애드주게이트 행렬

선형대수학에서 정사각형 행렬의 보조문 또는 고전적 보조점은 그 공동 인자 행렬의 전치물이다.^[1] 이 명칭은 사용량이 줄어든 것으로 보이지만 보조 행렬이라고도 한다.^[2][3]

애드주게이트는^[4] 때때로 "성직"^[5]이라고 불렸지만, 오늘날 매트릭스의 "성직"은 일반적으로 해당 부선 연산자를 가리키는데, 이 연산자는 그 결합 전치인 것이다.

정의

A의 애드주게이트는 A의 공액자 행렬 C의 전치점이다.

${\displaystyle \operatorname {adj}(\mathbf {A} )=\mathbf {C}^{\mathsf {T}.}$

더 자세히 말하자면, R이 단수 교환 고리이고 A가 R의 항목이 있는 n × n 행렬이라고 가정하자. M으로_ij 표시된 A의 (i, j)-minor는 A의 i행과 j열에서 발생하는 (n - 1)× (n - 1) 행렬의 결정인자다. A의 공 인자 행렬은 (i, j) 항목이 A의 (i, j) 공 인자인 n × n 행렬 C이며, 이는 (i, j)-minor 곱하기 기호 인자이다.

${\displaystyle \mathbf {C} =\왼쪽(-1)^{i+j}\mathbf {M}_{ij}\오른쪽)_{1\leq i,j\leq n}.}$

A의 애드주게이트는 C의 전치, 즉 (i, j) 입력이 A의 (j, i) 공동 인자인 n × n 행렬이다.

${\displaystyle \operatorname {adj}(\mathbf {A} )=\mathbf {C}^{\mathsf{T}=\{{i+j}}\mathbf {M} _{ji}\right)_{1\leq i,j\leqn}.}$

애드주게이트는 애드주게이트가 있는 A의 제품이 대각 행렬을 생성하며 대각선 입력이 결정인 데트(A)가 되도록 정의된다. 그것은

${\displaystyle \mathbf {A} \operatorname {adj}(\mathbf {A} )=\operatorname {adj}(\mathbf {A} )\mathbf {A} =\det(\mathbf {A})\mathbf {I},},},}$

여기서 나는 n × n 아이덴티티 매트릭스다. 이것은 라플라스 확장의 결정요소의 결과물이다.

위의 공식은 매트릭스 대수에서 기본적인 결과 중 하나를 의미하며, 디트(A)가 R의 반전 가능한 요소인 경우에만 A가 반전 가능하다는 것을 의미한다. 이것이 유지되면 위의 방정식이 산출된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )&=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1},\\\mathbf {A} ^{-1}&=\det(\mathbf {A} )^{-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).\end{정렬}}}$

예

1 × 1 일반 행렬

0이 아닌 모든 1×1 행렬(복잡한 스칼라)의 애드주게이트는 $I{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle \begin{array}{c}1\mathrm{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}]\end{array}}$ ${\$ 관례상 보조(0) = 0.

2 × 2 일반 행렬

2 × 2 행렬의 애드주게이트

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}}$

이다

${\displaystyle \operatorname {adj}(\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-b\-c&a\end{bmatrix}}.}$

직접 계산에 의해,

${\displaystyle \mathbf {A} \operatorname {adj}(\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}ad-bc&0\&ad-bc\end{bmatrix}=(\det \mathbf {A})\mathbf {I}.}}}}$

이 경우 det(adj(A) = det(A) = det(A) = det(A) = det(A) = adj(A) = A인 것도 사실이다.

3 × 3 일반 행렬

3 × 3 행렬을 고려하십시오.

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\\\a_{21}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}}}.}$

이것의 공요소 행렬은

${\displaystyle \mathbf{C}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&, a_{23}\\a_{32}&, a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&, a_{23}\\a_{31일}&, a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&, a_{22}\\a_{31일}&, a_{32}\end{vmatrix}}\\\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&, a_{13}\\a_{32}&, a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&, a_{13}\\a_{31일}&, a_{33}\end{vmatrix}}&-{)begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}},}$

어디에

${\displaystyle {\bmatrix}a_{im}a_{in}\\\a_{jm}_{jn}\end{vmatrix}}}}=\det \!{\\nmatrix}a_{bmatrix}a_{jm}&a}&a_{jn}end{bmatrix}.}$

그것의 애드주게이트는 그 공동 인자 행렬의 전치물이며,

${\displaystyle \operatorname{adj}(\mathbf{A})=\mathbf{C}^{\mathsf{T}}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&, a_{23}\\a_{32}&, a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&, a_{13}\\a_{32}&, a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&, a_{13}\\a_{22}&, a_{23}\end{vmatrix}}\\&, &, \\-{\begin{vmatrix}a_{21}&, a_{2.3}\\a_{31일}&, a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&, a_{13}\\a_{31일}&, a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&, a_{13}\\a_{21}&, a_{23}\end{vmatrix}}\\&, &, \\+{\begin{vmatrix}a_{21}&, a_{22}\\a_{31일}&, a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&, a_{12}\\a_{31일}&, a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&, a_{12}\\a_{21}&, a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}.}$

3 × 3 숫자 행렬

구체적인 예로서, 우리는

${\displaystyle \property}\{bmatrix}-3&2&-5\\-1&#1&#1&#1&#1\end{bmatrix}={\\\\nmatrix}-8&18&-4\-5&12&#1\4&6&#2\end{bmatrix}}}}.}$

애드주게이트가 결정인 -6의 역배수인지 쉽게 확인할 수 있다.

애드주게이트의 두 번째 행의 -1은 다음과 같이 계산되었다. 애드주게이트의 (2,3) 엔트리는 A의 (3,2) 공동 인자다. 이 공동 계수는 원래 행렬 A의 세 번째 행과 두 번째 열을 삭제하여 얻은 하위 계수를 사용하여 계산한다.

${\displaystyle {\bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}.}$

(3,2) 공분자는 이 하위 거주자의 결정 인자에 대한 기호 시간이다.

${\displaystyle(-1)^{3+2}\detname {det} \!{\\bmatrix}-3&-5\-1&-2\end{bmatrix}}=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=1,}$

그리고 이것이 애드주게이트의 (2,3) 출입구다.

특성.

어떤 n × n 매트릭스 A의 경우, 기본 계산에서는 애드주게이트가 다음과 같은 특성을 누리고 있음을 보여준다.

• ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {0} )=\mathbf {0} }$ and ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} }$, where ${\displaystyle \mathbf {0} }$ and ${\displaystyle \mathbf {I} }$ are the zero and identity matrices, respectively.
• ${\displaystyle \mathrm{adj}}$(${\displaystyle c\mathbf{}}$ A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{adj}}$ ${\displaystyle (A\mathbf{}}$) ${\displaystyle \operatorname {adj}(c\mathbf {A} )=c^{n-1}\operatorname {adj}(\mathbf {A})$ 모든 스칼라 c에 대해$$$.$
• ${\displaystyle \mathrm{adj}}$(${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{}}^{}}$) =${\displaystyle \mathrm{adj}}$(${\displaystyle {A\mathsf{}}^{}}$ ${\displaystyle ){}^{}}$ T ${\${adj$}(\mathbf {A} )^{\mathsf {T$
• ${\displaystyle det}$( ${\displaystyle adj\mathbf{}}$ ${\displaystyle }$( A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle det\mathbf{}}$ A${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$\det \$mathbf {A} )^{n-1$
• A을(를) 변환할 수 없는 ${\displaystyle {\mathrm{경우}}^{}\mathrm{adj}}$ ${\displaystyle (A\mathbf{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle Detect\mathbf{}}$ A ) A${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\$^{-$1$ 다음에 해당된다.
  • adj(A)는 역(디테일 A)⁻¹A로 변환할 수 있다.
  • adj(A⁻¹) = adj(A)⁻¹
• adj(A)는 A의 항목별 다항식이다. 특히 애드주게이트는 실제 수치나 복잡한 숫자에 걸쳐서 A의 기재의 원활한 기능이다.

복잡한 숫자에 걸쳐서

• ${\displaystyle \mathrm{adj}}$(${\displaystyle A\stackrel{}{\mathbf{}}¯)}$=$}({\$overline {\$operatorname {adj}(\mathbf {A$ 여기서 막대는 복잡한 결합을 나타낸다.
• ${\displaystyle \mathrm{adj}}$(${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{adj}}$ (${\displaystyle A\mathbf{}}$ ${\displaystyle ){}^{}{\ast }^{}}$ ${\$ $)^\{*\}\},$ 여기서 별표는 전치현상을 나타낸다.

B가 또 다른 n × n 행렬이라고 가정하자. 그러면

${\displaystyle \operatorname {adj}(\mathbf {AB} )=\operatorname {adj}(\mathbf {B})\operatorname {adj}(\mathbf {A}).}$

이것은 세 가지 방법으로 증명할 수 있다. 모든 교환 링에 유효한 한 가지 방법은 Cauchy-Binet 공식을 사용한 직접 연산이다. 두 번째 방법은 실제 또는 복잡한 숫자에 대해 유효하며, 먼저 변환 불가능한 행렬 A와 B에 대해

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {B} )\mathbf {B} ^{-1}(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {AB} )(\mathbf {AB} )^{-1}=\operatorname {adj} (\mathbf {AB} ).}$

모든 비반복성 매트릭스는 변위성 매트릭스의 한계이기 때문에, 애드주게이트의 연속성은 A나 B 중 하나가 변위성이 아닐 때 공식이 참으로 유지됨을 의미한다.

이전 공식의 상수는 음이 아닌 정수 k에 대해

${\displaystyle \operatorname {adj}(\mathbf {A}^{k}=\mathbname {adj}(\mathbf {A} )^{k}).$

A가 변위할 수 없는 경우 위의 공식은 음의 k도 유지한다.

정체성으로부터

${\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )(\mathbf {A} +\mathbf {B} ),}$

우리는 추론한다.

${\displaystyle \mathbf {A} \operatorname {adj}(\mathbf {A} +\mathbf {B})\mathbf {B} \mathbname {adj}(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {A}.}.}}$

A가 B와 통근한다고 가정하자. AB = 왼쪽과 오른쪽의 BA에 Adj(A)를 곱한 것은 다음과 같은 것을 증명한다.

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )\operatorname {adj}(\mathbf {A} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {B}\mathbf {adj}(\mathbf {A}).}$

A가 변위할 수 없는 경우, 이는 조정(A)도 B와 통근한다는 것을 의미한다. 실제 또는 복잡한 숫자에 걸쳐 연속성은 A가 변위할 수 없는 경우에도 A가 B와 통근한다는 것을 의미한다.

마지막으로, 두 번째 증명보다 더 일반적인 증거가 있는데, 이는 n × n 행렬이 적어도 2n + 1 원소가 있는 필드(예: 정수 modulo 11 위에 5 × 5 행렬) 위에 엔트리가 있다는 것만을 요구한다. det(A+t I)은 최대 n의 도와 t의 다항식이기 때문에 최대 n 루트를 가진다. adj(A+t I)(B)의 ij th 엔트리는 대부분의 순서에서 n의 다항식이며, adj(A+t I) adj(B)의 경우도 마찬가지라는 점에 유의한다. ij th 항목에서 이 두 다항식은 최소 n + 1 포인트에 동의하는데, A+t I가 변위할 수 있는 영역의 최소 n + 1 요소를 가지고 있고, 우리는 변위할 수 없는 행렬의 정체성을 증명했기 때문이다. n + 1 점에 동의하는 n 도수의 다항식은 동일해야 한다(각각에서 이를 추론하고 최대 n - 차이가 0이 아닌 한 모순의 다항식에 대해 n + 1 루트를 갖는다). 두 다항식이 동일하기 때문에 t의 모든 값에 대해 동일한 값을 취한다. 따라서 t = 0일 때 동일한 값을 취한다.

위의 속성들과 다른 기본적인 계산을 사용하면, A가 다음 속성들 중 하나를 가지고 있다면, 조정 A도 역시 마찬가지라는 것을 쉽게 보여줄 수 있다.

• 위쪽 삼각형,
• 아래쪽 삼각형,
• 대각선,
• 직교,
• 유니타리,
• 대칭,
• 에르미트어,
• 스큐 대칭,
• 스큐-헤르미티안
• 평범하다.

만약 A가 변위불능이라면, 위에서 언급한 바와 같이, A의 결정인자와 역의 관점에서 adj(A)에 대한 공식이 있다. A가 변위할 수 없는 경우, 애드주게이트는 서로 다르지만 밀접하게 연관된 공식을 만족시킨다.

• rk(A) ≤ n - 2인 경우, adj(A) = 0.
• rk(A)가 n - 1이면 rk(adj(A) = 1. (일부 소수가 0이 아니므로 adj(A)가 0이 아니므로 적어도 한 개 이상의 순위를 가지며, ID adj(A) A = 0은 adj(A)의 nullspace 치수가 n - 1 이상임을 의미하므로 랭크는 최대 1이다.) 보조(A) = αxy^T, 여기서 α는 스칼라, x와 y는 벡터(Ax = 0, A y^T = 0)를 따른다.

열 대체 및 크레이머의 규칙

A를 열 벡터로 분할:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.}$

b를 n 크기의 열 벡터가 되게 하라. 1 ≤ i ≤ n을 고정하고 A의 컬럼 i를 b로 교체하여 형성된 행렬을 고려한다.

${\displaystyle (\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{i-1}&\mathbf {b} &\mathbf {a} _{i+1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.}$

라플레이스는 열 i를 따라 이 행렬의 결정 인자를 확장한다. 결과는 제품 adj(A)b의 entry i이다. 가능한 다른 결정요인을 수집하면 column vectors가 동일하다.

${\displaystyle \left(\mathbf {A} {\stackrel {i}{}}}{\왼쪽 화살표 }}}}_{i=1}^{n}=\operatorname {adj}(\mathbf {A} )\mathbf {b}.}.}.}}}}}$

이 공식은 다음과 같은 구체적인 결과를 가지고 있다. 방정식의 선형 시스템을 고려하십시오.

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} .}$

A가 비노래적이라고 가정해 보자. 왼쪽에 이 시스템을 조정(A)으로 곱하고 결정 수율로 나누기

${\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {\operatorname {adj}(\mathbf {A} )\mathbf {b}{\det \mathbf {A}}}}$

이 상황에 이전 공식을 적용하면 크레이머의 규칙이 만들어지지만

${\displaystyle x_{i}={\frac(\mathbf {A}{\stackrel {i}{\왼쪽 화살표 }}}}{\det \mathbf {A}}},}$

여기서 x는_i x의 ith 입력이다.

특성 다항식

A의 특성 다항식을 그대로 둔다.

${\displaystyle p(s)=\det(s\mathbf {I} -\mathbf {A})=\sum _{i=0}^{n}p_{i}s^{i}\in R[s].}$

p의 첫 번째 분할된 차이는 도 n - 1의 대칭 다항식이다.

${\displaystyle \Delta p(s,t)={\frac {p(s)-p(t)}{s-t}=\sum _{0\leq j+k<np_{j+k+1}s^{j}t^{k}\in R[s,t].}$

sI - A에 애드주게이트를 곱하십시오. Cayley-Hamilton의 정리로는 p(A) = 0이기 때문에, 일부 초등적인 조작이 드러난다.

${\displaystyle \operatorname {adj}(s\mathbf {I} -\mathbf {A})=\Delta p(s\mathbf {I},\mathbf {A}).}$

특히 A의 분해능은 다음과 같이 정의되어 있다.

${\displaystyle R(z;\mathbf {A} )=(z\mathbf {I} -\mathbf {A}^{1},}$

그리고 위의 공식에 따르면, 이것은

${\displaystyle R(z;\mathbf {A} )={\frac {\Delta p(z\mathbf {I},\mathbf {A}}}}{p(z)}}}.}$

자코비의 공식

애드주게이트는 결정인자의 파생상품에 대한 자코비의 공식에도 나타난다. A(t)가 계속 다를 수 있는 경우

${\d(\det \mathbf {A} )}{dt}(t)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A})(t)\mathbf {A}(t) '(t)\right)}$

결정요인의 총 파생상품은 애드주게이트의 전치물이라는 것을 따른다.

${\displaystyle d(\det \mathbf {A} )_{\mathbf {A}_{0}}\mathbf {A}\operatorname {adj}(\mathbf {A} _{0}^{\mathsf {T}).}$

케이리-해밀턴 공식

p_A(t)를 A의 특징적인 다항식이 되게 한다. Cayley-Hamilton의 정리에는 다음과 같이 명시되어 있다.

${\displaystyle p_{\mathbf {A}}(\mathbf {A})=\mathbf {0}.}$

상수 항을 분리하고 방정식을 보조(A)로 곱하면 A에만 의존하는_A 애드주게이트와 p(t) 계수에 대한 식을 얻을 수 있다. 이러한 계수는 완전한 지수 Bell 다항식을 사용하여 A의 힘의 흔적 측면에서 명시적으로 나타낼 수 있다. 결과 공식은

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{\ell =1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{\ell }+1}}{\ell ^{k_{\ell }}k_{\ell }!}}}\operatorname {tr}(\mathbf {A}^{\ell }^{k_{\ell }},}$

여기서 n은 A의 치수이며, 합은 s와 선형 디오판틴 방정식을 만족하는 k_l ≥ 0의 모든 시퀀스를 대신한다.

${\displaystyle s+\sum _{\ell =1}^{n-1}\ell k_{\ell }=n-1.}$

2 × 2 케이스의 경우, 이것은

${\displaystyle \operatorname {adj}(\mathbf {A} )=\mathbf {I} _{2}(\operatorname {tr} \mathbf {A})-\mathbf {A}.}$

3 × 3 케이스의 경우, 이것은

${\displaystyle \operatorname {adj}(\mathbf {A} )={\frac {1}{1}2}}\mathbf {I} _{3}\!\left(\operatorname {tr} \mathbf {A}^{2}\operatorname {tr} \mathbf {A}\right)-\mathbf {A}(\operatorname {tr} \mathbf {A}+\mathbf {A} ^{2}.}$

4 × 4 케이스의 경우, 이것은

${\displaystyle \operatorname {adj}(\mathbf {A} )={\frac {1}{6}}\mathbf {I} _{4}\!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}+2\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{3}\right)-{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)+\mathbf {A} ^{2}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )-\mathbf {A} ^{3}.}$

A의 특성 다항식을 효율적으로 결정하는 Faddeev-LeVerrier 알고리즘의 종료 단계에서 바로 같은 공식이 뒤따른다.

외부 알제브라와의 관계

애드주게이트는 외부 알헤브라를 사용하여 추상적인 용어로 볼 수 있다. V를 n차원 벡터 공간이 되게 하라. 외부 제품에서 이선 쌍을 정의함

$\displaystyle V\time \wedge ^{n-1}V\to \wedge ^{n}V.}$

추상적으로 $\wedge {\displaystyle {}^n}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \wedge ^{n}V}$은(는) R과 이형성이며, 그러한 이형성에서는 외부 제품이 완벽한 짝을 이룬다. 따라서, 그것은 이형성을 산출한다.

${\displaystyle \phi \colon V\\\xrightarrow {\cong }\ \operatorname {Hom}(\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V).}$

명시적으로 이 쌍은 v v V를 $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {v\mathbf{}}_{}}$ ${\$에 전송하며,

${\displaystyle \phi _{\mathbf {v}(\mathbf )=\mathbf {v}\mathbf {v} \mathbf \mathbp \messf$

T : V → V가 선형 변환이라고 가정하자. T의 (n - 1)번째 외부 힘에 의한 풀백은 홈 공간의 형태론을 유도한다. T의 애드주게이트는 복합체다.

${\displaystyle V\ {\xrightarrow {\phi }}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ {\xrightarrow {(\wedge ^{n-1}T)^{*}}}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ {\xrightarrow {\phi ^{-1}}}\ V.}$

만약 V = R이ⁿ 그것의 표준적인 기초를₁ 부여받으면, e , 그리고_n 만약 이 기준의 T의 매트릭스가 A라면, T의 애드주게이트는 A의 애드주게이트가 된다. 이유를 확인하려면${\displaystyle {}^{}}$∧ ${\displaystyle n^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$을(를) 기본으로 제공하십시오.

${\displaystyle \{n1}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e}}}}{k}\mathbf {e}\mathbf _{n}_{k=1}^{n}.}$

R의ⁿ 기본 벡터 e를_i 고정한다. $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$ 아래의 e 이미지는_i 기본 벡터를 보내는 위치에 따라 결정된다$$.

${\displaystyle \phi _{\mathbf {e} _{i}}(\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n})={\begin{cases}(-1)^{i-1}\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},&{\text{if}}\ k=i,\\0&{\text{otherwise.}}}\end{case}}$

벡터 기준으로 T의 (n - 1)번째 외부 전력은

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto \sum _{k=1}^{n}(\det A_{jk})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}.}$

이러한 각 용어는 k = i 용어를 제외한$$ $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {e{\mathbf{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\$에서 0으로 매핑된다. 따라서 $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {e{\mathbf{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\$의 풀백은 다음과$$ 같은 선형 변환이다.

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto (-1)^{i-1}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},}$

즉, 동등하다.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n(1)^{i+j}(\detail A_{ji})\phi _{\mathbf {e}_{j}.}$

$\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$의 역법을 적용하면 T의 애드주게이트가 다음과 같은 선형 변환임을 알$$ 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mapsto \sum _{j=1}^{n(1)^{i+j}(\detail A_{ji})\mathbf {e} _{j}.}$

결과적으로, 그것의 행렬은 A의 보조 관문이다.

V가 내부 제품과 볼륨 폼을 부여받으면 지도 φ은 더 분해될 수 있다. 이 경우 φ은 호지 항성 연산자와 이원화의 합성어로 이해할 수 있다. 구체적으로는 Ω이 볼륨 형태라면, 내적 생산물과 함께 이형성을 결정한다.

$\displaystyle \omega ^{\vee }\colon \wedge ^{n}V\to \mathbf {R}}$

이것은 이형성을 유도한다.

${\displaystyle \operatorname {Hom}(\wedge ^{n-1}\mathbf {R}^{n}}}}\wedge ^{n1}(\mathbf {R}^{n})^{\vee }}}}$

R의ⁿ 벡터 v는 선형 기능에 해당한다.

$\displaystyle(\alpha \mapsto \omega^{\bee })(\mathbf {v} \wedge \alpha )\in \wedge ^{n1}(\mathbf {R}^{n}^}^{\ve }}}}})}$

Hodge star 연산자의 정의에 따르면, 이 선형 기능은 *v에 이중이다. 즉, Ω^∨∘ φ은 v ↦ *v와^∨ 같다.

상부 애드주게이트

A를 n × n 행렬이 되게 하고, r 0 0을 고정시킨다. The rth higher adjugate of A is an ${\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ matrix, denoted adj_r A, whose entries are indexed by size r subsets I and J of {1, ..., m}. Let I^c and J^c denote the complements of I and J, respectively. 또한 A ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {c^{}}_{}}$, ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {c^{}}_{}}$ ${\$은(는) 각각 I와^c J에^c 인덱스가 있는 행과 열을 포함하는 A의 하위 속성을 나타내도록$$ 한다. 그러면 A조_r (I, J)의 엔트리가 된다.

${\displaystyle(-1)^{\sigma(I)+\sigma(J)}\det \mathbf {A} _{J^{c},I^{c}},}$

여기서 σ(I)와 σ(J)는 각각 I와 J의 원소의 합이다.

더 높은 애드주게이트의 기본 특성은 다음과 같다.

• 보조₀(A) = 멈춤 A.
• 보조₁(A) = 보조 A.
• 보조_n(A) = 1.
• 보조_r(BA) = 보조_r(A) 보조_r(B)
• ${\displaystyle \operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )C_{r}(\mathbf {A} )=C_{r}(\mathbf {A} )\operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )I_{\binom {n}{r}}}$, where C_r(A) denotes the r th compound matrix.

Higher adjugates may be defined in abstract algebraic terms in a similar fashion to the usual adjugate, substituting ${\displaystyle \wedge ^{r}V}$ and ${\displaystyle \wedge ^{n-r}V}$ for ${\displaystyle V}$ and ${\displaystyle \wedge ^{n-1}V}$, respectively.

반복 애드주게이트

반복적으로 회전할 수 없는 행렬의 보조문을 Ak 곱하기

${\displaystyle \overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}\mathbf {A} ^{(-1)^{k}},}$

${\displaystyle \det(\overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} ^{k}}}{k}}}} ^{k}=\det(\mathbf {A} )^{{(n-1)^{k}}}}.}$

예를 들어,

${\displaystyle \operatorname {adj}(\operatorname {adj})(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A}.}$

${\displaystyle \det(\operatorname {adj})(\operatorname {adj}(\mathbf {A} )))=\det(\mathbf {A} )^{{(n-1)^{2}}.}$

참고 항목

• 케일리-해밀턴 정리
• 크레이머의 법칙
• 트레이스 다이어그램
• 자코비의 공식
• Faddeev-LeVerrier 알고리즘

참조

참고 문헌 목록

• 로저 A. 혼과 찰스 R. Johnson(2013), Matrix Analysis, Second Edition. 케임브리지 대학교 출판부, ISBN 978-0-521-54823-6
• 로저 A. 혼과 찰스 R. Johnson(1991), Matrix Analysis의 항목. 케임브리지 대학교 출판부, ISBN 978-0-521-46713-1

외부 링크

• 매트릭스 참조 설명서
• 온라인 매트릭스 계산기(결정, 트랙, 역, 조정, 전치) Adjugate 매트릭스 최대 8개까지 계산
• "Adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } }". Wolfram Alpha.{{cite web}}: CS1 maint : url-status (링크)