코시-비넷 공식

수학, 특히 선형대수학에서 오귀스틴루이 코치와 자크 필리프 마리 비네의 이름을 따서 명명된 카우치-비넷 공식은 전치형(제품이 잘 정의되고 정사각형)의 두 직사각형 행렬의 곱을 결정짓는 인자의 정체성이다.정사각형 행렬의 산물의 결정요인이 결정요인의 산물과 동일하다는 진술을 일반화한다.이 공식은 정류 링의 항목이 있는 행렬에 유효하다.

성명서

A를 m×n 행렬로 하고 B를 n×m 행렬로 한다.[n]의 m-결합 집합에$$ 대해 {1, ...,${\displaystyle }$n} 및 ${\displaystyle ([\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{]}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ) ${\$을(를) 쓰십시오(즉$$, m 크기의 하위 집합에는${\displaystyle }$(${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$) ${\$$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$(${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$[ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{]}{}}$ m${\displaystyle }$) ${\$의 경우, S의 지수에서 A의 열인 m×m 행렬의 경우_[m],S A를, S의 지수에서 B의 행인 m×m 행렬의 경우 B를_S,[m] 작성한다$.$그러면 Cauchy-Binet 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle \det(AB)=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}\det(A_{m]),S}\det(B_{S,[m]}).}$

예:Taking m = 2 and n = 3, and matrices ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\\end{pmatrix}}}$ and ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&1\\3&1\\0&2\end{pmatrix}}}$, the Cauchy–Binet formula gives the determinant

${\displaystyle \det(AB형입니다)=\left{\begin{행렬}1&, 1\\3&, 1\end{매트릭스}}\right\cdot \left{\begin{행렬}1&, 1\\3&, 1\end{매트릭스}}\right+\left{\begin{행렬}1&, 2\\1&, -1\end{매트릭스}}\right\cdot \left{\begin{행렬}3&, 1\\0&, 2\end{매트릭스}}\right+\left{\begin{행렬}1&, 2\\3&, -1\end{매트릭스}}\right\cdot \left{\begin{matri.x}1&, 1\\0&, 2\end{매트릭스}}\right.}$

Indeed ${\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4&6\\6&2\end{pmatrix}}}$, and its determinant is ${\displaystyle -28}$ which equals ${\displaystyle -2\times -2+-3\times 6+-7\times 2}$ from the right hand side of the formula.

특례

n < m > (${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$[ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{]}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$) ${\$이 비어$$ 있는 집합이고, 공식에 det(AB) = 0(오른쪽은 빈 합계)이라고 되어 있는데, 실제로 이 경우 m×m 행렬 AB의 순위는 최대 n이며, 이는 결정 요인이 0임을 의미한다.n = m인 경우, ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{A}{}}$와 B가 제곱 행렬인 경우$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$[ n ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle n\}}$ ${\displaystyle {\tbinom {[n]}{m}=\{$n$]\}}}}($싱글톤 집합)만 포함되므로, 공식에는 det(A) = det(Det(Det)det(B)라고 명시되어 있다.

m = 0의 경우, A와 B는 제품 AB와 마찬가지로 빈 행렬(n > 0인 경우에는 다른 형상)이다. 합계는 단일 용어 S = ø를 포함하며, 공식은 1 = 1이며, 0×0 행렬의 결정 인수에 의해 양쪽이 주어진다.For m = 1, the summation ranges over the collection ${\displaystyle {\tbinom {[n]}{1}}}$ of the n different singletons taken from [n], and both sides of the formula give ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}A_{1,j}B_{j,1}}$, the dot product of the pair of vectors행렬로 대표되는공식에서 비경쟁적 동등성을 나타내는 m의 최소값은 m = 2이며, Binet-Cauchy 정체성에 대한 기사에서 논의된다.

사례 n = 3

Let ${\displaystyle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}},{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {z}},{\boldsymbol {w}}}$ be three-dimensional vectors.

${\displaystyle {\parted}&1=1&(m=0)\\[10pt]\\\symbol {a}\cdot {\cdmbol{x}=a_{1}x_{1}x}+a_{2}}x_{2}+a_{3}x_{3}&(m=1)\\[10pt]&{\begin{vmatrix}{\boldsymbol{}}\cdot{\boldsymbol{)}}&{\boldsymbol{}}\cdot{\boldsymbol{y}}\\{\boldsymbol{b}}\cdot{\boldsymbol{)}}&{\boldsymbol{b}}\cdot{\boldsymbol{y}}\end{vmatrix}}\\[4pt]={}&,{\begin{vmatrix}a_{2}&, a_{3}\\b_{2}&, b_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{2}&, y_{2}\\x_{3}&, y_{3}\end{vmatrix}}와{\begin{.vmatrix}a_{3}&, a_{1}\\b_{3}&, b_{1}\end{vmatrix}{\n1}{vmatrix}x_{3}}&y_{3}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\[4pt]={}&({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {x}}\times {\boldsymbol {y}})&(m=2)\\[10pt]&{\begin{vmatrix}{\boldsymbol{}}\cdot{\boldsymbol{)}}&{\boldsymbol{}}\cdot{\boldsymbol{y}}&{\boldsymbol{}}\cdot{\boldsymbol{z}}\\{\boldsymbol{b}}\cdot{\boldsymbol{)}}&{\boldsymbol{b}}\cdot{\boldsymbol{y}}&{\boldsymbol{b}}\cdot{\boldsymbol{z}}\\{\boldsymbol{c}}\cdot{\boldsymbol{)}}&{\boldsymbol{c}}\cdot{년.boldsymbol{y}}&,{\boLdsymbol{c}}\cdot{\boldsymbol{z}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{1}&, a_{2}&, a_{3}\\b_{1}&, b_{2}&, b_{3}\\c_{1}&, c_{2}&, c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&, y_{1}&, z_{1}\\x_{2}&, y_{2}&, z_{2}\\x_{3}&, y_{3}&, z_{3}\end{vmatrix}}\\[4pt]={}&, -LSB-{\boldsymbol{}}\cdot({\boldsymbol{b}}{\boldsymbol{c}}\times.)-RSB-는 경우에는{\boldsymbol{)}}\cdot({\boldsymbol{y}}\times{\bold심볼{z}]&(m=3)\\[10pt]&{\begin{vmatrix}{\boldsymbol{}}\cdot{\boldsymbol{)}}&{\boldsymbol{}}\cdot{\boldsymbol{y}}&{\boldsymbol{}}\cdot{\boldsymbol{z}}&{\boldsymbol{}}\cdot{\boldsymbol{w}}\\{\boldsymbol{b}}\cdot{\boldsymbol{)}}&{\boldsymbol{b}}\cdot{\boldsymbol{y}}&{\boldsymbol{b}}\cdot{\boldsymbol{z}}&{\boldsymbol{b}}\cdot.{\boldsymbol{w}}\\{\boLdsymbol{c}}\cdot{\boldsymbol{)}}&{\boldsymbol{c}}\cdot{\boldsymbol{y}}&{\boldsymbol{c}}\cdot{\boldsymbol{z}}&{\boldsymbol{c}}\cdot{\boldsymbol{w}}\\{\boldsymbol{d}}\cdot{\boldsymbol{)}}&{\boldsymbol{d}}\cdot{\boldsymbol{y}}&{\boldsymbol{d}}\cdot{\boldsymbol{z}}&{\boldsymbol{d}}\cdot{\boldsymbol{w}}\e.nd{vmatrix}}=0&,(m=4)\end{정렬}}$

사례 m > 3에서, 우측은 항상 0과 같다.

간단한 증거

다음의 간단한 증거는 여러 가지 다른 방법으로 증명될 수 있는 두 가지 사실에 의존한다.^[1]

1. For any ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ the coefficient of ${\displaystyle z^{n-k}}$ in the polynomial ${\displaystyle \det(zI_{n}+X)}$ is the sum of the ${\displaystyle k\times k}$ principal minors of ${\displaystyle X}$.
2. $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le n}$ ${\displaystyle$ $m$$\leq$ n$}$ 및 $A$ ${\displaystyle$ $A$$}$이($가{\displaystyle }$) ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle$ m$\times$ $n}$ 행렬이고$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle m}$ ${\time$ m} $행렬$인 경우

${\displaystyle \det(zI_{n}+BA)=z^{n-m}\det(zI_{m})+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++$$AB)}$.

이제 방정식 ${\displaystyle det}$(${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {In}_{}}$+ ${\displaystyle B}$ A${\displaystyle }$)에서$$ $z{\displaystyle {}^{}}$ n -${\displaystyle m^{}}$ ${\$의 계수를 비교하면${\displaystyle }$= z ${\displaystyle n^{}}$- m ${\displaystyle det}$(${\displaystyle z}$ ${\displaystyle I_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle \det(zI_{n}+BA)=z^{n-m}\det(zI_{m}+})$$AB$ 왼쪽은 ${\displaystyle B}$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle BA}$의 주요 미성년자 합계를, 오른쪽은$$ ${\displaystyle det(z}$ I ${\displaystyle m_{}}$+ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle \det(zI_{m})+$의 일정한 기간을 부여한다.$AB)}$은$($는) 단순히 ${\displaystyle det(A}$ ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle \det(AB)}$이며$,$ 이는 Cauchy-Binet 공식에 명시되어 있는 것이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\det(AB)=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((BA)_{S,S})=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det(B_{S,[m]})\det(A_{[m],S}\\[5pt]={}&\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}\det(A_{m]),S}\det(B_{S,[m]}).\end{정렬}}}$

증명

카우치-비넷 공식에 줄 수 있는 증빙서류는 다양하다.아래의 증거는 형식적인 조작에만 기초하며 라이프니즈 공식에 의해 정의될 수 있는 결정요인의 특정한 해석을 사용하지 않는다.행과 열에 대한 다행성 및 교대 속성(동일한 행이나 열이 있는 경우)만 사용되며, 특히 사각 행렬에 대한 결정 인자의 승법성은 사용되지 않고 오히려 확립된다(사례 n = m).그 증거는 임의의 교환 계수 링에 유효하다.

이 공식은 다음 두 단계로 증명할 수 있다.

1. A의 각 행과 B의 각 열에서 양쪽이 다선형(더 정확히 2m 선형)이라는 사실을 이용하여, A의 각 행과 B의 각 열에는 1개의 0이 아닌 입력이 하나만 있는 경우를 줄인다.
2. 이 경우, A의 행 번호를 0이 아닌 항목의 열 번호에 각각 매핑하고 B의 열 번호를 0이 아닌 항목의 열 번호에 매핑하는 기능 [m] → [n]을 사용하여 처리한다.

1단계의 경우 A의 각 행 또는 B의 열, 그리고 각 m-결합 S의 경우 det(AB)와 det(A_[m],S)det(B_S,[m])의 값이 실제로 행이나 열에 선형적으로 의존하는지 관찰한다.후자의 경우 이는 결정요인의 다중선 특성에서 즉시 발생한다. 또한 전자의 경우 A 행 또는 B 열에 대해 선형 결합을 취하고 나머지는 변경하지 않은 채 제품 AB의 해당 행 또는 열에만 영향을 미치며 동일한 선형 결합에 의해 영향을 미치는지 확인해야 한다.따라서 A의 모든 행과 B의 모든 열에 대해 선형성에 의해 Cauchy-Binet 공식의 양쪽을 계산할 수 있으며, 각 행과 열을 표준 기준 벡터의 선형 조합으로 작성할 수 있다.그 결과로 나타나는 복수 합계는 크지만, 양쪽에 대해 동일한 형태를 가지고 있다. 해당 용어들은 동일한 스칼라 인자를 포함한다(각각 A와 B의 입력의 산물이다), 이러한 용어들은 위에서 설명한 종류의 상수적 관점에서 두 개의 다른 표현식을 포함함으로써만 달라지는데, 그 표현은 동등한 영향을 받아야 한다.카우치-비넷 공식에 추가.이로써 첫걸음을 줄인다.

구체적으로는, 복수 합계를 두 개의 합계로 분류할 수 있는데, A의 각 행 지수에 해당하는 열 지수를 제공하는 함수 f:[m] → [n], B의 각 열 지수에 해당하는 열 지수를 제공하는 함수 g:[m] → [n]가 있다.f 및 g와 관련된 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle L_{f}={\bigl (}(\delta _{f(i),j})_{i\in [m],j\in [n]}{\bigr )}\quad {\text{and}}\quad R_{g}={\bigl (}(\delta _{j,g(k)})_{j\in [n],k\in [m]}{\bigr )}}$

여기서 "${\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta$ $\}"$은 크론커 델타이며, 증명할 Cauchy-Binet 공식은 다음과 같이 다시 작성되었다.

${\displaystyle {\begin}&\sum _{f:[m]\to [n]\sum _{g]\to [n]p(f,g)\det(L_{f}R_{g}\[5pt]={}&\sum _{f:[m]\to [n]\sum _{g:[m]\tp(f,g)\sum _{S\in {\tbinom{n]}}}}\det(L_{f})_{[m],S}\det((R_{g})_{S,[m]}),\end{aigned}}}}$

여기서 p(f,g)는 스칼라 계수${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle A_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle f_{}}$( ${\displaystyle i_{}}$) (${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$( ${\displaystyle k_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$, k${\displaystyle {}_{}}$) ${\$m){$m$)를 나타낸다.$}}A_{i,f(i)})(\prod _{k=1}^{m_{g(k),$k$\}\}\}.$ 모든 f,g:[m] → [n]에 대해 A = L_f 및 B = R에_g 대한 Cauchy-Binet 공식을 증명하는 것이 남아 있다.

이 2단계에서 f가 주입되지 않으면 L과_f LR이_fg 모두 동일한 행을 가지며, g가 주입되지 않으면_g R과 LR이_fg 동일한 두 개의 열을 가지며, 어느 경우든 ID의 양쪽이 모두 0이다.f와 g가 모두 주입 맵 [m] → [n]이라고 가정하면, 인자 ${\displaystyle 데트}$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle L_{}}$ f${\displaystyle {}_{}{}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {]}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}}$S${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \det(($L_{$f})_{[m],$오른쪽에 있는$$ $S}$은(는) S = f([${\displaystyle m_{}}$]가 ${\displaystyle {아니면}_{}}$ 0이고, 요인 ${\displaystyle det(}$( ${\displaystyle {}_{}}$ G${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) S${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle \det((R_{g})_{S,$ [$m]})$은(는) S = g(m])가 아니면 0이다$$.따라서 f와 g의 이미지가 다르면 오른손은 null 항만 가지며, LR의_fg 경우 null 행($f{\displaystyle }$ ${\displaystyle (i}$ )${\displaystyle g}$g${\displaystyle }$( [ ${\displaystyle m])}${\$displaystyle f(i)\notin$ g $([m]})})$이 있기 때문에 왼손도 0이다.$$f([m] = S = g(m])라고 하는 f(m)와 g(m)의 영상이 동일한 나머지 경우, 우리는 그 사실을 증명할 필요가 있다.

${\displaystyle \det(L_{f}R_{g})=\det(((L_{f})_{[m],S}\det((R_{g})_{S,[m]}).\,}$

Let h be the unique increasing bijection [m] → S, and π,σ the permutations of [m] such that ${\displaystyle f=h\circ \pi ^{-1}}$ and ${\displaystyle g=h\circ \sigma }$; then ${\displaystyle (L_{f})_{[m],$π에 S}}은 치환 행렬,(R감속)S, σ({\displaystyle(R_{g})_{S,[m]}}은 치환 행렬, 그리고π∘ σ{\displaystyle \pi\circ \sigma}에 LfRg은 치환 행렬이고, 순열 매트릭스의 결정은 순열의 서명, 그 정체성은 fac의 의미를 따른다.t서명이 승수라는 것.

증명에서 A의 행과 B의 열에 관해서 모두 다선형을 사용하는 것은 필요하지 않다; 하나는 그것들 중 하나를 사용할 수 있고, 다른 하나는 매트릭스 제품 LB는_f B 행의_f([m]),[m] 순열로 구성되거나(f가 주입식인 경우) 최소한 두 개의 동일한 열을 가질 수 있다.

일반화된 크로네커 델타와의 관계

우리가 본 바와 같이, Cauchy-Binet 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle \det(L_{f}R_{g}}=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}}{m}}}}}}\det((((L_{f})_{m), {m],S}\det((R_{g})_{S,[m]}),}$

어디에

${\displaystyle L_{f}={\bigl (}(\delta _{f(i),j})_{i\in [m],j\in [n]}{\bigr )}\quad {\text{and}}\quad R_{g}={\bigl (}(\delta _{j,g(k)})_{j\in [n],k\in [m]}{\bigr )}.}$

일반화된 Kronecker 델타 측면에서, 우리는 Cauchy-Binet 공식과 동등한 공식을 도출할 수 있다.

${\displaystyle \delta _{g(1)\dots g(m)}^{f(1)\dots f(m)}=\sum _{k:[m]\to [n] \atop k(1)<\dots <k(m)}\delta _{k(1)\dots k(m)}^{f(1)\dots f(m)}\delta _{g(1)\dots g(m)}^{k(1)\dots k(m)}.}$

기하학적 해석

A가 실제 m×n 행렬인 경우, det(A^T A)는 A의 m 행에 의해 R로ⁿ 확장된 평행사변형의 m차원 부피의 제곱과 같다.Binet의 공식에 따르면 이는 병렬 처리된 볼륨이 m-차원 좌표면에 직교 투영될 경우 발생하는 볼륨 제곱의 합과 같다(이${\displaystyle }$중 (${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$ m$$) {\$displaystyle${\$tbinom${$n}{m}).$

사례 m = 1의 경우, 병렬로토프는 단일 벡터로 감소하고 그 부피는 그 길이다.위의 진술은 벡터 길이의 제곱은 좌표의 제곱의 합이라고 기술하고 있다. 이것은 피타고라스적 정리에 근거한 그 길이의 정의에 의해 실제로 해당된다.

일반화

Cauchy-Binet 공식은 두 행렬의 제품 중 미성년자를 위한 일반적인 공식으로 쉽게 확장될 수 있다.공식의 문맥은 미성년자에 관한 기사에 제시되어 있지만, 그 아이디어는 일반 매트릭스 곱셈 공식과 두 매트릭스 제품의 결정 인자를 위한 Cauchy-Binet 공식 모두 두 매트릭스 제품의 미성년자에 대한 다음의 일반적 진술의 특별한 경우라는 것이다.A가 m × n 행렬이고, B가 n × p 행렬이고, 나는 {1,...,m}의 부분 집합이고, J는 {1,...,p}의 부분 집합이고, k는 {1,...,p}의 부분 집합이라고 가정하자.그러면

${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A}]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,},}$

여기서 합계는 k 요소가 있는 {1,...,n}의 모든 하위 집합 K에 걸쳐 있다.

연속 버전

안드레이피-히네 정체성 또는 안드레이피 정체성으로 알려진 카우치-비넷 공식의 연속 버전은 랜덤 매트릭스 이론에서 흔히 나타난다.^[2]It is stated as follows: let ${\displaystyle \left\{f_{j}(x)\right\}_{j=0}^{N-1}}$ and ${\displaystyle \left\{g_{j}(x)\right\}_{j=0}^{N-1}}$ be two sequences of integrable functions, supported on ${\displaystyle I}$. Then

${\displaystyle \int _{I}\cdots \int _{I}\det \left[f_{j-1}(x_{k})\right]_{j,k=1}^{N}\det \left[g_{j-1}(x_{k})\right]_{j,k=1}^{N}dx_{1}\cdots dx_{n}=N!\,\det \left[\int _{I}f_{j}(x)g_{k}(x)dx\right]_{j,k=0}^{N-1}.}$

Forrester는^[3] 위의 정체성을 증명하기 위해 통상적인 Cauchy-Binet 공식을 복구하는 방법을 설명한다.

참조

• Joel G. Broida & S. Gill Williamson (1989) 선형대수에 대한 포괄적인 소개, §4.6 Cauchy-Binet 정리, 페이지 208–14, 애디슨-웨슬리 ISBN 0-201-50065-5.
• 진호 곽&성표 홍(2004) 선형대수 2판, 사례 2.15 비넷-코치 공식, 페이지 66,7, 비르케유저 ISBN 0-8176-4294-3.
• I. R. 샤파레비치 & A. 레미조프(2012) 선형 대수 및 기하학, §2.9 (p. 68) & §10.5 (p. 377) 스프링거 ISBN 978-3-642-30993-9.
• M.L. 메타(2004) 랜덤 매트릭스, 3차 에드, 엘시어 ISBN 9780120884094.

외부 링크

• Aaron Laube(2004) Université du Québec a Montréal의 웨이백 머신에서 2019-03-04 보관된 Cauchy-Binet 공식의 짧은 결합기적 증거.
• 피터 J. 포레스터(2018) 보르도 1886년 안드레예프, 하르코프 1882-83 만나다