In mathematics (linear algebra ), the Faddeev–LeVerrier algorithm is a recursive method to calculate the coefficients of the characteristic polynomial p A ( λ ) = det ( λ I n − A ) {\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)} matrix , A , named after Dmitry Konstantinovich Faddeev and Urbain Le Verrier . 이 다항식의 계산은 A 의 고유값 을 그 근원으로 산출하며, 행렬 A 자체의 다항식으로서 기본적인 케일리-해밀턴 정리 에 의해 사라진다. 그러나 특성 A {\displaystyle \lambda } ) .
알고리즘은 어떤 형태로든 독립적으로 여러 번 재발견되었다. 1840년 우르바인 르 베리어 에 의해 처음 출판되었고, 이후 P에 의해 재개발되었다. 호르스트, 장마리 수리오 , 여기 파드데프와 소민스키, 그리고 더 나아가 J. S. 프레임 등이 현재 형태로 되어 있다.([1] [2] [3] [4] [5] [6] 뉴턴 다항식들 을 우회한, 그 증명으로의 우아한 지름길이 후우에 의해 소개되었다.[7] 여기서 발표의 대부분은 갠트마허(88)에 따른다.[8]
알고리즘 목적은 n ×n A 의 특성 다항식의 계수 c k 계산하는 것이다.
p A ( λ ) ≡ 퇴장시키다 ( λ I n − A ) = ∑ k = 0 n c k λ k , {\displaystyle p_{A}(\lambda )\equiv \det(\lambda I_{n}-A)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda ^{k},},} 여기서, 분명히n 0 c = (-n A .
계수는 보조 행렬 M 의 순서에 따라 하향식으로부터 재귀적으로 결정된다.
M 0 ≡ 0 c n = 1 ( k = 0 ) M k ≡ A M k − 1 + c n − k + 1 I c n − k = − 1 k t r ( A M k ) k = 1 , … , n . {\displaystyle {\reasoned} M_{0}&\equiv 0&c_{n}&=1\qquad &(k=0)\\\\ M_{k}&\equiv AM_{k-1}+c_{n-k+1}I\qquad \qquad &c_{n-k}&=-{\frac {1}{1}}}\mathrmm {tr}(AM_{k})\qquad &k=1,\ldots, n~ \end{정렬}}} 그러므로,
M 1 = I , c n − 1 = − t r A = − c n t r A ; {\displaystyle M_{1}=I~,\quad c_{n-1}=-\mathrm {tr}A=--c_{n}\mathrm {tr}A;} M 2 = A − I t r A , c n − 2 = − 1 2 ( t r A 2 − ( t r A ) 2 ) = − 1 2 ( c n t r A 2 + c n − 1 t r A ) ; {\displaystyle M_{2}=A-I\mathrm {tr} A,\quad c_{n-2}=-{\frac {1}{2}}{\Bigl (}\mathrm {tr} A^{2}-(\mathrm {tr} A)^{2}{\Bigr )}=-{\frac {1}{2}}(c_{n}\mathrm {tr} A^{2}+c_{n-1}\mathrm {tr} A); } M 3 = A 2 − A t r A − 1 2 ( t r A 2 − ( t r A ) 2 ) I , {\displaystyle M_{3}=A^{2}-A\matrix {tr}A-{{\frac {1}{1}:{2}}:\Bigl (}\mathrm {tr}A^{2}-(\mathrm {tr}A)^{2}{\Bigr )I,},} c n − 3 = − 1 6 ( ( tr A ) 3 − 3 tr ( A 2 ) ( tr A ) + 2 tr ( A 3 ) ) = − 1 3 ( c n t r A 3 + c n − 1 t r A 2 + c n − 2 t r A ) ; {\displaystyle c_{n-3}=-{\tfrac {1}{6}}{\Bigl (}(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3}){\Bigr )}=-{\frac {1}{3}}(c_{n}\mathrm {tr} A^{3}+c_{n-1}\mathrm {tr} A^{2}+c_{n-2}\mathrm {tr} A); } 기타,[9] [10]
M m = ∑ k = 1 m c n − m + k A k − 1 , {\displaystyle M_{m}=\sum _{k=1}^{m_{n-m+k}A^{k-1},} c n − m = − 1 m ( c n t r A m + c n − 1 t r A m − 1 + . . . + c n − m + 1 t r A ) = − 1 m ∑ k = 1 m c n − m + k t r A k ; . . . {\displaystyle c_{n-m}=-{\frac {1}{m}}(c_{n}\matrm {tr}A^{m}+c_{n-1}\matrm {tr}A^{m-1}+)++++++++++++++++++++++++++++++{matmatrmatmatmatr+++++ +c_{n-m+1}\matrm {tr}A)=-{{\frac {1}{m}\sum _{k=1}^{m_{n-m+k}\matrm {tr}A^{k};;... } A−1 = Mn /c0 (-1)n −1Mn /detA 를 준수하여 λ 에서 재귀가 종료되는지 확인하십시오.이것은 A 의 역 또는 결정 인자를 구하는 데 사용될 수 있다.
파생 입증은 보조 행렬 인 Bk mn−k M 의 모드, 즉 마주친 보조 행렬에 의존한다. 이 행렬은 다음과 같이 정의된다.
( λ I − A ) B = I p A ( λ ) (\displaystyle)(\lambda I-A) B=I~p_{A}(\lambda )} 그리고 따라서 해결사에 비례한다.
B = ( λ I − A ) − 1 I p A ( λ ) . {\displaystyle B=(\lambda I-A)^{-1}I~p_{A}(\lambda )~.} 그것은 분명히 matrix 다항식이고 n-1 그러므로,
B ≡ ∑ k = 0 n − 1 λ k B k = ∑ k = 0 n λ k M n − k , {\displaystyle B\equiv \sum \{k=0}^{n-1}\lambda ^{k}={k_{k}=\sum _{k=0}^{n}\lambda ^{k}~M_{n-k}}}},} 여기서 무해 0 M00을 정의할 수 있다.
애드주게이트에 대한 정의 방정식에 명시적 다항식 형식을 삽입하는 경우, 위와 같이,
∑ k = 0 n λ k + 1 M n − k − λ k ( A M n − k + c k I ) = 0 . {\displaystyle \sum \{k=0}^{n}^\lambda ^{k+1}M_{n-k}-\lambda ^{k}(AM_{n-k}+c_{k)_{k) }}I)=0~.} 이제, 가장 높은 순서에서 첫 번째 항 0 M=0으로 사라진다. 반면, 맨 아래 순서에서는 (λ로 정하며, 위의 애드주게이트의 정의 방정식에서)
M n A = B 0 A = c 0 , {\displaystyle M_{n}A=B_{0} A=c_{0}~,} 첫 번째 기간의 더미 지수를 이동시키면
∑ k = 1 n λ k ( M 1 + n − k − A M n − k + c k I ) = 0 , {\displaystyle \sum \sum \{k=1}^{n}\lambda ^{k}{{k}{{1+n-k}-AM_{n-k}+c_{k}} I{\Big )}=0~,} 그래서 재귀가 결정되는 거지
∴ M m = A M m − 1 + c n − m + 1 I , \displaystyle \therefore \qquad M_{m}= AM_{m-1}+c_{n-m+1}I~,} m =1, ...,n . 상승 지수는 λ 의 힘으로 하강하는 것에 이르지만 다항 계수 c 는 Ms 와 A 의 관점에서 아직 결정되지 않았다.
이는 다음의 보조 방정식을 통해 가장 쉽게 달성할 수 있다(Hou, 1998).
λ ∂ p A ( λ ) ∂ λ − n p = tr A B . {\displaystyle \lambda {\frac {\partial p_{A}(\lambda )}{{\partial \lambda }-np=\operatorname {tr}AB~. } 이건 단지 자코비의 공식 에 의한 B에 대한 정의 방정식의 흔적일 뿐이야
∂ p A ( λ ) ∂ λ = p A ( λ ) ∑ m = 0 ∞ λ − ( m + 1 ) tr A m = p A ( λ ) tr I λ I − A ≡ tr B . {\displaystyle {\frac {\partial p_{A}(\lambda )}{\partial \lambda }}=p_{A}(\lambda )\sum _{m=0}^{\infty }\lambda ^{-(m+1)}\operatorname {tr} A^{m}=p_{A}(\lambda )~\operatorname {tr} {\frac {I}{\lambda I-A}}\equiv \operatorname {tr} B~.} 이 보조 방정식에 다항식 모드 양식 삽입
∑ k = 1 n λ k ( k c k − n c k − tr A M n − k ) = 0 , {\displaystyle \sum \sum \{k=1}^{n}\lambda ^{k}{kc}-nc_-{k}-\operatorname {tr}AM_{n-k}{n-k}{\Big )=0~,} 하도록
∑ m = 1 n − 1 λ n − m ( m c n − m + tr A M m ) = 0 , {\displaystyle \sum \{m=1}^{n-1}\lambda ^{n-m}{n-m}+\operatorname {tr}AM_{m}{\Big )=0~,} 그리고 마침내
∴ c n − m = − 1 m tr A M m . {\displaystyle \therefore \qquad c_{n-m}=-{\frac {1}{m}\opername {tr}AM_{m}~.} 이로써 λ 의 내림차원으로 펼쳐지는 이전 절의 재귀가 완성된다.
알고리즘에서 더 직접적으로,
M m = A M m − 1 − 1 m − 1 ( tr A M m − 1 ) I , {\displaystyle M_{m}= AM_{m-1}-{\frac {1}{m-1}(\operatorname {tr} AM_{m-1}) I~,} 케이리-해밀턴의 정리 와는 대조적으로
조정하다 ( A ) = ( − 1 ) n − 1 M n = ( − 1 ) n − 1 ( A n − 1 + c n − 1 A n − 2 + . . . + c 2 A + c 1 I ) = ( − 1 ) n − 1 ∑ k = 1 n c k A k − 1 . {\displaystyle \operatorname {adj}(A)=(-1)^{n-1M_{n}=(-1)^{n-1}(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+)+... +c_{2}A+c_{1 }I)=(-1)^{n-1}\sum _{k=1}^{n}c_{k }}A^{k-1}~.} 최종 해결책은 다음과 같이 완전한 지수 Bell 다항식 의 관점에서 보다 편리하게 표현될 수 있다.
c n − k = ( − 1 ) n − k k ! B k ( tr A , − 1 ! tr A 2 , 2 ! tr A 3 , … , ( − 1 ) k − 1 ( k − 1 ) ! tr A k ) . {\displaystyle c_{n-k}={\frac {(-1)^{n-k}}{k! }}{\mathcal{B}_{k}{\Bigl (}\operatorname {tr} A,-1! ~\operatorname {tr} A^{2,2! ~\operatorname {tr} A^{3},\ldots, (-1)^{k-1}(k-1)! ~\operatorname {tr} A^{k}{\Bigr )}. } 예 A = [ 3 1 5 3 3 1 4 6 4 ] {\displaystyle {\displaystyle A=\왼쪽[{\begin{array}{rrr}3&1&5\\3&1\\\4&6&4\end{array}\오른쪽]}}}}}}}}} M 0 = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] c 3 = 1 M 1 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] A M 1 = [ 3 1 5 3 3 1 4 6 4 ] c 2 = − 1 1 10 = − 10 M 2 = [ − 7 1 5 3 − 7 1 4 6 − 6 ] A M 2 = [ 2 26 − 14 − 8 − 12 12 6 − 14 2 ] c 1 = − 1 2 ( − 8 ) = 4 M 3 = [ 6 26 − 14 − 8 − 8 12 6 − 14 6 ] A M 3 = [ 40 0 0 0 40 0 0 0 40 ] c 0 = − 1 3 120 = − 40 {\displaystyle {\displaystyle {\reasoned} M_{0}&=\left[{\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right]\quad &&&c_{3}&&&&&=&1\\M_{\mathbf {\color {blue}1} }&=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]& A~M_{1}&, =\left[{\begin{배열}{rrr}\mathbf{\color{}일 경우 빨간 3}&1&, 5\\3&, \mathbf{\color{}일 경우 빨간 3}&1\\4&, 6&, \mathbf{\color{}일 경우 빨간 4}\end{배열}}\right]&, c_{2}&,&&=-{\frac{1}{\mathbf{\color{ 푸른}1}}}\mathbf}및{\color{ 빨간}10,&=&, -10\\M_{\mathbf{\color{ 푸른}2}}&=\left는 경우에는{\begin{배열}{rrr}-7&, 1&a.융점, 5\\3&, -7&, 1\\4&, 6&, -6\end{배열}}\right]\qquad&A~M_{2}&, =\left는 경우에는{\begi N{배열}{rrr}\mathbf{\color{ 빨간}2}&26&, -14\\-8&, \mathbf{\color{ 빨간}-12}&12\\6&, -14&, \mathbf{\color{ 빨간}2}\end{배열}}\right]\qquad&c_{1}&,&&=-{\frac{1}{\mathbf{\color{ 푸른}2}}}\mathbf}{\color{ 빨간}(-8)&&=&, 4\\.M_{\mathbf{\color{ 푸른}3}}&=\left[{\begin{배열}{}rrr 6&, 26&, -14\\-8&, -8&, 12\\6&, -14&, 6\end{배열}}\right]\qquad&.A~M_{3}&, =\left는 경우에는{\begi n{array}{rrr}\mathbf {\color {red}40} &0&0\\0&\mathbf {\color {red}40} &0\\0&0&\mathbf {\color {red}40} \end{array}}\right]\qquad &c_{0}&&&=-{\frac {1}{\mathbf {\color {blue}3} }}\mathbf {\color {red}120} &&=&-40\end{aligned}}}}
더욱이 M 4 A 3 c I 0 {\ displaystyle {\displaystyle M_{4}=A~M_{3}+c_{0} ~I=0
The characteristic polynomial of matrix A is thus p A ( λ ) = λ 3 − 10 λ 2 + 4 λ − 40 {\displaystyle {\displaystyle p_{A}(\lambda )=\lambda ^{3}-10\lambda ^{2}+4\lambda -40}} A is det ( A ) = ( − 1 ) 3 c 0 = 40 {\displaystyle {\displaystyle \det(A)=(-1)^{3}c_{0}=40}} c 2 ; 그리고 A 의 역은
A − 1 = − 1 c 0 M 3 = 1 40 [ 6 26 − 14 − 8 − 8 12 6 − 14 6 ] = [ 0 . 15 0 . 65 − 0 . 35 − 0 . 20 − 0 . 20 0 . 30 0 . 15 − 0 . 35 0 . 15 ] {\displaystyle {\displaystyle A^{-1}=-{\frac {1}{c_{0}}}~M_{3}={\frac {1}{40}}\left[{\begin{array}{rrr }}}6&26&-14\\-8&-12\6&-14\6&-14\end{array}\right]=\좌측[{\marray}{rrrr}0{ rrrrrr}{rrrrrrrr}{rrrrrrr}{}{}{}{}{ }15&0{.}65&-0{. }35\\-0{. }20&-0{. }20&0{.}30\\0{. }15&-0{. }}35&0{.}15\end{array}\오른쪽 등가지만 구별되는 표현식 위의 Jacobi 공식에 대한 m ×m-matrix 용액의 소형 결정인자가 계수 c 를 대신 결정할 수 있다.[11] [12]
c n − m = ( − 1 ) m m ! tr A m − 1 0 ⋯ tr A 2 tr A m − 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ tr A m − 1 tr A m − 2 ⋯ ⋯ 1 tr A m tr A m − 1 ⋯ ⋯ tr A . {\displaystyle c_{n-m}={\frac {(-1)^{m}{m! }}{\begin{vmatrix}\operatorname{tr}A&m-1&, 0&, \cdots \\\operatorname{tr}A^{2}&, \operatorname{tr}A&m-2&, \cdots \\\vdots &, \vdots &,&&\vdots \\\operatorname{tr}A^{m-1}&, \operatorname{tr}A^{m-2}&, \cdots, \cdots & &, 1\\\operatorname{tr}A^{m}&, \operatorname{tr}A^{m-1}&, \cdots &, \cdots &a.융점, \operatorname(A\end{vmatrix}}일.} 참고 항목 참조 ^ Urbain Le Verrier :Sur les variable séculator des éléments des arounds are pour les planetes principles , J. de Math. (1) 5 , 230 (1840), 온라인 ^ Paul Horst: 특성 방정식의 계수를 결정하는 방법 . 앤. 수학. 통계분석 6 83-84(1935), doi :10.1214/aoms/1177732612 ^ Jean-Marie Souriau , Une methode pour la décomposition spectrale et l'inversion des matrix , Comptes Rend. 227 , 1010-1011 (1948년)^ D. K. Faddeev, I. S. Sominski, Sbornik zadatch po vyshej 대수 (더 높은 대수학 문제 , 미르 출판사, 1972), Moskow-Leningrad(1949년) 문제 979 . ^ J. S. 프레임: 행렬(추상), Bull 을 반전시키기 위한 간단한 재귀 공식 . 암. 수학. Soc. 55 1045 (1949), doi :10.1090/S0002-9904-1949-09310-2 ^ Householder, Alston S. (2006). The Theory of Matrices in Numerical Analysis . Dover Books on Mathematics. ISBN 0486449726 ^ Hou, S. H. (1998년). "클래스룸 노트: 레버리에 대한 간단한 증명-Faddeev 특성 다항식 알고리즘 " SIAM 검토 40(3) 706-709 , doi:10. 1137/S003614459732076X. ^ Gantmacher, F.R. (1960). The Theory of Matrices . NY: Chelsea Publishing. ISBN 0-8218-1376-5 ^ 자데, 로티 A.와 데소어, 샤를 A. (1963, 2008) 선형 시스템 이론: 상태 공간 접근법 (Mc Graw-Hill; Dover 토목 및 기계 공학) ISBN 9780486466637 , 페이지 303–305;^ 압델자우드, 주나이디와 롬바르디, 앙리(2004). Méthodes matricielles - 소개 ab la complexité algébrique , (Mathématiques et Applications, 42) 스프링어, ISBN 3540202471 .^ 브라운, 로웰 S. (1994년). 케임브리지 대학 출판부의 양자장 이론 . ISBN 978-0-521-46946-3 , 페이지 54; 또한 Curtright, T. L., Fairlie, D. B. 및 Alshal, H.(2012)."A Galileon Primer", arXiv:1212.6972, 섹션 3. ^ Reed, M.; Simon, B. (1978). Methods of Modern Mathematical Physics . Vol. 4 Analysis of Operators. USA: ACADEMIC PRESS, INC. pp. 323–333, 340, 343. ISBN 0-12-585004-2 Barbaresco F. (2019) Matrix Lie 그룹에서 기계 학습을 위한 Souriau 지수 지도 알고리즘 In:Nielsen F, Barbaresco F. (eds) 기하학 정보 과학. GSI 2019. 컴퓨터 과학 강의 노트, 제11712권. 스프링거, 참. https://doi.org/10.1007/978-3-030-26980-7_10
![{\displaystyle {\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}3&1&5\\3&3&1\\4&6&4\end{array}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a23cfdb69eb826865d3072075b17bad2eb66200)
![{\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}M_{0}&=\left[{\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right]\quad &&&c_{3}&&&&&=&1\\M_{\mathbf {\color {blue}1} }&=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]&A~M_{1}&=\left[{\begin{array}{rrr}\mathbf {\color {red}3} &1&5\\3&\mathbf {\color {red}3} &1\\4&6&\mathbf {\color {red}4} \end{array}}\right]&c_{2}&&&=-{\frac {1}{\mathbf {\color {blue}1} }}\mathbf {\color {red}10} &&=&-10\\M_{\mathbf {\color {blue}2} }&=\left[{\begin{array}{rrr}-7&1&5\\3&-7&1\\4&6&-6\end{array}}\right]\qquad &A~M_{2}&=\left[{\begin{array}{rrr}\mathbf {\color {red}2} &26&-14\\-8&\mathbf {\color {red}-12} &12\\6&-14&\mathbf {\color {red}2} \end{array}}\right]\qquad &c_{1}&&&=-{\frac {1}{\mathbf {\color {blue}2} }}\mathbf {\color {red}(-8)} &&=&4\\M_{\mathbf {\color {blue}3} }&=\left[{\begin{array}{rrr}6&26&-14\\-8&-8&12\\6&-14&6\end{array}}\right]\qquad &A~M_{3}&=\left[{\begin{array}{rrr}\mathbf {\color {red}40} &0&0\\0&\mathbf {\color {red}40} &0\\0&0&\mathbf {\color {red}40} \end{array}}\right]\qquad &c_{0}&&&=-{\frac {1}{\mathbf {\color {blue}3} }}\mathbf {\color {red}120} &&=&-40\end{aligned}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa5cc6fd02037d69ce3d4fa21722e16e4ff3f31)
![{\displaystyle {\displaystyle A^{-1}=-{\frac {1}{c_{0}}}~M_{3}={\frac {1}{40}}\left[{\begin{array}{rrr}6&26&-14\\-8&-8&12\\6&-14&6\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}0{.}15&0{.}65&-0{.}35\\-0{.}20&-0{.}20&0{.}30\\0{.}15&-0{.}35&0{.}15\end{array}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2985cc7310a9c0e4eec2529d5d6012ce4d5b4bbf)
