평행각

쌍곡 기하학에서 병렬 ${\displaystyle \pi }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Pi (a$의 각도는 두 개의 점근 평행 면이 있는 오른쪽 쌍곡 삼각형의 비우각 정점에서의 각이다.각도는 직각과 평행각의 꼭지점 사이의 세그먼트 길이에 따라 달라진다.

선에 없는 점이 주어진 경우 점으로부터 선에 수직으로 떨어뜨린다.a를 이 수직 세그먼트의 길이로 하고, $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Pi (a)}$은 점을 통과하는 ${\displaystyle 선}$이 주어진 선을 교차하지 않는 최소 각이 되도록$$ 한다.양쪽이 증상 없이 평행하기 때문에

${\displaystyle \lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{1}{1}\pi \quad {\text{ and }}}\quad \lim_{a\to \infty }\Pi (a)=0.}$

${\displaystyle \pi }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Pi (a)}$ 및$$ a:

${\displaystyle \sin \Pi(a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\cosh a}={\frac {2}{e^{a}+e^{-a}}\}},}$

${\displaystyle \cos \Pi(a)=\tanh a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}}}{e^{a}+e^{-a}\,}$

${\displaystyle \tan Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\sinh a}={\frac {2}{e^{a}-e^{-a}}\}},}$

${\displaystyle \tan \left({\tfrac {1}{2}}\Pi(a)\오른쪽)=e^{-a}}$

${\displaystyle \Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {gd}(a),}$

여기서 sinh, cosh, tanh, sech, csch는 쌍곡 함수, gd는 구더만 함수다.

건설

Janos Bolyai는 점 A를 통과하는 선 r에 점증상 평행도를 주는 구조를 발견했다.^[1]R의 A에서 B까지 수직으로 떨어뜨린다.R에서 B와 다른 점 C를 선택하십시오.C에서 r에 대해 수직 t를 세운다.A에서 D로 수직으로 t에 떨어뜨린다.그 다음 길이 DA는 CB보다 길지만 CA보다 짧다.반지름이 DA와 동일한 C 주위에 원을 그리십시오.지점 E에서 세그먼트 AB를 교차한다.그러면 BEC 각도는 AB에만 의존하는 BC 길이와 독립적이다; 그것은 병렬의 각도다.AB에서 BEC 각도로 s ~ A를 생성한다.

${\displaystyle \sin BEC={\frac {\sinh {BC}}{\sinh {CE}}}={\frac {\sinh {BC}}{\sinh {DA}}}={\frac {\sinh {BC}}{\sin {ACD}\sinh {CA}}}={\frac {\sinh {BC}}{\cos {ACB}\sinh {CA}}}={\frac {\sinh {BC}\tanh {CA}}{\tanh {CB}\sinh {CA}}}={\frac {\cosh {BC}}{\cosh {CA}}}={\frac {\cosh {BC}}{\cosh {CB}\cosh {AB}}}={\frac {1}{\cosh {AB}}}\,.}$

여기에 사용된 공식은 오른쪽 삼각형의 삼각형 계량법을 참조하십시오.

역사

병렬론의 각도는 1840년 니콜라이 로바체프스키의 독일 간행물 "Geometrische Untersuchunen sur 이론 데 Parallellinien"에서 개발되었다.

이 출판물은 1891년 텍사스 대학교수 G. B. Halsted가 번역본을 제작한 후 영어로 널리 알려지게 되었다.

다음 구절은 쌍곡 기하학에서 이 중추적 개념을 정의한다.

병렬 HA와 수직 AD 사이의 각도 HAD는 병렬 각도(병렬의 각도)라고 불리며, AD = p에 대해 ((p)에 의해 여기서 지정할 것이다.^{[2]: 13 [3]}

데모

쌍곡면의 푸앵카레 반평면 모델( 쌍곡 운동 참조)에서는 φ과 a의 관계를 유클리드 기하학과의 관계를 설정할 수 있다.Q는 점(1,0)과 (0,y)를 통과하는 x축에 직경을 가진 반원형으로, 여기서 y > 1. Q는 원점을 중심으로 한 단위 반원에 접하기 때문에 두 반원은 평행 쌍곡선을 나타낸다.y축은 두 반원을 교차하며, 단위 반원형으로 직각을 이루고 Q로 가변 각도 φ을 만든다.(0, y)의 반지름에 의해 소계된 Q의 중심에 있는 각도 또한 is이다. 왜냐하면 두 각은 수직이고, 왼쪽은 왼쪽, 오른쪽은 오른쪽이 수직이기 때문이다.반원 Q의 중심은 (x, 0), x < 0이므로 반경은 1 - x이다.따라서 Q의 반지름 제곱은

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=(1-x)^{2},}$

이 때문에

${\displaystyle x={\tfrac {1}{1}:{2}}(1-y^{2}).}$

쌍곡 기하학의 푸앵카레 반평면 모델의 메트릭은 로그 측정으로 레이 {(0, y) : y > 0 }의 거리를 파라메트리한다.로그 y = a, y = e를^a 자연 로그의 베이스로 한다.그러면 φ과 a의 관계는 다음과 같은 삼각형 {(x, 0), (0, 0), (0, y)}에서 추론할 수 있다.

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{-x}={\frac {2y}{2y^{2}}={\frac {2e^{a}}}{e^{a}}}}={\frac {1}{1}{\sinh a}}}.}$

참조

• 마빈 J. 그린버그(1974) 유클리드 및 비 유클리드 기하학, 페이지 211–3, W.H. 프리먼 & 컴퍼니.
• 로빈 하트쇼른(1997) 유클리드와의 동반자 319, 325, 미국 수학 협회, ISBN 0821807978.
• 제레미 그레이(1989) 공간 아이디어: 유클리드, 비-유클리드, 상대주의, 제2판, 클라렌돈 프레스, 옥스퍼드(113~118쪽 참조)
• 벨라 케르크야르토(1966) 레스폰데츠 드 라 게오메트리, 토미 듀스, §97.6 앵글 드 파랄레리스마 데 라 게오메트리 하이퍼볼리케, 페이지 411,2, 부다페스트 아카디아미 키아도