복합행렬

선형대수학에서 수학의 한 분야인 (복제) 복합행렬은 모든 항목이 주어진 크기의 다른 행렬의 미성년자인 행렬이다.^[1]^[2]^[3]^[4]복합 매트릭스는 외부 알헤브라와 밀접한 관련이 있다.

정의

$A$ 를 실제 또는 복잡한 항목이 있는 $m$ × n $행렬$ 로 한다.^[a]If $I$ is a subset of size $r$ of ${1, ..., m}$ and $J$ is a subset of size $s$ of ${1, ..., n}$ , then the $(I, J)$ -submatrix of $A$ , written $A I, J$ , is the submatrix formed from $A$ by retaining only those rows indexed by $I$ and those columns indexed by $J$ . If $r = s$ , then $det A I, J$ is the $(I, J)$ -minor of $A$ .

$A$ 의 r 복합 행렬은 $C r (A$ )로 표시된 행렬로 다음과 같이 정의된다 $.$ $r$ > $min(m,$ $n)$ 이면 $C r (A)$ 는 고유한 0× 0 $행렬$ 이다.그렇지 않으면 $C r (A)$ 의 크기 ${\textstyle {\binom {m}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ r ${\textstyle {\binom {m}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ ) ${\textstyle {\binom {m}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ ( ${\textstyle {\binom {m}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ r $){\$ 행과 열은 각각 ${$ 1, $...,$ $m},$ ${$ 1, $...,$ $n}$ 의 r-element 하위 집합에 의해 사전순으로 색인화된다 ${\textstyle {\binom {m}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ 서브셋 $I$ 과 $J$ 에 해당하는 엔트리는 마이너 $디트$ $A$ 이다_{I, J}.

복합 행렬의 일부 적용에서 행과 열의 정확한 순서는 중요하지 않다.이러한 이유로 일부 저자는 행과 열을 어떻게 정렬할 것인지 명시하지 않는다.^[5]

예를 들어, 행렬을 고려하십시오.

A={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\9&10&11&12\end{pmatrix}}.

행은 ${$ 1, $2, 3}$ 이(가) $인덱싱하고 열은 {1,$ 2, 3, 4 $}$ 이(가) 인덱싱한다. $따라서 2$ C $(A)$ 의 행은 집합에 의해 색인화된다.

\{1,2\}<{1,3\}<{2,3\}}}}}

그리고 열은 다음에 의해

\{1,2\}<{1,3\}<{2,3\}<{2,4\}<{3,4\}}.

절대값 막대를 사용하여 결정 인자를 나타내는 두 번째 복합 행렬은

{\reasoned}C_ᆩ(A)&, ={\begin{pmatrix}\left{\begin{smallmatrix}1&, 2\\5&, 6\end{smallmatrix}}\right&\left{\begin{smallmatrix}1&, 3\\5&, 7\end{smallmatrix}}\right&\left{\begin{smallmatrix}1&, 4\\5&, 8\end{smallmatrix}}\right&\left{\begin{smallmatrix}2&, 3\\6&, 7\end{smallmatrix}}\right&\left{\begin{smallmatrix}2&amp을 말한다.4\\6&, 8\end{smallmatrix}}\right&\left{\begin{smallmatriX}3&, 4\\7&, 8\end{smallmatrix}}\right\\\left{\begin{smallmatrix}1&, 2\\9&, 10\end{smallmatrix}}\right&\left{\begin{smallmatrix}1&, 3\\9&, 11\end{smallmatrix}}\right&\left{\begin{smallmatrix}1&, 4\\9&, 12\end{smallmatrix}}\right&\left{\begin{smallmatrix}2&, 3\\10&, 11\end{smallmatrix}}\right&\left{\begi.n{smallmatrix}2&, 4\\10&, 12\end{smallmatrix}}\right&\left{\begin{smallmatrix}3&, 4\\11&, 12\end{smallmatrix}}\right\\\left{\begin{smallmatrix}5&, 6\\9&, 10\end{smallmatrix}}\right&\left{\begin{smallmatrix}5&, 7\\9&, 11\end{smallmatrix}}\right&\left{\begin{smallmatrix}5&, 8\\9&, 12\end{smallmatrix}}\right&\left{\begin{smallmatrix}6&, 7\\10&, 11\end{smallmatrix}}\rig.ht&\left{\begin{smallmatrix}6&, 8\\10&, 12\end{smallmatrix}}\right &\left {\begin{smallmatrix}7&8\\11&12\end{smallmatrix}}\right \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-4&-8&-12&-4&-8&-4\\-8&-16&-24&-8&-16&-8\\-4&-8&-12&-4&-8&-4\end{pmatrix}}.\end{정렬}}

특성.

$c$ 를 스칼라로 하고, $A$ 를 m × $n$ $행렬$ 로 $하고$ , $B$ 를 n × p 행렬로 한다. $k$ 양의 정수에 대해 $k$ × k ID 행렬을 $표시$ 한다_k. $매트릭스$ M의 전치점은 $M$ 으로^T 표기되며, 콘게이트는 $M$ 에^* 의해 전치된다.다음:^[6]

$C 0 (A)$ = $I 1$ , $1$ x 1 $ID$ 행렬.
$C 1 (A) = A$ .
$C r (cA) = c r C r (A)$ .
$rk$ $A$ = $r이면$ $rk C r (A)$ = $1$ 이다.
$1$ ≤ $r$ ≤ $n이면$ $C_{r}(I_{n})=I_{\binom {n}{r}}$ $C_{r}(I_{n})=I_{\binom {n}{r}}$ ( $C_{r}(I_{n})=I_{\binom {n}{r}}$ n $C_{r}(I_{n})=I_{\binom {n}{r}}$ ) $C_{r}(I_{n})=I_{\binom {n}{r}}$ = $C_{r}(I_{n})=I_{\binom {n}{r}}$ ( $C_{r}(I_{n})=I_{\binom {n}{r}}$ ) ${\$ $I_{\binom{n}{r}}}$ .
$1㎛$ $r$ $\leqmin(m,$ $n)$ 이면 $C r (A T)$ = $C r (A$ )이다 $. T$
$1㎛$ $r$ $\leqmin(m,$ $n)$ 이면 $C r (A *)$ = $C r (A$ )이다 $. *$
$C r (AB)$ = $C r (A)$ $C r (B)$
(Cauchy-Binet 공식) $멈춤 r C(AB)$ = ( $디테일 r C(A))(디테일 r C($ B))

또한 $A$ 가 n $크기$ 의 제곱 행렬이라고 가정한다.다음:^[7]

$C n (A)$ = $멈춤$ $A$ .
$A$ 에 다음 속성 중 하나가 있으면 $C r (A$ )도 해당된다 $.$
- 위쪽 삼각형,
- 아래쪽 삼각형,
- 대각선,
- 직교,
- 유니타리,
- 대칭,
- 에르미트어,
- 스큐 대칭,
- 스큐헤르미티안
- 확실해,
- 반확실성이 확실하고
- 평범하다.
$A$ 가 변위불능이면 $C r (A)$ 와_rC( $A -1)$ = $C r ($ A)이다 $. -1$
( $Sylvester-Franke$ 정리) 1≤ r ≤ $n이면$ $\det C_{r}(A)=(\det A)^{\binom {n-1}{r-1}}$ $\det C_{r}(A)=(\det A)^{\binom {n-1}{r-1}}$ ( A $\det C_{r}(A)=(\det A)^{\binom {n-1}{r-1}}$ ) $\det C_{r}(A)=(\det A)^{\binom {n-1}{r-1}}$ = $\det C_{r}(A)=(\det A)^{\binom {n-1}{r-1}}$ $\det C_{r}(A)=(\det A)^{\binom {n-1}{r-1}}$ ) $\det C_{r}(A)=(\det A)^{\binom {n-1}{r-1}}$ - 1 r - $\det C_{r}(A)=(\det A)^{\binom {n-1}{r-1}}$ ) $\det C_{r}(A)=(\det A)^{\binom {n-1}{r-1}}$ {\ $displaystyle \det C_{r}(A)=(\det A)^{\binom{n-1}{r-1$ ^[8]^[9]

외부 전력과의 관계

$R$ 에게ⁿ 표준 좌표 기준 $e 1, ...,$ $e$ 를_n 주어라. $R$ 의ⁿ $외부$ 힘은 벡터 공간이다.

\wedge ^{r}\mathbf {R} ^{n}}

그 근거는 형식적인 기호로 구성되어 있다.

\mathbf {e} _{i_{1}}\matbf \matbf {e} _{i_},

어디에

i_{1}<\display <i_{r}.

$A$ 가 $m$ × n $행렬$ 이라고 가정하자.그러면 $A$ 는 선형 변환에 해당한다.

A\colon \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{m}.

이 선형 변환의 $외부$ 힘을 얻으면 선형 변환이 결정된다.

\wedge ^{r}A\colon \wedge ^{r}\mathbf {R} ^{n}\wedge ^{r}\m}.

이 선형 변환에 해당하는 매트릭스(외부 파워의 위의 베이스에 관한 것)는_rC(A)이다 $.$ 외부 파워를 가져간다는 것은 펑터(functor)라는 뜻의^[10] 말이다.

\wedge ^{r}(AB)=(\wedge ^{r}A)(\wedge ^{r}B).

$이것$ 은_r C $(AB)$ = $C r (A) C r (B$ )라는 공식에 해당한다 $.$ 그것은 Cauchy-Binet 공식과 밀접하게 관련되어 있으며, 강화되어 있다.

애드주게이트 행렬과의 관계

$A$ 를 $n$ × n $행렬$ 이 되게 하라.상위 Adjugate 매트릭스 $조정 r (A)$ 이 ${\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ ( ${\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ ${\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ ) ${\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ ( ${\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ r ${\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ ) ${\$ 매트릭스인 ${\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ ( $I,$ $J$ ) 항목임을 상기하십시오.

{\displaystyle(-1)^{\sigma(I)+\sigma(J)}\det A_{J^{c},I^{c}},}

여기서, 정수의 $K$ 집합에 대해 $σ (K)$ 은 K $원소$ 의 합이다. $A$ 의 애드주게이트는 1번째로 높은 애드주게이트로, 애드주게이트( $Adj(A$ )로 표기된다 $.$ 일반화된 라플라스 확장 공식은

C_{r}(A)\operatorname {adj} _{r}(A)=\operatorname {adj} _{r}C_{r}(A)=(\detail A)I_{\binom {n}{r}}.

$A$ 이(가) 되돌릴 수 없는 경우

\operatorname {adj} _{r}(A^{-1})=(\detail A)^{-1}C_{r}(A).

이것의 구체적인 결과는 역행렬의 미성년자를 위한 자코비의 공식이다.

\det(A^{-1})_{{J^{c},I^{c}={-1}^{\sigma(I)+\sigma(J)}{\frac {\det A_{I,J}{\det A}}}.

애드주게이트는 화합물 단위로도 표현할 수 있다. $S$ 는 기호 행렬을 나타내도록 한다.

S=\operatorname {diag}(1,-1,-1,\ldots, (-1)^{n-1}),

$J$ 가 교환 행렬을 나타내도록 한다.

J={\begin{pmatrix}&&#1\\\\cdots &\\1&\nd{pmatrix}.

그 후 자코비의 정리는 $r$ th 더 높은 애드주게이트 행렬이 다음과 같이 명시되어 있다.^[11]^[12]

\operatorname {adj} _{r}(A)=JC_{n-r}(SAS)^{T}J.

라고 하는 것은 자코비의 정리로부터 곧바로 뒤따른다.

C_{r}(A)\,J(C_{n-r}(SAS))^{T}J=(\detail A)I_{\binom {n}{r}}.

애드주게이트와 화합물을 복용하는 것은 통근하지 않는다.그러나, 애드주게이트의 화합물은 화합물의 애드주게이트를 사용하여 표현할 수 있으며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.정체성으로부터

C_{r}(C_{s}(A))C_{r}(\operatorname {adj} _{s}(A)=(\detail A)^{r}I,

C_{r}(C_{s}(A))\operatorname {adj} _{r}(C_{s})(A)=(\detail C_{s}(A))나,

그리고 실베스터-프랑케 정리, 추론해보면

\operatorname {adj} _{r}(C_{s})(A)=(\det A)^{\binom {n-1}{s-1-r}C_{r}(\operatorname {adj}_{s})(A)

같은 기술이 추가 정체성을 가져오고

\operatorname {adj}(C_{r}(A)=(\detail A)^{\binom {n-1}{r-1}-r}C_{r}(\operatorname {adj})(A)).

적용들

복합 행렬의 연산은 광범위한 문제에 나타난다.^[13]^[4]

복합 행렬과 보조 게이트 행렬은 행렬의 선형 조합의 결정 인자를 계산할 때 나타난다. $A$ 와 $B$ 가 $n$ × n $행렬$ 인지 확인하는 것은 기초적인 일이다.

[\displaystyle \det(sA+tB)=C_{n}\!\왼쪽({\begin{bmatrix}s)A&I_{n}\end{bmatrix}\오른쪽)C_{n}\!\왼쪽({\begin{bmatrix})I_{n}\\tB\end{bmatrix}\오른쪽).}

또한 다음과 같은 것도 사실이다.^[14]^[15]

\det(sA+tB)=\sum _{r=0}^{n-t^{n-r}\operatorname {tr}(\operatorname {adj} _{r}(A)C_{r}(B)).

이것은 바로 그 결과를 가져온다.

\det(I+A)=\sum _{r=0}^{n}\operatorname {tr} \operatorname {adj} _{r}(A)=\sum _{r=0}^{r}\operatorname {tr}C_{r}(A).

수치 연산

일반적으로 복합 행렬의 연산은 복잡성이 높기 때문에 효율적이지 않다.그럼에도 불구하고, 특수한 구조를 가진 실제 행렬에 사용할 수 있는 몇 가지 효율적인 알고리즘이 있다.^[16]

메모들

^ 복합 매트릭스의 정의와 순전히 대수적 부분은 매트릭스가 정류 링에 입력되는 것만 요구한다.이 경우 행렬은 정밀하게 생성된 자유 모듈의 동형성에 해당한다.

^ 데알바, 루즈 M.Hogben, Leslie (ed) Handbook of Linear 대수학, 제2판, CRC Press, 2013, ISBN978-1-466-0729-6, 페이지 4-4
^ 간트마허, F. R., 매트릭스 이론, 제1권 첼시 출판사, 1959, ISBN 978-0-8218-1376-8p. 20
^ Horn, Roger A. and Johnson, Charles R, Matrix Analysis, 제2판, Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-0-521-54823-6, 페이지 21
^ ^a ^b Muldowney, James S. (1990). "Compound matrices and ordinary differential equations". Rocky Mountain Journal of Mathematics. 20 (4): 857–872. doi:10.1216/rmjm/1181073047. ISSN 0035-7596.
^ 쿵, 로타, 옌, 305페이지.
^ 호른과 존슨, 22페이지.
^ 호른과 존슨, 22페이지, 93페이지, 147페이지, 233페이지.
^ Tornheim, Leonard (1952). "The Sylvester–Franke Theorem". The American Mathematical Monthly. 59 (6): 389–391. doi:10.2307/2306811. ISSN 0002-9890. JSTOR 2306811.
^ 할리 플랜더스(1953) "실베스터-프랑크 정리에 관한 노트", 미국 수학 월간 60: 543–5, MR0057835
^ 조셉 P.S. 쿵, 지안 카를로 로타, 캐서린 H. 얀, 콤비나토릭스: 더 로타웨이, 케임브리지 대학 출판부, 2009년 페이지 306. ISBN 9780521883894
^ Nambiar, K.K.; Sreevalsan, S. (2001). "Compound matrices and three celebrated theorems". Mathematical and Computer Modelling. 34 (3–4): 251–255. doi:10.1016/S0895-7177(01)00058-9. ISSN 0895-7177.
^ Price, G. B. (1947). "Some Identities in the Theory of Determinants". The American Mathematical Monthly. 54 (2): 75–90. doi:10.2307/2304856. ISSN 0002-9890. JSTOR 2304856.
^ D.L., Boutin; R.F. Gleeson; R.M. Williams (1996). Wedge Theory / Compound Matrices: Properties and Applications (PDF) (Technical report). Office of Naval Research. NAWCADPAX–96-220-TR.
^ Prells, Uwe; Friswell, Michael I.; Garvey, Seamus D. (2003-02-08). "Use of geometric algebra: compound matrices and the determinant of the sum of two matrices". Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 459 (2030): 273–285. doi:10.1098/rspa.2002.1040. ISSN 1364-5021.
^ 호른과 존슨, 페이지 29
^ Kravvaritis, Christos; Mitrouli, Marilena (2009-02-01). "Compound matrices: properties, numerical issues and analytical computations" (PDF). Numerical Algorithms. 50 (2): 155. doi:10.1007/s11075-008-9222-7. ISSN 1017-1398.

참조

Gantmacher, F. R. 및 Krein, M. G., 진동 매트릭스와 커널 및 기계 시스템의 작은 진동, 개정판2002년 미국 수학 협회ISBN 978-0-8218-3171-7

[5] 복합 매트릭스의 정의와 순전히 대수적 부분은 매트릭스가 정류 링에 입력되는 것만 요구한다.이 경우 행렬은 정밀하게 생성된 자유 모듈의 동형성에 해당한다.

[1] 데알바, 루즈 M.Hogben, Leslie (ed) Handbook of Linear 대수학, 제2판, CRC Press, 2013, ISBN978-1-466-0729-6, 페이지 4-4

[2] 간트마허, F. R., 매트릭스 이론, 제1권 첼시 출판사, 1959, ISBN 978-0-8218-1376-8p. 20

[3] Horn, Roger A. and Johnson, Charles R, Matrix Analysis, 제2판, Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-0-521-54823-6, 페이지 21

[:0-4] Muldowney, James S. (1990). "Compound matrices and ordinary differential equations". Rocky Mountain Journal of Mathematics. 20 (4): 857–872. doi:10.1216/rmjm/1181073047. ISSN 0035-7596.

[6] 쿵, 로타, 옌, 305페이지.

[7] 호른과 존슨, 22페이지.

[8] 호른과 존슨, 22페이지, 93페이지, 147페이지, 233페이지.

[Tornheim1952-9] Tornheim, Leonard (1952). "The Sylvester–Franke Theorem". The American Mathematical Monthly. 59 (6): 389–391. doi:10.2307/2306811. ISSN 0002-9890. JSTOR 2306811.

[10] 할리 플랜더스(1953) "실베스터-프랑크 정리에 관한 노트", 미국 수학 월간 60: 543–5, MR0057835

[11] 조셉 P.S. 쿵, 지안 카를로 로타, 캐서린 H. 얀, 콤비나토릭스: 더 로타웨이, 케임브리지 대학 출판부, 2009년 페이지 306. ISBN 9780521883894

[NambiarSreevalsan2001-12] Nambiar, K.K.; Sreevalsan, S. (2001). "Compound matrices and three celebrated theorems". Mathematical and Computer Modelling. 34 (3–4): 251–255. doi:10.1016/S0895-7177(01)00058-9. ISSN 0895-7177.

[Price1947-13] Price, G. B. (1947). "Some Identities in the Theory of Determinants". The American Mathematical Monthly. 54 (2): 75–90. doi:10.2307/2304856. ISSN 0002-9890. JSTOR 2304856.

[14] D.L., Boutin; R.F. Gleeson; R.M. Williams (1996). Wedge Theory / Compound Matrices: Properties and Applications (PDF) (Technical report). Office of Naval Research. NAWCADPAX–96-220-TR.

[15] Prells, Uwe; Friswell, Michael I.; Garvey, Seamus D. (2003-02-08). "Use of geometric algebra: compound matrices and the determinant of the sum of two matrices". Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 459 (2030): 273–285. doi:10.1098/rspa.2002.1040. ISSN 1364-5021.

[16] 호른과 존슨, 페이지 29

[17] Kravvaritis, Christos; Mitrouli, Marilena (2009-02-01). "Compound matrices: properties, numerical issues and analytical computations" (PDF). Numerical Algorithms. 50 (2): 155. doi:10.1007/s11075-008-9222-7. ISSN 1017-1398.

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외부 전력과의 관계

애드주게이트 행렬과의 관계

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