반전 기하학

기하학에서 반전 기하학은 원이나 선을 다른 원이나 선에 매핑하고 교차 곡선 사이의 각도를 보존하는 유클리드 평면의 변환인 역행의 연구다. 기하학의 많은 어려운 문제들은 역전이 적용될 때 훨씬 더 다루기 쉬워진다.

반전 개념은 고차원 공간까지 일반화할 수 있다.

원 안의 반전

점의 역

산술에서 숫자를 뒤집는 것은 보통 그 숫자의 역수를 취하는 것을 의미한다. 기하학에서 밀접하게 연관된 아이디어는 한 점을 "분해"하는 것이다. 평면에서 중심 O와 반지름 r이 있는 기준 원(OW)에 대한 점 P의 역은 점 P'로, O에서 P까지의 광선에 다음과 같이 눕혀진다.

${\displaystyle OP\cdot OP^{\premium }=r^{2}.}$

이것을 원 반전 또는 평면 반전이라고 한다. 이미지 P'에 어떤 점 P(O 이외의 점)를 가져가는 반전도 P를 다시 P로 가져가는 것이므로, 동일한 역전을 두 번 적용한 결과는 O(자기 역전)를 제외한 평면의 모든 점에 대한 신분 변환이다.^[1][2] 뒤집기를 비자발적으로 만들려면 모든 선에 놓인 하나의 점, 무한에 한 점을 도입하고, 정의상 뒤집기를 확장하여 중심 O와 이 점을 무한에 상호 교환할 필요가 있다.

이는 기준원 내부의 어떤 점의 반전(반전)이 그 밖에 놓여 있어야 하며, 그 반대는 원의 어떤 점이든 영향을 받지 않는 반면(반전 아래에 불변한다)의 중앙과 지점은 무한히 변화하는 위치에 있어야 한다는 정의에서 따온 것이다. 요컨대, 중앙을 가리키는 한 점이 가까울수록, 그 변형은 더 멀어지고, 그 반대도 마찬가지다.

나침반 및 직선 구조

외부 원 점

원 외부에 점 P의 역 P'를 구성하려면 ø:

• O(원 ø의 중심)에서 P까지 세그먼트를 그린다.
• M을 OP의 중간점이 되게 하라.
• 중심 M이 P를 통과하는 원 c를 그린다.
• N과 N'은 ø와 c가 교차하는 지점이다.
• 세그먼트 NN'을 그리십시오.
• P'는 OP와 NN'이 교차하는 곳이다.

점 내부 원

원 ø 내부에 점 P'의 역 P'를 구성하려면:

• O(원 ø의 중심)에서 P'까지 레이 r을 그린다.
• r에 수직인 P'를 통해 선 s를 그린다.
• N은 ø와 s가 교차하는 지점 중 하나가 되도록 한다.
• 세그먼트를 ON으로 그리십시오.
• 라인 t를 ON에 수직으로 N으로 그리십시오.
• P는 r선과 t선이 교차하는 곳이다.

두타 건설

A가 P 내부인지 외부인지에 독립적인 원 P에 대해 A에 대한 역점 구조가 있다.^[3]

중심 O가 있는 원 P와 원 P 내부 또는 외부에 있을 수 있는 점 A를 고려한다.

• 원 P와 함께 레이 OA의 교차점 C를 취한다.
• 원 P의 임의 점 B와 점 C를 연결한다(C와 다름)
• h를 선 BC에 있는 Ray BA의 반영이 되게 하라. 그런 다음 h는 A' 지점의 레이 OC를 절단한다. A'는 원 P에 대한 A의 역점이다.^{[3]: § 3.2}

특성.

• 

  빨간 원과 관련하여, O(파란색)를 통과하는 원의 역은 O(녹색)를 거치지 않는 선이며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.

• 

  빨간 원과 관련하여, O(파란색)를 거치지 않는 원의 역은 O(녹색)를 거치지 않는 원이며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.

• 

  원에 대한 반전에서는 원의 중심을 이미지의 중심에 매핑하지 않는다.

원과 관련하여 평면에서 점 집합의 반전은 이러한 점들의 반전 집합이다. 다음 특성은 원을 뒤집어서 유용하게 만든다.

• 기준 원의 중심 O를 통과하는 원은 O를 통과하지 않고 O에서 원래 원에 접하는 선과 평행하며, 반대로 O를 통과하는 선은 그 자체로 반전된다(그러나 점 불변성은 아니다).^[4]
• O를 통과하지 않는 원은 O를 통과하지 않는 원으로 반전된다. 원과 기준 원이 만나는 경우, 이러한 불변 교차점도 역원 위에 있다. 원(또는 선)은 교차점에서 기준 원과 직교하는 경우에만 반전되어 변경되지 않는다.^[5]

추가 속성:

• 원 q가 원 k에 대해 반대인 두 개의 구별되는 점 A와 A'를 통과하면 원 k와 q가 직교한다.
• 원 k와 q가 직교하는 경우, k의 중심 O를 통과하고 q를 교차하는 직선은 k에 대한 역점에서 그렇게 한다.
• O가 원 k의 중심이고, A와 B의 반대 방향으로 A'와 B'를 가리키는 삼각형 OAB가 주어진다.

$\displaystyle \angle OAB=\angle OB'A'\\\text{와 }}\angle OBA=\angle OA'B'}$

• 원 k에 직교하는 두 원 p와 q의 교차점은 k에 대한 반이다.
• 'M'과 'M'이 두 곡선 m과 m'의 원 k에 대한 역점인 경우, 또한 k에 대한 역점인 경우, M과 M' 지점에서 m과 m'에 대한 접선은 직선 MM'에 수직이거나 이 선과 기본 MM'과 함께 삼각형을 형성한다.
• 반전각은 각도의 측정치를 변경하지 않고 그대로 두지만 방향각의 방향을 반대로 한다.^[6]

2차원의 예

• 선의 반전(inversion)은 반전(inversion)의 중심을 포함하는 원 또는 중심(instance)을 포함하는 경우 선 그 자체다.
• 원의 뒤집기는 또 다른 원이다. 또는 원래 원이 가운데를 포함하는 경우 선이다.
• 포물선을 뒤집는 것은 심근경색이다.
• 하이퍼볼라의 반전(version of hypervola)은 베르누이의 레미니스케이트다.

적용

반전 중심을 통과하지 않는 원의 경우, 반전되는 원의 중심과 반전되는 이미지의 중심은 기준 원의 중심과 일직선이 된다. 이 사실은 삼각형의 인터치 삼각형의 오일러 선이 그것의 OI 선과 일치한다는 것을 증명하는데 사용될 수 있다. 그 증거는 대략 다음과 같다.

삼각형 ABC의 근방에 대해 뒤집어라. 내경 삼각형의 내경 삼각형은 내경 삼각형의 원곡선을 의미하는 삼각형 ABC로 반전되는데, 즉 내경 삼각형의 9점 중심, 즉 내경 삼각형의 인센티브와 외경 삼각형의 원곡선이 일직선으로 되어 있다.

두 개의 비절연 원은 동심원으로 반전될 수 있다. 그런 다음 역행 거리(일반적으로 Δ로 표시됨)는 두 동심원 반지름 비율의 자연 로그로 정의된다.

또한 두 개의 비절연 원은 반시밀도 원의 한 점에 중심을 둔 반전 원을 사용하여 합치 원으로 반전될 수 있다.

Peaucellier-Lipkin 연결은 원 안에 역전을 기계적으로 구현하는 것이다. 그것은 선형 운동과 원형 운동 사이에서 전환되는 중요한 문제에 대한 정확한 해결책을 제공한다.

극과 극

점 R이 점 P의 역인 경우 점 중 하나를 통과하는 선 PR에 수직인 선은 다른 점(극)의 극성이다.

폴과 폴라에는 다음과 같은 몇 가지 유용한 특성이 있다.

• 점 P가 선 l에 놓여 있다면, 선 l의 극 L은 점 P의 극 p에 놓여 있다.
• 점 P가 선 l를 따라 이동하면, 그것의 극 p는 선 l의 극 L을 중심으로 회전한다.
• 만약 두 개의 접선 선을 극에서 원까지 그릴 수 있다면, 그것의 극성은 양쪽 접선 지점을 통과한다.
• 점이 원 위에 있다면, 그것의 극성은 이 점을 통과하는 접선이다.
• 점 P가 자신의 극선에 놓여 있다면, P는 원 위에 있다.
• 각 선에는 정확히 하나의 극이 있다.

3차원으로

원 역전은 3차원에서 역전을 구체화할 수 있다. 반경 R이 있는 점 O에 중심을 둔 기준 구에 대한 3D의 점 P의 반전점은 $점{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ '로, O P ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$= R ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 점$$ P와 P'가 O에서 시작하는 동일 광선에 위치한다. 2D 버전과 마찬가지로 구는 구체로 반전하지만, 구가 기준 구의 중심 O를 통과하면 평면으로 반전된다. O를 통과하지 않는 모든 평면은 O에서 접촉하는 구체로 반전한다. 원, 즉 제2의 평면이 있는 구의 교차점은 원형이 O를 통과하면 선으로 반전된다는 점을 제외하고는 원형이 원 안으로 반전된다. 이는 시컨트 평면이 O를 통과할 때 2D 케이스로 감소하지만, 시컨트 평면이 O를 통과하지 못할 경우 진정한 3D 현상이다.

3차원의 예

구

가장 단순한 표면(평면 외)은 구이다. 첫 번째 그림은 원의 직교 교차 연필 두 자루와 함께 구의 사소한 반전(구 중심은 반전 중심이 아니다)을 보여준다.

실린더, 원뿔, 토러스

원통형, 원뿔형 또는 토러스형 변형은 듀핀 사이클라이드를 초래한다.

스피로이드

스피로이드(spheroid)는 혁명의 표면이며 원의 연필을 포함하고 있는데, 원은 원의 연필 위에 지도되어 있다(그림 참조). 스피로이드의 역영상은 4도의 표면이다.

1시트의 하이퍼볼로이드

혁명의 표면인 한 장의 하이퍼볼로이드에는 원의 연필이 들어 있으며, 그 연필은 원의 연필 위에 지도되어 있다. 한 장의 하이퍼볼로이드에는 두 개의 선 연필이 추가로 들어 있는데, 이 연필은 원의 연필 위에 지도되어 있다. 사진에는 그러한 선(파란색)과 그 반전 하나가 보인다.

구면 반전으로서의 입체 투영

입체 투영은 일반적으로 구의 N ${\displaystyle$ N$}($북극) 지점에서 구를 반대 지점 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}($남극)의 접선 면에 투영한다. 이 매핑은 구를 접선 면에 반전시켜 수행할 수 있다. If the sphere (to be projected) has the equation ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=-z}$ (alternately written ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z+{\tfrac {1}{2}})^{2}={\tfrac {1}{4}}}$; center ${\displaystyle (0,0,-0.5)}$, radius ${\displaystyle 0}$.5$(\displaystyle$0.5$\},$ 그림의 $녹색$), 그런 다음 단위 구(빨간색)의 역전에 의해 $S{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$- 1 ) ${\displaystyle S=$ ($0,0,-1)}$의 접선 면에 매핑된다$.$ 반전 중심(포인트 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$)을 통과하는 선은 그 자체로 매핑된다. 그것들은 입체 투영의 투영 선이다.

6-sphere 좌표

6-sphere 좌표는 데카르트 좌표를 뒤집어서 얻은 3차원 공간을 위한 좌표계다.

공리학 및 일반화

역행 기하학의 기초를 가장 먼저 고려한 것 중 하나는 1911년과 1912년의 마리오 피에리였다.^[7] 에드워드 카스너는 "반전 그룹의 변태 이론"^[8]에 대한 논문을 썼다.

보다 최근에 역전 기하학의 수학적 구조는 일반화된 원을 "블록"이라고 부르는 발생 구조로 해석되었다. 입사 기하학에서 무한대의 단일 지점과 함께 모든 부속 평면이 반전 평면으로 알려져 있는 뫼비우스 평면을 형성한다. 무한대의 점이 모든 선에 추가된다. 이러한 뫼비우스 평면은 자명하게 설명할 수 있으며 유한판과 무한판으로 모두 존재한다.

유클리드 평면에서 나오는 뫼비우스 평면의 모델은 리만 구체다.

불변성

4포인트 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, z${\displaystyle }$, ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle x,y,z,w}$ 사이의 교차 비율은 반전하에서는 불변이다$$. 특히 O가 역전의 $중심$이고 r ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle r_{$1$$$}:{$${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$},$$r 2 {\$displaystyle r_{2$}}개가 L의 끝단까지의$$ 거리인 $경우{\displaystyle }$,$$d {\$displaystyle$ d$}$의 길이는 중앙 O와 역전이 되면$$ d${\displaystyle }$/${\displaystyle }$( r ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$)${\displaystystyle d/(r_{1}r_${2}r_${2$})가 된다$$$.$ 불변성은 다음과 같다.

${\displaystyle I={\frac { x-y w-z }{ x-w y-z }}$

얼랑겐 프로그램과의 관계

콕시터에 따르면,^[9] 원 안의 뒤집기에 의한 변형은 1831년 L. I. 마그누스에 의해 발명되었다. 그 이후로 이 지도는 고등 수학의 길이 되었다. 원 역행 지도의 일부 단계를 통해, 변환 기하학의 한 학생은 곧 펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램의 중요성을 인식하게 되는데, 이것은 쌍곡 기하학의 특정 모델들의 결과물이다.

팽창

동심원 안에서 두 개의 반전이 결합하면 유사성, 동심변환 또는 원 반지름의 비율로 특징지어지는 팽창이 나타난다.

${\displaystyle x\mapsto R^{2}{\frac {x}{x}{x}}{x}}=y\mapsto T^{2}}}{\frac {y}{y}{{{2}}}}=\좌측({\frac {T}{R}\오른쪽)^{2}x.}$

상호주의

평면 내 점이 복합적인 $숫자{\displaystyle }$ z${\displaystyle }$= x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z$${\displaystyle \stackrel{}{=}}$$x+iy}$로 해석되는 경우, 복합적인 결합 $z{\displaystyle \stackrel{}{}}$ =${\displaystyle x}$- i${\displaystyle y}$ ,$${\$displaystyle {\z}=x-iy,}$의 경우, z의 역수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}{z}{z}{z}}{{2}}.}$

따라서 단위 원 내 역전의 대수적 형식은 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mapsto }$ w ${\displaystyle z\mapsto w}$에 의해 주어진다. 여기서$$:

${\displaystyle w}$= ${\displaystyle \frac{1z\stackrel{}{}¯}{}}$ =${\displaystyle \stackrel{}{}}$($1z$1}{\$bar{z}}={\overline {\refrac\{1}{z$

뫼비우스 집단의 발생기로서 변혁이론의 핵심이다. 다른 발전기는 번역과 회전이며 둘 다 주변 3-공간에서 물리적 조작을 통해 친숙하다. 상호주의 도입(원 역전에 따라 달라짐)은 뫼비우스 기하학의 독특한 성질을 만들어 내는 것으로, 때로는 (유클리드 평면의) 역기하와 동일시되기도 한다. 그러나, 반전 기하학은 원 안에 원시적인 반전을 포함하기 때문에 더 큰 연구다. 반전 기하학은 또한 결합 매핑을 포함한다. 뫼비우스 그룹에는 부적합하기 때문에 결합이나 역회전(아래 참조)이 없다.circle)이 없다(아래 참조). 뫼비우스 그룹 원소는 전체 평면의 분석 기능이기 때문에 반드시 일치해야 한다.

원을 원으로 변환

복합 평면에서는 $반지름{\displaystyle }$ r$${\$displaystyle$ r$}$의 원을 a {\$displaystyle a}$ 지점 주위에$$ 고려하십시오.

${\displaystyle (z-a)(z-a)^{*}=r^{2}}$

$여기$서 일반성의 손실 없이 ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}.}$ ${\displaystyle a\in \mathb {R}$ 반전$$정의 사용$$

${\displaystyle w={\frac {1}{z^{*}}}}}$

$w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$이(가) 방정식을 준수한다는$$ 것을 보여주는 것은 간단하다.

${\displaystyle ww^{*}-{\frac {a}{a}{a^{2}}}}}{w+w^{*}}}}+{a^{2}}:{a^{2}-r^{2}}={\r^{2}}={\r^{a^{2}-r^}}}}:{2}}:}$

따라서 $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$은(는) 중심 $\frac{a{}^{}}{}$ $\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}$- $\frac{{r\mathrm{}}^{}}{}$ $\frac{{}^{}}{}$ ${\$^{$a^{$2}-r$^{2}}:$ 및 반지름$$ $\frac{r{}^{}}{}$ $\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}$- r $\frac{{2\mathrm{}}^{}{}^{}}{}$. ${\textstyle {\r}{a^{r$}-$r^{a^{}}}}}}}}}}}.$

$원은$${\displaystyle a}$→ r$$, {\$displaystyle$a\$to$ r$,}$이(가) 가상 축 $w{\displaystyle }$ +${\displaystyle {}^{}}$into =${\displaystyle {}^{}1\frac{\mathrm{}}{}}$ a${\displaystyle }$. ${\displaystyle w+w^{*}={\tfrac {1}{a}}$에 평행한 선으로 변환된다.$}$

${\displaystyle \notin }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$}과(와) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle aa^{*}\neq$ r$^{2$}}의 $경우{\displaystyle }$ w$${\$displaystyle$ w$}$에 $대한$ 결과는

${\displaystyle {\begin{aligned}&ww^{*}-{\frac {aw+a^{*}w^{*}}{(a^{*}a-r^{2})}}+{\frac {aa^{*}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\left(w-{\frac {a^{*}}{aa^{*}-r^{2}}}\right)\left(w^{*}-{\frac {a}{a^{*}a-r^{2}}}\right)=\left({\frac {r}{\left aa^{*}-r^{2}\right }}\right)^{2}\end{aligned}}}$

$w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$이($\frac{{}^{}}{}$) $중심\frac{}{}$ a ($\frac{{}^{}}{}$ - $\frac{{}^{}}{}$ $){\textstyle {a}{(aaa^{*}-r^{2}}}}}}}$의 원과 radius $r\frac{}{}$ $\frac{a{}^{}}{}$-$\frac{}{}$r $\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}$ $textstyle {\r}{\recH}{*a-r^{2}\}}}오른쪽$의 원을 설명하고$$ 있음을 나타냄.

${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$,${\displaystyle$ a$^{*}a\to$ r$^{2}}}$에 $대한{\displaystyle }$ w ${\displaystyle$ w$}$의 방정식이$$$$ 될 때

${\displaystyle {\begin{aligned}&aw+a^{*}w^{*}=1\Longleftrightarrow 2\operatorname {Re} \{aw\}=1\Longleftrightarrow \operatorname {Re} \{a\}\operatorname {Re} \{w\}-\operatorname {Im} \{a\}\operatorname {Im} \{w\}={\frac {1}{2}}\\[4pt]\긴 왼쪽 화살표 {}&\operatorname {Im} \{w\}={\frac {\operatorname {Re}{a\}}{a\}}}\cdot \operatorname {Re} \{w\}-{\frac {1}{2\cdot \operatorname {im}{a\}}.\end{정렬}}}$

상위 기하학

위에서 언급한 바와 같이 원점인 0은 원 반전 매핑에서 특별한 고려가 필요하다. 접근방법은 무한대로 지정된 ∞ 또는 1/0의 지점에 결합하는 것이다. 상호작용이 명백한 연산인 복잡한 수 접근방식에서, 이 절차는 종종 리만 구라고 불리는 복잡한 투영 선으로 이어진다. 벨트라미, 케이리, 클라인이 쌍곡 기하학의 초기 모델을 제작하기 위해 적용한 것은 이 공간과 매핑 그룹의 서브 스페이스와 서브그룹이었다. 따라서 반전 기하학은 그들의 평면 기하학에서 로바체프스키와 볼라이에 의해 생겨난 사상을 포함한다. 게다가 펠릭스 클라인은 기하학적 현상을 식별하기 위한 이 매핑의 기능에 너무나 압도되어 1872년 에를랑겐 프로그램이라는 선언문을 전달했다. 그 이후로 많은 수학자들은 지오메트리라는 용어를 그 공간의 매핑 그룹과 함께 사용한다. 기하학에서 그림의 중요한 특성은 이 그룹 아래에서 불변하는 것이다.

예를 들어 스모그노르제프스키는^[10] 로바체프스키안 기하학을 시작하기 전에 여러 가지 반역 기하학의 이론을 전개한다.

더 높은 차원으로

반지름 r의 구가 있는 n차원 공간에서는 구체의 역전은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle x_{i}\mapsto {\frac {r^{2}x_{i}}{\sum _{j}x_{j}^{2}}:$

E의ⁿ 하이퍼플레인 또는 하이퍼퍼에서 반전된 변환을 사용하여 확장, 변환 또는 회전을 생성할 수 있다. 실제로 연속적인 반전을 일으키기 위해 사용되는 두 개의 동심원 과립체는 과립체의 중심부에 팽창 또는 수축이 일어난다. 그러한 지도를 유사성이라고 한다.

연속 반사를 생성하기 위해 두 개의 평행 하이퍼플레인이 사용되면 그 결과는 번역이다. 두 개의 하이퍼플레인이 (n–2)-플랫에서 교차할 때, 연속 반사는 (n–2)-플랫의 모든 점이 각 반사와 그에 따른 구성의 고정점인 회전을 생성한다.

이 모든 것이 순응적 지도인데, 실제로 공간이 3개 이상의 차원을 갖는 곳에서는 역전에 의해 생성된 매핑이 유일한 순응적 매핑이다. 리우빌의 정리는 등정 기하학의 고전적인 정리다.

무한대에 한 점을 공간에 추가하면 하이퍼플레인 및 하이퍼스피어의 구분이 없어진다; 더 높은 차원 반전 기하학은 그 때 종종 n-sphere의 기본 공간으로 추정되는 맥락에서 연구된다. 뒤집힌 기하학의 변환을 뫼비우스 변환이라고 부르기도 한다. n-sphere의 색상 또는 분할 연구에 역지오메트리가 적용되었다.^[11]

안티콘 형식 매핑 속성

원 반전 맵은 반편형이며, 이는 모든 지점에서 각도를 보존하고 방향을 반전시킨다는 것을 의미한다(지도를 지향각을 보존하면 등각이라고 한다). 대수학적으로, 제이코비안이 모든 점에서 음의 결정인자를 가진 직교 행렬의 스칼라 곱인 경우, 지도는 반비례적인 것이다. 즉 J가 Jacobian이라면 $J{\displaystyle }$⋅ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$= ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J\cdot$ J^{T$}=$${\displaystyle kI\sqrt{}}$$}$ 및$$ ${\displaystyle det(J}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- k${\displaystyle }$. ${\displaystyle \det(J)=-{\sqrt {k}}}}$ 케이스_i z_i = x/x, 여기서₁² x = x = ... + x는_n² k = 1/ x 로 JJ^T = kI를 부여하며, 추가적으로 det(J)는 음수이므로 반전 지도가 반정형이다.

복합 평면에서는 가장 분명한 원 반전 맵(즉, 원점을 중심으로 한 단위 원을 사용함)이 z에서 1/z를 취하는 복합 역지도의 복합 결합이다. 복잡한 역도 분석은 순응적이며 그 결합인 원 역도는 반동형이다. 이 경우 동음이의어는 순응적인 반면 반동음이의 경우는 반동형이다.

역행 기하학 및 쌍곡 기하학 지오메트리

방정식이 있는 (n - 1)-sphere

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}x_{1}+}cdots +2a_{n}x_{n}+c=0}$

+ ...일₁² 경우 양의 반지름을 가질 수 있다. + a는_n² c보다 크며, 반대로 구를 제공한다.

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+{a_{1}{1}:{a_{1}}+\cdots +2{\frac{a_{n}}}}{c}x_{n}}+{{1}}}}}=0.}$

따라서 c = 1인 경우에만 반전하에서는 불변한다. 그러나 이것은 단위 구와 직교하는 조건이다. 따라서 우리는 (n - 1)-방정식을 갖는 것을 고려하게 된다.

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+1=0,}$

역방향 하의 불변성, 단위 구와 직교하며 구 외부에 중심이 있다. 이것들은 반구를 분리하는 아공간 하이퍼플레인과 함께 쌍곡 기하학의 푸앵카레 디스크 모델의 하이퍼퍼레이스다.

단위 구체의 역전은 그것에 직교하는 구들을 불변으로 남기 때문에, 역전은 단위 구 내부의 점들을 외부에 매핑하고 그 반대의 경우도 마찬가지다. 따라서 이는 직교 구들의 일반적인 경우에 해당하며, 특히 단위 구와 직교하는 구들 중 하나의 반전에서는 단위 구를 그 자체로 매핑한다. 또한 단위 구체의 내부를 그 자체로 매핑하고, 직교 구 매핑을 벗어난 지점과 그 반대의 경우도 마찬가지. 이것은 단위 구형의 반구를 분리하는 직경을 통한 반사도 함께 포함할 경우 푸앵카레 디스크 모델의 반사를 정의한다. 이러한 반사는 모델의 등가영역을 생성하는데, 등가영역이 일치한다는 것을 말해준다. 따라서 모델에서 두 곡선 사이의 각도는 쌍곡선 공간에서 두 곡선 사이의 각도와 동일하다.

참고 항목

• 반시밀도 원
• 이중성(투영 기하학)
• 역곡선
• 한계점(지오메트리)
• 뫼비우스 변환
• 투영 기하학
• 소디의 육각형
• 곡선 및 표면 반전(독일어)

메모들

참조

• Altshiller-Court, Nathan (1952), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble, LCCN 52-13504
• Blair, David E. (2000), Inversion Theory and Conformal Mapping, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2636-0
• Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), "Chapter 5: Inversive Geometry", Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 199–260, ISBN 0-521-59787-0
• Coxeter, H.S.M. (1969) [1961], Introduction to Geometry (2nd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
• Hartshorne, Robin (2000), "Chapter 7: Non-Euclidean Geometry, Section 37: Circular Inversion", Geometry: Euclid and Beyond, Springer, ISBN 0-387-98650-2
• Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston, LCCN 69-12075

외부 링크

• 반전: 컷 더 코튼에서 원 안의 반사
• 윌슨 스토더의 반전 기하학 페이지
• IMO Compensium Training Materials 연습 문제 수학 올림피아드 문제에 역전 사용 방법
• Weisstein, Eric W. "Inversion". MathWorld.
• 특수 평면 곡선 시각 사전 자 리