku

$u(\theta )$ ( $u(\theta )$ ) \ $display$ u ( \ $theta$ )는 $u(\theta )$ 일반 방정식에서 도출할 수 있습니다.

{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {du}}V\left({\frac {1}{u}}\right}=-{\frac {km}L^{2}}}}:

$-{\frac {km}{L^{2}}}$ 솔루션은 상수 $-{\frac {km}{L^{2}}}$ $-{\frac {km}{L^{2}}}$ $-{\frac {km}{L^{2}}}$ L 2 $(\$ 입니다. $L$ 단순정현동체

u\equiv {1}{r}}=-{\frac {km}{L^{2}}\left [1+e\cos(\theta -\theta _{0}\right]

$e$ 서 e{\ $displaystyle$ $\theta _{0}$ e}( $e$ 편심) $\theta _{0}$ $§$ 0(\displaystyle \ $theta _{0$ })( $\theta _{0}$ 위상 오프셋)은 통합 상수입니다.

이는 원점에 1개의 포커스를 갖는 원뿔 섹션의 일반적인 $e=0$ 입니다. e $e=0$ $e=1$ 0 { $displaystyle$ e $=$ $e<1$ 0 }은 $e=0$ $e=1$ 원에 $e<1$ 하고 $e<1$ e < 1 { $displaystyle$ e $=$ 1은 $e<1$ $e>1$ 에 $e>1$ 하며 $e>1$ $e$ > 1 { $displaystyle$ e $e>1$ > $e>1$ 1은 쌍곡선에 해당합니다 $e>1$ . $e는$ 총 $에너지$ E $($ 와 $e$ 관련이 있습니다.라플라스-룽지-렌즈 벡터)

e=modulert {1+{\frac {2}EL^{2}}{k^{2}m}}}

이 공식들을 비교하면 $E<0$ E < $E<0$ { $displaystyle$ E < $0$ }는 $E<0$ 타원, $E=0$ $E=0$ { $displaystyle$ E $= 0$ }은 $E=0$ 포물선에, $E>0$ > $E>0$ { $displaystyle$ E $> 0$ 은 쌍곡선에 $E<0$ 한다 $E>0$ . $E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}$ E $=$ - $E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}$ $E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}$ $E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}$ $E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}$ 2 ${\$ E=-{\ $frac {k^{2}m}{2$ } $L^{2}}}:$ 완전한 $E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}$ 원형 궤도의 경우(중심력은 특정 원형 반지름에 대해 필요한 각 속도를 결정하는 구심력 요건과 정확히 동일).

반발력(k > 0)의 경우 e > 1만 적용된다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Goldstein, H. (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). Addison Wesley.
^ Arnold, VI (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed. New York: Springer-Verlag. p. 38. ISBN 978-0-387-96890-2.

[goldstein_1980-1] Goldstein, H. (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). Addison Wesley.

[2] Arnold, VI (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed. New York: Springer-Verlag. p. 38. ISBN 978-0-387-96890-2.

[1]

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