단수값

수학에서, 특히 기능 분석에서, 힐버트 공간 X와 Y 사이에서 작용하는 콤팩트 연산자 T : X → Y의 단수 값들은 자기 적응 연산자 TT^*(여기서 T는^* T의 부조화를 나타낸다)의 비음성 고유값의 제곱근이다.

단수 값은 음수가 아닌 실수이며, 일반적으로 감소 순서(s₁(T), s₂(T), …로 나열된다.가장 큰 단수값 s₁(T)는 T의 연산자 규범과 같다(최소-최대 정리 참조).

T가 유클리드 공간 R에ⁿ 작용하는 경우, 단수 값에 대한 간단한 기하학적 해석이 있다.단위 구의 T에 의한 영상을 고려한다. 이것은 타원형이며, 반축의 길이는 T의 단수 값이다(그림은 R에² 예를 제공한다).

평범한 행렬 A의 eigenvalues의 그 단수형 가치의 절대 값 때문에 스펙트럼 정리 A의 A=UΛU*로 일원화된 대각선화를 가져오는 데 적용될 수 있다.따라서, A∗= UΛ∗Λ U∗)UΛ U∗{\textstyle{\sqrt{A^{*}A}}={\sqrt{U\Lambda ^{*}\Lambda U^{*}}}=U\left \Lambda\right U^{*}.$}$.

연구된 힐버트 우주 사업자에 관한 대부분의 규범들은 s-number를 사용하여 정의된다.예를 들어 Ky Fan-k-norm은 첫 번째 k 단수 값의 합이고, 추적 규범은 모든 단수 값의 합이고, 섀튼 규범은 단수 값의 p번째 힘 합계의 p번째 뿌리다.각 표준은 특정 등급의 연산자에 대해서만 정의되므로, s-numer는 서로 다른 연산자를 분류하는 데 유용하다.

유한차원의 경우, U와^* V는 단일 행렬이고 σ은 대각선 행렬에 놓여 있는 대각선 행렬인 UvV^* 형태로 항상 분해될 수 있다.이것은 단수 값 분해다.

기본 속성

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ n$}$및 $i{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$2, …${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle n\}}$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots,\$min$\m,n\}}$의 경우$.$

단수 값에 대한 최소-최대 정리.여기서 $U{\displaystyle }$: ${\displaystyle \dim }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle U}$)${\displaystyle }$= i ${\displaystyle$ U$:\dim(U)=i}$는 ${\displaystyle {}^{}}$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\mathb{C} ^{n$$}$의 하위 공간이다$.$

${\displaystyle {\begin}\sigma _{i}(A)&=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{2}=1}{x\in U}\eft\Ax\right\ _{2}.\\\sigma _{i}(A)&=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\\x\{2}=1}{x\in U}\ft\Ax\right\ _{2}.\end{정렬}}}$

행렬이 전치되어 결합되어 단수 값이 바뀌지 않는다.

${\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\lift(A^{\t}\right)=\sigma _{i}\i}\lift({bar}\{A}\rigma}\rigma)=\rigma.}$

모든 단일 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ m${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \in }$ C ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ n . ${\displaystyle U\in {C} ^{m\time m},V\in \mathb {C}$ \mathb $^{n\time n}.$$}$

$\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV).}$

고유값과의 관계:

$\\displaystyle \sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\좌(AA^{*}\우)=\lambda _{i}\좌(A^{*}A\우)=\lambda _.}$

단수 값에 대한 불평등

참고 항목.^[1]

하위 행렬의 단수 값

${\displaystyle A^{}}$ ${\displaystyle \in }$ C ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle A\in \mathb {C} ^{m\time n}.$$}$

1. $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(는) 행 또는 열 중 하나가 삭제된$$ A ${\displaystyle A}$을(를) 나타내도록 하십시오.그러면

   ${\displaystyle \sigma _{i+1}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}$

2. $Let{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$은(는) 행과 열 중 하나가$$ 삭제된 $A{\displaystyle }${\$displaystyle$ A$}$을(를) 가리킨다$$.그러면

   ${\displaystyle \sigma _{i+2}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}$

3. $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의${\displaystyle }$(${\displaystyle m}$- k${\displaystyle }$) ${\displaystyle \times }$(${\displaystyle n}$- ${\displaystyle l}$) ${\displaystyle (m-k)\times (n-l)}$ 서브트리렉스를$$ 나타내도록$$ 한다$.$ 그러면

   ${\displaystyle \sigma _{i+k+l}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}$

A + B의 단수 값

$A$의 경우${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle m^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ n ${\$

1. ${\displaystyle \sum \sigma _{i=1}{k+B)\leq \sigma _{i=1}^{k}\sigma _{i}+(B),\quad k=\min\{m,n\}}}}}}$
2. ${\displaystyle \sigma _{i+j-1}(A+B)\leq \sigma _{i}+\sigma _{j}(B)\quad i,j\in \mathb {N},\i+j-1\leq \min\{m,n\}}}$

AB의 단수 값

$A$의 경우${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ C ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$

1. ${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B)&\leq \prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(AB)\\\prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(AB)&\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B),\\\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(AB)&\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A)\sigma _{i}^{p}(B),\end{aligned}}}$
2. ${\displaystyle \sigma _{n}(A)\sigma _{i}(B)\leq \sigma _{1}(A)\sigma _{1}(B)\quad i=1,2,\ldots,n.}$

$A$의 경우${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle m^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ n ${\$

${\displaystyle 2\sigma _{i}(AB^{*})\leq \sigma _{i}\왼쪽(A^{*}A+B^{*B\right),\quad i=1,2,\ldots,n.}$

단수 값 및 고유 값

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ n ${\$의 경우$.$

1. 참조^[3]

   $\displaystyle \lambda _{i}\왼쪽(A+A^{*}\오른쪽)\leq 2\sigma _{i}(A),\quad i=1,2,\ldots,n.}$

2. $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle \lambda }$ n (${\displaystyle {}_{}}$A${\displaystyle }$) $displaystyle \왼쪽 \lambda _{1}(A)\right \gq \cdots \gec \left$ \$lambda \{n}$$\$$long$. 그러면 k${\displaystyle }$= 1,${\displaystyle 2}$,$$ $\displaysty$
   1. 바일 정리

      $\prod \prod _{i=1}^{k}\좌측 \lambda _{i}(A)\우측 \leq \prod \{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)}$

   2. > ${\displaystyle p>0}$의 경우

      $\displaystyle \sum \sum _{i=1}^{k}\왼쪽 \lambda _{i}^{p}(A)\오른쪽 \leq \sum \{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A).}$

역사

이 개념은 1907년 에르하르트 슈미트에 의해 도입되었다.슈미트는 당시 단수값을 고유값이라고 불렀다."가수적 가치"라는 이름은 스미스에 의해 1937년에 처음 인용되었다.1957년 알라베르디예프는 n번째 s-숫자의 다음과 같은 특징을 증명했다.^[4]

${\displaystyle s_{n}(T)=\inf {\big \{}\,\T-L\ :L{\text{}는 유한한 등급의 연산자다.}$

이 공식화는 바나흐 공간의 운영자들에게 s-numer 개념을 확장하는 것을 가능하게 했다.

참고 항목

• 조건번호
• 카우치 인터레이싱 정리 또는 푸앵카레 분리 정리
• 슈르-혼 정리
• 단수 값 분해

참조