커널(선형 대수)

수학에서, null space 또는 nullspace라고도 하는 선형 지도의 커널은 0 벡터에 매핑된 지도의 도메인의 선형 하위 공간이다.^[1] 즉, 두 벡터 공간 V와 W 사이의 선형 지도 L : V → W가 주어진 경우, L의 커널은 L(v) = 0과 같은 V의 모든 원소 V의 벡터 공간이며, 여기서 0은 W의 0 벡터를 의미하거나,^[2] 보다 상징적으로 다음과 같다.

${\displaystyle \ker(L)=\왼쪽\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}.}$

특성.

L의 커널은 도메인 V의 선형 하위 공간이다.^[3][2] 선형 지도 $L{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ ${\displaystyle W}$, ${\디스플레이$ 스타일 $L:$$V\to W,}$V의 두 요소는$$ L의 커널에 차이가 있는 경우에만 W에서 동일한 이미지를 가진다. 즉,

이로부터 L의 이미지가 커널에 의한 V의 몫에 이형화됨을 알 수 있다.

V가 유한한 차원일 경우, 이는 순위-적합성 정리를 함축한다. 여기서 순위는 L, ${\displaystyle \dim }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{im}}$ ${\displaystyle }$ L${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \dim(\operatorname {im} L)$의 이미지의 치수를 의미하며$$, null은 L, ${\displaystyle \dim }$ dim${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{cer}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$)의 커널 치수를 가리킨다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \dim(\ker L).$$}}$ 즉$$^[4], 순위-배율 정리가 다음과 같이 재작성될 수 있도록.

V가 내부 제품 공간인 경우, 지수 $V{\displaystyle }$/ ${\displaystyle \ker (}$ ( ${\displaystyle L}$)$${\$displaystyle V/\ker(L)}$은 ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle L}$ )$${\$displaystyle \ker(L)}$의 V에 있는 직교 보어로 식별할 수 있다$$. 이는$$ 행렬의 행 공간 또는 코이미지의 선형 연산자에 대한 일반화다.

모듈 적용

커널의 개념은 모듈의 동형성에도 일리가 있는데, 이는 스칼라가 밭이 아닌 고리의 요소인 벡터 공간의 일반화다. 매핑의 도메인은 커널이 하위 모듈을 구성하는 모듈이다. 여기서 계급과 무효의 개념이 반드시 적용되는 것은 아니다.

기능분석에서

V와 W가 유한한 차원인 위상 벡터 공간이라면 L의 커널이 V의 닫힌 하위 공간인 경우에만 선형 연산자 L: V → W가 연속된다.

행렬 곱셈으로 표현

K보다 n개의 성분이 있는 열 벡터 x에서 작동하는$$ 필드 K($일반적$으로 R ${\$ 또는 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ }$$})$$에 계수가 있는 m × n 행렬 A로 표시된 선형 지도를 고려하십시오. 이 선형 지도의 커널은 Ax = 0 방정식에 대한 해법 집합이며, 여기서 0은 0 벡터로 이해된다. A의 커널의 치수를 A의 무효라고 한다. 세트빌더 표기법에서는

${\displaystyle \operatorname {N}=\operatorname {Null}(A)=\left\{\mathbf {x}\in K^{n}\madhbf {x} =\mathb {0}\right\}.}$

행렬 방정식은 다음과 같은 선형 방정식의 동종 시스템과 동일하다.

${\displaystyle A\mathbf{)}=\mathbf{0}\와 같이^;\Leftrightarrow\와 같이^;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&,&\;+\,&&a_{12}x_{2}&,&\;+\, \cdots. +\,&&a_{1n}x_{n}&,&\;=\,&&&0\\a_{21}x_{1}&,&\;+\,&&a_{22}x_{2}&,&\;+\, \cdots. +\,&&a_{2n}x_{n}&,&\;=\,&&&0\\&, &am.p/&&&&&&&&&\vdots)\;&,&&\\a_{m1}x_{1}&,&\;+\,&&a_{m2들}x_{2}&,&\;+\, \cdots. +\,&&a_{중성자의 정지 질량}x_{n}&,&\;=\,&&&0{\text{.}}\\\end{aignatedat}}$

따라서 A의 낟알은 위의 동질 방정식으로 설정된 용액과 동일하다.

하위 공간 속성

필드 K 위에 있는 m × n 행렬 A의 커널은 K의ⁿ 선형 하위 공간이다. 즉, 집합 Null(A)인 A의 커널에는 다음과 같은 세 가지 속성이 있다.

1. Null(A)은 A0 = 0이므로 항상 0 벡터를 포함한다.
2. x ∈ Null(A) 및 y ∈ Null(A)이면 x + y y Null(A) 이것은 덧셈보다 매트릭스 곱셈의 분포에서 따온 것이다.
3. x ∈ Null(A)과 c가 스칼라 c ∈ K인 경우, A(cx) = c(Ax) = c0 = 0이기 때문에 cx null Null(A)이다.

행렬의 행 공간

Ax 제품은 벡터의 도트제품으로 다음과 같이 작성할 수 있다.

${\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.}$

여기서, a₁, ...는_m 행렬 A의 행을 나타낸다. x가 A의 각 행 벡터와 직교(또는 직교)인 경우에만(직교성은 0의 도트 곱을 갖는 것으로 정의되기 때문에) x가 A의 커널에 있다는 것을 따른다.

행렬 A의 행 공간 또는 코이미지는 A의 행 벡터 범위다. 위의 추론에 의해 A의 낟알은 행공간의 직교보완이다. 즉, 벡터 x는 A의 행 공간에 있는 모든 벡터에 수직인 경우에만 A의 커널에 놓여 있다.

A의 행공간의 치수를 A의 순위라고 하며, A의 커널의 치수를 A의 무효라고 한다. 이 수량은 순위-nullity의 정리에^[4] 의해 관련된다.

${\displaystyle \operatorname {rank}(A)+\operatorname {nullity}(A)=n.}$

왼쪽 null 공간

행렬 A의 왼쪽 Null 공간 또는 코커넬은 xA = 0과^T 같은^T 모든 열 벡터 x로 구성되며, 여기서 T는 행렬의 전치점을 나타낸다. A의 왼쪽 null 공간은 A의^T 커널과 동일하다. A의 왼쪽 null 공간은 A의 기둥 공간에 대한 직교보완물이며, 연관된 선형 변환의 코커넬에 이중이다. A의 커널, 행 공간, 열 공간, 왼쪽 null 공간은 매트릭스 A와 연관된 네 가지 기본 하위 공간이다.

선형 방정식의 비동종계

또한 커널은 다음과 같은 선형 방정식의 비균형 시스템에 대한 해결책에도 역할을 한다.

${\displaystyle A\mathbf{)}=\mathbf{b}\quad{\text{또는}}\quad{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&,&\;+\,&&a_{12}x_{2}&,&\;+\, \cdots. +\,&&a_{1n}x_{n}&,&\;=\,&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&,&\;+\,&&a_{22}x_{2}&,&\;+\, \cdots. +\,&&a_{2n}x_{n}&,&\;=\,&&&b_{2}\\&.앰프,&&&&&&&&&\vdots)\;&,&&\\a_{m1}x_{1}&,&\;+\,&&a_{m2들}x_{2}&,&\;+\, \cdots. +\,&&a_{중성자의 정지 질량}x_{n}&,&\;=\,&&&b_{m}\\\end{aignedat}}}$

u와 v가 위의 방정식에 대한 두 가지 가능한 해결책이라면,

${\displaystyle A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {0} \mathbf {0},}$

따라서 A의 커널에 Ax = b 등식에 대한 두 가지 해법의 차이가 있다.

이후 Ax = b 방정식에 대한 어떤 해법도 고정 솔루션 v와 커널의 임의 요소의 합으로 표현할 수 있다. 즉, Ax = b 등식으로 설정된 용액은

${\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null}(A)\right\}}},}$

기하학적으로 이것은 Ax = b로 설정된 용액이 벡터 v에 의한 A의 커널의 번역이라고 한다. 프레드홀름 대안 및 플랫(지오메트리)도 참조한다.

삽화

다음은 매트릭스의 커널 계산에 대한 간단한 그림이다(더 복잡한 계산에 더 적합한 방법은 아래 § 계산 기준 가우스 제거를 참조). 그림은 또한 행 공간과 커널과의 관계에 대해서도 다룬다.

행렬 고려

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&5\\\-4&2&3\end{bmatrix}.}$

이 행렬의 커널은 다음과 같은 모든 벡터(x, y, z) ∈ R로³ 구성된다.

${\displaystyle {\bmatrix}2&&3\-4&2&3\end{bmatrix}{bmatrix}{bmatrix}x\y\z\end{bmatrix}}={\matrix}},}$

이는 x, y, z를 포함하는 균일한 선형 방정식으로 표현될 수 있다.

$2x+3y+5z&=0,\-4x+2y+3z&=0.\end{정렬}}}$

동일한 선형 방정식은 다음과 같이 행렬 형태로도 작성할 수 있다.

${\displaystyle \left[{\put{array}{ccc c}2&3&5&0\\\-4&2&3&0\end{array}\right].}$

가우스-요르단 제거를 통해 행렬을 다음과 같이 줄일 수 있다.

${\displaystyle \left[{\put{array}{ccc c}1&0&1/16&0\\\0&1&13/8&0\end{array}\오른쪽]}$

방정식 형식의 수율에서 행렬을 다시 쓰는 방법:

${\displaystyle {\pregated}x&=-{\frac {1}{16}z\\y&=-{\frac {13}{8}z.\end{정렬}}}$

커널의 요소는 다음과 같이 파라메트릭 형태로 더욱 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\bmatrix}x\\y\z\end{bmatrix}=c{\begin{bmatrix}-1/16\-13/8\\end{bmatrix}}\quad({\text}where{}c\in \mathb})}}$

c는 모든 실수에 걸친 자유 변수에 해당하므로, 이는 다음과 같이 잘 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\bmatrix}x\\y\z\end{bmatrix}=c{\nd{bmatrix}-1\-26\16\end{bmatrix}}.}$

A의 낟알은 정확하게 이 방정식들에 설정된 해법이다(이 경우 R에서³ 원점을 통과하는 선이다). 여기서 벡터(-1,-26,16)^T는 A의 커널의 기초를 구성하기 때문이다. A의 무효는 1이다.

다음 도트 제품은 0이다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad \mathrm {and} \quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\mathrm {,} }$

이는 A의 커널에 있는 벡터가 A의 각 행 벡터와 직교한다는 것을 보여준다.

이 두 개의 (선형적으로 독립적인) 행 벡터는 A의 행 공간(벡터(-1,-26,16)에 직교하는 평면)에 걸쳐 있다.^T

A의 2위, A의 무효 1위, A의 차원 3으로, 우리는 순위-nullity 정리를 예시하고 있다.

예

• L: R^m → R일ⁿ 경우 L의 커널은 균일한 선형 방정식으로 설정된 솔루션이다. 위의 그림과 같이 L이 조작자일 경우:

  ${\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3}=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+2x_{3}}}}}}}}$

  L의 낟알은 방정식에 대한 해법들의 집합이다.

  ${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}}$

• Let C[0,1]는 간격[0,1]에 있는 모든 연속 실질 가치 함수의 벡터 공간을 나타내며 규칙으로 L: C[0,1] → R을 정의한다.

  ${\displaystyle L(f)=f(0.3){\text{.}}}$

  그 다음 L의 커널은 f (0.3) = 0인 모든 함수 f [ C[0,1]로 구성된다.
• C^∞(R)는 무한히 다른 모든 함수 R → R의 벡터 공간이 되고, D: C^∞(R) → C^∞(R)는 분화 연산자가 되도록 한다.

  ${\displaystyle D(f)={\frac {df}{dx}}{\text{.}}}$

  그 다음 D의 커널은 파생상품이 0인 C^∞(R)의 모든 함수, 즉 모든 상수함수의 집합으로 구성된다.
• R을^∞ 무한히 많은 R 사본의 직접 생산물로 하고, s: R → R을^∞∞ 시프트 운영자로 한다.

  ${\displaystyle s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ){\text{\text{}.}}}$

  그러면 s의 커널은 모든 벡터(x₁, 0, 0, …)로 구성된 1차원 서브공간이다.
• V가 내부 제품 공간이고 W가 하위 공간인 경우 직교 투영 V → W의 커널은 V에서 W에 대한 직교 보완물이다.

가우스 분리에 의한 연산

행렬의 커널의 기초는 가우스 제거에 의해 계산될 수 있다.

이를 위해 m × n 매트릭스 A가 주어지면 먼저 행 증강 매트릭스${\displaystyle }$[ ${\displaystyle \begin{array}{}A\\ \end{array}}$ I ${\displaystyle \begin{array}{}]\end{array}}$, ${\displaystyle {\begin{bmatrix}$를 생성한다.$A\\\hline I\end{bmatrix},$ 여기서$$ 나는 n × n ID 매트릭스다.

가우스 제거(또는 다른 적절한 방법)에 의해 칼럼 에셀론 형식을 계산하면 매트릭스${\displaystyle }$[${\displaystyle \begin{array}{c}B\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}C\\ \end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}]\end{array}}$. ${\displaystyle {\bgin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}}}$를 얻을 수 있다.$}$ A의 커널의 기본은$$ C의 0이 아닌 열에 구성되며, 따라서 해당 B의 컬럼은 0의 컬럼이다.

사실, 상위 행렬이 열 에셀론 형태인 즉시 계산을 중지할 수 있다. 나머지 계산은 상위 부분이 0인 열에서 생성된 벡터 공간의 기초를 바꾸는 것으로 구성된다.

예를 들어 다음과 같이 가정해 보자.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&#3&0&2&#8\\0&1&5&0&#4\\0&0&#0&#7&#0&#0&#0&#0&0&#end{bmatrix}}}.}$

그러면

${\displaystyle {\bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&, 0&, -3&, 0&, 2&, -8\\0&, 1&, 5&, 0&, -1&, 4\\0&, 0&, 0&, 1&, 7&, -9\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\\hline 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1\end{bmatrix}}.}$

전체 행렬에서 기둥 연산을 통해 상단 부분을 기둥 에셀론 형태로 배치하면

${\displaystyle{\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\\hline 1&, 0&, 0&, 3&, -2&, 8\\0&, 1&, 0&, -5&, 1&, -4\\0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0\\0&, 0&, 1&, 0&, -7&, 9\\0&앰프, 0&, 0&, 0&, 1&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1\end{bmatrix}}.}$

B의 마지막 세 열은 0 열이다. 그러므로, C의 마지막 벡터 3개는

$왼쪽[\displaystyle \ft]!\!{\put{array}{r}3\\-5\\1\0\\\0\\\\end{array}\right}\;\left[\!\!{\put{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\\\1\\\0\end{array}\right}\;\왼쪽[\]!\!{\cHB{array}{r}8\\-4\\0\\9\\\0\\\\1\end{array}\오른쪽]}$

A의 알맹이의 기초가 된다.

메소드가 커널을 계산한다는 증거: 열 연산은 변환 불가능한 매트릭스에 의한 사후 곱셈에 해당하므로$,{\displaystyle }$ [${\displaystyle \begin{array}{}A\\ \end{array}}$ I${\displaystyle \begin{array}{}\end{array}}$] ${\${\$begin{bmatrix}$라는 사실$A\\\hline I\end{bmatrix}}}$ reduces to ${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}}$ means that there exists an invertible matrix ${\displaystyle P}$ such that ${\displaystyle {\begin{bmatrix}$$A\\\hline I\end{bmatrix}}$$P{\displaystyle }$$={\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix},$ B ${\displaystyle$ B$}$을(를) 열 에셀론 형식으로 표시하십시오$$$$. 따라서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$= ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle AP=B,}$ $I$${\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$= ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle IP=C,},$ $A$ ${\displaystyle C}$= ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle AC=B.$$}$ A column vector ${\displaystyle \mathbf {v} }$ belongs to the kernel of ${\displaystyle A}$ (that is ${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {0} }$) if and only ${\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,}$ where ${\displaystyle \mathbf {w} =P^{-1}\$$mathbf {v} =C^{-1}\mathbf {v} .}$ As ${\displaystyle B}$ is in column echelon form, ${\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,}$ if and only if the nonzero entries of ${\displaystyle \mathbf {w} }$ correspond to the zero columns of ${\displaystyle B.}$ By multiplying by ${\displaystyle C}$, $v{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle w\mathbf{}}$ ${\$이(가) 해당 $C{\displaystyle }$ .${\displaystyle$C 열의 선형 결합인$$ 경우에만 이러한 경우를 추정할 수 있다$.$$}$

수치 연산

컴퓨터에 커널을 계산하는 문제는 계수의 특성에 달려 있다.

정확한 계수

행렬의 계수가 정확히 주어진 숫자로 되어 있는 경우, 행렬의 열 에셀론 형식은 가우스 제거보다 바리스 알고리즘에 의해 더 효율적으로 계산될 수 있다. 모듈식 산술과 중국식 나머지 정리를 사용하는 것이 훨씬 효율적이어서 유한한 분야에 걸쳐 유사한 여러 가지 정리(이것은 정수 곱셈의 계산 복잡성의 비선형성에 의해 유발되는 오버헤드를 피한다).^{[citation needed]}

유한 분야의 계수의 경우 가우스 제거는 잘 작동하지만 암호학 및 그뢰브너 기반 계산에서 발생하는 큰 행렬의 경우 연산 복잡성은 대략 동일하지만, 현대의 컴퓨터 하드웨어로 더 빠르고 더 잘 동작하는 더 나은 알고리즘이 알려져 있다.^{[citation needed]}

부동소수점 계산

항목이 부동 소수점 숫자인 행렬의 경우 커널 계산 문제는 행 수가 순위와 같도록 행렬에 대해서만 타당하다. 반올림 오류로 인해 부동 소수점 행렬은 훨씬 작은 순위의 행렬의 근사치임에도 불구하고 거의 항상 전체 순위를 갖는다. 풀 랭크 매트릭스의 경우에도 컨디션 조절이 잘 되어 있어야만 커널을 계산할 수 있다. 즉, 컨디션 번호가 낮다.^{[5][citation needed]}

잘 컨디셔닝된 전체 순위 매트릭스에서도 가우스 제거는 올바르게 동작하지 않는다. 중요한 결과를 얻기에는 너무 큰 반올림 오류를 도입한다. 매트릭스의 커널의 계산은 동종계통의 선형 방정식을 푸는 특별한 예이므로, 커널은 동종계통을 해결하도록 설계된 다양한 알고리즘 중 하나에 의해 계산될 수 있다. 이 목적을 위한 예술 소프트웨어의 상태는 라팍 도서관이다.^{[citation needed]}

참고 항목

참고 및 참조

참고 문헌 목록

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0.
• Lay, David C. (2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7.
• Meyer, Carl D. (2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on 2009-10-31.
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3.
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International.
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall.
• Lang, Serge (1987). Linear Algebra. Springer. ISBN 9780387964126.
• Trefethen, Lloyd N.; Bau, David III (1997), Numerical Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-361-9.

외부 링크

위키북스에는 '선형 대수학/Null Space'라는 주제의 책이 있다.

• "Kernel of a matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 칸 아카데미, 매트릭스의 Null Space 소개